অয়লার গুণজ-এর উৎস দেখুন

[[সংখ্যাতত্ত্ব|সংখ্যাতত্ত্বে]] '''অয়লার গুণজ''' হলো [[ডিরিখলে ধারা]]র এক বিস্তৃতি যা [[মৌলিক সংখ্যা]] দ্বারা সূচীকৃত একটি [[অসীম গুণফল]]। [[লেওনার্ড অয়লার]] দ্বারা প্রমাণিত এই ধারাটি নির্দিষ্ট ঘাতে উত্থিত সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যোগফলের জন্য দেওয়া হয়েছিল। এই ধারা এবং সমগ্র জটিল সমতলে এর ধারাবাহিকতা পরবর্তীতে [[জেটা ফাংশন|রিম্যান জেটা ফাংশন]] নামে পরিচিত হতে পারে।

== সংজ্ঞা ==

সাধারণভাবে, {{Mvar|a}} যদি একটি আবদ্ধ গুণক ফাংশন হয়, তাহলে ডিরিখলে ধারা

: <math>\sum_{n} \frac{a(n)}{n^s}\,</math>

সমান

: <math>\prod_{p} P(p, s) \quad \text{for } \operatorname{Re}(s) >1 .</math>

যেখানে গুণফলটি মৌলিক সংখ্যা {{Mvar|p}} -এর উপর নেওয়া হয় এবং {{Math|''P''(''p'', ''s'')}} হল সমষ্টি

: <math>\sum_{k=0}^\infty \frac{a(p^k)}{p^{ks}} = 1 + \frac{a(p)}{p^s} + \frac{a(p^2)}{p^{2s}} + \frac{a(p^3)}{p^{3s}} + \cdots </math>

প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা এইগুলিকে আনুষ্ঠানিক উদ্ভূত ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করি, তাহলে এই ধরনের একটি ''আনুষ্ঠানিক'' অয়লার গুণজ সম্প্রসারণের/ বিস্তৃতির অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হলো {{Math|''a''(''n'')}} গুণিত হবে: এটি ঠিক বলে যে {{Math|''a''(''n'')}} হল {{Math|''a''(''p<sup>k</sup>'')}}-এর গুণজ যখন {{Mvar|n}} গুণনীয়কগুলো স্বতন্ত্র মৌলিক সংখ্যা {{Mvar|p}} এর {{Math|''p<sup>k</sup>''}} ঘাতগুলির গুণফল হিসাবে থাকে।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ অবস্থা হলো যেটিতে {{Math|''a''(''n'')}} সম্পূর্ণরূপে গুণক, যাতে {{Math|''P''(''p'', ''s'')}} একটি [[গুণোত্তর ধারা]]। তারপর,

: <math>P(p, s)=\frac{1}{1-\frac{a(p)}{p^s}},</math>

যেমনটি [[জেটা ফাংশন|রিম্যান জেটা ফাংশনের]] ক্ষেত্রে, যেখানে {{Math|''a''(''n'') {{=}} 1}}, এবং আরও সাধারণভাবে ডিরিচলেট প্রতীকের ক্ষেত্রে।

== সন্নিবেশ ==

বাস্তবে সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে এমন অসীম ধারা এবং অসীম গুণজের বিস্তার কিছু জায়গায় একেবারে সন্নিবেশিত

: <math>\operatorname{Re}(s) > C,</math>

অর্থাৎ [[জটিল সংখ্যা|জটিল সংখ্যায়]] কিছু ডানদিকে অর্ধেক সমতল । এটি ইতিমধ্যেই কিছু তথ্য দেয়, উদাহরণস্বরূপ অসীম গুণজ, একত্রীকরণ, অ-শূন্য মান প্রদান; তাই অসীম ধারা দ্বারা প্রদত্ত ফাংশন এই ধরনের একটি অর্ধ-সমতলে শূন্য নয়।

মডুলার ফর্মের তত্ত্বে হর-এ দ্বিঘাত বহুপদীসহ অয়লার গুণজ থাকা সাধারণ। সাধারণ ল্যাংল্যান্ডস দর্শনে {{Mvar|m}} মাত্রার বহুপদীর সংযোগের একটি তুলনামূলক ব্যাখ্যা এবং {{Math|GL<sub>''m''</sub>}} এর উপস্থাপনা তত্ত্ব রয়েছে।

== উদাহরণ ==
নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে স্বরলিপি <math>\mathbb{P}</math> দ্বারা সকল মৌলিক সংখ্যার সেট কে বোঝানো হয়েছে, সেগুলো:
:<math>\mathbb{P}=\{p \in \mathbb{N}\,|\,p\text{ is prime}\}.</math>

অয়লার গুণজ রিম্যান জেটা ফাংশনের {{math|''ζ''(''s'')}} সাথে সম্পর্কযুক্ত, এছাড়াও গুণোত্তর ধারার যোগফল ব্যবহার করে,

:<math>\begin{align}
\prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\right) &= \prod_{p\ \in\ \mathbb{P}} \left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{ks}}\right) \\
&= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \zeta(s).
\end{align}</math>

যখন [[লিউভিল ফাংশন]] {{math|''λ''(''n'') {{=}} (−1)<sup>''ω''(''n'')</sup>}}, এটি হয়:

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{1}{1+\frac{1}{p^s}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\lambda(n)}{n^{s}} = \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.</math>

[[মোবিয়াস ফাংশন|মোবিয়াস ফাংশনের]] {{math|''μ''(''n'')}} জন্য দুই অয়লার গুণজ হলো:

