অনিশ্চয়তা নীতি-এর উৎস দেখুন

{{Quantum mechanics}}
[[চিত্র:Werner Heisenberg - Canonical commutation rule for position and momentum variables of a particle - Uncertainty principle, 1927.jpg|থাম্ব|যেকোনো অবস্থান ''q'' এবং ভরবেগ ''p''-এর জন্য প্রথাগত প্রতিপাদন নীতি, ১৯২৭। ''pq'' − ''qp'' = ''h''/(2''πi'')। হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি, ১৯২৭।]]

'''অনিশ্চয়তা‌ নীতি''', যা '''হাইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি''' নামেও পরিচিত, [[কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান]]ের এক মৌলিক ধারণা। এই নীতি অনুযায়ী, কোনো একজোড়া [[ভৌত রাশি|ভৌত রাশির]] মান, যেমন [[অবস্থান]] ও [[ভরবেগ]], একই সঙ্গে জানা থাকলে তাদের পরিমাপ একটি নির্দিষ্ট সীমা পর্যন্ত নির্ভুল হয়। অন্যভাবে বলতে গেলে, ঐ দুই রাশির মধ্যে যেকোনো একটি রাশি আরও নির্ভুলভাবে পরিমাপ করলে অন্য রাশিটির পরিমাপ আরও কম নির্ভুল হবে।

আরও পোশাকি ভাষায় বলতে গেলে, অনিশ্চয়তা নীতি হচ্ছে [[অসমতা]]র এক রূপ, যা কোনো একজোড়া কোয়ান্টাম রাশির পরিমাপের নির্ভুলতার গুণফলে এক মৌলিক সীমাকে প্রকাশ করে, যেমন অবস্থান ''x'' ও ভরবেগ ''p''।<ref name=Sen2014>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ১ = Sen | প্রথমাংশ১ = D. | শিরোনাম = The Uncertainty relations in quantum mechanics | ইউআরএল = http://www.currentscience.ac.in/Volumes/107/02/0203.pdf | সাময়িকী = Current Science | খণ্ড = 107| সংখ্যা নং = 2| বছর = 2014| পাতাসমূহ = 203–218 }}</ref> এইধরনের চলরাশির যুগল [[পরিপূরকতা|পরিপূরক চলরাশি]] নামে পরিচিত।

১৯২৭ সালে জার্মান পদার্থবিজ্ঞানী [[ভের্নার কার্ল হাইজেনবের্গ]]<ref name=":0">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Heisenberg |প্রথমাংশ=W. |orig-date=1927-03-01 |শিরোনাম=Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik |ইউআরএল=https://doi.org/10.1007/BF01397280 |সাময়িকী=Zeitschrift für Physik |তারিখ=1927 |ভাষা=de |খণ্ড=43 |সংখ্যা নং=3 |পাতাসমূহ=172–198 |বিবকোড=1927ZPhy...43..172H |ডিওআই=10.1007/BF01397280 |issn=0044-3328 |s2cid=122763326}}{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Heisenberg |প্রথমাংশ=W |বছর=1983 |orig-date=1927 |শিরোনাম=The actual content of quantum theoretical kinematics and mechanics |ইউআরএল=https://ntrs.nasa.gov/citations/19840008978 |সাময়িকী=No. NAS 1.15: 77379. 1983. |খণ্ড=43 |সংখ্যা নং=3–4 |পাতা=172 |বিবকোড=1983ZhPhy..43..172H |উক্তি=English translation of Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik}}</ref> দ্বারা প্রকাশিত এই নীতি অনুযায়ী, কোনো কণার অবস্থান আরও নির্ভুলভাবে পরিমাপ করলে প্রাথমিক অবস্থা থেকে ভরবেগ আরও কম নির্ভুলভাবে অনুমান করা হবে, এবং এর বিপরীত বিবৃতিও সত্য। ১৯২৭ সালে তাঁর প্রকাশিত গবেষণাপত্রে তিনি আসলে এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছিলেন যে অনিশ্চয়তা নীতিটি হচ্ছে Δ''p''Δ''q'' ≈ h, যেখানে h হচ্ছে [[প্লাঙ্ক ধ্রুবক]]।<ref name=":0" /><ref>Werner Heisenberg, Encounters with Einstein and Other Essays on People, Places and Particles, Published October 21st 1989 by [[Princeton University Press]], p.53.</ref><ref>{{বই উদ্ধৃতি | ডিওআই=10.1515/9781400889167 | শিরোনাম=The Tests of Time | বছর=2003 | আইএসবিএন=9781400889167 | editor-last1=Dolling | editor-last2=Gianelli | editor-last3=Statile | editor-first1=Lisa M. | editor-first2=Arthur F. | editor-first3=Glenn N. }}</ref><ref>Kumar, Manjit. Quantum: Einstein, Bohr, and the great debate about the nature of reality / Manjit Kumar.—1st American ed., 2008. Chap.10, Note 37.</ref> ঐ একই বছরে পরে [[এয়ার্লে হেসা কেনার্ড]]<ref name="Kennard">{{Citation |first=E. H. |last=Kennard |title=Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen |language=de|journal=Zeitschrift für Physik |volume=44 |issue=4–5 |year=1927 |pages=326–352 |doi=10.1007/BF01391200 |postscript=. |bibcode = 1927ZPhy...44..326K |s2cid=121626384 }}</ref> এবং ১৯২৮ সালে [[হারমান ভাইল]]<ref name="Weyl1928">{{Citation|last=Weyl|first=H.|title=Gruppentheorie und Quantenmechanik|year=1928|publisher=Hirzel|location=Leipzig}}</ref> অবস্থান ''σ<sub>x</sub>''-এর [[আদর্শ চ্যুতি]] এবং ভরবেগ ''σ<sub>p</sub>''-এর আদর্শ চ্যুতির সঙ্গে সম্পর্কিত নিম্নলিখিত অসমতাটি নির্ণয় করেছিলেন:
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \sigma_{x}\sigma_{p} \geq \frac{\hbar}{2} ~~</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
যেখানে {{mvar|ħ}} = {{math|<math> \frac{h}{2\pi} ~~</math>}}।

ঐতিহাসিকভাবে এই অনিশ্চয়তা নীতিটি পদার্থবিজ্ঞানে [[পর্যবেক্ষক প্রভাব (পদার্থবিজ্ঞান)|পর্যবেক্ষক প্রভাবের]] সঙ্গে বিভ্রান্ত হয়েছে।<ref>{{Citation|last=Furuta|first=Aya|title=One Thing Is Certain: Heisenberg's Uncertainty Principle Is Not Dead|journal=Scientific American|year=2012|url=https://www.scientificamerican.com/article/heisenbergs-uncertainty-principle-is-not-dead/}}</ref><ref name="Ozawa2003">{{Citation | last=Ozawa | first=Masanao | title=Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement | journal=Physical Review A | volume=67 | year=2003 | doi=10.1103/PhysRevA.67.042105|arxiv = quant-ph/0207121 |bibcode = 2003PhRvA..67d2105O | issue=4 | pages=42105 | s2cid=42012188}}</ref> পর্যবেক্ষক প্রভাব অনুযায়ী, কিছু সংস্থাকে পরিবর্তিত না করে তার পরিমাপ সম্পন্ন হয় না,<ref>{{Citation |last=Wheeler |first=John Archibald |title=The "Past" and the "Delayed-Choice" Double-Slit Experiment |date=1978-01-01 |url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780124732506500066 |work=Mathematical Foundations of Quantum Theory |pages=9–48 |editor-last=Marlow |editor-first=A. R. |access-date=2023-07-19 |publisher=Academic Press |language=en |doi=10.1016/b978-0-12-473250-6.50006-6 |isbn=978-0-12-473250-6}}</ref><ref>{{Citation |last=Wheeler |first=John Archibald |title=Include the Observer in the Wave Function? |date=1977 |url=https://doi.org/10.1007/978-94-010-1196-9_1 |work=Quantum Mechanics, A Half Century Later: Papers of a Colloquium on Fifty Years of Quantum Mechanics, Held at the University Louis Pasteur, Strasbourg, May 2–4, 1974 |pages=1–18 |editor-last=Lopes |editor-first=José Leite |access-date=2023-07-19 |series=Episteme |place=Dordrecht |publisher=Springer Netherlands |language=en |doi=10.1007/978-94-010-1196-9_1 |isbn=978-94-010-1196-9 |editor2-last=Paty |editor2-first=Michel}}</ref> হাইজেনবার্গ কোয়ান্টাম স্তরে কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তার এক ভৌত "ব্যাখ্যা" হিসাবে এধরনের পর্যবেক্ষক প্রভাব ব্যবহার করেছেন।<ref>Werner Heisenberg, ''The Physical Principles of the Quantum Theory'', p. 20</ref> তবে এটি স্পষ্ট হয়ে ওঠে যে অনিশ্চয়তা নীতিটি তরঙ্গের মতো সমস্ত সংস্থার বৈশিষ্ট্যের মধ্যে অন্তর্নিহিত,<ref name="Rozema">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি | শেষাংশ১ = Rozema | প্রথমাংশ১ = L. A. | শেষাংশ২ = Darabi | প্রথমাংশ২ = A. | শেষাংশ৩ = Mahler | প্রথমাংশ৩ = D. H. | শেষাংশ৪ = Hayat | প্রথমাংশ৪ = A. | শেষাংশ৫ = Soudagar | প্রথমাংশ৫ = Y. | শেষাংশ৬ = Steinberg | প্রথমাংশ৬ = A. M. | ডিওআই = 10.1103/PhysRevLett.109.100404 |arxiv = 1208.0034v2| শিরোনাম = Violation of Heisenberg's Measurement–Disturbance Relationship by Weak Measurements | সাময়িকী = Physical Review Letters | খণ্ড = 109 | সংখ্যা নং = 10 | বছর = 2012 | pmid = 23005268|বিবকোড = 2012PhRvL.109j0404R | পাতা=100404| s2cid = 37576344 }}</ref> এবং সমস্ত কোয়ান্টাম বস্তুর [[পদার্থ তরঙ্গ]] প্রকৃতির জন্য এটি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান মধ্যে উদ্ভূত হয়।<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ=দ্য ব্রোয়ি |প্রথমাংশ=লুই |তারিখ=October 1923 |শিরোনাম=Waves and Quanta |সাময়িকী=নেচার |ভাষা=en |খণ্ড=112 |সংখ্যা নং=2815 |পাতাসমূহ=540 |ডিওআই=10.1038/112540a0 |বিবকোড=1923Natur.112..540D |s2cid=186242764 |issn=1476-4687|doi-access=free }}</ref> সুতরাং অনিশ্চয়তা নীতি আসলে কোয়ান্টাম সংস্থার একটি মৌলিক ধর্ম এবং কোনো বর্তমান প্রযুক্তির পর্যবেক্ষণগত সাফল্য সম্পর্কিত কোনো বিবৃতি নয়।<ref name=nptel>{{YouTube|TcmGYe39XG0|Indian Institute of Technology Madras, Professor V. Balakrishnan, Lecture 1 – Introduction to Quantum Physics; Heisenberg's uncertainty principle, National Programme of Technology Enhanced Learning}}</ref> প্রকৃতপক্ষে, এই অনিশ্চয়তার নীতির মূল হচ্ছে বলবিজ্ঞানের মৌলিক সমীকরণ লেখার জন্য [[ক্যালকুলাস]]ের প্রয়োগ। এটি লক্ষণীয় যে এখানে "পরিমাপ" বলতে কেবল এমন কোনো প্রক্রিয়াকে বোঝাচ্ছে না যেখানে পদার্থবিজ্ঞানী-পর্যবেক্ষক অংশগ্রহণ করেন, বরং কোনো পর্যবেক্ষক নির্বিশেষে চিরায়ত ও কোয়ান্টাম বস্তুর মধ্যে যেকোনো আন্তঃক্রিয়াকে বোঝাচ্ছে।<ref name="L&L">{{বই উদ্ধৃতি |প্রথমাংশ১=Lev Davidovich  |শেষাংশ১=Landau|লেখক-সংযোগ১=Lev Landau|প্রথমাংশ২=Evgeny Mikhailovich|শেষাংশ২=Lifshitz|লেখক-সংযোগ২= Evgeny Lifshitz|বছর=1977 |শিরোনাম=Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory |সংস্করণ=3rd |খণ্ড=3 |প্রকাশক=[[Pergamon Press]] |আইএসবিএন=978-0-08-020940-1|ইউআরএল=https://archive.org/details/QuantumMechanics_104}}</ref>

যেহেতু অনিশ্চয়তা নীতি কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের এক মৌলিক ফলাফল, সেহেতু সাধারণ কোয়ান্টাম পরীক্ষাগুলোতে এর বিভিন্ন দিক পাওয়া যায়। কিছু পরীক্ষা তাদের প্রধান গবেষণা কর্মসূচির অংশ হিসাবে অনিশ্চয়তা নীতির এক নির্দিষ্ট রূপকে ইচ্ছাকৃতভাবে পরীক্ষা করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, [[অতিপরিবাহিতা]]<ref>{{Citation|last1=Elion|first1=W. J. | last2=Matters | first2=M. | last3=Geigenmüller | first3=U. | last4=Mooij | first4=J. E. | title=Direct demonstration of Heisenberg's uncertainty principle in a superconductor | journal=Nature | volume=371 | pages=594–595 | year=1994 | doi= 10.1038/371594a0 | bibcode = 1994Natur.371..594E | issue=6498 | s2cid=4240085}}</ref> কিংবা [[কোয়ান্টাম আলোকবিজ্ঞান]]<ref>{{Citation|last=Smithey|first=D. T.|author2=M. Beck, J. Cooper, M. G. Raymer | title=Measurement of number–phase uncertainty relations of optical fields | journal=Phys. Rev. A|volume=48 | pages=3159–3167 | year=1993|doi=10.1103/PhysRevA.48.3159|bibcode = 1993PhRvA..48.3159S|issue=4|pmid=9909968 |last3=Cooper | first3=J. | last4=Raymer | first4=M. G.}}</ref> সংস্থায় সংখ্যা–দশা অনিশ্চয়তা নীতির পরীক্ষা। অনিশ্চয়তা নীতির উপর নির্ভরশীল এমন প্রযুক্তির মধ্যে অত্যন্ত নিম্ন-শব্দের প্রযুক্তি অন্তর্গত, যার মধ্যে [[মহাকর্ষীয় তরঙ্গ]] ইন্টারফেরোমিটার উল্লেখযোগ্য।<ref>{{Citation|last=Caves|first=Carlton|title=Quantum-mechanical noise in an interferometer|journal=Phys. Rev. D | volume=23 | pages=1693–1708 | year=1981|doi=10.1103/PhysRevD.23.1693|bibcode = 1981PhRvD..23.1693C|issue=8 }}</ref>
== অবস্থান-ভরবেগ ==
{{মূল নিবন্ধ|কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের পরিচিতি}}

[[চিত্র:Sequential superposition of plane waves.gif|360px|ডান|থাম্ব|বিভিন্ন তরঙ্গ একত্রিত হয়ে একটি তরঙ্গ গুচ্ছ তৈরি করে। তরঙ্গ সংখ্যা বাড়ানোর সঙ্গে সঙ্গে এটি আরও স্থানীয় হয়ে ওঠে। ফুরিয়ার রূপান্তর হল এমন একটি পদ্ধতি, যা তরঙ্গ গুচ্ছকে তার পৃথক তরঙ্গগুলিতে বিশ্লেষণ করে। এই চিত্রটি সহজবোধ্য ব্যাখ্যার জন্য বাস্তব তরঙ্গ দিয়ে তৈরি; তবে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে তরঙ্গ সাধারণত জটিল আকার ধারণ করে।]]

এই নীতি আমাদের দৈনন্দিন জীবনে সরাসরি অনুভূত হয় না কারণ এটি ম্যাক্রোস্কোপিক<ref>{{cite journal | last1=Jaeger|first1=Gregg|title=What in the (quantum) world is macroscopic?|journal=American Journal of Physics|date=September 2014 | volume=82|issue=9|pages=896–905|doi=10.1119/1.4878358|bibcode = 2014AmJPh..82..896J }}</ref> স্তরে অস্পষ্ট। তবে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের দুটি ভিন্ন উপায় অনিশ্চয়তার নীতি ব্যাখ্যা করে। [[শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ|তরঙ্গ মেকানিক্স]] ভিজ্যুয়াল দৃষ্টিকোণে সহজবোধ্য, যেখানে [[ম্যাট্রিক্স মেকানিক্স]] এর ব্যাখ্যা আরও তাত্ত্বিক এবং সাধারণীকৃত।

গাণিতিক দিক থেকে, তরঙ্গ মেকানিক্সে স্থান এবং ভরবেগের অনিশ্চয়তা দেখা দেয় কারণ [[হিলবার্ট স্থান|হিলবার্ট স্পেসে]] এই দুটি বৈশিষ্ট্যের প্রতিনিধিত্বকারী [[ফুরিয়ার রূপান্তর]] পরস্পরের সাথে সংযুক্ত। এর মানে হলো, একসাথে স্থান এবং ভরবেগ উভয়ই তীক্ষ্ণভাবে নির্ধারণ করা সম্ভব নয়।<ref>See Appendix B in {{citation |title=Why photons cannot be sharply localized |first1=Iwo |last1=Bialynicki-Birula |first2=Zofia |last2=Bialynicka-Birula |journal=Physical Review A |date=2009 |volume=79 |issue=3 |pages=7–8|doi=10.1103/PhysRevA.79.032112 |arxiv=0903.3712 |bibcode=2009PhRvA..79c2112B |s2cid=55632217 }}</ref> এই অনিশ্চয়তা শুধু পদার্থবিজ্ঞানে নয়, সাউন্ড ওয়েভ বা অন্যান্য ফুরিয়ার বিশ্লেষণভিত্তিক সিস্টেমেও দেখা যায়। উদাহরণস্বরূপ, সুরের ক্ষেত্রে একটি খাঁটি নোট একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে খুব তীক্ষ্ণ থাকে, তবে সময় ডোমেনে এটি ছড়িয়ে থাকা তরঙ্গ আকার ধারণ করে।

কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানে, কণার অবস্থান তরঙ্গ আকারে প্রকাশ পায় এবং তার ভরবেগ ফুরিয়ার রূপান্তরে সংযুক্ত। [[পদার্থ তরঙ্গ|দ্য ব্রগলি নীতির]] মাধ্যমে এটি নিশ্চিত হয়: {{math|''p'' {{=}} ''ħk''}}, যেখানে {{mvar|k}} হল তরঙ্গ সংখ্যা।

[[ম্যাট্রিক্স মেকানিক্সে]], [[কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের গাণিতিক কাঠামো]] অনুযায়ী, যেকোনো দুটি পর্যবেক্ষণযোগ্য গুণ, যা [[কমিউটেটর|কমিউট করে না]], সেগুলির জন্য অনুরূপ সীমাবদ্ধতা প্রযোজ্য। উদাহরণস্বরূপ, যদি একটি পরিমাপ করা হয়, তাহলে সিস্টেমটি সেই পর্যবেক্ষণযোগ্যটির নির্দিষ্ট অবস্থায় থাকে। তবে এই অবস্থা অন্য কোনো বৈশিষ্ট্যের জন্য নির্দিষ্ট নাও হতে পারে।<ref>{{Citation|author1=Claude Cohen-Tannoudji | author2=Bernard Diu | author3=Franck Laloë |title=Quantum mechanics|year=1996|publisher=Wiley|location=Wiley-Interscience | isbn=978-0-471-56952-7 | pages=231–233}}</ref>

=== চিত্রায়ন ===
অনিশ্চয়তার নীতি চিত্রিত করা যায়, যেখানে কণার অবস্থান এবং ভরবেগ [[তরঙ্গ ফাংশন]] ব্যবহার করা হয়।

যদি অবস্থান ফাংশন খুব সুনির্দিষ্ট হয়, তাহলে কণার অবস্থান নির্দিষ্ট এলাকায় পাওয়ার সম্ভাবনা বেশি, কিন্তু এই ক্ষেত্রে ভরবেগ ফাংশন তুলনামূলকভাবে ছড়িয়ে পড়ে। বিপরীতে, ভরবেগ যদি সুনির্দিষ্ট হয়, তাহলে অবস্থানের সম্ভাবনা ছড়িয়ে যায়। এই তরঙ্গ ফাংশনগুলি একে অপরের [[ফুরিয়ার রূপান্তর]]।

[[File:Quantum mechanics travelling wavefunctions wavelength.svg|কেন্দ্র|থাম্ব|502px|অবস্থান এবং ভরবেগ তরঙ্গ ফাংশন। কণার অবস্থান বা ভরবেগে পাওয়া যাওয়ার সম্ভাবনা রঙের স্বচ্ছতায় দেখানো হয়েছে।<br/>

'''উপরের অংশ:''' যদি তরঙ্গদৈর্ঘ্য ''λ'' অজানা হয়, তবে ভরবেগ এবং শক্তি নির্ধারণ করা সম্ভব নয়। এই ক্ষেত্রে কণাটি স্থানীয়।<br/>

'''নিচের অংশ:''' যদি ''λ'' জানা থাকে, তাহলে ভরবেগ এবং শক্তিও নির্ধারণ করা সম্ভব। এই ক্ষেত্রে কণাটি ভরবেগের ক্ষেত্রে স্থানীয়।]]

{{Clear}}
=== তরঙ্গ বলবিদ্যার ব্যাখ্যা ===
{{মূল নিবন্ধ|তরঙ্গ গুচ্ছ|শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ}}
{{multiple image
| align = right
| direction = vertical
| footer = [[ম্যাটার ওয়েভ|ডি ব্রগলি তরঙ্গ]] ১ডি-তে প্রচলন—জটিল সংখ্যার বাস্তব অংশ নীল, কাল্পনিক অংশ সবুজ। একটি নির্দিষ্ট স্থানে কণা পাওয়ার সম্ভাবনা (যা রঙের স্বচ্ছতায় দেখানো হয়েছে) তরঙ্গের মতো ছড়িয়ে থাকে, কণার অবস্থান নির্দিষ্ট নয়। অ্যাম্প্লিটিউড শূন্যের উপরে বাড়ার সাথে সাথে [[কর্ভেচার]] সাইন পরিবর্তন করে, তাই অ্যাম্প্লিটিউড আবার কমতে শুরু করে, এবং বিপরীত—ফলস্বরূপ একটি পরপর পরিবর্তিত অ্যাম্প্লিটিউড: একটি তরঙ্গ।
| image1 = Propagation of a de broglie plane wave.svg
| caption1 = [[প্লেন তরঙ্গ]]
| width1 = 250
| image2 = Propagation of a de broglie wavepacket.svg
| caption2 = [[তরঙ্গ গুচ্ছ]]
| width2 = 250
}}
[[ম্যাটার ওয়েভ|ডি ব্রগলি অনুমান]] অনুসারে, পৃথিবীর প্রতিটি বস্তু একটি [[তরঙ্গ]] এর সাথে সম্পর্কিত। তাই প্রতিটি বস্তু, মৌলিক কণা থেকে শুরু করে পরমাণু, অণু, এবং গ্রহ এবং তার বাইরে পর্যন্ত সকল কিছু অনিশ্চয়তার নীতির আওতায় আসে।

একটি একক-মোড প্লেন তরঙ্গের সময়-নিরপেক্ষ তরঙ্গ ফাংশন যা তরঙ্গ সংখ্যা ''k''<sub>0</sub> বা ভরবেগ ''p''<sub>0</sub> এর সাথে সম্পর্কিত তা হল<ref>{{Citation | last = Hall | first = B. C. | title = Quantum Theory for Mathematicians | publisher = Springer | year = 2013 | pages = 60 | bibcode = 2013qtm..book.....H }}</ref>
<math display="block">\psi(x) \propto e^{ik_0 x} = e^{ip_0 x/\hbar} ~.</math>

[[বর্ন নিয়ম]] অনুসারে, এটি একটি [[সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন|সম্ভাবনা ঘনত্ব অ্যাম্প্লিটিউড ফাংশন]] হিসাবে ব্যাখ্যা করা উচিত, যার মানে হল যে কণাটি ''a'' এবং ''b'' এর মধ্যে কোথাও পাওয়া যাওয়ার সম্ভাবনা
<math display="block"> \operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b |\psi(x)|^2 \, \mathrm{d}x ~.</math>

একক-মোড প্লেন তরঙ্গের ক্ষেত্রে, <math>|\psi(x)|^2</math> হল ''1'' যদি <math>X=x</math> এবং অন্যথায় ''0''। অর্থাৎ, কণার অবস্থান অত্যন্ত অনিশ্চিত, এটি কার্যত তরঙ্গ গুচ্ছ বরাবর যেকোনো জায়গায় থাকতে পারে।

অন্যদিকে, একটি তরঙ্গ ফাংশন বিবেচনা করুন যা [[সুপারপজিশন নীতি|অনেক তরঙ্গের যোগফল]], যা আমরা লিখতে পারি
<math display="block">\psi(x) \propto \sum_n A_n e^{i p_n x/\hbar}~, </math>
যেখানে ''A''<sub>''n''</sub> হল মোড ''p''<sub>''n''</sub> এর মোটের মধ্যে আপেক্ষিক অবদান। ডানপাশের চিত্রগুলো দেখায় যে অনেক প্লেন তরঙ্গ যোগ করলে, তরঙ্গ গুচ্ছ আরও স্থানীয় হতে পারে। আমরা এটি আরও একধাপ এগিয়ে নিতে পারি [[অবিরাম সীমা]], যেখানে তরঙ্গ ফাংশন হল সমস্ত সম্ভাব্য মোডের উপর একটি [[ইন্টিগ্রাল]]
<math display="block">\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^\infty \varphi(p) \cdot e^{i p x/\hbar} \, dp ~, </math>
যেখানে <math>\varphi(p)</math> এই মোডগুলির অ্যাম্প্লিটিউড এবং এটি [[ভরবেগ স্থান]]ে তরঙ্গ ফাংশন বলা হয়। গাণিতিক দৃষ্টিকোণ থেকে, আমরা বলি যে <math>\varphi(p)</math> হল <math>\psi(x)</math> এর ''[[ফুরিয়ার রূপান্তর]]'' এবং ''x'' এবং ''p'' হল [[সংকল্পিত ভেরিয়েবল]]। এই সমস্ত প্লেন তরঙ্গ একত্রিত করার ফলে একটি খরচ হয়, অর্থাৎ ভরবেগ কম স্পষ্ট হয়ে যায়, কারণ এটি বিভিন্ন ভরবেগের তরঙ্গের মিশ্রণ হয়ে যায়।<ref name="L&L">{{cite book |first1=Lev Davidovich |last1=Landau|authorlink1=Lev Landau|first2=Evgeny Mikhailovich|last2=Lifshitz|authorlink2= Evgeny Lifshitz|year=1977 |title=Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory |edition=3rd |volume=3 |publisher=[[Pergamon Press]] |isbn=978-0-08-020940-1|url=https://archive.org/details/QuantumMechanics_104}}</ref>

অবস্থান এবং ভরবেগের স্পষ্টতা পরিমাপ করার একটি উপায় হলো [[আদর্শ বিচ্যুতি]] ''σ''। যেহেতু <math>|\psi(x)|^2</math> হলো অবস্থানের জন্য একটি সম্ভাবনা ঘনত্ব ফাংশন, আমরা এর আদর্শ বিচ্যুতি হিসাব করি।

অনেক প্লেন তরঙ্গ ব্যবহার করে অবস্থানের স্পষ্টতা উন্নত করা যায়, অর্থাৎ ''σ''<sub>''x''</sub> হ্রাস করা যায়, যার ফলে ভরবেগের স্পষ্টতা দুর্বল হয়ে যায়, অর্থাৎ ''σ''<sub>''p''</sub> বৃদ্ধি পায়। একে অন্যভাবে বললে, ''σ''<sub>''x''</sub> এবং ''σ''<sub>''p''</sub> এর মধ্যে [[বিপরীত সম্পর্ক]] রয়েছে অথবা অন্তত নিচ থেকে সীমাবদ্ধ। এটি হল অনিশ্চয়তার নীতি, যার সঠিক সীমা হলো কেনার্ডের সীমা।

=== তরঙ্গ বলবিদ্যার মাধ্যমে কেনার্ডের অসমতার প্রমাণ ===

আমরা অবস্থান এবং ভরবেগের [[ভ্যারিয়েন্স]] নিয়ে আগ্রহী, যা সংজ্ঞায়িত করা হয়
<math display="block">\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot |\psi(x)|^2 \, dx - \left( \int_{-\infty}^\infty x \cdot |\psi(x)|^2 \, dx \right)^2</math>
<math display="block">\sigma_p^2 = \int_{-\infty}^\infty p^2 \cdot |\varphi(p)|^2 \, dp - \left( \int_{-\infty}^\infty p \cdot |\varphi(p)|^2 \, dp \right)^2~.</math>

[[অব্যাহত ক্ষতি ছাড়া]], আমরা ধরে নেব যে [[প্রত্যাশিত মান|গণনা]] শূন্য, যা শুধু আমাদের স্থানাঙ্কের মূল পরিবর্তন করে। (এই অনুমান না করেও একটি সাধারণ প্রমাণ নিচে দেওয়া হয়েছে।) এর ফলে আমরা সহজতর আকারে পাই
<math display="block">\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^\infty x^2 \cdot |\psi(x)|^2 \, dx</math>
<math display="block">\sigma_p^2 = \int_{-\infty}^\infty p^2 \cdot |\varphi(p)|^2 \, dp~.</math>

ফাংশন <math>f(x) = x \cdot \psi(x)</math> একটি [[ভেক্টর স্থান|ভেক্টর]] হিসেবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে একটি [[ফাংশন স্থান]]-এ। আমরা এই ভেক্টর স্থানে দুটি ফাংশন ''u''(''x'') এবং ''v''(''x'') এর জন্য একটি [[ইনার প্রোডাক্ট]] সংজ্ঞায়িত করতে পারি:
<math display="block">\langle u \mid v \rangle = \int_{-\infty}^\infty u^*(x) \cdot v(x) \, dx,</math>
এখানে অ্যাস্টারিস্ক চিহ্ন [[জটিল রূপান্তর|জটিল সহচর]] নির্দেশ করে।

এই ইনার প্রোডাক্ট সংজ্ঞায়িত করার সাথে সাথে আমরা লক্ষ্য করি যে অবস্থানের ভ্যারিয়েন্স লিখা যেতে পারে
<math display="block">\sigma_x^2 = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx = \langle f \mid f \rangle ~.</math>

আমরা এটি আবার ভরবেগের জন্য পুনরাবৃত্তি করতে পারি, <math>\tilde{g}(p)=p \cdot \varphi(p)</math> কে একটি ভেক্টর হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। তবে, আমরা এই সুবিধাটিও নিতে পারি যে <math>\psi(x)</math> এবং <math>\varphi(p)</math> একে অপরের ফুরিয়ার রূপান্তর। আমরা বিপরীত ফুরিয়ার রূপান্তর [[ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস]] পদ্ধতি ব্যবহার করে নির্ণয় করি:
<math display="block">\begin{align}
g(x) &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \cdot \int_{-\infty}^\infty \tilde{g}(p) \cdot e^{ipx/\hbar} \, dp \\
&= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int_{-\infty}^\infty p \cdot \varphi(p) \cdot e^{ipx/\hbar} \, dp \\
&= \frac{1}{2 \pi \hbar} \int_{-\infty}^\infty \left[ p \cdot \int_{-\infty}^\infty \psi(\chi) e^{-ip\chi/\hbar} \, d\chi \right] \cdot e^{ipx/\hbar} \, dp \\
&= \frac{i}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \left[ \cancel{ \left. \psi(\chi) e^{-ip\chi/\hbar} \right|_{-\infty}^\infty } - \int_{-\infty}^\infty \frac{d\psi(\chi)}{d\chi} e^{-ip\chi/\hbar} \, d\chi \right] \cdot e^{ipx/\hbar} \, dp \\
&= -i \int_{-\infty}^\infty \frac{d\psi(\chi)}{d\chi} \left[ \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \, e^{ip(x - \chi)/\hbar} \, dp \right]\, d\chi\\
&= -i \int_{-\infty}^\infty \frac{d\psi(\chi)}{d\chi} \left[ \delta\left(\frac{x - \chi }{\hbar}\right) \right]\, d\chi\\
&= -i \hbar \int_{-\infty}^\infty \frac{d\psi(\chi)}{d\chi} \left[ \delta\left(x - \chi \right) \right]\, d\chi\\
&= -i \hbar \frac{d\psi(x)}{dx} \\
&= \left( -i \hbar \frac{d}{dx} \right) \cdot \psi(x) ,
\end{align}</math>
এখানে <math>v=\frac{\hbar}{-ip}e^{-ip\chi/\hbar}</math> [[ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস]]-এ ব্যবহৃত হয়েছে, বাতিল হওয়া পদটি শূন্যে পরিণত হয় কারণ তরঙ্গ ফাংশন অসীমে বিলুপ্ত হয়। এরপর আমরা [[ডিরাক ডেল্টা ফাংশন]] ব্যবহার করি যা বৈধ, কারণ <math>\dfrac{d\psi(\chi)}{d\chi}</math> ''p'' এর উপর নির্ভর করে না।

পদ <math display="inline">-i \hbar \frac{d}{dx}</math> কে [[অবস্থান স্থানে ভরবেগ অপারেটর]] বলা হয়। [[প্ল্যাঞ্চারেলের উপপাদ্য]] প্রয়োগ করে, আমরা দেখতে পাই যে ভরবেগের ভ্যারিয়েন্স লেখা যেতে পারে: <math display="block">\sigma_p^2 = \int_{-\infty}^\infty |\tilde{g}(p)|^2 , dp = \int_{-\infty}^\infty |g(x)|^2 , dx = \langle g \mid g \rangle.</math>

[[কাউচি-শোয়ার্জ অসমতা]] বলে যে: <math display="block">\sigma_x^2 \sigma_p^2 = \langle f \mid f \rangle \cdot \langle g \mid g \rangle \ge |\langle f \mid g \rangle|^2 ~.</math>

যেকোনো জটিল সংখ্যার [[মডুলাস স্কয়ার]] লেখা যেতে পারে: <math display="block">|z|^{2} = \Big(\text{Re}(z)\Big)^{2}+\Big(\text{Im}(z)\Big)^{2} \geq \Big(\text{Im}(z)\Big)^{2} = \left(\frac{z-z^{\ast}}{2i}\right)^{2}. </math>

এখানে <math>z=\langle f|g\rangle</math> এবং <math>z^{*}=\langle g\mid f\rangle</math> বসিয়ে দিলে পাই: <math display="block">|\langle f\mid g\rangle|^2 \geq \left(\frac{\langle f\mid g\rangle-\langle g \mid f \rangle}{2i}\right)^2 ~.</math>

এখন শুধুমাত্র এই অভ্যন্তরীণ গুণফলগুলো নির্ণয় করা বাকি।

=== ম্যাট্রিক্স বলবিদ্যার ব্যাখ্যা ===
{{মূল নিবন্ধ|ম্যাট্রিক্স বলবিদ্যা}}
ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে, পর্যবেক্ষণযোগ্য যেমন অবস্থান এবং ভরবেগকে স্ব-অধিকারী অপারেটর দিয়ে উপস্থাপন করা হয়।<ref name="L&L"/> দুটি অবজারভেবলের ক্ষেত্রে, একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো ''[[কমিউটেটর]]''। যদি দুটি অপারেটর {{mvar|Â}} এবং <math>\hat{B}</math> থাকে, তাহলে তাদের কমিউটেটর নির্ধারণ করা হয় এভাবে:
<math display="block">[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}.</math>
অবস্থান এবং ভরবেগের ক্ষেত্রে, তাদের কমিউটেটর হয় [[ক্যানোনিকাল কমিউটেশন রিলেশন]]:
<math display="block">[\hat{x},\hat{p}]=i \hbar.</math>

কমিউটেটরের এই অ-কমিউটেটিভ প্রকৃতি বোঝা যায় যখন অবস্থান এবং ভরবেগ [[আইজেন দশা]]র ওপর এর প্রভাব দেখা হয়। ধরা যাক, <math>|\psi\rangle</math> একটি অবস্থান আইজেন দশা যার ধ্রুবক মান {{math|''x''<sub>0</sub>}}। অর্থাৎ,
<math>\hat{x}|\psi\rangle = x_0 |\psi\rangle.</math>
এই ইজেন দশার ওপর কমিউটেটর প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়:
<math display="block">[\hat{x},\hat{p}] | \psi \rangle = (\hat{x}\hat{p}-\hat{p}\hat{x}) | \psi \rangle = (\hat{x} - x_0 \hat{I}) \hat{p} \, | \psi \rangle = i \hbar | \psi \rangle,</math>
এখানে {{mvar|Î}} হলো [[আইডেন্টিটি অপারেটর]]।

এখন ধরে নিই, <math>|\psi\rangle</math> একই সাথে একটি ভরবেগ আইজেন দশা যার ধ্রুবক মান {{mvar|''p''<sub>0</sub>}}। যদি তা সত্য হয়, তাহলে লেখা যায়:
<math display="block">(\hat{x} - x_0 \hat{I}) \hat{p} \, | \psi \rangle = (\hat{x} - x_0 \hat{I}) p_0 \, | \psi \rangle = (x_0 \hat{I} - x_0 \hat{I}) p_0 \, | \psi \rangle=0.</math>
কিন্তু আগের ক্যানোনিকাল কমিউটেশন রিলেশন থেকে পাওয়া যায়:
<math display="block">[\hat{x},\hat{p}] | \psi \rangle=i \hbar | \psi \rangle \ne 0.</math>
এটি প্রমাণ করে যে কোনো কোয়ান্টাম দশা একই সাথে অবস্থান এবং ভরবেগের আইজেন দশা হতে পারে না।

যখন একটি দশা পরিমাপ করা হয়, তখন সেটি সংশ্লিষ্ট পর্যবেক্ষণযোগ্য কণার আইজেন দশায় প্রজেক্ট হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনো কণার অবস্থান মাপা হয়, তবে দশাটি অবস্থান আইজেন দশা হয়। তবে এটি আর ভরবেগ আইজেন দশা থাকে না বরং এটি ভরবেগের অনেক আইজেন দশার যোগফল হয়। অর্থাৎ, ভরবেগ কম নির্দিষ্ট হয়ে যায়। এই নির্দিষ্টতাকে পরিমাপ করা যায় স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন দিয়ে:
<math display="block">\sigma_x=\sqrt{\langle \hat{x}^2 \rangle-\langle \hat{x}\rangle^2}</math>
<math display="block">\sigma_p=\sqrt{\langle \hat{p}^2 \rangle-\langle \hat{p}\rangle^2}.</math>

উপরের তরঙ্গ মেকানিক্সের ব্যাখ্যার মতো, এখানেও দেখা যায় যে এই দুইটি পরিমাপের নির্ভুলতার মধ্যে একধরনের ভারসাম্য রয়েছে, যা অনিশ্চয়তার নীতির মাধ্যমে প্রকাশ পায়।

=== কোয়ান্টাম সরল দোলকের স্থিতিশীল অবস্থা ===
একটি একমাত্রিক কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটরের ক্ষেত্রে, অবস্থান (পজিশন) এবং গতি (মোমেন্টাম) অপারেটরগুলোকে [[সৃষ্টি এবং ধ্বংসের অপারেটর]]-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়:
<math display="block">\hat x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^\dagger)</math>
<math display="block">\hat p = i\sqrt{\frac{m \omega\hbar}{2}}(a^\dagger-a).</math>

সৃষ্টির এবং ধ্বংসের অপারেটরের নিয়ম অনুযায়ী, শক্তির নির্দিষ্ট অবস্থাগুলোতে:
<math display="block">a^{\dagger}|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle</math>
<math display="block">a|n\rangle=\sqrt{n}|n-1\rangle, </math>
এগুলো ব্যবহার করে অবস্থান এবং গতির অস্থিরতা (variance) নির্ণয় করা যায়:
<math display="block">\sigma_x^2 = \frac{\hbar}{m\omega} \left( n+\frac{1}{2}\right)</math>
<math display="block">\sigma_p^2 = \hbar m\omega \left( n+\frac{1}{2}\right)\, .</math>

এরপর, এই অবস্থান এবং গতির জন্য অস্থিরতার গুণফল হয়:
<math display="block">\sigma_x \sigma_p = \hbar \left(n+\frac{1}{2}\right) \ge \frac{\hbar}{2}.~</math>

বিশেষত, উপরের নিয়ম অনুযায়ী, এটি ন্যূনতম হয় যখন {{math|''n''{{=}}0}}। এই অবস্থায় সম্ভাব্যতা ঘনত্ব সাধারণ গাউস বন্টনের মতো হয়।

=== গাউসিয়ান প্রাথমিক অবস্থার কোয়ান্টাম সরল দোলক ===
একটি কোয়ান্টাম হারমোনিক অসিলেটর, যার কৌণিক কম্পাঙ্ক ''ω'', এর অবস্থান যদি একটি নির্দিষ্ট স্থান থেকে সরিয়ে x<sub>0</sub> রাখা হয়, তবে প্রাথমিক অবস্থাটি হবে:
<math display="block">\psi(x)=\left(\frac{m \Omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{m \Omega (x-x_0)^2}{2\hbar}\right)},</math>

যেখানে Ω হলো প্রাথমিক অবস্থার প্রস্থ, কিন্তু এটি ''ω'' এর সমান হতে হবে এমন নয়।

প্রসারণের (propagator) মাধ্যমে সমাধান বের করলে দেখা যায়:
<math display="block">|\Psi(x,t)|^2 \sim \mathcal{N}\left( x_0 \cos{(\omega t)} , \frac{\hbar}{2 m \Omega} \left( \cos^2(\omega t) + \frac{\Omega^2}{\omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)\right)</math>
<math display="block">|\Phi(p,t)|^2 \sim \mathcal{N}\left( -m x_0 \omega \sin(\omega t), \frac{\hbar m \Omega}{2} \left( \cos^2{(\omega t)} + \frac{\omega^2}{\Omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)\right),</math>

এগুলোর মাধ্যমে অস্থিরতার গুণফল বের হয়:
<math display="block">\begin{align}  
\sigma_x \sigma_p&=\frac{\hbar}{2}\sqrt{\left( \cos^2{(\omega t)} + \frac{\Omega^2}{\omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)\left( \cos^2{(\omega t)} + \frac{\omega^2}{\Omega^2} \sin^2{(\omega t)} \right)} \\  
&= \frac{\hbar}{4}\sqrt{3+\frac{1}{2}\left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\Omega^2}{\omega^2}+\frac{\omega^2}{\Omega^2}\right)-1\right) \cos{(4 \omega t)}}  
\end{align}</math>

=== সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা ===
{{মূল নিবন্ধ|সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা}}
একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা হল [[অ্যানিহিলেশন অপারেটর]]-এর একটি সঠিক বৈশিষ্ট্য অবস্থা,
<math display="block">\hat{a}|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle,</math>
যেটি [[ফক অবস্থান]] এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে
<math display="block">|\alpha\rangle =e^{-{|\alpha|^2\over2}} \sum_{n=0}^\infty {\alpha^n \over \sqrt{n!}}|n\rangle</math>

যখন সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা একটি কোয়ান্টাম হারমনিক অস্কিলেটরের মধ্যে একটি ভরযুক্ত কণা হিসেবে বিবেচিত হয়, তখন অবস্থান এবং ভরবেগ অপারেটরগুলোকে অ্যানিহিলেশন অপারেটরের মাধ্যমে উপরের একই সূত্রের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং ভ্যারিয়েন্সগুলো গণনা করা যেতে পারে,
<math display="block">\sigma_x^2 = \frac{\hbar}{2 m \omega},</math>
<math display="block">\sigma_p^2 = \frac{\hbar m \omega}{2}.</math>
অতএব, প্রতিটি সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা কেনার্ড সীমাকে স্যাচুরেট করে
<math display="block">\sigma_x \sigma_p = \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}} \, \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} = \frac{\hbar}{2}. </math>
যেখানে অবস্থান এবং ভরবেগের প্রতিটি অংশ একটি "সামঞ্জস্যপূর্ণ" উপায়ে <math display="inline">\sqrt{\hbar/2}</math> পরিমাণে অবদান রাখে। তদুপরি, প্রতিটি [[চাপগ্রস্ত সামঞ্জস্যপূর্ণ অবস্থা]]ও কেনার্ড সীমাকে স্যাচুরেট করে যদিও সাধারণত অবস্থান এবং ভরবেগের অবদানগুলি ভারসাম্যপূর্ণ হতে নাও পারে।

=== বাক্সে কণা ===
{{মূল নিবন্ধ|বাক্সে কণা}}
ধরা যাক একটি কণা এক-মাত্রিক একটি বাক্সে রয়েছে যার দৈর্ঘ্য <math>L</math>। [[বাক্সে কণা#তরঙ্গফাংশন|অবস্থান এবং ভরবেগ স্থানে নিজস্ব ফাংশনগুলো]] হলো
<math display="block">\psi_n(x,t) =\begin{cases}
A \sin(k_n x)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_n t}, & 0 < x < L,\\
0, & \text{অন্যথায়,}
\end{cases}</math>
এবং
<math display="block">\varphi_n(p,t)=\sqrt{\frac{\pi L}{\hbar}}\,\,\frac{n\left(1-(-1)^ne^{-ikL} \right) e^{-i \omega_n t}}{\pi ^2 n^2-k^2 L^2},</math>
যেখানে <math display="inline">\omega_n=\frac{\pi^2 \hbar n^2}{8 L^2 m}</math> এবং আমরা [[ডি ব্রোগলি সম্পর্ক]] <math>p=\hbar k</math> ব্যবহার করেছি। <math>x</math> এবং <math>p</math> এর ভ্যারিয়েন্সগুলো সঠিকভাবে গণনা করা যেতে পারে:
<math display="block">\sigma_x^2=\frac{L^2}{12}\left(1-\frac{6}{n^2\pi^2}\right)</math>
<math display="block">\sigma_p^2=\left(\frac{\hbar n\pi}{L}\right)^2. </math>

স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির গুণফল তাই
<math display="block">\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}.</math>
সকল <math>n=1, \, 2, \, 3,\, \ldots</math> এর জন্য, <math display="inline">\sqrt{\frac{n^2\pi^2}{3}-2}</math> এর মান 1 এর বেশি, তাই অনিশ্চয়তার নীতি কখনও লঙ্ঘিত হয় না। গাণিতিকভাবে, সর্বনিম্ন মানটি হয় যখন <math>n = 1</math>, এ ক্ষেত্রে
<math display="block">\sigma_x \sigma_p = \frac{\hbar}{2} \sqrt{\frac{\pi^2}{3}-2} \approx 0.568 \hbar > \frac{\hbar}{2}.</math>

=== স্থিতিশীল ভরবেগ ===
{{মূল নিবন্ধ|তরঙ্গ প্যাকেট}}

[[চিত্র:Guassian Dispersion.gif|360px|ডান|স্বাধীন স্থানে সর্বনিম্ন অনিশ্চিত, স্থিতিশীল ভরবেগ সহ একটি প্রাথমিক গাউসিয়ান অবস্থার অবস্থান স্থান সম্ভাবনা ঘনত্ব]]

ধরা যাক একটি কণার প্রাথমিক [[ভরবেগ স্থান]] তরঙ্গ ফাংশন একটি সাধারণ বন্টনের দ্বারা বর্ণিত হয় যা কিছু স্থিতিশীল ভরবেগ ''p''<sub>0</sub>-এর চারপাশে থাকে
<math display="block">\varphi(p) = \left(\frac{x_0}{\hbar \sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \exp\left(\frac{-x_0^2 (p-p_0)^2}{2\hbar^2}\right),</math>
এখানে আমরা একটি রেফারেন্স স্কেল <math display="inline">x_0=\sqrt{\hbar/m\omega_0}</math> প্রবর্তন করেছি, যেখানে <math>\omega_0>0</math> বন্টনের প্রস্থ বর্ণনা করে—[[অনার্থকীকরণ]] দেখুন। যদি অবস্থাটি স্বাধীন স্থানে বিবর্তিত হতে দেয়, তবে সময়-নির্ভর ভরবেগ এবং অবস্থান স্থান তরঙ্গ ফাংশনগুলো হবে
<math display="block">\Phi(p,t) = \left(\frac{x_0}{\hbar \sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \exp\left(\frac{-x_0^2 (p-p_0)^2}{2\hbar^2}-\frac{ip^2 t}{2m\hbar}\right),</math>
<math display="block">\Psi(x,t) = \left(\frac{1}{x_0 \sqrt{\pi}} \right)^{1/2} \frac{e^{-x_0^2 p_0^2 /2\hbar^2}}{\sqrt{1+i\omega_0 t}} \, \exp\left(-\frac{(x-ix_0^2 p_0/\hbar)^2}{2x_0^2 (1+i\omega_0 t)}\right).</math>

যেহেতু <math> \langle p(t) \rangle = p_0</math> এবং <math>\sigma_p(t) = \hbar /(\sqrt{2}x_0)</math>, এটি একটি কণার স্ট্যাটাস মুভমেন্ট হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যেটি স্থিতিশীল ভরবেগের সাথে যে কোনও পরিমাণে নির্ভুলতার সাথে চলছে। অন্যদিকে, অবস্থানের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতি হল
<math display="block">\sigma_x = \frac{x_0}{\sqrt{2}} \sqrt{1+\omega_0^2 t^2}</math>
এবং অনিশ্চয়তার গুণফল শুধুমাত্র সময়ের সাথে বৃদ্ধি পেতে পারে
<math display="block">\sigma_x(t) \sigma_p(t) = \frac{\hbar}{2} \sqrt{1+\omega_0^2 t^2}</math>

== গাণিতিক রূপ ==
কেনার্ডের অবস্থান-ভরবেগ অনিশ্চয়তার প্রমাণ থেকে শুরু করে, [[হাওয়ার্ড পার্সি রবের্টসন]] <ref name="Robertson1929">{{Citation|last=Robertson|first=H. P.|title=The Uncertainty Principle|journal=Phys. Rev. | year=1929|volume=34|issue=1|pages=163–164|bibcode = 1929PhRv...34..163R |doi = 10.1103/PhysRev.34.163 }}</ref><ref name=Sen2014/> একটি ফরমুলেশন তৈরি করেন যে তা [[স্ব-সহযোগী অপারেটর|হারমিটিয়ান অপারেটর]] অপারেটরগুলোকে তাদের স্ট্যান্ডার্ড বিচ্যুতির মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়
<math display="block">\sigma_{\mathcal{O}} = \sqrt{\langle \hat{\mathcal{O}}^2 \rangle-\langle \hat{\mathcal{O}}\rangle^2},</math>
যেখানে <math>\langle\hat{\mathcal{O}}\rangle</math> নির্দেশ করে অপারেটর <math>\hat{\mathcal{O}}</math> দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা পর্যবেক্ষণের একটি [[অপেক্ষা মান (কোয়ান্টাম মেকানিক্স)|অপেক্ষা মান]]। একটি অপারেটর দম্পতি <math>\hat{A}</math> এবং <math>\hat{B}</math> এর জন্য, তাদের কমিউটেটর সংজ্ঞায়িত করা হয়
<math display="block">[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A},</math>
রবার্টসন অস্থিরতা সম্পর্ক নিম্নরূপ দেওয়া হয়েছে <ref>{{Citation | last = Hall | first = B. C. | title = Quantum Theory for Mathematicians | publisher = Springer | year = 2013 | pages = 242–243 | bibcode = 2013qtm..book.....H }}</ref>
<math display="block">\sigma_A \sigma_B \geq \left| \frac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right| = \frac{1}{2}\left|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle \right|.</math>

[[এরউইন শ্রোডিঙ্গার]]<ref>Schrödinger, E., Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip, Berliner Berichte, 1930, pp. 296–303.</ref> অপারেটরগুলির মধ্যে সম্পর্কের জন্য এক শক্তিশালী সমীকরণ তৈরি করেন, যা '''রবার্টসন–শ্রোডিঙ্গার অস্থিরতা সম্পর্ক''' হিসেবে পরিচিত,<ref name="Schrodinger1930">{{Citation | last = Schrödinger |first = E. | title = Zum Heisenbergschen Unschärfeprinzip | journal = Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse | volume = 14 | pages = 296–303 | year = 1930}}</ref><ref name=Sen2014/>

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>\sigma_A^2\sigma_B^2 \geq \left| \frac{1}{2}\langle\{\hat{A}, \hat{B}\}\rangle - \langle \hat{A} \rangle\langle \hat{B}\rangle \right|^2+ \left|\frac{1}{2i} \langle[ \hat{A}, \hat{B}] \rangle\right|^2,</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

এখানে আন্তঃকমিউটেটর, <math>\{\hat{A},\hat{B}\}=\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}</math> ব্যবহৃত হয়।

{{math proof
|title=প্রমাণ শ্রোডিঙ্গার অস্থিরতা সম্পর্ক
|proof=
প্রমাণের এই অংশে রবার্টসন,<ref name="Robertson1929" /> শ্রোডিঙ্গার<ref name="Schrodinger1930" /> এবং স্ট্যান্ডার্ড টেক্সটবুক যেমন গ্রিফিথস<ref name="GriffithsSchroeter2018">{{Cite book |last1=Griffiths |first1=David J. |url=https://www.cambridge.org/highereducation/product/9781316995433/book |title=Introduction to Quantum Mechanics |last2=Schroeter |first2=Darrell F. |year=2018 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-1-316-99543-3 |edition=3rd |doi=10.1017/9781316995433 |bibcode=2018iqm..book.....G |access-date=2024-01-27 |archive-date=2024-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240223160131/https://www.cambridge.org/highereducation/books/introduction-to-quantum-mechanics/990799CA07A83FC5312402AF6860311E#overview |url-status=live }}</ref>{{rp|138}} থেকে তৈরি হয়েছে। যেকোনো হার্মিটিয়ান অপারেটর <math>\hat{A}</math> এর জন্য, [[ভিন্নতা]]র সংজ্ঞা থেকে, আমরা পাই
<math display="block"> \sigma_A^2 = \langle(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\Psi|(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\Psi\rangle. </math>
আমরা <math>|f\rangle=|(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\Psi\rangle </math> এবং সুতরাং
<math display="block"> \sigma_A^2 = \langle f\mid f\rangle\, .</math>

এভাবে, অন্য যেকোনো হার্মিটিয়ান অপারেটর <math> \hat{B} </math> এর জন্য একই স্থিতিতে
<math display="block"> \sigma_B^2 = \langle(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\Psi|(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\Psi\rangle = \langle g\mid g\rangle </math>
যেখানে <math> |g\rangle=|(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\Psi \rangle.</math>

এই দুইটি বিচ্যুতির গুণফল এখন লেখা যাবে

{{NumBlk|:|<math> \sigma_A^2\sigma_B^2 = \langle f\mid f\rangle\langle g\mid g\rangle. </math>|{{EquationRef|1}}}}

এই দুইটি ভেক্টরের মধ্যে সম্পর্ক তৈরি করার জন্য, আমরা [[কচি–শোয়ার্জ অসমতা]]<ref name="Riley2006">{{Citation | last = Riley | first = K. F. | author2 = M. P. Hobson and S. J. Bence | title = Mathematical Methods for Physics and Engineering | publisher = Cambridge | year = 2006 | page = 246 }}{{ISBN?}}</ref> ব্যবহার করি, যা সংজ্ঞায়িত হয়
<math display="block">\langle f\mid f\rangle\langle g\mid g\rangle \geq |\langle f\mid g\rangle|^2, </math>
এবং তাই সমীকরণ ({{EquationNote|1}}) লেখা যাবে

{{NumBlk|:|<math>\sigma_A^2\sigma_B^2 \geq |\langle f\mid g\rangle|^2.</math>|{{EquationRef|2}}}}

যেহেতু <math> \langle f\mid g\rangle</math> সাধারণত একটি জটিল সংখ্যা, আমরা জানি যে যেকোনো জটিল সংখ্যার <math>z</math> এর মডুলাস বর্গ হল <math>|z|^2=zz^{*}</math>, যেখানে <math>z^{*}</math> হল <math>z</math> এর জটিল কনজুগেট। মডুলাস বর্গও লিখিত হতে পারে

{{NumBlk|:|<math> |z|^2 = \Big(\operatorname{Re}(z)\Big)^2+\Big(\operatorname{Im}(z)\Big)^2 = \Big(\frac{z+z^\ast}{2}\Big)^2 +\Big(\frac{z-z^\ast}{2i}\Big)^2. </math>|{{EquationRef|3}}}}

এখন আমরা <math>z=\langle f\mid g\rangle</math> এবং <math>z^{*}=\langle g \mid f \rangle </math> রেখে এই সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং পাই

{{NumBlk|:|<math>|\langle f\mid g\rangle|^2 = \bigg(\frac{\langle f\mid g\rangle+\langle g\mid f\rangle}{2}\bigg)^2 + \bigg(\frac{\langle f\mid g\rangle-\langle g\mid f\rangle}{2i}\bigg)^2 </math>|{{EquationRef|4}}}}

আন্তঃপণ্য <math>\langle f\mid g\rangle </math> সোজাসুজি লিখতে হবে
<math display="block">\langle f\mid g\rangle = \langle(\hat{A}-\langle \hat{A} \rangle)\Psi|(\hat{B}-\langle \hat{B} \rangle)\Psi\rangle,</math>
এবং যেহেতু <math>\hat{A}</math> এবং <math>\hat{B}</math> হল হার্মিটিয়ান অপারেটর, আমরা পাই
<math display="block">
\begin{align}
\langle f\mid g\rangle & = \langle\Psi|(\hat{A}-\langle \hat{A}\rangle)(\hat{B}-\langle \hat{B}\rangle)\Psi\rangle \\[4pt]
& = \langle\Psi\mid(\hat{A}\hat{B}-\hat{A}\langle \hat{B}\rangle - \hat{B}\langle \hat{A}\rangle + \langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle)\Psi\rangle \\[4pt]
& = \langle\Psi\mid\hat{A}\hat{B}\Psi\rangle-\langle\Psi\mid\hat{A}\langle \hat{B}\rangle\Psi\rangle
-\langle\Psi\mid\hat{B}\langle \hat{A}\rangle\Psi\rangle+\langle\Psi\mid\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle\Psi\rangle \\[4pt]
& =\langle \hat{A}\hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle+\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle \\[4pt]
& =\langle \hat{A}\hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle.
\end{align}
</math>

এভাবেই প্রমাণ করা যায় যে <math>\langle g\mid f\rangle = \langle \hat{B}\hat{A}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle.</math>

অতএব, আমরা পাই
<math display="block">
\langle f\mid g\rangle-\langle g\mid f\rangle = \langle \hat{A}\hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle-\langle \hat{B}\hat{A}\rangle+\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle = \langle [\hat{A},\hat{B}]\rangle
</math>
এবং
<math display="block">\langle f\mid g\rangle+\langle g\mid f\rangle = \langle \hat{A}\hat{B}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle+\langle \hat{B}\hat{A}\rangle-\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle = \langle \{\hat{A},\hat{B}\}\rangle -2\langle \hat{A}\rangle\langle \hat{B}\rangle. </math>

এখন উপরের দুটি সমীকরণকে আবার সমীকরণ ({{EquationNote|4}}) তে প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই
<math display="block">|\langle f\mid g\rangle|^2=\Big(\frac{1}{2}\langle\{\hat{A},\hat{B}\}\rangle - \langle \hat{A} \rangle\langle \hat{B}\rangle\Big)^2 + \Big(\frac{1}{2i} \langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\Big)^{2}\, .</math>

এখন, উপরের সমীকরণকে সমীকরণ ({{EquationNote|2}}) তে প্রতিস্থাপন করে আমরা পাই শ্রোডিঙ্গার অস্থিরতা সম্পর্ক
<math display="block">\sigma_A\sigma_B \geq \sqrt{\Big(\frac{1}{2}\langle\{\hat{A},\hat{B}\}\rangle - \langle \hat{A} \rangle\langle \hat{B}\rangle\Big)^2 + \Big(\frac{1}{2i} \langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\Big)^2}.</math>

এই প্রমাণে একটি সমস্যা আছে<ref>{{Citation|last=Davidson|first=E. R.|title=On Derivations of the Uncertainty Principle|journal=J. Chem. Phys.|volume=42|year=1965|doi=10.1063/1.1696139|bibcode = 1965JChPh..42.1461D|issue=4|pages=1461–1462 }}</ref> যা সম্পর্কিত অপারেটরের ডোমেইন নিয়ে। প্রমাণটি সঠিকভাবে বোঝার জন্য, ভেক্টর <math> \hat{B} |\Psi \rangle</math> এর ডোমেইন <math> \hat{A}</math> অ-সীমাহীন অপারেটরের মধ্যে থাকতে হবে, যা সবসময় ঘটেনা। আসলে, রবার্টসন অস্থিরতা সম্পর্ক ভুল, যদি <math>\hat{A}</math> হয় একটি কোণিক ভেরিয়েবল এবং <math>\hat{B}</math> এর সাথে তার ডেরিভেটিভ। এই উদাহরণে, কমিউটেটর একটি অ-শূন্য ধ্রুবক—যেমন হেইসেনবার্গ অস্থিরতা সম্পর্কের মতো—এবং এমন কিছু অবস্থা আছে যেখানে অস্থিরতার গুণফল শূন্য।<ref name="Hall2013"/> (নিম্নে কাউন্টারএক্সাম্পল সেকশন দেখুন)। এই সমস্যা একটি [[ভেরিয়েশনাল পদ্ধতি]] ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে,<ref name="Jackiw">{{Citation|last=Jackiw| first=Roman|title=Minimum Uncertainty Product, Number-Phase Uncertainty Principle, and Lorentz Covariant Current |journal=Nucl. Phys. |volume= 595|pages= 50–68|year=2001}}</ref> তবে এটি প্রমাণে খোলাখুলি করা হয়নি।
রবার্টসন-শ্রেডিঙ্গার অনিশ্চয়তা সম্পর্কের সাধারণ রূপে, এটা ধরে নেওয়ার দরকার নেই যে অপারেটরগুলো <math>\hat{A}</math> এবং <math>\hat{B}</math> [[Self-adjoint operator#Self-adjoint operators|স্ব-অধিকারী অপারেটর]]। যথেষ্ট যে তারা [[Self-adjoint operator#Symmetric operators|সাম্প্রতিক অপারেটর]] হতে পারে। (এই দুটি ধারণার মধ্যে পার্থক্য সাধারণত পদার্থবিজ্ঞানে উপেক্ষিত হয়, যেখানে শব্দ ''হারমিটীয়ান'' উভয় শ্রেণীর অপারেটরের জন্য ব্যবহৃত হয়। বিস্তারিত আলোচনা জন্য হ্যালের বইয়ের চ্যাপ্টার ৯ দেখুন<ref>{{Citation | last = Hall | first = B. C. | title = Quantum Theory for Mathematicians | publisher = Springer | year = 2013 | bibcode = 2013qtm..book.....H }}</ref>।)

=== ফেজ স্পেস ===
কোয়ান্টাম মেকানিক্সের [[ফেজ স্পেস]] রূপে, রবার্টসন-শ্রেডিঙ্গার সম্পর্ক একটি বাস্তব তারার-বর্গ ফাংশনের পজিটিভিটি শর্ত থেকে উদ্ভূত হয়। একটি [[Wigner quasi-probability distribution|Wigner ফাংশন]] <math>W(x,p)</math> এবং একটি ফাংশন ''f'' দিয়ে, সাধারণত নিচেরটি সত্য:<ref>{{Cite journal | last1 = Curtright | first1 = T. |last2= Zachos | first2= C. | title = Negative Probability and Uncertainty Relations| journal = Modern Physics Letters A | volume = 16 | issue = 37 | pages = 2381–2385 | doi = 10.1142/S021773230100576X | year = 2001 |arxiv = hep-th/0105226 |bibcode = 2001MPLA...16.2381C | s2cid = 119669313 }}</ref>
<math display="block">\langle f^* \star f \rangle =\int (f^* \star f) \, W(x,p) \, dx \, dp \ge 0 ~.</math>

যদি <math>f = a + bx + cp</math> নেওয়া হয়, তাহলে আমরা পাই
<math display="block">\langle f^* \star f \rangle =\begin{bmatrix}a^* & b^* & c^* \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & \langle x \rangle & \langle p \rangle \\ \langle x \rangle & \langle x \star x \rangle & \langle x \star p \rangle \\ \langle p \rangle & \langle p \star x \rangle & \langle p \star p \rangle \end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\ b \\ c\end{bmatrix} \ge 0 ~.</math>

যেহেতু এই পজিটিভিটি শর্তটি ''সকল'' ''a'', ''b'', এবং ''c'' এর জন্য সত্য, এর থেকে স্পষ্ট যে মেট্রিকের সব ইজেনভ্যালু নন-নেগেটিভ হবে।

নন-নেগেটিভ ইজেনভ্যালুগুলো পরে [[ডিটারমিন্যান্ট]] এর জন্য একটি নন-নেগেটিভ শর্ত প্রদান করে,
<math display="block">\det\begin{bmatrix}1 & \langle x \rangle & \langle p \rangle \\ \langle x \rangle & \langle x \star x \rangle & \langle x \star p \rangle \\ \langle p \rangle & \langle p \star x \rangle & \langle p \star p \rangle \end{bmatrix}
= \det\begin{bmatrix}1 & \langle x \rangle & \langle p \rangle \\ \langle x \rangle & \langle x^2 \rangle & \left\langle xp + \frac{i\hbar}{2} \right\rangle \\ \langle p \rangle & \left\langle xp - \frac{i\hbar}{2} \right\rangle & \langle p^2 \rangle \end{bmatrix}
\ge 0~,</math>
অথবা, গাণিতিকভাবে পরবর্তী রূপে,
<math display="block">\sigma_x^2 \sigma_p^2 = \left( \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle^2 \right)\left( \langle p^2 \rangle - \langle p \rangle^2 \right)\ge \left( \langle xp \rangle - \langle x \rangle \langle p \rangle \right)^2 + \frac{\hbar^2}{4} ~.</math>

=== উদাহরণ ===
যেহেতু রবার্টসন এবং শ্রেডিঙ্গার সম্পর্ক সাধারণ অপারেটরের জন্য, এই সম্পর্কগুলো যে কোনো দুটি অবজার্ভেবলসের উপর প্রয়োগ করা যেতে পারে এবং নির্দিষ্ট অনিশ্চয়তা সম্পর্ক পাওয়া যায়। কিছু সাধারণ সম্পর্ক এখানে দেওয়া হলো:
* '''পজিশন-লিনিয়ার মোমেন্টাম অনিশ্চয়তা সম্পর্ক''': পজিশন এবং লিনিয়ার মোমেন্টাম অপারেটরের জন্য, ক্যানোনিক্যাল কমিউটেশন সম্পর্ক <math>[\hat{x}, \hat{p}] = i\hbar</math> উপরের কেনার্ড অসমতা উৎপন্ন করে: <math display="block">\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}.</math>
* '''অ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম অনিশ্চয়তা সম্পর্ক''': একটি বস্তুটির [[অ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম|মোট অ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম]] অপারেটরের দুটি অরথোগনাল উপাদানের জন্য: <math display="block">\sigma_{J_i} \sigma_{J_j} \geq \frac{\hbar}{2} \big|\langle J_k\rangle\big|,</math> যেখানে ''i'', ''j'', ''k'' পৃথক, এবং ''J''<sub>''i''</sub> একটি নির্দিষ্ট অক্ষের বরাবর অ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম নির্দেশ করে। এই সম্পর্ক থেকে এটা বোঝায় যে যতক্ষণ না সব তিনটি উপাদান একসাথে শূন্য হয়, ততক্ষণ একটি সিস্টেমের অ্যাঙ্গুলার মোমেন্টামের একক উপাদানকেই নির্দিষ্ট নির্ভুলতা সহ অনুমান করা যায়, সাধারণত বাহ্যিক (চৌম্বক বা বৈদ্যুতিক) ক্ষেত্রের বরাবর। তাছাড়া, <math>[J_x, J_y] = i \hbar \varepsilon_{xyz} J_z</math> থেকে, ''J'' মুলিপলেটের মধ্যে অপারেটর <math>\hat{A} = J_x</math>, <math>\hat{B} = J_y</math> নির্বাচন করলে, ''ψ'' = |''j'', ''m''⟩, [[Casimir invariant]] (অ্যাঙ্গুলার মোমেন্টাম বর্গ, <math>\langle J_x^2+ J_y^2 + J_z^2 \rangle</math>) এর উপর নিম্নতর সীমাবদ্ধতা দেয় এবং এর ফলে এমন কিছু নিয়ম পাওয়া যায় যেমন {{nobr|''j''(''j'' + 1) ≥ ''m''(''m'' + 1)}}, এবং তাই ''j'' ≥ ''m''।

* [[সুপারকন্ডাক্টর]]-এ ইলেকট্রনের সংখ্যা এবং এর [[ফেজ ফ্যাক্টর|ফেজ]] সম্পর্কে [[Ginzburg–Landau theory|Ginzburg–Landau অর্ডার প্যারামিটার]]<ref>{{Citation |last=Likharev |first=K. K. |author2=A. B. Zorin |title=Theory of Bloch-Wave Oscillations in Small Josephson Junctions |journal=J. Low Temp. Phys. |volume=59 |issue=3/4 |pages=347–382 |year=1985 |doi=10.1007/BF00683782 |bibcode=1985JLTP...59..347L|s2cid=120813342 }}</ref><ref>{{Citation |first=P. W. |last=Anderson |editor-last=Caianiello |editor-first=E. R. |contribution=Special Effects in Superconductivity |title=Lectures on the Many-Body Problem, Vol. 2 |year=1964 |place=New York |publisher=Academic Press}}</ref> <math display="block"> \Delta N \, \Delta \varphi \geq 1. </math>

=== সীমাবদ্ধতা ===
রবার্টসন অসামান্যতা সম্পর্কের প্রাপ্তি <math>\hat{A}</math> এবং <math>\hat{B}</math> অপারেটরের জন্য <math>\hat{A}\hat{B}\psi</math> এবং <math>\hat{B}\hat{A}\psi</math> এর সংজ্ঞা থাকতে হবে। কিছু কোয়ান্টাম সিস্টেমে এই শর্তগুলি সঠিক নয়।<ref>{{Cite journal |last=Davidson |first=Ernest R. |date=1965-02-15 |title=On Derivations of the Uncertainty Principle |url=https://pubs.aip.org/jcp/article/42/4/1461/208937/On-Derivations-of-the-Uncertainty-Principle |journal=The Journal of Chemical Physics |language=en |volume=42 |issue=4 |pages=1461–1462 |doi=10.1063/1.1696139 |bibcode=1965JChPh..42.1461D |issn=0021-9606 |access-date=2024-01-20 |archive-date=2024-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240223160247/https://pubs.aip.org/aip/jcp/article-abstract/42/4/1461/208937/On-Derivations-of-the-Uncertainty-Principle?redirectedFrom=fulltext |url-status=live }}</ref>
একটি উদাহরণ হলো কোয়ান্টাম [[রিং-এ কণা|রিংয়ে কণা]] যেখানে তরঙ্গ ফাংশন একটি কোণীয় ভেরিয়েবল <math>\theta</math> দ্বারা নির্ভরশীল, যা <math>[0,2\pi]</math> সীমার মধ্যে থাকে। ''পজিশন'' এবং ''মোমেন্টাম'' অপারেটরগুলো <math>\hat{A}</math> এবং <math>\hat{B}</math> এর সংজ্ঞা দেওয়া হয়
<math display="block">\hat{A}\psi(\theta)=\theta\psi(\theta),\quad \theta\in [0,2\pi],</math>
এবং
<math display="block">\hat{B}\psi=-i\hbar\frac{d\psi}{d\theta},</math>
যেখানে <math>\hat{B}</math> এর জন্য কোণীয় সীমার মধ্যে পিরিয়ডিক সীমাবদ্ধতা আছে। এই অপারেটরগুলো সাধারণভাবে পজিশন এবং মোমেন্টাম অপারেটরের জন্য সচরাচর কমিউটেশন সম্পর্কগুলো পূর্ণ করে, <math>[\hat{A}, \hat{B}]=i\hbar</math>। তবে <math>\hat{A}\hat{B}\psi-\hat{B}\hat{A}\psi=i\hbar\psi</math> তখনই সত্য যখন <math>\hat{A}\hat{B}\psi</math> এবং <math>\hat{B}\hat{A}\psi</math> উভয়ের সংজ্ঞা থাকে, এবং এমন <math>\psi</math> এর জন্য এটি কোয়ান্টাম হিলবার্ট স্পেসের ঘন উপস্পেস।

এখন যদি <math>\psi</math> হবে <math>\hat{B}</math> এর কোনো ইজেনস্টেট, যেগুলোর গঠন <math>\psi(\theta)=e^{2\pi in\theta}</math> হয়। এই স্টেটগুলো সাধারণত সাভাবিকীকরণযোগ্য, যেহেতু মোমেন্টাম অপারেটরের ইজেনস্টেটগুলো রৈখিক সীমায় নয়। তাছাড়া, অপারেটর <math>\hat{A}</math> সীমানাবদ্ধ, কারণ <math>\theta</math> একটি সীমানাবদ্ধ পরিসরে থাকে। এইভাবে, স্টেট <math>\psi</math> এ, <math>B</math> এর অনিশ্চয়তা শূন্য এবং <math>A</math> এর অনিশ্চয়তা সীমাবদ্ধ, ফলে
<math display="block">\sigma_A\sigma_B=0.</math>
রবার্টসন অনিশ্চয়তা সম্পর্ক এই ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়: <math>\psi</math> অপারেটর <math>\hat{B}\hat{A}</math> এর ডোমেইনে নেই, কারণ <math>\theta</math> দ্বারা গুণ করলে <math>\hat{B}</math> এর পিরিয়ডিক সীমাবদ্ধতা বিপর্যস্ত হয়ে যায়।<ref name="Hall2013">{{Citation | last = Hall | first = B. C. | title = Quantum Theory for Mathematicians | publisher = Springer | year = 2013 | pages = 245 | bibcode = 2013qtm..book.....H }}</ref>

সাধারণ পজিশন এবং মোমেন্টাম অপারেটরগুলো <math>\hat{X}</math> এবং <math>\hat{P}</math> যদি বাস্তব রেখায় থাকে, তাহলে এমন কোন প্রতিকূল উদাহরণ হতে পারে না। যতদিন <math>\sigma_x</math> এবং <math>\sigma_p</math> স্টেট <math>\psi</math> তে সংজ্ঞায়িত থাকে, হেইজেনবার্গ অনিশ্চয়তা সম্পর্ক প্রযোজ্য থাকবে, এমনকি যদি <math>\psi</math> <math>\hat{X}\hat{P}</math> বা <math>\hat{P}\hat{X}</math> এর ডোমেইনে না থাকে।<ref>{{Citation | last = Hall | first = B. C. | title = Quantum Theory for Mathematicians | publisher = Springer | year = 2013 | pages = 246 | bibcode = 2013qtm..book.....H }}</ref>
=== মিক্সড স্টেটস ===

রবার্টসন-শ্রেডিঙ্গার আনসার্টেনটি উন্নত করা যেতে পারে যদি আমরা মনে রাখি যে এটি সব উপাদান <math>\varrho_k</math> এর জন্য প্রযোজ্য যা কোনো ডেনসিটি ম্যাট্রিক্সের যে কোনো ডিকমপোজিশনে পাওয়া যায়, যেমন
<math display="block">
\varrho=\sum_k p_k \varrho_k.
</math>
এখানে, <math>p_k\ge0</math> এবং <math>\sum_k p_k=1</math> শর্তগুলি পূর্ণ হয়। তখন, সম্পর্ক ব্যবহার করে
<math display="block">
\sum_k a_k \sum_k b_k \ge \left(\sum_k \sqrt{a_k b_k}\right)^2
</math>
যেখানে <math>a_k,b_k\ge 0</math>,
এটি অনুসরণ করা যায় যে<ref name="PhysRevResearch21">{{cite journal |last1=Tóth |first1=Géza |last2=Fröwis |first2=Florian |title=Uncertainty relations with the variance and the quantum Fisher information based on convex decompositions of density matrices |journal=Physical Review Research |date=31 January 2022 |volume=4 |issue=1 |pages=013075 |doi=10.1103/PhysRevResearch.4.013075|arxiv=2109.06893 |bibcode=2022PhRvR...4a3075T |s2cid=237513549 }}</ref>
<math display="block">
\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left[\sum_k p_k L(\varrho_k)\right]^2,
</math>
যেখানে বাউন্ডের ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে
<math display="block">
L(\varrho) = \sqrt{\left | \frac{1}{2}\operatorname{tr}(\rho\{A,B\}) - \operatorname{tr}(\rho A)\operatorname{tr}(\rho B)\right |^2 +\left | \frac{1}{2i} \operatorname{tr}(\rho[A,B])\right | ^2}.
</math>
উপরের সম্পর্কটি প্রায়ই মূল রবার্টসন-শ্রেডিঙ্গার আনসার্টেনটির তুলনায় বড় বাউন্ড দেয়। অতএব, আমাদের মিশ্র উপাদানগুলির জন্য রবার্টসন-শ্রেডিঙ্গার আনসার্টেনটির বাউন্ড গণনা করতে হবে, একক কোয়ান্টাম স্টেটের জন্য নয়, এবং তাদের স্কয়ার রুটের গড় হিসাব করতে হবে। নিম্নলিখিত প্রকাশটি রবার্টসন-শ্রেডিঙ্গার আনসার্টেনটির তুলনায় শক্তিশালী
<math display="block">
\sigma_A^2 \sigma_B^2 \geq \left[\max_{p_k,\varrho_k} \sum_k p_k L(\varrho_k)\right]^2,
</math>
এখানে ডেনসিটি ম্যাট্রিক্সের ডিকমপোজিশনের জন্য রাইট-হ্যান্ড সাইডে একটি কনকেভ রুফ রয়েছে।
উপরের উন্নত সম্পর্কটি সমস্ত একক-কিউবিট কোয়ান্টাম স্টেট দ্বারা সন্তুষ্ট হয়।<ref name="PhysRevResearch21" />

সাদৃশ্যপূর্ণ যুক্তি দিয়ে, একজন কনভেক্স রুফের সাথে একটি সম্পর্ক বের করা যায়<ref name="PhysRevResearch21" />
<math display="block">
\sigma_A^2 F_Q[\varrho,B] \geq 4 \left[\min_{p_k,\Psi_k} \sum_k p_k L(\vert \Psi_k\rangle\langle \Psi_k\vert)\right]^2
</math>
এখানে <math>F_Q[\varrho,B]</math> কোয়ান্টাম ফিশার ইনফরমেশন নির্দেশ করে এবং ডেনসিটি ম্যাট্রিক্সটি বিশুদ্ধ স্টেটে ডিকমপোজ করা হয়েছে যেমন
<math display="block">
\varrho=\sum_k p_k \vert \Psi_k\rangle \langle \Psi_k\vert.
 </math>
এই প্রমাণে এটি উপকারে এসেছে যে কোয়ান্টাম ফিশার ইনফরমেশন হল ভ্যারিয়ান্সের কনভেক্স রুফ গুণিতক চার।<ref>{{cite journal |last1=Tóth |first1=Géza |last1=Petz |first2=Dénes |title=Extremal properties of the variance and the quantum Fisher information |journal=Physical Review A |date=20 March 2013 |volume=87 |issue=3 |pages=032324 |doi=10.1103/PhysRevA.87.032324|arxiv=1109.2831 |s2cid=55088553 }}</ref><ref>{{cite arXiv |last1=Yu |first1=Sixia |title=Quantum Fisher Information as the Convex Roof of Variance |date=2013 |eprint=1302.5311|class=quant-ph }}</ref>

একটি সহজ অসমতা ছাড়া কনভেক্স রুফের<ref>{{cite journal |last1=Fröwis |first1=Florian |last2=Schmied |first2=Roman |last3=Gisin |first3=Nicolas |title=Tighter quantum uncertainty relations following from a general probabilistic bound |journal=Physical Review A |date=2 July 2015 |volume=92 |issue=1 |pages=012102 |doi=10.1103/PhysRevA.92.012102|arxiv=1409.4440 |bibcode=2015PhRvA..92a2102F |s2cid=58912643 }}</ref>
<math display="block">
\sigma_A^2 F_Q[\varrho,B] \geq \vert \langle i[A,B]\rangle\vert^2,
</math>
যা হাইজেনবার্গ আনসার্টেনটির চেয়ে শক্তিশালী, কারণ কোয়ান্টাম ফিশার ইনফরমেশনের জন্য
<math display="block">
F_Q[\varrho,B]\le 4 \sigma_B,
</math>
যেখানে বিশুদ্ধ স্টেটগুলির জন্য সমতা প্রযোজ্য।

=== ম্যাককোন-পাতি আনসার্টেনটি সম্পর্ক ===
রবার্টসন-শ্রেডিঙ্গার আনসার্টেনটি তুচ্ছ হতে পারে যদি সিস্টেমের স্টেটটি এক পর্যবেক্ষণের ইজেনস্টেট হতে বেছে নেওয়া হয়। লরেঞ্জো ম্যাককোন এবং [[অরুণ ক. পতি]] দ্বারা প্রমাণিত শক্তিশালী আনসার্টেনটি সম্পর্ক দুটি অসম্পূর্ণ পর্যবেক্ষণের জন্য ভ্যারিয়ান্সের যোগফল উপর অ-তুচ্ছ বাউন্ড দেয়।<ref>{{cite journal|last1=Maccone|first1=Lorenzo|last2=Pati|first2=Arun K.|title=Stronger Uncertainty Relations for All Incompatible Observables|journal=Physical Review Letters|date=31 December 2014|volume=113| issue=26|page=260401|doi=10.1103/PhysRevLett.113.260401|pmid=25615288|arxiv=1407.0338|bibcode=2014PhRvL.113z0401M|s2cid=21334130 }}</ref> (আগ্রহজনকভাবে, ভ্যারিয়ান্স ভিত্তিক পূর্বের কাজগুলি যেমন, উদাহরণস্বরূপ রেফ. <ref>{{cite journal |last1=Huang |first1=Yichen |title=Variance-based uncertainty relations |journal=Physical Review A |date=10 August 2012 |volume=86 |issue=2 |page=024101 |doi=10.1103/PhysRevA.86.024101|arxiv=1012.3105 |bibcode=2012PhRvA..86b4101H |s2cid=118507388 }}</ref> ইয়িচেন হুয়াং-এর কাজ।) দুটি নন-কোমিউটিং পর্যবেক্ষণের জন্য <math>A</math> এবং <math>B</math> প্রথম শক্তিশালী আনসার্টেনটি সম্পর্ক হল
<math display="block"> \sigma_{A}^2 + \sigma_{ B}^2 \ge \pm i \langle \Psi\mid [A, B]|\Psi \rangle + \mid \langle \Psi\mid(A \pm i B)\mid{\bar \Psi} \rangle|^2, </math>
যেখানে <math> \sigma_{A}^2 = \langle \Psi |A^2 |\Psi \rangle - \langle \Psi \mid A \mid \Psi \rangle^2 </math>, <math> \sigma_{B}^2 = \langle \Psi |B^2 |\Psi \rangle - \langle \Psi \mid B \mid\Psi \rangle^2 </math>, <math>|{\bar \Psi} \rangle </math> হলো একটি স্বাভাবিকীকৃত ভেক্টর যা সিস্টেমের স্টেট <math>|\Psi \rangle </math> এর আর্থোগোনাল এবং আপনাকে <math>\pm i \langle \Psi\mid[A, B]\mid\Psi \rangle </math> এর চিহ্ন বেছে নিতে হবে যাতে এটি একটি বাস্তব সংখ্যা হয়।

দ্বিতীয় শক্তিশালী আনসার্টেনটি সম্পর্ক হল
<math display="block"> \sigma_A^2 + \sigma_B^2 \ge \frac{1}{2}| \langle {\bar \Psi}_{A+B} \mid(A + B)\mid \Psi \rangle|^2 </math>
যেখানে <math>| {\bar \Psi}_{A+B} \rangle </math> একটি স্টেট যা <math> |\Psi \rangle </math> এর আর্থোগোনাল।
এখানে <math>| {\bar \Psi}_{A+B} \rangle </math> এর ফর্ম এর অর্থ হল যে নতুন আনসার্টেনটি সম্পর্কের রাইট-হ্যান্ড সাইড শূন্য নয় যদি না <math>| \Psi\rangle </math> <math>(A + B)</math> এর একটি ইজেনস্টেট হয়। এটি লক্ষ্য করা যায় যে <math>|\Psi \rangle </math> একটি <math>( A+ B)</math> এর ইজেনস্টেট হতে পারে তবে এটি <math> A</math> অথবা <math> B </math> এর ইজেনস্টেট নাও হতে পারে। তবে, যখন <math> |\Psi \rangle </math> দুটি পর্যবেক্ষণের মধ্যে একটি পর্যবেক্ষণের ইজেনস্টেট হয় তখন হাইজেনবার্গ-শ্রেডিঙ্গার আনসার্টেনটি সম্পর্ক তুচ্ছ হয়ে যায়। কিন্তু নতুন সম্পর্কের নিম্ন বাউন্ড শূন্য নয় যদি না <math> |\Psi \rangle </math> উভয় পর্যবেক্ষণের ইজেনস্টেট হয়।

== শক্তি–সময় ==
{{anchor|সময়–শক্তি অনিশ্চয়তা সম্পর্ক}}
একটি শক্তি–সময় অনিশ্চয়তা সম্পর্ক যেমন
<math display="block"> \Delta E \Delta t \gtrsim \hbar/2,</math> এর একটি দীর্ঘ, বিতর্কিত ইতিহাস রয়েছে; <math>\Delta t</math> এবং <math>\Delta E</math> এর মান বিভিন্ন জায়গায় পরিবর্তিত হয় এবং বিভিন্ন উপস্থাপনার মধ্যে এর বৈধতা আলাদা হতে পারে।<ref name="Busch2002">{{Cite book |last=Busch |first=Paul |url=http://link.springer.com/10.1007/3-540-45846-8_3 |title=Quantum Mechanics এ সময়: লেকচার নোটস |date=2002 |publisher=Springer Berlin Heidelberg |isbn=978-3-540-43294-4 |editor-last=Muga |editor-first=J. G. |volume=72 |location=Berlin, Heidelberg |pages=69–98 |language=en |chapter=The Time-Energy Uncertainty Relation |doi=10.1007/3-540-45846-8_3 |editor-last2=Mayato |editor-first2=R. Sala |editor-last3=Egusquiza |editor-first3=I. L.}}</ref> তবে, একটি well-known প্রয়োগ রয়েছে যা প্রতিষ্ঠিত<ref>{{Cite book |last=Wigner |first=E. P. |chapter=On the Time–Energy Uncertainty Relation |date=1997 |editor-last=Wightman |editor-first=Arthur S. |title=Part I: Particles and Fields. Part II: Foundations of Quantum Mechanics |chapter-url=http://link.springer.com/10.1007/978-3-662-09203-3_58 |language=en |location=Berlin, Heidelberg |publisher=Springer Berlin Heidelberg |pages=538–548 |doi=10.1007/978-3-662-09203-3_58 |isbn=978-3-642-08179-8}}</ref><ref name=Hilgevoord/> এবং পরীক্ষামূলকভাবে প্রমাণিত:<ref>{{Cite journal |last1=Lynch |first1=F. J. |last2=Holland |first2=R. E. |last3=Hamermesh |first3=M. |date=1960-10-15 |title=Time Dependence of Resonantly Filtered Gamma Rays from Fe 57 |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.120.513 |journal=Physical Review |language=en |volume=120 |issue=2 |pages=513–520 |doi=10.1103/PhysRev.120.513 |issn=0031-899X}}</ref><ref>{{cite book
 | last = Frauenfelder |first=H.
 | year = 1962
 | title = The Mössbauer Effect
 | url = https://archive.org/details/mssbauereffec00frau | publisher = [[W. A. Benjamin]]
 | lccn = 61018181|page=66
}}</ref> যে সংযোগটি একটি রেজোন্যান্স স্থিতির জীবনকাল, <math>\tau_{\sqrt{1/2}}</math> এবং তার শক্তির প্রস্থ <math>\Delta E</math> এর মধ্যে:
<math display=block>\tau_{\sqrt{1/2}} \Delta E = \pi\hbar/4.</math>
অণু-ভৌত কণা পদার্থবিদ্যায়, পরীক্ষামূলক ফিটিংয়ের মাধ্যমে Breit–Wigner শক্তি বন্টন ব্যবহার করে কোয়াসি-স্টেবল বা অপসারণশীল অবস্থাগুলির জীবনকাল চিহ্নিত করা হয়।<ref>{{Cite journal |last1=Bohm |first1=Arno R. |last2=Sato |first2=Yoshihiro |date=2005-04-28 |title=Relativistic resonances: Their masses, widths, lifetimes, superposition, and causal evolution |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.71.085018 |journal=Physical Review D |language=en |volume=71 |issue=8 |page=085018 |arxiv=hep-ph/0412106 |doi=10.1103/PhysRevD.71.085018 |bibcode=2005PhRvD..71h5018B |s2cid=119417992 |issn=1550-7998}}</ref>

এই নীতির একটি অবৈজ্ঞানিক, হিউরিস্টিক মানে হল:<ref>Karplus, Martin, and Porter, Richard Needham (1970). ''Atoms and Molecules''. California: Benjamin Cummings. p. 68 {{ISBN|978-0805352184}}. {{oclc|984466711}}</ref> একটি অবস্থা যা খুব কম সময় বিদ্যমান থাকে, তার একটি নির্দিষ্ট শক্তি থাকতে পারে না। একটি নির্দিষ্ট শক্তি থাকতে, অবস্থাটির ফ্রিকোয়েন্সি সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হওয়া প্রয়োজন, এবং এর জন্য অবস্থাটির বহু চক্র থাকা প্রয়োজন, যা সঠিকতার বিপরীত। উদাহরণস্বরূপ, [[ইলেকট্রোম্যাগনেটিক স্পেকট্রোস্কপি|স্পেকট্রোস্কপিতে]], উত্তেজিত অবস্থাগুলির একটি সীমিত জীবনকাল থাকে। সময়–শক্তি অনিশ্চয়তা নীতি অনুসারে, তাদের একটি নির্দিষ্ট শক্তি থাকে না, এবং, প্রতিবার তারা অবনমিত হলে, তারা যে শক্তি মুক্তি দেয় তা কিছুটা আলাদা হয়। আসল শক্তির সাথে গতিপথের শিখর থাকে, কিন্তু বন্টনটি একটি সীমিত প্রস্থ পায়, যা [[স্পেকট্রাল লাইনউইথ|প্রাকৃতিক লাইনউইথ]] নামে পরিচিত। দ্রুত অবনমিত অবস্থাগুলির একটি প্রশস্ত লাইনউইথ থাকে, যখন ধীরে ধীরে অবনমিত অবস্থাগুলির একটি সংকীর্ণ লাইনউইথ থাকে।<ref>দ্রুত অবনমিত অবস্থাগুলির প্রশস্ত লাইনউইথ তাদের শক্তি সঠিকভাবে পরিমাপ করা কঠিন করে তোলে, এবং গবেষকরা এমনকি মাইক্রোওয়েভ ক্যাভিটি ব্যবহার করেছেন যা অবনমিতির হার কমিয়ে, আরও তীক্ষ্ণ শিখর পেতে। {{Cite journal |last=Gabrielse |first=Gerald |author2=H. Dehmelt |title=Observation of Inhibited Spontaneous Emission |journal=Physical Review Letters |volume=55 |pages=67–70 |year=1985 |doi=10.1103/PhysRevLett.55.67 |pmid=10031682 |issue=1 |bibcode=1985PhRvL..55...67G}}</ref> একই লাইনউইথ প্রভাবটি অনিশ্চিত এবং দ্রুত অবনমিত কণার [[বিশ্রাম ভর|বিশ্রাম ভর]] নির্দিষ্ট করা কঠিন করে তোলে। যত দ্রুত [[কণা অবনমিত]] হয় (যত কম তার জীবনকাল), তত কম নিশ্চিত তার ভর (যত বড় কণার [[রেজোন্যান্স (কণা পদার্থবিজ্ঞান)|প্রস্থ]])।
=== কোয়ান্টাম যান্ত্রিকতায় সময় ===
কোয়ান্টাম যান্ত্রিকতায় "সময়" ধারণাটি অনেক চ্যালেঞ্জ সৃষ্টি করে।<ref name=HilgevoordConfusion/> এখানে সময় পরিমাপের কোনো কোয়ান্টাম তত্ত্ব নেই; আপেক্ষিকতা সময়ের জন্য মৌলিক হলেও, এটি কোয়ান্টাম যান্ত্রিকতায় অন্তর্ভুক্ত করা কঠিন।<ref name="Busch2002"/> যেখানে অবস্থান এবং গতি একক কণার সাথে সম্পর্কিত, সময় একটি সিস্টেমের গুণাবলী: এর জন্য রবার্টসন–শ্রেডিঙ্গার সম্পর্কের মতো কোনো অপারেটর প্রয়োজন হয় না।<ref name=Sen2014/> স্থিতিশীল এবং অস্থিতিশীল কোয়ান্টাম সিস্টেমের গাণিতিক বিশ্লেষণ আলাদা।<ref>{{Cite journal |last=Bohm |first=Arno |date=January 2011 |title=Resonances/decaying states and the mathematics of quantum physics |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0034487711600189 |journal=Reports on Mathematical Physics |language=en |volume=67 |issue=3 |pages=279–303 |doi=10.1016/S0034-4877(11)60018-9 |bibcode=2011RpMP...67..279B |access-date=2024-01-24 |archive-date=2023-12-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20231204062259/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0034487711600189 |url-status=live }}</ref> এসব বিষয় মিলিয়ে এনার্জি–টাইম অনিশ্চয়তা সম্পর্কটি বিতর্কিত হয়ে উঠেছে।

"সময়" এর তিনটি ধারণা আলাদা করা যায়:<ref name="Busch2002"/> বাহ্যিক, অন্তর্নিহিত এবং পর্যবেক্ষণযোগ্য। বাহ্যিক বা ল্যাবরেটরি সময় এক্সপেরিমেন্টার দ্বারা দেখা হয়; অন্তর্নিহিত সময় গতিশীল পরিবর্তনশীলতাগুলোর মাধ্যমে অনুমান করা হয়, যেমন ঘড়ির কাটার চলাচল বা একটি মুক্ত কণার গতি; পর্যবেক্ষণযোগ্য সময়ের মধ্যে রয়েছে সময়ের মধ্যে দুইটি ঘটনার পরিমাপ।

একটি বাহ্যিক-সময়ের এনার্জি–টাইম অনিশ্চয়তা সম্পর্ক বলতেই পারে যে, একটি কোয়ান্টাম সিস্টেমের এনার্জি পরিমাপের জন্য একটি সঠিকতা \(\Delta E\) প্রয়োজন, যার জন্য সময়ের একটি নির্দিষ্ট সময়সীমা \(\Delta t > h/\Delta E\) থাকতে হবে।<ref name=Hilgevoord>{{Cite journal |last=Hilgevoord |first=Jan |date=1996-12-01 |title=The uncertainty principle for energy and time |url=https://pubs.aip.org/ajp/article/64/12/1451/1054748/The-uncertainty-principle-for-energy-and-time |journal=American Journal of Physics |language=en |volume=64 |issue=12 |pages=1451–1456 |doi=10.1119/1.18410 |bibcode=1996AmJPh..64.1451H |issn=0002-9505 |access-date=2023-11-12 |archive-date=2024-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240223155750/https://pubs.aip.org/aapt/ajp/article-abstract/64/12/1451/1054748/The-uncertainty-principle-for-energy-and-time?redirectedFrom=fulltext |url-status=live }}</ref> তবে [[ইয়াকির আহরণোভ]] এবং [[ডেভিড বোহম]]<ref>{{Cite journal |url=http://148.216.10.84/archivoshistoricosMQ/ModernaHist/Aharonov%20a.pdf |title=Time in the Quantum Theory and the Uncertainty Relation for Time and Energy |journal=Physical Review |volume=122 |issue=5 |date=June 1, 1961 |first1=Y. |last1=Aharonov |first2=D. |last2=Bohm |pages=1649–1658 |doi=10.1103/PhysRev.122.1649 |bibcode=1961PhRv..122.1649A |access-date=2012-01-21 |archive-date=2014-01-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20140109081758/http://148.216.10.84/archivoshistoricosMQ/ModernaHist/Aharonov%20a.pdf |url-status=dead }}</ref><ref name="Busch2002"/> দেখিয়েছেন যে, কিছু কোয়ান্টাম সিস্টেমে, সময়ের যেকোনো ছোট সময়সীমায় এনার্জি সঠিকভাবে পরিমাপ করা সম্ভব; বাহ্যিক-সময়ের অনিশ্চয়তা সম্পর্ক সর্বজনীন নয়।

অন্তর্নিহিত সময়ের ভিত্তিতে অনেক এনার্জি–টাইম অনিশ্চয়তা সম্পর্কের গঠন করা হয়েছে, যার মধ্যে মানডেলস্ট্যাম–ট্যাম সম্পর্কও রয়েছে, যা পরবর্তী সেকশনে আলোচনা করা হবে। একটি শারীরিক সিস্টেম যার অন্তর্নিহিত সময় বাহ্যিক ল্যাবরেটরি সময়ের সঙ্গে খুব ঘনিষ্ঠভাবে মেলে, তাকে "ঘড়ি" বলা হয়।<ref name=HilgevoordConfusion>{{Cite journal |last=Hilgevoord |first=Jan |date=March 2005 |title=Time in quantum mechanics: a story of confusion |url=https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S1355219804000760 |journal=Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics |language=en |volume=36 |issue=1 |pages=29–60 |doi=10.1016/j.shpsb.2004.10.002 |bibcode=2005SHPMP..36...29H |access-date=2024-01-28 |archive-date=2022-10-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221023233903/https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S1355219804000760 |url-status=live }}</ref>{{rp|31}}

পদার্থবিদ্যায়, দুটি ঘটনার মধ্যে সময় পরিমাপ করা, কোয়ান্টাম তত্ত্বের জন্য এখনো একটি চ্যালেঞ্জ; কিছু অগ্রগতি ইতিমধ্যেই [[POVM|পজিটিভ অপারেটর-মূল্যমানিত পরিমাপ]] ধারণার মাধ্যমে করা হয়েছে।<ref name="Busch2002"/>

=== মানডেলস্ট্যাম–ট্যাম ===
১৯৪৫ সালে, [[লিওনিদ মানডেলস্ট্যাম]] এবং [[ইগর ট্যাম]] একটি অবিশিষ্ট ''সময়–এনার্জি অনিশ্চয়তা সম্পর্ক'' উদ্ভাবন করেন।<ref>L. I. Mandelstam, I. E. Tamm, [http://daarb.narod.ru/mandtamm/index-eng.html ''The uncertainty relation between energy and time in nonrelativistic quantum mechanics''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190607131054/http://daarb.narod.ru/mandtamm/index-eng.html |date=2019-06-07 }}, 1945.</ref><ref name="Busch2002"/> হাইজেনবার্গ যান্ত্রিকতায়, একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য ''B'' এর জন্য সাধারণত [[এহরেনফেস্ট থিওরেম]]  যা কোনো সময় নির্ভরতা ছাড়া, একটি স্ব-সংযোজিত অপারেটর <math>\hat B</math> এর মাধ্যমে সময়ের উপর গড় মানের পরিবর্তন সম্পর্কিত থাকে, যা হ্যামিলটনিয়ানের সাথে এর কমিউটেটরের গড় মানের সাথে সম্পর্কিত:

<math display=block> \frac{d\langle \hat{B} \rangle}{dt} = \frac{i}{\hbar}\langle [\hat{H},\hat{B}]\rangle. </math>
এইভাবে <math>\langle [\hat{H},\hat{B}]\rangle</math> এর মান পরবর্তীতে [[#Robertson–Schrödinger_uncertainty_relations|রবার্টসন অনিশ্চয়তা সম্পর্ক]]-এ এনার্জি অপারেটর <math>\hat H</math> এবং <math>\hat B</math> এর জন্য প্রতিস্থাপন করা হয়:
<math display=block> \sigma_H\sigma_B \geq \left|\frac{1}{2i} \langle[ \hat{H}, \hat{B}] \rangle\right|, </math>
যার ফলে পাওয়া যায়
<math display="block"> \sigma_H \frac{\sigma_B}{\left| \frac{d\langle \hat B \rangle}{dt}\right |} \ge \frac{\hbar}{2}</math>
(যতক্ষণ না গুণকের মান শূন্য নয়)।
এটি একটি সার্বজনীন ফলাফল, তবে এটি নির্ভর করে যে কোন পর্যবেক্ষণযোগ্য প্যারামিটার নির্বাচন করা হয়েছে এবং <math>\sigma_H</math> এবং <math>\sigma_B</math> এর বিচ্যুতি একটি নির্দিষ্ট অবস্থার জন্য গণনা করা হয়েছে।
<math>\Delta E \equiv \sigma_E </math> এবং বৈশিষ্ট্যিক সময় হিসেবে
<math display="block">\tau_B \equiv \frac{\sigma_B}{\left| \frac{d\langle \hat B \rangle}{dt}\right |}</math>
নির্বাচন করলে একটি এনার্জি–টাইম সম্পর্ক পাওয়া যায়: <math>\Delta E \tau_B \ge \frac{\hbar}{2}.</math>
যদিও <math>\tau_B</math> এর মাত্রা সময়ের মত, এটি সেই সময়ের পরামিতি ''t'' থেকে আলাদা, যা [[Schrödinger equation]] এ প্রবাহিত হয়। এই <math>\tau_B</math> কে এমনভাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে যে এটি সেই সময়, যেখানে পর্যবেক্ষণযোগ্য <math>\langle \hat B \rangle</math> এর প্রত্যাশিত মান এক স্ট্যান্ডার্ড ডিভিয়েশন সমান পরিমাণ পরিবর্তন হয়।<ref>{{Cite book |last=Naber |first=Gregory L. |url=https://books.google.com/books?id=kARGEAAAQBAJ |title=Quantum Mechanics: An Introduction to the Physical Background and Mathematical Structure |year=2021 |publisher=Walter de Gruyter GmbH & Co KG |isbn=978-3-11-075194-9 |pages=230 |language=en |access-date=2024-01-20 |archive-date=2024-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240223155539/https://books.google.com/books?id=kARGEAAAQBAJ |url-status=live }}</ref>

উদাহরণ:
* একটি মুক্ত কোয়ান্টাম কণার জন্য, যখন অবস্থার শক্তি আরও সঠিকভাবে নিয়ন্ত্রিত হয়, তখন একটি স্থানীয় পয়েন্টে পৌঁছানোর সময় আরও অনিশ্চিত হয়: <math>\Delta T = \hbar/2\Delta E.</math> যেহেতু সময়ের বিস্তার কণার অবস্থানের বিস্তার এবং শক্তির বিস্তার গতি বিস্তার থেকে সম্পর্কিত, এই সম্পর্কটি সরাসরি অবস্থান–গতি অনিশ্চয়তার সাথে সম্পর্কিত।<ref name="GriffithsSchroeter2018" />{{rp|144}}
* একটি [[ডেল্টা কণিকা]], যা কুয়াসি-স্থিতিশীল কণা হিসেবে প্রোটন এবং নিউট্রনের সাথে সম্পর্কিত, এর আয়ু 10<sup>−23</sup>&nbsp;সেকেন্ড, তাই এর পরিমাপিত [[Mass–energy equivalence|ভর (এনার্জির সমান)]], 1232&nbsp;MeV/''c''<sup>2</sup>, ±120&nbsp;MeV/''c''<sup>2</sup> পরিসরে পরিবর্তিত হয়; এই পরিবর্তন অন্তর্নিহিত এবং পরিমাপের ত্রুটির কারণে নয়।<ref name="GriffithsSchroeter2018" />{{rp|144}}
* দুটি শক্তি অবস্থান <math>\psi_{1,2}</math> যার শক্তি <math>E_{1,2},</math> একত্রিত হয়ে একটি যৌথ অবস্থা সৃষ্টি করে:
<math display="block">\Psi(x,t) = a\psi_1(x) e^{-iE_1t/\hbar} + b\psi_2(x) e^{-iE_2t/\hbar}.</math>
এই অবস্থার সম্ভাবনা অম্প্লিচুডের মধ্যে সময়-নির্ভর হস্তক্ষেপের একটি শর্ত থাকে:
<math display="block">|\Psi(x,t)|^2 = a^2|\psi_1(x)|^2 + b^2|\psi_2(x)|^2 + 2ab\cos(\frac{E_2 - E_1}{\hbar}t).</math>
অলকেলের সময়ের পরিবর্তন শক্তির পার্থক্যের সাথে বিপরীতভাবে সম্পর্কিত: <math>\tau = 2\pi\hbar/(E_2 - E_1)</math>.<ref name="GriffithsSchroeter2018" />{{rp|144}}
প্রত্যেকটি উদাহরণে সময়ের অনিশ্চয়তার একটি আলাদা অর্থ রয়েছে, এটি নির্ভর করে ব্যবহৃত পর্যবেক্ষণযোগ্য পরিমাপ এবং অবস্থার উপর।

=== কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব ===

কিছু [[কোয়ান্টাম ক্ষেত্র তত্ত্ব]] এর ফর্মুলেশন পরিসংখ্যানের জন্য আস্থায়ী ইলেকট্রন–পজিট্রন জোড়ার ব্যবহার করে, যেগুলোকে [[ভার্চুয়াল কণা]] বলা হয়। এই কণাগুলির ভর-এনার্জি এবং আয়ু এনার্জি–টাইম অনিশ্চয়তা সম্পর্ক দ্বারা সম্পর্কিত। কোয়ান্টাম সিস্টেমগুলির শক্তি যথেষ্ট সঠিকভাবে জানা যায় না, তাই তাদের আচরণ একক, সরল ইতিহাসের মধ্যে সীমাবদ্ধ করা যায় না। এইভাবে "সমস্ত ইতিহাস" কোয়ান্টাম হিসাবের মধ্যে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে, যার মধ্যে সেগুলির শক্তি ক্যালকুলেটেড/পরিমাপিত শক্তির গড়ের চেয়ে অনেক বেশি বা কম।

এনার্জি–টাইম অনিশ্চয়তা সম্পর্ক আপেক্ষিকতা বা [[শক্তি সংরক্ষণ]] এর লঙ্ঘন করে না; এটি মানে নয় যে শক্তি "ঋণ" নেওয়া যেতে পারে এবং যতদিন এটি "পুনরুদ্ধার" করা হয় ছোট সময়ে, ততদিন।<ref name="GriffithsSchroeter2018" />{{rp|145}} মহাবিশ্বের শক্তি কোনো সময়েই সঠিকভাবে জানা যায় না।<ref name=Sen2014/> যখন ঘটনাগুলি খুব ছোট সময়সীমায় ঘটে, তখন এই ঘটনাগুলির শক্তি সম্পর্কে অনিশ্চয়তা থাকে।

== হারমোনিক বিশ্লেষণ ==
{{Main article|Fourier transform#Uncertainty principle}}
[[হারমোনিক বিশ্লেষণ]] এর প্রেক্ষিতে অনিশ্চয়তা সম্পর্কের মানে হল যে, কোনো ফাংশন এবং তার ফোরিয়ার ট্রান্সফর্মের মান একযোগে লোকালাইজ করা সম্ভব নয়। সুতরাং, নিচের অসমতা প্রতিপালিত থাকে,
<math display="block">\left(\int_{-\infty}^\infty x^2 |f(x)|^2\,dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty \xi^2 |\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi\right)\ge \frac{\|f\|_2^4}{16\pi^2}.</math>
অতিরিক্ত গাণিতিক অনিশ্চয়তা অসাম্য, যার মধ্যে উপরের [[এন্ট্রপিক অনিশ্চয়তা]] অন্তর্ভুক্ত, একটি ফাংশন {{mvar|f}} এবং এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম {{math| ƒ̂}} এর মধ্যে বিদ্যমান:<ref>{{Citation|first1=V.|last1=Havin|first2= B.|last2=Jöricke|title=The Uncertainty Principle in Harmonic Analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1994}}</ref><ref>{{Citation | last1 = Folland | first1 = Gerald | last2 = Sitaram |first2 = Alladi | title = The Uncertainty Principle: A Mathematical Survey | journal = Journal of Fourier Analysis and Applications | date = May 1997 | volume = 3 | issue = 3 | pages = 207–238 | doi = 10.1007/BF02649110 | bibcode = 1997JFAA....3..207F | mr=1448337 | s2cid = 121355943 }}</ref><ref>{{springer|title=Uncertainty principle, mathematical|id=U/u130020|first=A|last=Sitaram|year=2001}}</ref>
<math display="block">H_x+H_\xi \ge \log(e/2)</math>

=== সিগন্যাল প্রসেসিং {{anchor|Gabor limit}} ===
[[সময়–ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ]] এর প্রেক্ষাপটে অনিশ্চয়তা নীতিগুলোকে '''গ্যাবর সীমা''' বলা হয়, [[ডেনিস গ্যাবর]] এর নামানুসারে, অথবা কখনও কখনও এটি ''হাইজেনবার্গ–গ্যাবর সীমা'' হিসেবেও পরিচিত। মূল ফলাফল, যা "বেনেডিক্সের থিওরেম" থেকে পাওয়া যায়, হলো যে একটি ফাংশন একসাথে [[সময় সীমিত]] এবং [[ব্যান্ড সীমিত]] হতে পারে না (একটি ফাংশন এবং এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম একসাথে সীমিত ডোমেইন ধারণ করতে পারে না)—দেখুন [[Bandlimiting#Blandlimited versus timelimited|bandlimited versus timelimited]]। আরো সঠিকভাবে, ''সময়-ব্যান্ডউইডথ'' অথবা ''সময়-দৈর্ঘ্য-ব্যান্ডউইডথ'' গুণফল সন্তুষ্ট হয়
<math display="block">\sigma_{t} \sigma_{f} \ge \frac{1}{4\pi} \approx 0.08 \text{ cycles},</math>
যেখানে <math>\sigma_{t}</math> এবং <math>\sigma_{f}</math> হল সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সি শক্তির কনসেনট্রেশনগুলোর স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন, যথাক্রমে।<ref>{{cite book | last=Mallat | first=S. G. | title=A wavelet tour of signal processing: the sparse way | publisher=Elsevier/Academic Press | publication-place=Amsterdam ; Boston | date=2009 | isbn=978-0-12-374370-1|doi=10.1016/B978-0-12-374370-1.X0001-8|page=44}}</ref> গ্যাবর (গাউসিয়ান) আকৃতির পালসের জন্য এই সর্বনিম্ন মানটি অর্জিত হয় ([গ্যাবর ওয়েভলেট])। [গাউসিয়ান (অথবা সিগন্যালের এমপ্লিটিউড) এবং এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্মের ম্যাগনিটিউডের জন্য <math>\sigma_t\sigma_f=1/2\pi</math>; গুণফল স্কয়ার করা হলে প্রতিটি <math>\sigma</math> কে <math>\sqrt 2</math> দ্বারা ভাগ করা হয়।] আরেকটি সাধারণ পরিমাপ হল সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সির [[ফুল উইথ অ্যাট হাফ ম্যাক্সিমাম]] (শক্তি/এনার্জি), যা গাউসিয়ান জন্য সমান হয় <math>2 \ln 2 / \pi \approx 0.44</math> (দেখুন [[bandwidth-limited pulse]])।

আরেকভাবে বললে, একজন সিগন্যাল {{mvar|f}} কে একসাথে [[সময় ডোমেইন]] এবং [[ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইন]] এ যথাযথভাবে লোকালাইজ করা সম্ভব নয়।

[[ফিল্টার (সিগন্যাল প্রসেসিং)|ফিল্টার]] এর ক্ষেত্রে এটি নির্দেশ করে যে কেউ একসাথে উচ্চ সময় রেজোলিউশন এবং উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন অর্জন করতে পারে না; একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ হলো [[Short-time Fourier transform#Resolution issues|শর্ট-টাইম ফোরিয়ার ট্রান্সফর্মের রেজোলিউশন সমস্যা]]—যদি কেউ একটি বিস্তৃত উইন্ডো ব্যবহার করে, তাহলে সে ভালো ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন অর্জন করবে, তবে সময় রেজোলিউশনের খরচে, এবং যদি একটি সংকীর্ণ উইন্ডো ব্যবহার করে তবে তার বিপরীত ট্রেড-অফ হবে।

বিকল্প থিওরেমগুলো আরো সুনির্দিষ্ট পরিমাণগত ফলাফল দেয়, এবং সময়-ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণে, (এক-মাত্রিক) সময় এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনগুলো আলাদাভাবে ব্যাখ্যা না করে, পরিবর্তে সেগুলোর সমর্থন হিসেবে (দ্বিমাত্রিক) সময়-ফ্রিকোয়েন্সি প্লেনে একটি সীমা হিসেবে ব্যাখ্যা করা হয়। বাস্তবে, গ্যাবর সীমা সীমাবদ্ধ সময়-ফ্রিকোয়েন্সি রেজোলিউশন নির্ধারণ করে যা কোনো হস্তক্ষেপ ছাড়াই অর্জন করা সম্ভব; এটি উচ্চ রেজোলিউশন অর্জন করা সম্ভব, তবে তা সিগন্যালের বিভিন্ন উপাদানের একে অপরের সাথে হস্তক্ষেপের খরচে।

এজন্য, যখন সিগন্যালগুলির [[Transient (acoustics)|ট্রানজিয়েন্ট]] গুরুত্বপূর্ণ হয়, তখন সাধারণত [[ওয়েভলেট ট্রান্সফর্ম|ওয়েভলেট ট্রান্সফর্ম]] ব্যবহার করা হয় ফোরিয়ার পরিবর্তে।

=== ডিসক্রিট ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম ===
ধরা যাক <math>\left \{ \mathbf{ x_n } \right \} := x_0, x_1, \ldots, x_{N-1}</math> একটি 'N'টি জটিল সংখ্যা সমাহার এবং <math>\left \{ \mathbf{X_k} \right \} := X_0, X_1, \ldots, X_{N-1},</math> তার [[Discrete Fourier transform#Uncertainty principles | ডিসক্রিট ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম]]।

<math>\|x\|_0</math> দ্বারা বোঝানো হয় সময় সিকোয়েন্স <math>x_0,x_1,\ldots,x_{N-1}</math> এর মধ্যে যেগুলোর মান শূন্য নয় তাদের সংখ্যা এবং <math>\|X\|_0</math> দ্বারা বোঝানো হয় ফ্রিকোয়েন্সি সিকোয়েন্স <math>X_0,X_1,\ldots,X_{N-1}</math> এর মধ্যে যেগুলোর মান শূন্য নয় তাদের সংখ্যা। সেক্ষেত্রে,
<math display="block">\|x\|_0 \cdot \|X\|_0 \ge N.</math>
এই অসমতা [[inequality (mathematics)#Sharp inequalities|sharp]] (তীক্ষ্ণ) এবং সমতা অর্জিত হয় যখন ''x'' অথবা ''X'' একটি ডিরাক মাস হয়, অথবা আরো সাধারণভাবে যখন ''x'' একটি ননজিরো গুণফল হয় একটি ডিরাক কম্বের যা একটি উপগ্রুপে সমর্থিত হয় মৌলিক সংখ্যা ''N'' এর মধ্যে (এক্ষেত্রে ''X''-ও একটি ডিরাক কম্ব হয়, যা পরিপূরক উপগ্রুপে সমর্থিত থাকে, এবং বিপরীত)। 

আরো সাধারণভাবে, যদি ''T'' এবং ''W'' মৌলিক সংখ্যা ''N'' এর মডুলোতে অবস্থিত সেট হয়, তাহলে <math>L_T,R_W : \ell^2(\mathbb Z/N\mathbb Z)\to\ell^2(\mathbb Z/N\mathbb Z)</math> দ্বারা সময়-সীমাবদ্ধ অপারেটর এবং [[bandlimiting|ব্যান্ড-সীমাবদ্ধ অপারেটর]] নির্দেশ করা হয়। তাহলে,
<math display="block">\|L_TR_W\|^2 \le \frac{|T||W|}{|G|}</math>
যেখানে নরম হল [[অপারেটর নরম]] হিলবার্ট স্পেস <math>\ell^2(\mathbb Z/N\mathbb Z)</math> এর উপর অপারেটরগুলোর, যা মৌলিক সংখ্যা ''N'' এর মধ্যে ফাংশনের উপর প্রযোজ্য। এই অসমতার সিগন্যাল পুনর্গঠন [[signal reconstruction]] এর জন্য প্রভাব ফেলে।<ref name="Donoho">{{cite journal |last1=Donoho |first1=D.L. |last2=Stark |first2=P.B |year=1989 |title=Uncertainty principles and signal recovery |journal=SIAM Journal on Applied Mathematics |volume=49 |issue=3 |pages=906–931 |doi=10.1137/0149053}}</ref>

যখন ''N'' একটি [[prime number]] (প্রাথমিক সংখ্যা), তখন একটি শক্তিশালী অসমতা কাজ করে:
<math display="block">\|x\|_0 + \|X\|_0 \ge N + 1.</math>
এটি [[টেরেন্স টাও]] দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল এবং এটি তীক্ষ্ণ।<ref>{{citation|journal=Mathematical Research Letters|volume=12|year=2005|issue=1|title=An uncertainty principle for cyclic groups of prime order|pages=121–127|author=[[Terence Tao]]|doi=10.4310/MRL.2005.v12.n1.a11|arxiv=math/0308286|s2cid=8548232}}</ref>

=== বেনেডিক্সের থিওরেম ===
আমরিন–বারথিয়ের<ref>{{citation | last1 = Amrein | first1 = W.O. | last2 = Berthier | first2 = A.M. | year = 1977 | title = On support properties of ''L''<sup>''p''</sup>-functions and their Fourier transforms | journal = Journal of Functional Analysis | volume = 24 | issue = 3 | pages = 258–267 | doi = 10.1016/0022-1236(77)90056-8 | postscript = . | doi-access = free }}</ref> এবং বেনেডিক্সের থিওরেম<ref>{{citation |first=M. |last=Benedicks |author-link=Michael Benedicks |title=On Fourier transforms of functions supported on sets of finite Lebesgue measure |journal=J. Math. Anal. Appl. |volume=106 |year=1985 |issue=1 |pages=180–183 |doi=10.1016/0022-247X(85)90140-4 |doi-access=free }}</ref> আংশিকভাবে বলে যে, যেখানে {{mvar|f}} শূন্য নয় এবং {{math|ƒ̂}} এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম শূন্য নয়, তাদের উভয়ের সমর্থন ছোট হতে পারে না।

বিশেষভাবে, এটি অসম্ভব যে একটি ফাংশন {{mvar|f}} যা {{math|''L''<sup>2</sup>('''R''')}} এর মধ্যে এবং এর ফোরিয়ার ট্রান্সফর্ম {{math|ƒ̂}} উভয়েই [[support of a function|সমর্থিত]] হয় সিমিত [[Lebesgue measure]] (লেবেগ পরিমাপ) সেটের উপর। আরো পরিমাণগত সংস্করণ হল<ref>{{Citation|first=F.|last=Nazarov|author-link=Fedor Nazarov|title=Local estimates for exponential polynomials and their applications to inequalities of the uncertainty principle type|journal=St. Petersburg Math. J.|volume=5|year=1994|pages=663–717}}</ref><ref>{{Citation|first=Ph.|last=Jaming|title=Nazarov's uncertainty principles in higher dimension|journal= J. Approx. Theory|volume=149|year=2007|issue=1|pages=30–41|doi=10.1016/j.jat.2007.04.005|arxiv=math/0612367|s2cid=9794547}}</ref>
<math display="block">\|f\|_{L^2(\mathbf{R}^d)}\leq Ce^{C|S||\Sigma|} \bigl(\|f\|_{L^2(S^c)} + \| \hat{f} \|_{L^2(\Sigma^c)} \bigr) ~.</math>

এটি আশা করা হয় যে, ফ্যাক্টর {{math|''Ce''<sup>''C''{{abs|''S''}}{{abs|''Σ''}}</sup>}} {{math|''Ce''<sup>''C''({{abs|''S''}}{{abs|''Σ''}})<sup>1/''d''</sup></sup>}} দ্বারা প্রতিস্থাপন করা যেতে পারে, যা কেবল তখনই জানা যায় যদি {{mvar|S}} অথবা {{mvar|Σ}} কোণযুক্ত হয়।

=== হার্ডির অনিশ্চয়তা নীতি ===
গণিতজ্ঞ [[G. H. Hardy]] নিম্নলিখিত অনিশ্চয়তা নীতি প্রস্তাব করেছিলেন:<ref>{{Citation|first=G.H.|last=Hardy|author-link=G. H. Hardy|title=A theorem concerning Fourier transforms|journal=Journal of the London Mathematical Society|volume=8|year=1933|issue=3|pages=227–231|doi=10.1112/jlms/s1-8.3.227}}</ref> এটি সম্ভব নয় যে {{mvar|f}} এবং {{math| ƒ̂}} উভয়েই "খুব দ্রুত হ্রাসপ্রাপ্ত" হবে। বিশেষভাবে, যদি {{mvar|f}} <math>L^2(\mathbb{R})</math> এর মধ্যে এমন হয় যে
<math display="block">|f(x)|\leq C(1+|x|)^Ne^{-a\pi x^2}</math>
এবং
<math display="block">|\hat{f}(\xi)|\leq C(1+|\xi|)^Ne^{-b\pi \xi^2}</math> (<math>C>0,N</math> একটি পূর্ণসংখ্যা),
তাহলে, যদি {{math|1=''ab'' > 1, ''f'' = 0}}, তাহলে {{math|f}} শূন্য হয়ে যাবে, তবে যদি {{math|1=''ab'' = 1}}, তবে একটি পলিনোমিয়াল {{mvar|P}} থাকবে যার ডিগ্রি {{math|≤ ''N''}} এবং যেটি
<math display="block">f(x)=P(x)e^{-a\pi x^2}. </math>

এটি পরবর্তীতে আরো উন্নত করা হয়েছে যে: যদি <math>f \in L^2(\mathbb{R}^d)</math> এর মধ্যে এমন হয় যে
<math display="block">\int_{\mathbb{R}^d}\int_{\mathbb{R}^d}|f(x)||\hat{f}(\xi)|\frac{e^{\pi|\langle x,\xi\rangle|}}{(1+|x|+|\xi|)^N} \, dx \, d\xi < +\infty ~,</math>
তাহলে
<math display="block">f(x)=P(x)e^{-\pi\langle Ax,x\rangle} ~,</math>
যেখানে {{mvar|P}} একটি পলিনোমিয়াল যার ডিগ্রি {{math|(''N'' − ''d'')/2}} এবং {{mvar|A}} একটি বাস্তব {{math|''d'' × ''d''}} পজিটিভ ডিফিনিট ম্যাট্রিক্স।
এই ফলাফলটি বেউরলিংয়ের পূর্ণ রচনাতে প্রমাণ ছাড়াই উল্লিখিত হয়েছিল এবং হর্মান্ডার (ক্ষেত্র {{math|d=1,N=0}}) এবং বোনামি, ডেমাঙ্গে, এবং জামিং দ্বারা (সাধারণ ক্ষেত্রে) প্রমাণিত হয়। লক্ষ্য করা যায় যে, হর্মান্ডার-বেউরলিংয়ের সংস্করণ হার্ডির থিওরেমের {{math|ab > 1}} ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, যখন বোনামি-ডেমাঙ্গে-জামিং সংস্করণ হার্ডির থিওরেমের পুরো শক্তি কভার করে। বেউরলিংয়ের থিওরেমের একটি ভিন্ন প্রমাণ যা লিউভিলের থিওরেমের উপর ভিত্তি করে, সেই প্রমাণটি পরবর্তীতে প্রকাশিত হয়েছে।  

একটি পূর্ণ বর্ণনা {{math|ab < 1}} ক্ষেত্রে এবং তার সাথে স্কোয়ার্টজ ক্লাসের বণ্টনগুলির জন্য বর্ধিত সংস্করণ একটি নির্দিষ্ট রেফারেন্সে পাওয়া যায়।  

{{math theorem| যদি একটি টেম্পারড ডিস্ট্রিবিউশন {{math|f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)}} এমনভাবে হয় যে  
<math display="block">e^{\pi|x|^2}f \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d)</math>  
এবং  
<math display="block">e^{\pi|\xi|^2}\hat{f} \in \mathcal{S}'(\mathbb{R}^d) ~,</math>  
তাহলে  
<math display="block">f(x)=P(x)e^{-\pi\langle Ax,x\rangle} ~,</math>  
যেখানে কিছু সুবিধাজনক পলিনোমিয়াল {{math|P}} এবং বাস্তব পজিটিভ ডিফিনিট ম্যাট্রিক্স {{math|A}} {{math|d \times d}} আকারে থাকবে।}}

== অতিরিক্ত অনিশ্চয়তা সম্পর্ক ==

=== হেইজেনবার্গ সীমা ===
কোয়ান্টাম মেট্রোলজি এবং বিশেষভাবে ইন্টারফেরোমেট্রিতে, '''হেইজেনবার্গ সীমা''' হল একটি পরিমাপের সঠিকতা যে পরিমাণে শক্তির সাথে স্কেল করতে পারে তা চূড়ান্ত। সাধারণত, এটি একটি ধাপের পরিমাপের সাথে সম্পর্কিত (যা একটি [[বিম-স্প্লিটার]] এর এক শাখায় প্রয়োগ করা হয়) এবং শক্তি হল পরিমাপের জন্য ব্যবহৃত ফোটনের সংখ্যা। যদিও কিছু লোক দাবি করে যে তারা হেইজেনবার্গ সীমা ভেঙে ফেলেছে, এটি স্কেলিং সম্পদের সংজ্ঞা সম্পর্কে অমিলকে প্রতিফলিত করে। সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত হলে, হেইজেনবার্গ সীমা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মৌলিক নীতিগুলির ফলস্বরূপ এবং এটি ভাঙা যায় না, যদিও দুর্বল হেইজেনবার্গ সীমা ভাঙা যেতে পারে।  

=== প্রণালীগত এবং পরিসংখ্যানগত ত্রুটি ===

উপরে বর্ণিত অসমতাগুলি পরিমাপযোগ্য গুণাবলীর ''পরিসংখ্যানগত ভুল''-এর উপর ফোকাস করে, যা মানদণ্ডের মাধ্যমে পরিমাপ করা হয়। তবে হেইজেনবার্গের মূল সংস্করণ ছিল ''প্রণালীগত ত্রুটি''-এর সাথে সম্পর্কিত, যা পরিমাপ যন্ত্রপাতির মাধ্যমে কোয়ান্টাম সিস্টেমের একটি বিঘ্ন সৃষ্টি করে, অর্থাৎ এটি একটি পর্যবেক্ষক প্রভাব।

যদি {{math|\varepsilon_A}} একটি পরিমাপের ত্রুটি (অর্থাৎ, [[নির্ভুলতা|অসঠিকতা]]) এবং {{math|\eta_B}} পরবর্তী পরিমাপে {{math|B}} কনজুগেট পরিবর্তনশীলতার দ্বারা সৃষ্ট বিঘ্ন হয়, তখন মাশানো ওজাওয়ার পরামর্শকৃত অসমতা — যা উভয় প্রণালীগত এবং পরিসংখ্যানগত ত্রুটি অন্তর্ভুক্ত করে — সঠিক থাকে:

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \varepsilon_A\, \eta_B + \varepsilon_A \, \sigma_B + \sigma_A \, \eta_B \,\ge\, \frac{1}{2} \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right|</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

হেইজেনবার্গের অনিশ্চয়তা সিধান্তি, যেমনটি 1927 সালের সংস্করণে বর্ণিত হয়েছে, কেবলমাত্র ওজাওয়া অসমতার প্রথম অংশটি উল্লেখ করেছে, যা ''প্রণালীগত ত্রুটি'' নিয়ে কাজ করছে। উপরের নোটেশন ব্যবহার করে, "ত্রুটি/বিঘ্ন" প্রভাবের বর্ণনা (প্রথমে ''A'', তারপর ''B'' পরিমাপ) এরূপ লেখা যেতে পারে:

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \varepsilon_{A} \, \eta_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right|</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

হেইজেনবার্গের সম্পর্কের আনুষ্ঠানিক প্রমাণ সম্ভব, তবে এটি একেবারেই বোধগম্য নয়। এটি ''হেইজেনবার্গ'' দ্বারা প্রস্তাবিত হয়নি, তবে এটি সাম্প্রতিক বছরগুলিতে গাণিতিকভাবে সঙ্গতিপূর্ণভাবে বর্ণনা করা হয়েছে।  

এছাড়াও, এটা জোর দিয়ে বলা উচিত যে হেইজেনবার্গের সংস্করণ শুধুমাত্র পরিসংখ্যানগত ত্রুটিগুলিকে {{math|\sigma_A}} এবং {{math|\sigma_B}} বিবেচনায় নেয় না। পরীক্ষাগুলির উদাহরণ রয়েছে যা দেখায় যে কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তা শুধুমাত্র হেইজেনবার্গের শর্ত দ্বারা বর্ণনা করা যায় না, বরং ওজাওয়া অসমতার সমস্ত তিনটি অংশের উপস্থিতি প্রয়োজন।
একই ফরমালিজম ব্যবহার করে,<ref name="Sen2014"/> এটি সম্ভব অন্যান্য ধরনের শারীরিক পরিস্থিতি উপস্থাপন করা, যা প্রায়ই পূর্বেরটির সাথে বিভ্রান্ত হয়, অর্থাৎ "একই সময়ের মধ্যে পরিমাপ" (''A'' এবং ''B'' একসাথে):

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \varepsilon_A \, \varepsilon_B \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right|</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

''A'' এবং ''B'' এর দুইটি একসাথে পরিমাপ অবশ্যই<ref>{{Cite journal | last1 = Björk | first1 = G. | last2 = Söderholm | first2 = J. | last3 = Trifonov | first3 = A. | last4 = Tsegaye | first4 = T. | last5 = Karlsson | first5 = A. | title = Complementarity and the uncertainty relations | doi = 10.1103/PhysRevA.60.1874 | journal = Physical Review | volume = A60 | issue = 3 | year = 1999| page = 1878 |arxiv = quant-ph/9904069 |bibcode = 1999PhRvA..60.1874B | s2cid = 27371899 }}</ref> ''unsharp'' অথবা [[weak measurement|''weak'']] হবে।

এছাড়া একটি অনিশ্চয়তার সম্পর্ক ডেরিভ করা সম্ভব যা, যেমনটা Ozawa'র ক্ষেত্রে, উভয়টি—পরিসংখ্যানিক এবং পদ্ধতিগত ত্রুটি—উপাদানকে একত্রিত করে, কিন্তু এখনও Heisenberg এর মূল অসমতার খুব কাছাকাছি একটি রূপ রাখে। Robertson<ref name="Sen2014"/> এবং Ozawa সম্পর্কগুলো যোগ করে আমরা পাই:

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \sigma_{A} \, \sigma_{B} \, \ge \, \frac{1}{2} \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B} \bigr] \Bigr\rangle \right|</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

এবং Ozawa সম্পর্কের মাধ্যমে আমরা পাই:

<math display="block">\varepsilon_A \eta_B + \varepsilon_A \, \sigma_B + \sigma_A \, \eta_B + \sigma_A \sigma_B \geq \left|\Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right| .</math>

এই চারটি উপাদানকে লেখা যেতে পারে:

<math display="block">(\varepsilon_A + \sigma_A) \, (\eta_B + \sigma_B) \, \geq \, \left|\Bigl\langle\bigl[\hat{A},\hat{B} \bigr] \Bigr\rangle \right| .</math>

এখন যদি আমরা সংজ্ঞায়িত করি:

<math display="block">\bar \varepsilon_A \, \equiv \, (\varepsilon_A + \sigma_A)</math>

এটি হবে পরিমাপিত মানের ''অস্বচ্ছতা'' এবং

<math display="block">\bar \eta_B \, \equiv \, (\eta_B + \sigma_B)</math>

এটি হবে সম্পর্কিত ভেরিয়েবলের ''ফ্লাকচুয়েশন''। Kazuo Fujikawa<ref>{{Cite journal|last = Fujikawa|first = Kazuo|title = Universally valid Heisenberg uncertainty relation|journal = Physical Review A|volume=85|year=2012|doi=10.1103/PhysRevA.85.062117|arxiv = 1205.1360 |bibcode = 2012PhRvA..85f2117F|issue=6 |pages = 062117|s2cid = 119640759}}</ref> একটি অনিশ্চয়তা সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করেছেন যা Heisenberg এর মূল সম্পর্কের মতো, কিন্তু ''পদ্ধতিগত এবং পরিসংখ্যানিক ত্রুটির জন্য'' বৈধ:

{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math> \bar \varepsilon_A \, \bar \eta_B \, \ge \, \left| \Bigl\langle \bigl[\hat{A},\hat{B}\bigr] \Bigr\rangle \right|</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

=== কোয়ান্টাম এনট্রপিক অনিশ্চয়তা সুত্র ===
অনেক ধরনের বণ্টনের জন্য, মানক ডেভিয়েশন একটি প্রাকৃতিক উপায় নয় কাঠামো পরিমাপের জন্য। উদাহরণস্বরূপ, এমন অনিশ্চয়তা সম্পর্ক যেখানে একটি পর্যবেক্ষণ হল কোণ, তার জন্য এক পিরিয়ডের চেয়ে বড় ফ্লাকচুয়েশন গুলি তেমন কোনও শারীরিক গুরুত্ব রাখে না।<ref name="CarruthersNieto" /><ref>{{Citation |first=D. |last=Judge |title=On the uncertainty relation for angle variables | journal=Il Nuovo Cimento |year=1964|volume=31|issue=2|pages=332–340|doi=10.1007/BF02733639 | bibcode=1964NCim...31..332J | s2cid=120553526 }}</ref><ref>{{Citation |first1= M. |last1= Bouten |first2= N. |last2= Maene | first3= P. |last3= Van Leuven | title=On an uncertainty relation for angle variables | journal=Il Nuovo Cimento | year=1965 | volume=37 | issue=3 | pages=1119–1125 | doi=10.1007/BF02773197 | bibcode=1965NCim...37.1119B | s2cid= 122838645 }}</ref><ref>{{Citation |first=W. H. | last=Louisell | title=Amplitude and phase uncertainty relations|journal=Physics Letters | year=1963 | volume=7 | issue=1 | pages=60–61 | doi=10.1016/0031-9163(63)90442-6 | bibcode = 1963PhL.....7...60L }}</ref> অন্যান্য উদাহরণ গুলির মধ্যে রয়েছে উচ্চমাত্রার [[বাইমোডাল বণ্টন]] অথবা [[ইউনিমোডাল বণ্টন]] গুলির, যাদের ভ্যারিয়েন্স বিচিত্র। 

এমন একটি সমাধান যা এই সমস্যাগুলি দূর করতে পারে, তা হল অনিশ্চয়তা যেটি ভ্যারিয়েন্সের গুণফল না হয়ে, [[এনট্রপিক অনিশ্চয়তা]] ভিত্তিক। ১৯৫৭ সালে যখন [[হিউ এভারেট III]] কোয়ান্টাম মেকানিক্সের [[ম্যনি-ওয়ার্ল্ডস তত্ত্ব]] প্রস্তাবনা করেছিলেন, তখন তিনি একটি শক্তিশালী বিস্তার প্রস্তাব করেছিলেন যা ছিল এন্ট্রপিক সেন্টার্টির ভিত্তিতে অনিশ্চয়তার সুত্র।<ref>{{Citation |last1=DeWitt |first1=B. S. |last2=Graham |first2=N. |year=1973 |title=The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics |location=Princeton |publisher=[[Princeton University Press]] |pages=52–53 |isbn=0-691-08126-3 }}</ref> এই প্রস্তাবনাটি, যেটি I. I. Hirschman<ref>{{Citation | first=I. I. Jr. |last=Hirschman |title=A note on entropy |journal=[[American Journal of Mathematics]] |year=1957 |volume=79 |issue=1 |pages=152–156 |doi=10.2307/2372390 |postscript=. |jstor=2372390 }}</ref> দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল এবং ১৯৭৫ সালে W. Beckner<ref name="Beckner">{{Citation |first=W. |last=Beckner |title=Inequalities in Fourier analysis |journal=[[Annals of Mathematics]] |volume=102 |issue=6 |year=1975 |pages=159–182 |doi=10.2307/1970980 |postscript=. |jstor=1970980 |pmid=16592223 |pmc=432369 }}</ref> এবং Iwo Bialynicki-Birula এবং Jerzy Mycielski<ref name="BBM">{{Citation |first1=I. |last1=Bialynicki-Birula |last2=Mycielski |first2=J. |title=Uncertainty Relations for Information Entropy in Wave Mechanics |journal=[[Communications in Mathematical Physics]] |volume=44 |year=1975 |pages=129–132 |doi=10.1007/BF01608825 |issue=2 |bibcode=1975CMaPh..44..129B |s2cid=122277352 |url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103899297 |access-date=2021-08-17 |archive-date=2021-02-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210208011223/https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103899297 |url-status=live }}</ref> দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল, তা হল যে, দুটি স্বাভাবিকীকৃত, মাত্রাহীন ফুরিয়ের রূপান্তর জোড়া {{math|''f''(''a'')}} এবং {{math|''g''(''b'')}} এর জন্য যেখানে
:<math>f(a) = \int_{-\infty}^\infty g(b)\ e^{2\pi i a b}\,db</math>{{spaces|3}} এবং {{spaces|3}} <math> \,\,\,g(b) = \int_{-\infty}^\infty f(a)\ e^{- 2\pi i a b}\,da</math>
শ্যানন [[তথ্য এনট্রপি]] গুলি
<math display="block">H_a = -\int_{-\infty}^\infty |f(a)|^2 \log |f(a)|^2\,da,</math>
এবং
<math display="block">H_b = -\int_{-\infty}^\infty |g(b)|^2 \log |g(b)|^2\,db</math>
এই সীমাবদ্ধতার মধ্যে রয়েছে,
{{Equation box 1
|indent =:
|equation =<math>H_a + H_b \ge \log (e/2)</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
যেখানে লগারিদম গুলি যেকোনো ভিত্তিতে হতে পারে। 

পজিশন ওয়েভ ফাংশন {{math|''ψ''(''x'')}} এবং মোমেন্টাম ওয়েভ ফাংশন {{math|''φ''(''x'')}} এর সাথে সম্পর্কিত সম্ভাব্য বণ্টন ফাংশন গুলি যথাক্রমে বিপরীত দৈর্ঘ্য এবং মোমেন্টামের মাত্রা রয়েছে, তবে এনট্রপিগুলি মাত্রাহীন হতে পারে 
<math display="block">H_x = - \int |\psi(x)|^2 \ln \left(x_0 \, |\psi(x)|^2 \right) dx =-\left\langle \ln \left(x_0 \, \left|\psi(x)\right|^2 \right) \right\rangle</math>
<math display="block">H_p = - \int |\varphi(p)|^2 \ln (p_0\,|\varphi(p)|^2) \,dp =-\left\langle \ln (p_0\left|\varphi(p)\right|^2 ) \right\rangle</math>
এখানে {{math|''x''<sub>0</sub>}} এবং {{math|''p''<sub>0</sub>}} হল কিছু অতিরিক্ত দৈর্ঘ্য এবং মোমেন্টাম, যা লগারিদমের আর্গুমেন্টগুলিকে মাত্রাহীন করে তোলে। তবে এই এনট্রপিগুলি এই নির্বাচিত প্যারামিটারগুলির উপর নির্ভরশীল হবে। [[ওয়েভফাংশন#ওয়েভ ফাংশন এর সম্পর্ক|পজিশন ওয়েভ ফাংশন]] এবং মোমেন্টাম ওয়েভ ফাংশনের মধ্যে ফুরিয়ের রূপান্তর সম্পর্কের কারণে, উপরের সীমাবদ্ধতা এই এনট্রপিগুলির জন্য লেখা যেতে পারে 
{{Equation box 1
|indent =:
|equation = <math>H_x + H_p \ge \log \left(\frac{e\,h}{2\,x_0\,p_0}\right)</math>
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}
যেখানে {{mvar|h}} হল [[প্লাঙ্ক কনস্ট্যান্ট]]।

নির্বাচিত {{math|''x<sub>0</sub> p<sub>0</sub>''}} পণ্যটির উপর নির্ভর করে, এই প্রকাশটি অনেকভাবে লেখা যেতে পারে। যদি {{math|''x''<sub>0</sub> ''p''<sub>0</sub>}} কে {{mvar|h}} হিসাবে নির্বাচিত করা হয়, তবে
<math display="block">H_x + H_p \ge \log \left(\frac{e}{2}\right)</math>

যদি, পরিবর্তে, {{math|''x''<sub>0</sub> ''p''<sub>0</sub>}} কে {{mvar|ħ}} হিসাবে নির্বাচিত করা হয়, তবে
<math display="block">H_x + H_p \ge \log (e\,\pi)</math>

যদি {{math|''x''<sub>0</sub>}} এবং {{math|''p''<sub>0</sub>}} কে ঐকিক হিসাবে নির্বাচিত করা হয়, তখন
<math display="block">H_x + H_p \ge \log \left(\frac{e\,h }{2}\right)</math>
এখানে {{mvar|h}} হল একটি মাত্রাহীন সংখ্যা, যেটি নির্বাচিত ইউনিট সিস্টেমে প্লাঙ্ক কনস্ট্যান্টের মানের সমান। মনে রাখবেন যে এই অসমতারগুলি মাল্টিমোড কোয়ান্টাম অবস্থানগুলির জন্য বা একাধিক স্থানে ওয়েভফাংশনের জন্য সম্প্রসারিত করা যেতে পারে।<ref>{{cite journal |last1=Huang |first1=Yichen |title=Entropic uncertainty relations in multidimensional position and momentum spaces | journal=Physical Review A |date=24 May 2011 |volume=83 |issue=5 |page=052124 | doi=10.1103/PhysRevA.83.052124 | bibcode=2011PhRvA..83e2124H | arxiv=1101.2944 | s2cid=119243096 }}</ref>
কোয়ান্টাম এনট্রপিক অনিশ্চয়তা নীতিটি হেইজনবার্গ অনিশ্চয়তা নীতির তুলনায় বেশি সীমাবদ্ধ। ইনভার্স [[লগারিদমিক সোবলেভ অসাম্য]]<ref>{{citation |first=D. |last=Chafaï |chapter=Gaussian maximum of entropy and reversed log-Sobolev inequality|arxiv=math/0102227 |doi=10.1007/978-3-540-36107-7_5 |year=2003 |isbn=978-3-540-00072-3 |pages=194–200|title=Séminaire de Probabilités XXXVI |volume=1801 |series=Lecture Notes in Mathematics |s2cid=17795603 }}</ref>
<math display="block">H_x \le \frac{1}{2} \log ( 2e\pi \sigma_x^2 / x_0^2 )~,</math>
<math display="block">H_p \le \frac{1}{2} \log ( 2e\pi \sigma_p^2 /p_0^2 )~,</math>
(এটি সমানভাবে, কারণ স্বাভাবিক বিতরণগুলি সর্বোচ্চ এনট্রপির সম্ভাবনা বিতরণ যা একটি নির্দিষ্ট বৈচিত্র্য সহ থাকে), সহজেই এই ধরনের দেখা যায় যে এই এনট্রপিক অনিশ্চয়তা নীতি 'স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন'-এর ভিত্তিতে থাকা নীতির চেয়ে শক্তিশালী, কারণ
<math display="block">\sigma_x \sigma_p \ge \frac{\hbar}{2} \exp\left(H_x + H_p - \log \left(\frac{e\,h}{2\,x_0\,p_0}\right)\right) \ge \frac{\hbar}{2}~.</math>

অর্থাৎ, হেইজনবার্গ অনিশ্চয়তা নীতি কোয়ান্টাম এনট্রপিক অনিশ্চয়তা নীতির একটি ফলস্বরূপ, কিন্তু এর বিপরীত নয়। এই অসাম্যগুলির উপর কয়েকটি মন্তব্য। প্রথমত, [[ভিত্তি e]] নির্বাচনটি পদার্থবিজ্ঞানে একটি জনপ্রিয় প্রচলন। লগারিদমটি যে কোনও ভিত্তিতে হতে পারে, provided that it be consistent on both sides of the inequality. দ্বিতীয়ত, মনে রাখবেন যে [[শ্যানন এনট্রপি]] ব্যবহার করা হয়েছে, ''কিন্তু'' কোয়ান্টাম [[ভন নিউম্যান এনট্রপি]] নয়। অবশেষে, স্বাভাবিক বিতরণটি এই অসাম্যটি পূর্ণ করে, এবং এটি একমাত্র বিতরণ যা এই বৈশিষ্ট্যটি ধারণ করে, কারণ এটি নির্দিষ্ট বৈচিত্র্য সহ সমস্ত সম্ভাব্য বিতরণগুলির মধ্যে সর্বাধিক এনট্রপি প্রবণতা (দেখুন [[ডিফারেনশিয়াল এনট্রপি#স্বাভাবিক বিতরণের মধ্যে সর্বাধিককরণ|এখানে]] প্রমাণের জন্য)।

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="70%" style="text-align:left"
!স্বাভাবিক বিতরণের এনট্রপিক অনিশ্চয়তা
|-
|আমরা এই পদ্ধতিটি কিউএইচওর গ্রাউন্ড স্টেটে প্রদর্শন করি, যা উপরের আলোচনায় যেমন, স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশন ভিত্তিক স্বাভাবিক অনিশ্চয়তাকে পূর্ণ করে। দৈর্ঘ্য স্কেলটি যা সুবিধাজনক তা সেট করা যেতে পারে, তাই আমরা বরাদ্দ করি
<math display="block">x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}</math>
<math display="block">\begin{align}
\psi(x) &= \left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{m \omega x^2}{2\hbar}\right)} \\
&= \left(\frac{1}{2\pi x_0^2}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{x^2}{4x_0^2}\right)}
\end{align}</math>

সাম্ভাব্যতা বিতরণটি স্বাভাবিক বিতরণ
<math display="block">|\psi(x)|^2 = \frac{1}{x_0 \sqrt{2\pi}} \exp{\left( -\frac{x^2}{2x_0^2}\right)}</math>
শ্যানন এনট্রপি
<math display="block">\begin{align}
H_x &= - \int |\psi(x)|^2 \ln (|\psi(x)|^2 \cdot x_0 ) \,dx \\
&= -\frac{1}{x_0 \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp{\left( -\frac{x^2}{2x_0^2}\right)} \ln \left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp{\left( -\frac{x^2}{2x_0^2}\right)}\right] \, dx \\
&= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp{\left( -\frac{u^2}{2}\right)} \left[\ln(\sqrt{2\pi}) + \frac{u^2}{2}\right] \, du\\
&= \ln(\sqrt{2\pi}) + \frac{1}{2}.
\end{align}</math>

একটি সম্পূর্ণ অনুরূপ গণনা মহড়ার বিতরণের জন্য করা হয়। একটি মানক মুহূর্ত নির্বাচন করে <math>p_0=\hbar/x_0</math>:
<math display="block">\varphi(p) = \left(\frac{2 x_0^2}{\pi \hbar^2}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{x_0^2 p^2}{\hbar^2}\right)}</math>
<math display="block">|\varphi(p)|^2 = \sqrt{\frac{2 x_0^2}{\pi \hbar^2}} \exp{\left( -\frac{2x_0^2 p^2}{\hbar^2}\right)}</math>
<math display="block">\begin{align}
H_p &= - \int |\varphi(p)|^2 \ln (|\varphi(p)|^2 \cdot \hbar / x_0 ) \,dp \\
&= -\sqrt{\frac{2 x_0^2}{\pi \hbar^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp{\left( -\frac{2x_0^2 p^2}{\hbar^2}\right)} \ln \left[\sqrt{\frac{2}{\pi}} \exp{\left( -\frac{2x_0^2 p^2}{\hbar^2}\right)}\right] \, dp \\
&= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \int_{-\infty}^\infty \exp{\left( -2v^2\right)} \left[\ln\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) + 2v^2 \right] \, dv \\
&= \ln\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) + \frac{1}{2}.
\end{align}</math>

এনট্রপিক অনিশ্চয়তা সুতরাং সীমিত মান
<math display="block">\begin{align}
H_x+H_p &= \ln(\sqrt{2\pi}) + \frac{1}{2} + \ln\left(\sqrt{\frac{\pi}{2}}\right) + \frac{1}{2}\\
&= 1 + \ln \pi = \ln(e\pi).
\end{align}</math>
|}
একটি পরিমাপ যন্ত্রে এর আউটপুটগুলি বিনে বিভক্ত হয়ে একটি সীমানা নির্ধারণ করা হয়, যার সম্ভাবনা বর্ন নীতির মাধ্যমে নির্ধারিত হয়। আমরা সবচেয়ে সাধারণ পরীক্ষামূলক পরিস্থিতি বিবেচনা করব, যেখানে বিনগুলির আকার সমান হয়। "δx" হল স্পেসিয়াল রেজোলিউশনের পরিমাপ। আমরা ধারণা করি যে শূন্যতম বিনটি মৌলিকভাবে উৎপত্তির কাছাকাছি কেন্দ্রীভূত, হয়তো কিছু ছোট নির্দিষ্ট "c" সহ। j তম বিনে পড়ার সম্ভাবনা হবে:
<math display="block">\operatorname P[x_j]= \int_{(j-1/2)\delta x-c}^{(j+1/2)\delta x-c}| \psi(x)|^2 \, dx</math>

এই ডিসক্রিটাইজেশনকে হিসাব করার জন্য, আমরা একটি শ্যানন এন্ট্রপি সংজ্ঞায়িত করি, যা একটি নির্দিষ্ট পরিমাপ যন্ত্রের জন্য তরঙ্গ ফাংশনের এন্ট্রপি হবে:
<math display="block">H_x=-\sum_{j=-\infty}^\infty \operatorname P[x_j] \ln \operatorname P[x_j].</math>

উপরোক্ত সংজ্ঞার অধীনে, এন্ট্রপিক অনিশ্চয়তা সম্পর্ক হবে:
<math display="block">H_x + H_p > \ln\left(\frac{e}{2}\right)-\ln\left(\frac{\delta x \delta p}{h} \right).</math>

এখানে আমরা লক্ষ্য করি যে {{math|''δx'' ''δp''/''h''}} হল একটি সাধারণ অদ্বিতীয় পরিমাপ যেটি পরমাণু পার্টিশন ফাংশন গণনায় ব্যবহৃত হয়। এই অসাম্যটি কঠোর এবং কোনো অবস্থায় সমান হয় না। এটি উন্নত করার জন্য প্রচেষ্টা বর্তমানে গবেষণার একটি সক্রিয় ক্ষেত্র।

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="70%" style="text-align:left"
!সাধারণ বন্টন উদাহরণ
|-
|আমরা প্রথমে এই পদ্ধতিটি কিউএইচও (কোয়ান্টাম হর্মোনিক অসসিলেটর) এর গ্রাউন্ড স্টেটে প্রয়োগ করি, যা উপরে আলোচনা করা হয়েছে এবং সাধারণ অনিশ্চয়তা যে স্ট্যান্ডার্ড ডেভিয়েশনগুলির উপর ভিত্তি করে পূর্ণ হয়।

<math display="block">\psi(x)=\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \exp{\left( -\frac{m \omega x^2}{2\hbar}\right)}</math>

বিনগুলির মধ্যে পড়ার সম্ভাবনা ত্রুটি ফাংশনের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে।

<math display="block">\begin{align}
\operatorname P[x_j] &= \sqrt{\frac{m \omega}{\pi \hbar}} \int_{(j-1/2)\delta x}^{(j+1/2)\delta x} \exp\left( -\frac{m \omega x^2}{\hbar}\right) \, dx \\
&= \sqrt{\frac{1}{\pi}} \int_{(j-1/2)\delta x\sqrt{m \omega / \hbar}}^{(j+1/2)\delta x\sqrt{m \omega / \hbar}} e^{u^2} \, du \\
&= \frac{1}{2} \left[ \operatorname{erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right)\delta x \cdot \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\right)- \operatorname {erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right)\delta x \cdot \sqrt{\frac{m \omega}{\hbar}}\right) \right]
\end{align}</math>

মোমেন্টাম সম্ভাবনাগুলি পুরোপুরি অনুরূপ।

<math display="block">\operatorname P[p_j] = \frac{1}{2} \left[ \operatorname{erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right)\delta p \cdot \frac{1}{\sqrt{\hbar m \omega}}\right)- \operatorname{erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right)\delta x \cdot \frac{1}{\sqrt{\hbar m \omega}}\right) \right]</math>

সরলতার জন্য, আমরা রেজোলিউশনগুলি নির্ধারণ করব:
<math display="block">\delta x = \sqrt{\frac{h}{m \omega}}</math>
<math display="block">\delta p = \sqrt{h m \omega}</math>
তাহলে সম্ভাবনাগুলি পরিণত হবে:
<math display="block">\operatorname P[x_j] = \operatorname P[p_j] = \frac{1}{2} \left[ \operatorname {erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right)- \operatorname {erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right) \right]</math>

শ্যানন এন্ট্রপি সংখ্যা হিসাব করা যেতে পারে।
<math display="block">\begin{align}
H_x = H_p &= -\sum_{j=-\infty}^\infty \operatorname P[x_j] \ln \operatorname P[x_j] \\
&= -\sum_{j=-\infty}^\infty \frac{1}{2} \left[ \operatorname {erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right)- \operatorname {erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right) \right] \ln \frac{1}{2} \left[ \operatorname {erf} \left( \left(j+\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right)- \operatorname {erf} \left( \left(j-\frac{1}{2}\right) \sqrt{2\pi} \right) \right] \\
&\approx 0.3226
\end{align}</math>

এন্ট্রপিক অনিশ্চয়তা সত্যিই সীমিত মানের চেয়ে বড়।
<math display="block">H_x + H_p \approx 0.3226 + 0.3226 = 0.6452 >\ln\left(\frac{e}{2}\right)-\ln 1 \approx 0.3069</math>
অবশ্যই উপযুক্ত ক্ষেত্রে থাকা সত্ত্বেও, অসমতা পূর্ণরূপে পূর্ণ হয় না।

একটি উদাহরণ হিসেবে, যে সিংক ফাংশনটি একটি একমুখী বিতরণ এবং অনন্ত বৈচিত্র্য সহ থাকে। যদি তরঙ্গ ফাংশনটি সঠিকভাবে স্বীকৃত ইউনিফর্ম বিতরণ হয়,
<math display="block">\psi(x) = \begin{cases}
{1}/{\sqrt{2a}} & \text{যখন } |x| \le a, \\[8pt]
0 & \text{যখন } |x|>a
\end{cases}</math>
তাহলে এর ফোরিয়র রূপান্তর হবে সিংক ফাংশন,
<math display="block">\varphi(p)=\sqrt{\frac{a}{\pi \hbar}} \cdot \operatorname{sinc}\left(\frac{a p}{\hbar}\right)</math>
যা কেন্দ্রীভূত আকার থাকা সত্ত্বেও অনন্ত গতির বৈচিত্র্য উৎপন্ন করে। তবে, এন্ট্রপিক অস্থিরতা সীমিত। সরলতার জন্য ধরি যে স্থানিক রেজুলেশন একটি দুই-বিন পরিমাপ, ''δx'' = ''a'', এবং গতি রেজুলেশন হল ''δp'' = ''h''/''a''।

ইউনিফর্ম স্থানিক বিতরণটি দুটি সমান বিনে ভাগ করা সহজ। আমরা অফসেট ''c'' = 1/2 সেট করি যাতে দুটি বিন বিতরণটি আচ্ছাদিত করে।
<math display="block">\operatorname P[x_0] = \int_{-a}^0 \frac{1}{2a} \, dx = \frac{1}{2}</math>
<math display="block">\operatorname P[x_1] = \int_0^a \frac{1}{2a} \, dx = \frac{1}{2}</math>
<math display="block">H_x = -\sum_{j=0}^{1} \operatorname P[x_j] \ln \operatorname P[x_j] = -\frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{1}{2} = \ln 2</math>

গতির জন্য বিনগুলি পুরো বাস্তব রেখাটি আচ্ছাদিত করতে হবে। যেমন স্থানিক বিতরণে করা হয়েছিল, আমরা একটি অফসেট প্রয়োগ করতে পারি। তবে, এটি দেখা গেছে যে শ্যানন এন্ট্রপিটি সর্বনিম্ন হয় যখন গতির জন্য শূন্যতম বিনটি কেন্দ্রস্থলে থাকে। (পাঠককে অফসেট যোগ করার চেষ্টা করতে উৎসাহিত করা হচ্ছে।) গতির একটি বিনে থাকার সম্ভাবনা সাইন ইন্টিগ্রালের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে।

<math display="block">\begin{align}
\operatorname P[p_j] &= \frac{a}{\pi \hbar} \int_{(j-1/2)\delta p}^{(j+1/2)\delta p} \operatorname{sinc}^2\left(\frac{a p}{\hbar}\right) \, dp \\
&= \frac{1}{\pi} \int_{2\pi (j-1/2)}^{2\pi (j+1/2)} \operatorname{sinc}^2(u) \, du \\
&= \frac{1}{\pi} \left[ \operatorname {Si} ((4j+2)\pi)- \operatorname {Si} ((4j-2)\pi) \right]
\end{align}</math>

শ্যানন এন্ট্রপিটি গাণিতিকভাবে মূল্যায়ন করা যেতে পারে।
<math display="block">H_p = -\sum_{j=-\infty}^\infty \operatorname P[p_j] \ln \operatorname P[p_j] = -\operatorname P[p_0] \ln \operatorname P[p_0]-2 \cdot \sum_{j=1}^{\infty} \operatorname P[p_j] \ln \operatorname P[p_j] \approx 0.53</math>

এন্ট্রপিক অস্থিরতা সত্যিই সীমিত মানের চেয়ে বেশি।
<math display="block">H_x+H_p \approx 0.69 + 0.53 = 1.22 >\ln\left(\frac{e}{2}\right)-\ln 1 \approx 0.31</math>

তিনটি কোণীয় গতির উপাদানের সাথে অস্থিরতা সম্পর্ক

একটি কণা যার মোট কোণীয় গতির মান <math>j</math> এর জন্য নিম্নলিখিত অস্থিরতা সম্পর্ক প্রযোজ্য
<math display="block">
\sigma_{J_x}^2+\sigma_{J_y}^2+\sigma_{J_z}^2\ge j,
</math>
যেখানে <math>J_l</math> হল কোণীয় গতির উপাদান। এই সম্পর্কটি থেকে প্রাপ্ত হয়
<math display="block">
\langle J_x^2+J_y^2+J_z^2\rangle = j(j+1),
</math>
এবং
<math display="block">
\langle J_x\rangle^2+\langle J_y\rangle^2+\langle J_z\rangle^2\le j.
</math>
এটি শক্তিশালী করা যেতে পারে<ref name="PhysRevResearch21" /><ref>{{cite journal |last1=Chiew |first1=Shao-Hen |last2=Gessner |first2=Manuel |title=Improving sum uncertainty relations with the quantum Fisher information |journal=Physical Review Research |date=31 January 2022 |volume=4 |issue=1 |pages=013076 |doi=10.1103/PhysRevResearch.4.013076|arxiv=2109.06900 |bibcode=2022PhRvR...4a3076C |s2cid=237513883 }}</ref>
<math display="block">
\sigma_{J_x}^2+\sigma_{J_y}^2+F_Q[\varrho,J_z]/4\ge j,
</math>
যেখানে <math>F_Q[\varrho,J_z]</math> হল কোয়ান্টাম ফিশার তথ্য।

ইতিহাস
{{See also|Quantum Mechanics ইতিহাস}}
১৯২৫ সালে হাইজেনবার্গ তাঁর ''Umdeutung'' (পুনঃব্যাখ্যা) প্রবন্ধ প্রকাশ করেন যেখানে তিনি দেখিয়েছিলেন যে কোয়ান্টাম তত্ত্বের একটি মূল দিক ছিল না-[[কমিউটেটিভিটি]]: তত্ত্বটি ইঙ্গিত করছিল যে অবস্থান এবং গতি পরিমাপের আপেক্ষিক অর্ডার গুরুত্বপূর্ণ। [[Max Born]] এবং [[Pascual Jordan]] এর সাথে কাজ করে, তিনি [[ম্যাট্রিক্স মেকানিক্স]] উন্নত করতে থাকেন, যা পরবর্তীতে প্রথম আধুনিক কোয়ান্টাম মেকানিক্স রূপান্তর হবে।<ref>{{Cite book |last=Whittaker |first=Edmund T. |title=A history of the theories of aether & electricity|volume= II: The modern theories, 1900–1926 |date=1989 |publisher=Dover Publ |isbn=978-0-486-26126-3 |edition=Repr |location=New York|page=267}}</ref> 
[[চিত্র:Heisenbergbohr.jpg|থাম্ব|Werner Heisenberg and Niels Bohr]]
১৯২৬ সালের মার্চে, বোহরের ইনস্টিটিউটে কাজ করতে গিয়ে হাইজেনবার্গ বুঝতে পারেন যে না-কমিউটেটিভিটি অস্থিরতা তত্ত্বের জন্ম দেয়। ১৯২৭ সালের ফেব্রুয়ারিতে তিনি [[Wolfgang Pauli]] এর কাছে একটি চিঠি লিখে মৌলিক ধারণাগুলি আলোচনা করেন।<ref>{{Cite web |title=This Month in Physics History |url=http://www.aps.org/publications/apsnews/200802/physicshistory.cfm |access-date=2023-11-04 |website=www.aps.org |language=en |archive-date=2011-01-30 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110130195156/http://aps.org/publications/apsnews/200802/physicshistory.cfm |url-status=live }}</ref>

তার বিখ্যাত ১৯২৭ সালের প্রবন্ধ "{{lang|de|Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik}}" ("কোয়ান্টাম তত্ত্বীয় কাইনেমেটিক্স এবং মেকানিক্সের প্রাঞ্জল বিষয়বস্তুতে") এ হাইজেনবার্গ এই প্রকাশনা প্রতিষ্ঠা করেন যা যে কোনো অবস্থান পরিমাপের কারণে অগ্রাধিকারমূলক গতির ব্যাঘাতের পরিমাণ ছিল অপরিহার্য,<ref name=":0" /> তবে তিনি অস্থিরতা Δx এবং Δ''p'' এর সঠিক সংজ্ঞা দেননি। তার প্রবন্ধটি বোহর দ্বারা ভুল হিসেবে চিহ্নিত হয়েছিল; হাইজেনবার্গ এটি সংশোধনের জন্য একটি পরিশিষ্ট যুক্ত করেছিলেন।
তার 1930 সালের শিকাগো বক্তৃতায়<ref name="Heisenberg_1930">{{Citation |first=W. |last=Heisenberg |year=1930 |title=Physikalische Prinzipien der Quantentheorie |language=de|location=Leipzig |publisher=Hirzel }} ইংরেজি অনুবাদ ''The Physical Principles of Quantum Theory''. শিকাগো: ইউনিভার্সিটি অফ শিকাগো প্রেস, 1930।</ref> তিনি তার তত্ত্বটি পরিমার্জন করেন:
{{NumBlk|:|<math>\Delta x \, \Delta p\gtrsim h</math>|{{EquationRef|A1}}}}

পরে আরও কাজের মাধ্যমে ধারণাটি সম্প্রসারিত হয়। যে দুটি ভেরিয়েবল একে অপরের সাথে কমিউট করে না, তা একসাথে পরিমাপ করা যায় না—যতটা একটির মান সঠিকভাবে জানা যাবে, অন্যটির মান ততটাই কম সঠিকভাবে জানা যাবে। হেইসেনবার্গ লিখেছিলেন:<blockquote>এটি সবচেয়ে সহজভাবে এইভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে: একে অপরকে সঠিকভাবে জানানো কখনো সম্ভব নয়—যে দুটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান একটি ছোট কণার গতি নির্ধারণ করে—তার অবস্থান এবং তার বেগ। একই সময়ে ''উভয়'' অবস্থান এবং দিক এবং গতি সঠিকভাবে নির্ধারণ করা অসম্ভব।<ref>Heisenberg, W., ''Die Physik der Atomkerne'', Taylor & Francis, 1952, পৃষ্ঠা 30।</ref></blockquote>

[[Earle Hesse Kennard|কেনার্ড]]<ref name="Kennard" /><ref name=Sen2014 />{{rp|204}} 1927 সালে আধুনিক অসাম্য প্রমাণ করেন:
{{NumBlk|:|<math>\sigma_x\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2}</math>|{{EquationRef|A2}}}}
যেখানে {{math|1=''ħ'' = {{sfrac|''h''|2''π''}}}}, এবং {{math|''σ<sub>x</sub>''}}, {{math|''σ<sub>p</sub>''}} হল অবস্থান এবং গতি মাপকরণের মানদণ্ড। (হেইসেনবার্গ শুধুমাত্র গাউসিয়ান অবস্থা বিশেষ ক্ষেত্রে সম্পর্ক ({{EquationNote|A2}}) প্রমাণ করেছিলেন।<ref name="Heisenberg_1930"/>) 1929 সালে রবার্টসন অসাম্যটি সমস্ত অবজার্ভেবলসের জন্য সাধারণীকৃত করেন এবং 1930 সালে শ্রোডিঙ্গার অপারেটরের কোভেরিয়েন্সকে শূন্যের বাইরে ব্যাপকতর আকারে প্রসারিত করেন; এই ফলাফলটি রবার্টসন-শ্রোডিঙ্গার অসাম্য নামে পরিচিত।<ref name=Sen2014 />{{rp|204}}

=== শব্দাবলী এবং অনুবাদ ===
তার মূল 1927 সালের কাগজটির মধ্যে, যা জার্মান ভাষায় লেখা ছিল, হেইসেনবার্গ ''Ungenauigkeit'' শব্দটি ব্যবহার করেছিলেন,<ref name=":0" />
মূল তাত্ত্বিক তত্ত্ব বর্ণনা করতে। শুধু শেষের নোটে তিনি ''Unsicherheit'' শব্দে পরিবর্তিত হন। পরবর্তী সময়ে তিনি সর্বদা ''Unbestimmtheit'' শব্দটি ব্যবহার করেছেন। তবে যখন হেইসেনবার্গের পাঠ্যপুস্তকের ইংরেজি সংস্করণ, ''The Physical Principles of the Quantum Theory'', 1930 সালে প্রকাশিত হয়, তখন শুধুমাত্র ইংরেজি শব্দ "uncertainty" ব্যবহৃত হয় এবং এটি ইংরেজি ভাষায় পরিভাষা হিসেবে ব্যবহৃত হয়।<ref>{{Citation |first1=David |last1=Cassidy |year=2009 |title=Beyond Uncertainty: Heisenberg, Quantum Physics, and the Bomb |location= New York |publisher=Bellevue Literary Press |page=185 |bibcode=2010PhT....63a..49C |bibcode-access=free |last2=Saperstein |first2=Alvin M. |volume=63 |issue=1 |journal=Physics Today |doi=10.1063/1.3293416 |doi-access=free |url=https://pubs.aip.org/physicstoday/article/63/1/49/413272/Beyond-Uncertainty-Heisenberg-Quantum-Physics-and |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20240104193333/https://pubs.aip.org/physicstoday/article/63/1/49/413272/Beyond-Uncertainty-Heisenberg-Quantum-Physics-and |archive-date= Jan 4, 2024 }}</ref>

=== হেইসেনবার্গের মাইক্রোস্কোপ ===
[[চিত্র:Heisenberg gamma ray microscope.svg|থাম্ব|200px|ডান|হেইসেনবার্গের গামা রে মাইক্রোস্কোপ যা একটি ইলেকট্রনের অবস্থান নির্ধারণের জন্য (নীল রঙে দেখানো)। আসন্ন গামা রে (সবুজ রঙে দেখানো) ইলেকট্রন দ্বারা বিক্ষিপ্ত হয়ে মাইক্রোস্কোপের অ্যাপারচার কোণ ''θ'' এ ওঠে। বিক্ষিপ্ত গামা রে লাল রঙে দেখানো।]] 
{{Main article|Heisenberg's microscope}}

এই তত্ত্বটি বেশ বিপরীতধর্মী, তাই কোয়ান্টাম তত্ত্বের প্রথম শিক্ষার্থীদের এটি নিশ্চিত করতে হয়েছিল যে তা লঙ্ঘন করতে সক্ষম এমন পরিমাপগুলি সবসময় অকার্যকর হবে। হেইসেনবার্গ প্রথমবারের মতো এক ধরনের কল্পনাপ্রসূত মাইক্রোস্কোপ ব্যবহার করে অজানা তত্ত্বটির অন্তর্নিহিত অক্ষমতা দেখানোর চেষ্টা করেছিলেন।<ref name="Heisenberg_1930"/>

তিনি একটি পরীক্ষা কল্পনা করেছিলেন যেখানে গবেষক একটি [[ফোটন]] ইলেকট্রনের অবস্থান এবং গতি পরিমাপ করতে এটিতে শুট করবে।<ref name=GreensteinZajonc2006>{{cite book|first1=George |last1=Greenstein|first2=Arthur |last2=Zajonc|authorlink2=Arthur Zajonc|title=The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of Quantum Mechanics|year=2006|publisher=Jones & Bartlett Learning|isbn=978-0-7637-2470-2}}</ref>{{rp|49–50}}
* সমস্যা 1 – যদি ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য ছোট হয়, এবং তার ফলে বড় গতি থাকে, তবে অবস্থান সঠিকভাবে পরিমাপ করা যেতে পারে। কিন্তু ফোটনটি একটি র্যান্ডম দিক থেকে ছড়িয়ে পড়ে, যা ইলেকট্রনকে বড় এবং অস্বচ্ছ গতির পরিমাণে স্থানান্তরিত করে। যদি ফোটনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য দীর্ঘ এবং গতি কম হয়, তাহলে সংঘর্ষটি ইলেকট্রনের গতিতে তেমন প্রভাব ফেলবে না, কিন্তু অবস্থান কেবল অস্পষ্টভাবে জানা যাবে।
* সমস্যা 2 – যদি মাইক্রোস্কোপের জন্য একটি বড় অ্যাপারচার ব্যবহার করা হয়, তবে ইলেকট্রনের অবস্থান ভালভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে (দেখুন [[Angular resolution#The_Rayleigh_criterion|রাইলি মানদণ্ড]]); কিন্তু [[গতি সংরক্ষণ সূত্র|গতি সংরক্ষণ সূত্র]] অনুসারে, আসন্ন ফোটনের ট্রান্সভার্স মোমেন্টাম ইলেকট্রনের লাইন মোমেন্টামকে প্রভাবিত করে এবং তাই ইলেকট্রনের নতুন গতি সঠিকভাবে নির্ধারণ করা যায় না। যদি একটি ছোট অ্যাপারচার ব্যবহার করা হয়, তবে উভয় পরিমাপের সঠিকতা পরস্পর বিপরীত হয়ে যায়।

এই ট্রেড-অফগুলির সমন্বয়ে এমন কিছু প্রমাণিত হয় যে, কোন ধরনের ফোটন তরঙ্গদৈর্ঘ্য এবং অ্যাপারচার আকার ব্যবহার করেই না কেন, পরিমাপিত অবস্থান এবং গতি অনিশ্চয়তার গুণফল সর্বনিম্ন সীমার চেয়ে বড় বা সমান, যা (ছোট একটি গাণিতিক গুণফল ব্যতীত) [[প্লাঙ্ক ধ্রুবক]] এর সমান।<ref>{{Citation |last1=Tipler |first1=Paul A. |first2=Ralph A. |last2=Llewellyn |title=Modern Physics |volume=3 |publisher=W.H. Freeman & Co. |year=1999 |isbn=978-1572591646|lccn= 98046099
|url-access=|url=https://archive.org/details/modernphysics0003tipl |page=3 }}</ref> হেইসেনবার্গ এই অসাম্যকে একটি নির্দিষ্ট সীমা হিসেবে গঠন করতে চাননি, বরং এটি একটি হিউরিস্টিক পরিমাণগত বিবৃতি হিসেবে ব্যবহার করেছিলেন, যা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের নতুন অ-কমিউটেটিভিটি অবধি অনিবার্য ছিল।
ঐতিহাসিকভাবে, অনিশ্চয়তা নীতিটি প্রায়ই [[ভৌতবিজ্ঞান|ভৌতবিজ্ঞানে]] একটি সম্পর্কিত প্রভাবের সঙ্গে বিভ্রান্ত হয়েছে, যেটি [[অবজার্ভার প্রভাব (ভৌতবিজ্ঞান)|অবজার্ভার প্রভাব]] নামে পরিচিত, যা বলে যে কিছু সিস্টেমের পরিমাপ করা সম্ভব নয় যে সিস্টেমে কিছু না কিছু প্রভাব না ফেলেই।<ref>{{Citation|last=Furuta|first=Aya|title=One Thing Is Certain: Heisenberg's Uncertainty Principle Is Not Dead|journal=Scientific American|year=2012|url=https://www.scientificamerican.com/article/heisenbergs-uncertainty-principle-is-not-dead/|access-date=2018-10-20|archive-date=2022-04-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20220401183444/https://www.scientificamerican.com/article/heisenbergs-uncertainty-principle-is-not-dead/|url-status=live}}</ref><ref name="Ozawa2003">{{Citation | last=Ozawa | first=Masanao | title=Universally valid reformulation of the Heisenberg uncertainty principle on noise and disturbance in measurement | journal=Physical Review A | volume=67 | year=2003 | doi=10.1103/PhysRevA.67.042105|arxiv = quant-ph/0207121 |bibcode = 2003PhRvA..67d2105O | issue=4 | pages=42105 | s2cid=42012188}}</ref> হেইসেনবার্গ এই ধরনের অবজার্ভার প্রভাবটি কোয়ান্টাম স্তরে ব্যবহার করেছিলেন (নীচে দেখুন) কোয়ান্টাম অনিশ্চয়তার একটি শারীরিক "ব্যাখ্যা" হিসেবে।<ref>Werner Heisenberg, ''The Physical Principles of the Quantum Theory'', পৃষ্ঠা ২০</ref> তবে পরবর্তীতে এটি স্পষ্ট হয়েছে যে, অনিশ্চয়তা নীতি হল সমস্ত [[তরঙ্গ|তরঙ্গ-সদৃশ সিস্টেম]] এর মধ্যে একটি অন্তর্নিহিত বৈশিষ্ট্য,<ref name="Rozema">{{Cite journal | last1 = Rozema | first1 = L. A. | last2 = Darabi | first2 = A. | last3 = Mahler | first3 = D. H. | last4 = Hayat | first4 = A. | last5 = Soudagar | first5 = Y. | last6 = Steinberg | first6 = A. M. | doi = 10.1103/PhysRevLett.109.100404 |arxiv = 1208.0034v2| title = Violation of Heisenberg's Measurement–Disturbance Relationship by Weak Measurements | journal = Physical Review Letters | volume = 109 | issue = 10 | year = 2012 | pmid = 23005268|bibcode = 2012PhRvL.109j0404R | page=100404| s2cid = 37576344 }}</ref> এবং এটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সে শুধু কোয়ান্টাম বস্তুগুলির [[ম্যাটার তরঙ্গ]] প্রকৃতির কারণে উদ্ভূত।<ref>{{Cite journal |last=De Broglie |first=Louis |date=October 1923 |title=Waves and Quanta |url=https://archive.org/details/sim_nature-uk_1923-10-13_112_2815/page/n12 |journal=Nature |language=en |volume=112 |issue=2815 |pages=540 |doi=10.1038/112540a0 |bibcode=1923Natur.112..540D |s2cid=186242764 |issn=1476-4687|doi-access=free }}</ref> অতএব, অনিশ্চয়তা নীতিটি আসলে কোয়ান্টাম সিস্টেমগুলির একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং এটি বর্তমান প্রযুক্তির পর্যবেক্ষণগত সফলতার একটি বক্তব্য নয়।<ref name=nptel>{{YouTube|TcmGYe39XG0|Indian Institute of Technology Madras, Professor V. Balakrishnan, Lecture 1 – Introduction to Quantum Physics; Heisenberg's uncertainty principle, National Programme of Technology Enhanced Learning}}</ref>

== সমালোচনামূলক প্রতিক্রিয়া ==
{{Main article|Bohr–Einstein debates}}

কোپنহেগেন তাত্ত্বিক মেকানিক্স এবং হেইসেনবার্গের অনিশ্চয়তা নীতি, প্রকৃতপক্ষে, প্রথমে সমালোচকদের দ্বারা দুটি লক্ষ্য হিসাবে দেখা হয়েছিল। কোپنহেগেন তাত্ত্বিক মেকানিক্স অনুযায়ী, কোয়ান্টাম অবস্থান যা বর্ণিত, তা কোনও মৌলিক বাস্তবতা নয়, শুধুমাত্র পরীক্ষামূলক ফলাফল হিসাব করার জন্য একটি নিয়ম। কোনো সিস্টেমের অবস্থা মৌলিকভাবে কী, তা বলা সম্ভব নয়, কেবল কীভাবে পর্যবেক্ষণের ফলাফল হতে পারে তা বলা সম্ভব।

[[আলবার্ট আইনস্টাইন]] বিশ্বাস করতেন যে, এলোমেলোতা আমাদের বাস্তবতার কিছু মৌলিক গুণাবলীর অজানা অবস্থার প্রতিফলন, তবে [[নিলস বোহর]] বিশ্বাস করতেন যে, সম্ভাব্যতা বিতরণগুলি মৌলিক এবং অপরিবর্তনীয়, এবং এটি নির্ভর করে আমরা কোন পরিমাপগুলি করতে চাই।

=== আদর্শ বিচ্ছিন্ন পর্যবেক্ষক ===
উলফগ্যাং পাউলি আইনস্টাইনের মৌলিক আপত্তিকে "বিচ্ছিন্ন পর্যবেক্ষকের আদর্শ" (জার্মান থেকে অনূদিত শব্দবন্ধ) বলেছিলেন:

{{Blockquote|"চাঁদের একটি সুনির্দিষ্ট অবস্থান আছে," আইনস্টাইন আমাকে বলেছিলেন গত শীতে, "যদিও আমরা চাঁদের দিকে না তাকাই, তবুও একই কথা পরমাণু বস্তুগুলির ক্ষেত্রেও সত্য, কারণ এগুলোর সাথে ম্যাক্রোস্কোপিক বস্তুগুলির মধ্যে কোন তীক্ষ্ণ পার্থক্য করা সম্ভব নয়। পর্যবেক্ষণ কোনো বাস্তবতা তৈরি করতে পারে না, যেমন অবস্থান, সেজন্য বাস্তবতার পূর্ণ বর্ণনার মধ্যে কিছু থাকা উচিত যা পরিমাপের সম্ভাবনাকে আগে থেকেই ধারণ করে, এখনও পর্যবেক্ষণটি কার্যকর না হওয়া পর্যন্ত।" আশা করি, আমি আইনস্টাইনের কথা সঠিকভাবে উদ্ধৃত করেছি; কখনো কখনো কাউকে উদ্ধৃত করা কঠিন হয়, বিশেষত যাদের সঙ্গে আপনি একমত নন। এটি হলো সেই ধরনের পোস্টুলেট যা আমি বিচ্ছিন্ন পর্যবেক্ষকের আদর্শ বলি।|পাউলি-কে নিলস বোহরকে লেখা চিঠি, ফেব্রুয়ারি ১৫, ১৯৫৫<ref>{{cite book |last1=Enz |first1=Charles Paul |last2=von Meyenn |first2=Karl |title=Writings on Physics and Philosophy by Wolfgang Pauli |url=https://books.google.com/books?id=ueTd4g7pc5MC&pg=PA43 |publisher=Springer-Verlag |year=1994 |page=43 |translator=Robert Schlapp |isbn=3-540-56859-X |access-date=2018-02-10 |archive-date=2020-08-19 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200819235529/https://books.google.com/books?id=ueTd4g7pc5MC&pg=PA43 |url-status=live }}</ref>}}

=== আইনস্টাইনের স্লিট ===
আইনস্টাইন তার অনিশ্চয়তা নীতির প্রথম চিন্তাভাবনাটি এইভাবে প্রকাশ করেছিলেন:

{{quote|ধরা যাক একটি কণা একটি স্লিটের মাধ্যমে পাস করছে যার প্রস্থ {{mvar|d}}। স্লিটটি একটি অনিশ্চয়তা সৃষ্টি করে প্রায় {{mvar|{{sfrac|h|d}}}} যে কারণে কণাটি দেয়ালটি অতিক্রম করে। তবে কণার গতি নির্ধারণের জন্য আমরা দেয়ালের প্রতিক্রিয়া পরিমাপ করি। এর ফলে, গতি সংরক্ষণ সূত্র ব্যবহার করে, কণার গতির যেকোনো নির্দিষ্ট সঠিকতা জানা সম্ভব।}}

বোহরের প্রতিক্রিয়া ছিল যে দেয়ালও কোয়ান্টাম মেকানিক্যাল, এবং গতি {{math|Δ''p''}} পরিমাপ করার জন্য, দেয়ালের গতি এই সঠিকতা জানার জন্য কণা দেয়াল পার হওয়ার আগে জানা উচিত। এর ফলে দেয়ালের অবস্থানে একটি অনিশ্চয়তা এবং স্লিটের অবস্থানে অনিশ্চয়তা দেখা দেয়, যেটি অবস্থান পরিমাপের জন্য যথেষ্ট পরিমাণে অনিশ্চিত হয়ে ওঠে।

একই ধরনের বিশ্লেষণ কণা যা একাধিক স্লিটের মাধ্যমে তির্যক হচ্ছে, তা [[রিচার্ড ফেইনম্যান]] দ্বারা ব্যাখ্যা করা হয়েছে।<ref>ফেইনম্যানের পদার্থবিজ্ঞানের বক্তৃতাগুলি, খণ্ড ৩, ২–২</ref>

=== আইনস্টাইনের বাক্স ===
বোহর উপস্থিত ছিলেন যখন আইনস্টাইন চিন্তাভাবনা করেছিলেন যে যা পরবর্তী সময়ে [[আইনস্টাইনের বাক্স]] নামে পরিচিত হয়েছে। আইনস্টাইন যুক্তি দিয়েছিলেন যে "হেইসেনবার্গের অনিশ্চয়তা সমীকরণ থেকে আমরা জানি যে সময়ের অনিশ্চয়তা শক্তির অনিশ্চয়তার সাথে সম্পর্কিত, এবং দুটির গুণফল প্লাঙ্ক ধ্রুবক থেকে সম্পর্কিত।"<ref name="Gamow">Gamow, G., ''The great physicists from Galileo to Einstein'', Courier Dover, 1988, পৃষ্ঠা ২৬০.</ref> তিনি বলেছিলেন, "ধরা যাক, একটি আদর্শ বাক্স, যা আয়না দ্বারা সজ্জিত, যেন এটি অনন্তকাল ধরে আলো ধারণ করতে পারে। বাক্সটি পরিমাপ করা যেতে পারে আগে একটি ক্লকওয়ার্ক যন্ত্রটি একটি আদর্শ শাটার খোলার মাধ্যমে একটি একক ফটোন বের হতে দেয়। এখন, আইনস্টাইন বলেছিলেন, আমরা সঠিকভাবে জানি যে ফটোনটি কখন বাক্সটি ছেড়েছে।" এখন, বাক্সটি আবার পরিমাপ করুন। ভরের পরিবর্তন থেকে নির্ধারণ করা যাবে নিঃসন্দেহে নির্দিষ্ট শক্তি, যেটি আইনস্টাইনের মতে অনিশ্চয়তা নীতির বিরোধিতা করবে।<ref>Kumar, M., ''Quantum: Einstein, Bohr and the Great Debate About the Nature of Reality'', Icon, 2009, পৃষ্ঠা ২৮২.</ref>
বোহার একটি অবিশ্রান্ত রাত কাটান এই যুক্তি নিয়ে ভাবনা চিন্তা করতে, এবং অবশেষে বুঝতে পারলেন যে এটি ত্রুটিপূর্ণ। তিনি পরামর্শ দেন যে যদি বাক্সটি ওজন করা হয়, যেমন একটি স্প্রিং এবং পয়েন্টার সহ একটি স্কেলে, "যেহেতু বাক্সটি তার ওজনের পরিবর্তনের সাথে উল্লম্বভাবে সরতে হবে, সেখানে তার উল্লম্ব গতির অস্থিরতা হবে এবং এর ফলে তার টেবিলের উপরে উচ্চতার অস্থিরতা হবে। ... এছাড়াও, পৃথিবীর পৃষ্ঠের উচ্চতার সম্পর্কিত অস্থিরতা ঘড়ির গতির উপরও প্রভাব ফেলবে", কারণ আইনস্টাইনের নিজস্ব তত্ত্ব অনুযায়ী [[মাধ্যাকর্ষণ সময় সম্প্রসারণ|মাধ্যাকর্ষণের প্রভাব সময়ে]] পড়ে। "এই সমস্ত অস্থিরতার মাধ্যমে, বোহার দেখিয়েছেন যে আইনস্টাইনের আলো বাক্স পরীক্ষা একসাথে ফটোনের শক্তি এবং তার পালিয়ে যাওয়ার সময়ের সঠিক পরিমাপ করতে পারবে না।"

=== EPR প্যারাডক্স এবং একত্রিত কণা ===
{{মূল|আইনস্টাইন-পডোলস্কি-রোজেন প্যারাডক্স}}
১৯৩৫ সালে, আইনস্টাইন, [[বোরিস পডোলস্কি]] এবং [[নাথান রোজেন]] একত্রিত কণার (EPR প্যারাডক্স) বিশ্লেষণ প্রকাশ করেন।<ref>{{Cite journal |last1=Einstein |first1=A. |last2=Podolsky |first2=B. |last3=Rosen |first3=N. |date=1935-05-15 |title=Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? |journal=Physical Review |volume=47 |issue=10 |pages=777–780 |doi=10.1103/PhysRev.47.777|bibcode=1935PhRv...47..777E |doi-access=free }}</ref> EPR-এর মতে, একটির অবস্থান এবং দ্বিতীয়টির গতি পরিমাপ করা হলে, সেই পরিমাপ থেকে উভয় কণার অবস্থান এবং গতি যেকোনো নির্দিষ্টতা পর্যন্ত অনুমান করা যাবে, যা অস্থিরতা তত্ত্বের বিরুদ্ধে যাবে। এ থেকে বুঝা যায় যে, একটি কণার পরিমাপের জন্য অন্য কণার সম্ভাব্যতা বিতরণকে অবিলম্বে পরিবর্তন করতে হবে, যা [[স্থানীয়তা নীতির]] লঙ্ঘন হতে পারে।<ref>{{Cite book |last=Kumar |first=Manjit |title=Quantum: Einstein, Bohr and the great debate about the nature of reality |url=https://archive.org/details/quantumeinsteinb00manj |date=2011 |publisher=Norton |isbn=978-0-393-33988-8 |edition=1st paperback |location=New York}}</ref>

১৯৬৪ সালে, [[জন স্টুয়ার্ট বেল]] দেখিয়েছিলেন যে এই ধারণাটি ভ্রান্ত, কারণ এটি একটি নির্দিষ্ট [[বেল থিওরেম|অবস্থা]] প্রমাণ করতে পারে যা আলাদা পরীক্ষা গুলোর সম্ভাবনাগুলির মধ্যে অসম্পূর্ণতা সৃষ্টি করবে। [[বেল পরীক্ষার|প্রায়োগিক ফলাফল]] কুয়ান্টাম মেকানিক্সের পূর্বাভাসের সমর্থনে আসে, যা EPR-এর মূল ধারণা স্থানীয় হিডেন ভেরিয়েবলের বিরুদ্ধে প্রমাণিত করে।

=== পপারের সমালোচনা ===
{{মূল নিবন্ধ|পপারের পরীক্ষা}}
বিজ্ঞান দার্শনিক [[কার্ল পপার]] অস্থিরতার সমস্যা একটি যৌক্তিক এবং [[দার্শনিক বাস্তববাদ|মেটাফিজিক্যাল রিয়েলিজম]] হিসেবে বিশ্লেষণ করেছিলেন।<ref name="Popper1959">{{cite book | last1 = Popper | first1 = Karl | author-link1 = Karl Popper | title = The Logic of Scientific Discovery | publisher = Hutchinson & Co. | year = 1959| title-link = The Logic of Scientific Discovery }}</ref> তিনি একক কণার উপর অস্থিরতা সম্পর্কগুলির প্রয়োগের বিরোধিতা করেছিলেন এবং একে [[কুয়ান্টাম সংগ্রহ]] বা সমানভাবে প্রস্তুত কণার একত্রিত সংখ্যা হিসেবেও পরিচিতি দিতেন, যাকে তিনি "পরিসংখ্যানগত ছড়ানো সম্পর্ক" বলে উল্লেখ করেছেন।<ref name="Popper1959" /><ref name="Jarvie2006">{{cite book | last1 = Jarvie | first1 = Ian Charles | last2 = Milford | first2 = Karl | last3 = Miller | first3 = David W. | title = Karl Popper: a centenary assessment | volume = 3 | publisher = Ashgate | year = 2006 | isbn = 978-0-7546-5712-5}}</ref> এই পরিসংখ্যানিক ব্যাখ্যায়, একটি নির্দিষ্ট পরিমাপ যেকোনো সুনির্দিষ্টতা পর্যন্ত করা যেতে পারে, যা কুয়ান্টাম তত্ত্বকে ভুল প্রমাণ করবে না।

১৯৩৪ সালে, পপার প্রকাশ করেন {{lang|de|italic=no|Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen}} ("অস্থিরতা সম্পর্কের সমালোচনা") {{lang|de|[[Naturwissenschaften]]}},<ref name="Popper1934">{{cite journal | title = Zur Kritik der Ungenauigkeitsrelationen | url = https://archive.org/details/sim_naturwissenschaften_1934-11-30_22_48/page/n9 |language=de |trans-title=Critique of the Uncertainty Relations | journal = Naturwissenschaften | year = 1934 | first = Karl | last = Popper | author2 = Carl Friedrich von Weizsäcker | volume = 22 | issue = 48 | pages = 807–808 | doi=10.1007/BF01496543|bibcode = 1934NW.....22..807P | s2cid = 40843068}}</ref> এবং একই বছর {{lang|de|[[The Logic of Scientific Discovery|Logik der Forschung]]}} (অনুবাদ ও আপডেট করেছেন ''The Logic of Scientific Discovery'' ১৯৫৯ সালে<ref name="Popper1959" />), যা তার পরিসংখ্যানিক ব্যাখ্যার যুক্তি তুলে ধরেছিল। ১৯৮২ সালে, তিনি তার তত্ত্ব আরও উন্নত করেন ''Quantum theory and the schism in Physics''-এ, লিখেছিলেন:

{{quote|[হেইসেনবার্গের] সূত্রগুলো, সন্দেহাতীতভাবে, কুয়ান্টাম তত্ত্বের ''পরিসংখ্যানিক সূত্র'' হিসেবে প্রমাণিত হতে পারে। কিন্তু এগুলো ''অভ্যাসগতভাবে ভুল ব্যাখ্যা করা হয়েছে'' সেই সমস্ত কুয়ান্টাম তত্ত্ববিদদের দ্বারা যারা বলেছিল যে এই সূত্রগুলি আমাদের পরিমাপের একটি সীমা নির্ধারণ করতে পারে। [মূল জোরালো শব্দ]}}<ref>{{cite book |last=Popper |first=K. |title=Quantum theory and the schism in Physics |publisher=Unwin Hyman |year=1982 |pages=53–54}}</ref>}}

পপার একটি পরীক্ষা প্রস্তাব করেছিলেন [[ভ্রান্ততা|ভ্রান্ত]] করতে অস্থিরতা সম্পর্ক, যদিও তিনি পরে তার প্রাথমিক সংস্করণ প্রত্যাহার করেন [[কার্ল ফ্রিডরিচ ভন ভাইজস্যাকার]], হেইসেনবার্গ এবং আইনস্টাইনের সাথে আলোচনা করার পর; পপার তার পত্রটি আইনস্টাইনকে পাঠিয়েছিলেন এবং এটি EPR প্যারাডক্সের ফর্মুলেশনকে প্রভাবিত করতে পারে।<ref name="Mehra2001">{{cite book | last1 = Mehra | first1 = Jagdish | last2 = Rechenberg | first2 = Helmut | author-link1 = Jagdish Mehra | author-link2 = Helmut Rechenberg | title = The Historical Development of Quantum Theory | publisher = Springer | year = 2001 | isbn = 978-0-387-95086-0 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/completionofquan0000mehr }}</ref>{{rp|720}}

=== স্বাধীন ইচ্ছা ===
কিছু বিজ্ঞানী, [[আর্থার কম্পটন]]<ref>{{Cite journal | doi = 10.1126/science.74.1911.172| title = The Uncertainty Principle and Free Will| url = https://archive.org/details/sim_science_1931-08-14_74_1911/page/n12| journal = Science| volume = 74| issue = 1911| pages = 172| year = 1931| last1 = Compton | first1 = A. H. | pmid=17808216|bibcode = 1931Sci....74..172C | s2cid = 29126625}}</ref> এবং [[মার্টিন হেইসেনবার্গ]],<ref>{{Cite journal | doi = 10.1038/459164a| pmid = 19444190| title = Is free will an illusion?| journal = Nature| volume = 459| issue = 7244| pages = 164–165| year = 2009| last1 = Heisenberg | first1 = M. |bibcode = 2009Natur.459..164H | s2cid = 4420023| doi-access = free}}</ref> ধারণা করেছেন যে অস্থিরতা তত্ত্ব, অথবা কুয়ান্টাম মেকানিক্সের সাধারণ সম্ভাব্য প্রকৃতি, স্বাধীন ইচ্ছার দুটি স্তরের মডেলটির প্রমাণ হতে পারে। তবে একটি সমালোচনা হলো যে কুয়ান্টাম মেকানিক্স জীববিজ্ঞানে একটি মৌলিক ভূমিকা রাখলেও, [[কুয়ান্টাম জীববিজ্ঞান|জীববিজ্ঞানী প্রক্রিয়া যেখানে কুয়ান্টাম মেকানিক্স প্রয়োজন]] তেমন কিছু অপ্রত্যাশিত নয়, কারণ কক্ষের তাপমাত্রায় কুয়ান্টাম সিস্টেমের দ্রুত [[কুয়ান্টাম বিকিরণ|ডিকোহেরেন্স]] সময় ঘটে।<ref name="ReferenceA">{{Cite journal | doi = 10.1016/j.biosystems.2004.07.001| pmid = 15555759| title = Does quantum mechanics play a non-trivial role in life?| journal = Biosystems| volume = 78| issue = 1–3| pages = 69–79| year = 2004| last1 = Davies | first1 = P. C. W. | bibcode = 2004BiSys..78...69D}}</ref> এই তত্ত্বের সমর্থকরা সাধারণত বলেন যে এই ডিকোহেরেন্স জীবাণু কোষে স্ক্রীনিং এবং ডিকোহেরেন্স-ফ্রি সাবস্পেসগুলির মাধ্যমে সমাধান করা হয়।<ref name="ReferenceA"/>
=== তাপগতিবিজ্ঞান ===
এমন কিছু কারণ আছে যা থেকে মনে করা হয় যে অনিশ্চয়তা নীতি ভঙ্গ করা মানে দ্বিতীয় তাপগতির নীতি ভঙ্গ করা।<ref>{{Cite journal |arxiv = 1205.6894|doi = 10.1038/ncomms2665|title = A violation of the uncertainty principle implies a violation of the second law of thermodynamics|year = 2013|last1 = Hänggi|first1 = Esther|last2 = Wehner|first2 = Stephanie|journal = Nature Communications|volume = 4|pages = 1670|pmid = 23575674|bibcode = 2013NatCo...4.1670H|s2cid = 205316392}}</ref> দেখুন [[গিবস পারাডক্স]]।

=== নীতির অস্বীকৃতি ===
অনিশ্চয়তা নীতিগুলি কোয়ান্টাম কণার সাথে সম্পর্কিত – যেমন [[ইলেকট্রন]] – যা ক্লাসিক্যাল ধারণাগুলির সাথে – অবস্থান এবং গতি। এটি ধরা হয় যে কোয়ান্টাম কণার অবস্থান এবং গতি আছে। [[এডউইন সি. কেম্বল]] ১৯৩৭ সালে উল্লেখ করেছিলেন<ref>{{cite book |last=Kemble |first=E. C. |year=1937 |title=The Fundamental Principles of Quantum Mechanics |location=New York |publisher=McGraw-Hill, reprinted by Dover |page=244}}</ref>{{clarify inline|reason=এই পৃষ্ঠা নম্বর কোন সংস্করণে উল্লিখিত তা স্পষ্ট করতে হবে|date=ডিসেম্বর ২০২৪}} যে এমন গুণাবলী পরীক্ষামূলকভাবে যাচাই করা সম্ভব নয় এবং এগুলিকে অস্তিত্ব দেওয়া অনেক সংকট সৃষ্টি করে; একইভাবে [[রুডলফ হাগ]] উল্লেখ করেছেন যে কোয়ান্টাম যান্ত্রিক অবস্থানে একটি পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে, যেমন একটি ইলেকট্রনের এবং একটি ডিটেকটরের মধ্যে, এটি একটি অন্তর্নিহিত গুণ নয়।<ref>{{cite book |last=Haag |first=R. |year=1996 |title=Local Quantum Physics: Fields, Particles, Algebras |url=https://archive.org/details/localquantumphys0000haag |location=Berlin |publisher=Springer}}{{page?|date=ফেব্রুয়ারি ২০২৪}}{{ISBN?}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Peres |first1=Asher |url=https://link.aps.org/doi/10.1103/RevModPhys.76.93 |title=Quantum information and relativity theory |last2=Terno |first2=Daniel R. |journal=Reviews of Modern Physics |date=2004-01-06 |volume=76 |issue=1 |pages=93–123 [111] |language=en |doi=10.1103/RevModPhys.76.93 |arxiv=quant-ph/0212023 |bibcode=2004RvMP...76...93P |s2cid=7481797 |issn=0034-6861 |access-date=2024-01-25 |archive-date=2024-02-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240223160147/https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.76.93 |url-status=live }}</ref> এই দৃষ্টিকোণ থেকে অনিশ্চয়তা নীতি একটি মৌলিক কোয়ান্টাম বৈশিষ্ট্য নয়, বরং এটি একটি ধারণা যা "আমাদের পূর্বপুরুষদের ভাষা থেকে নেওয়া হয়েছে", যেমন কেম্বল বলেছিলেন।

== প্রয়োগসমূহ ==
যেহেতু অনিশ্চয়তা নীতি কোয়ান্টাম যান্ত্রিকতার একটি মৌলিক ফলাফল, সাধারণ কোয়ান্টাম যান্ত্রিক পরীক্ষাগুলি এর বিভিন্ন দিক পর্যবেক্ষণ করে থাকে। সমস্ত ধরনের [[স্পেকট্রোস্কোপি]], [[পদার্থবিজ্ঞান]] এর মধ্যে এই সম্পর্ক ব্যবহার করা হয় পরিমাপিত শক্তি লাইনের প্রস্থ এবং কোয়ান্টাম অবস্থার আয়ু সম্পর্কিত করার জন্য। তবে কিছু পরীক্ষায় অনিশ্চয়তা নীতির একটি নির্দিষ্ট রূপ পরীক্ষামূলকভাবে যাচাই করা হয়, যা তাদের মূল গবেষণার অংশ। এর মধ্যে কিছু পরীক্ষার উদাহরণ হলো [[সুপারকন্ডাক্টিভিটি]]<ref>{{cite journal|last1=Elion|first1=W. J. | last2=Matters | first2=M. | last3=Geigenmüller | first3=U. | last4=Mooij | first4=J. E. | title=Direct demonstration of Heisenberg's uncertainty principle in a superconductor | journal=Nature | volume=371 | pages=594–595 | year=1994 | doi= 10.1038/371594a0 | bibcode = 1994Natur.371..594E | issue=6498 | s2cid=4240085}}</ref> বা [[কোয়ান্টাম অপটিক্স]]<ref>{{cite journal |last1=Smithey |first1=D. T. |first2=M. |last2=Beck |first3=J. |first4=Cooper |first4=M. G. |last4=Raymer | title=Measurement of number–phase uncertainty relations of optical fields | journal=Physical Review A |volume=48 | pages=3159–3167 | year=1993|doi=10.1103/PhysRevA.48.3159|bibcode = 1993PhRvA..48.3159S|issue=4|pmid=9909968}}</ref> সিস্টেমগুলো। অনিশ্চয়তা নীতির উপর নির্ভরশীল কিছু প্রযুক্তির মধ্যে অত্যন্ত কম গোলমাল প্রযুক্তি রয়েছে যেমন [[মহাকর্ষ তরঙ্গ ইন্টারফেরোমিটার|মহাকর্ষ তরঙ্গ ইন্টারফেরোমিটার]]গুলো।<ref>{{cite journal|last=Caves|first=Carlton|title=Quantum-mechanical noise in an interferometer|journal=Physical Review D | volume=23 | pages=1693–1708 | year=1981|doi=10.1103/PhysRevD.23.1693|bibcode = 1981PhRvD..23.1693C|issue=8 }}</ref>


== আরও দেখুন ==
* [[কোয়ান্টাম বিসংগতি]]

== তথ্যসূত্র ==

{{সূত্র তালিকা}}

== বহিঃসংযোগ ==
* {{springer|title=Uncertainty principle|id=p/u095100}}
* [http://plato.stanford.edu/entries/qt-uncertainty/ Stanford Encyclopedia of Philosophy entry]

{{পদার্থবিজ্ঞান-অসম্পূর্ণ}}
{{দৃষ্টবাদ}}
{{কর্তৃপক্ষ নিয়ন্ত্রণ}}

[[বিষয়শ্রেণী:কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান]]
[[বিষয়শ্রেণী:মূলনীতি]]
[[বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান]]
[[বিষয়শ্রেণী:অসাম্য]]
[[বিষয়শ্রেণী:বৈজ্ঞানিক সূত্র]]
[[বিষয়শ্রেণী:১৯২৭-এ বিজ্ঞান]]
[[বিষয়শ্রেণী:১৯২৭-এ জার্মানি]]