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(1-\frac{1}{p^s}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu (n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)} </math>

এবং

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(1+\frac{1}{p^s}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\mu(n)|}{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}.</math>

এই দুটির অনুপাত দাঁড়ায়
:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{1+\frac{1}{p^s}}{1-\frac{1}{p^s}}\right) = \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right) = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}.</math>

যেহেতু {{mvar|s}}-এর জোড় মানের জন্য রিম্যান জেটা ফাংশন {{math|''ζ''(''s'')}} এর {{math|''π<sup>s</sup>''}} এর একটি মূলদ গুণিতক পরিপ্রেক্ষিতে একটি বিশ্লেষণাত্মক রাশি আছে, তাহলে জোড় সূচকের জন্য, এই অসীম গুণফল একটি মূলদ সংখ্যায় রূপান্তর করে। উদাহরণস্বরূপ, {{math|''ζ''(2) {{=}} {{sfrac|''π''<sup>2</sup>|6}}}}, {{math|''ζ''(4) {{=}} {{sfrac|''π''<sup>4</sup>|90}}}}, এবং {{math|''ζ''(8) {{=}} {{sfrac|''π''<sup>8</sup>|9450}}}}, তারপর,

:<math>\begin{align}
\prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{p^2+1}{p^2-1}\right) &= \frac53 \cdot \frac{10}{8} \cdot \frac{26}{24} \cdot \frac{50}{48} \cdot \frac{122}{120} \cdots &= \frac{\zeta(2)^2}{\zeta(4)} &= \frac52, \\[6pt]
\prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(\frac{p^4+1}{p^4-1}\right) &= \frac{17}{15} \cdot \frac{82}{80} \cdot \frac{626}{624} \cdot \frac{2402}{2400} \cdots &= \frac{\zeta(4)^2}{\zeta(8)} &= \frac76, 
\end{align}</math>

এবং আরও, ফলাফল রামানুজনের ফলাফলের সাথে মিল লক্ষ করা যায়। অসীম গুণজের এই পরিবারটির সমতুল্য হলো

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(1+\frac{2}{p^s}+\frac{2}{p^{2s}}+\cdots\right) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}, </math>

যেখানে {{math|''ω''(''n'')}} {{mvar|n}} এর স্বতন্ত্র মৌলিক গুণনীয়কের সংখ্যা গণনা করে এবং {{math|2<sup>''ω''(''n'')</sup>}} হল বর্গ-মুক্ত ভাজকের সংখ্যা।

যদি {{math|''χ''(''n'')}} কন্ডাকটর {{mvar|N}}-এর একটি ডিরিচলেট প্রতীক হয়, যেখানে {{mvar|χ}} সম্পূর্ণরূপে গুণিত হয় এবং {{math|''χ''(''n'')}} শুধুমাত্র {{math|''n'' mod ''N''}}-এর উপর নির্ভর করে, এবং {{math|''χ''(''n'') {{=}} 0}} যদি {{mvar|n}} ও {{mvar|N}} সহমৌলিক না হয়, তাহলে

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \frac{1}{1- \frac{\chi(p)}{p^s}} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.</math>

এখানে গুণফল থেকে বাদ দেওয়া সুবিধাজনক হলো মৌলিক সংখ্যা {{mvar|p}}/কন্ডাকটর {{mvar|N}}। রামানুজন জিটা ফাংশনের জন্য অয়লার গুণজকে সর্বায়নকৃত করেছেন এভাবে:

:<math> \prod_{p\, \in\, \mathbb{P}} \left(x-\frac{1}{p^s}\right)\approx \frac{1}{\operatorname{Li}_s (x)} </math>

{{math|''s'' > 1}} এর জন্য যেখানে {{math|Li<sub>''s''</sub>(''x'')}} হলো [[বহুলগারিদম]]। {{math|''x'' {{=}} 1}} জন্য উপরের গুণফল হবে কেবলমাত্র {{math|{{sfrac|1|''ζ''(''s'')}}}}।

== উল্লেখযোগ্য ধ্রুবক ==
অনেক সুপরিচিত ধ্রুবকের অয়লার গুণজ বিস্তৃতি রয়েছে।

{{pi}}-এর জন্য লিবনিজ প্রদত্ত সূত্র

:<math>\frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots</math>

অনন্য ডিরিখলে প্রতীক modulo&nbsp;4 ব্যবহার করে ডিরিচলেট ধারা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং সুপারপার্টিকুলার অনুপাতের একটি অয়লার গুণজে রূপান্তরিত করা যেতে পারে (ভগ্নাংশ যেখানে লব এবং হর 1 দ্বারা পৃথক হয়):

:<math>\frac{\pi}{4} = \left(\prod_{p\equiv 1\pmod 4}\frac{p}{p-1}\right)\left( \prod_{p\equiv 3\pmod 4}\frac{p}{p+1}\right)=\frac34 \cdot \frac54 \cdot \frac78 \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdots,</math>

যেখানে প্রতিটি লব একটি মৌলিক সংখ্যা এবং প্রতিটি হর হলো 4-এর নিকটতম গুণিতক।<ref>{{citation|title=The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute|first=Lokenath|last=Debnath|publisher=World Scientific|year=2010|isbn=9781848165267|page=214|url=https://books.google.com/books?id=K2liU-SHl6EC&pg=PA214}}.</ref>

অন্যান্য পরিচিত ধ্রুবকের জন্য অয়লার গুণজ:

* [[যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা|হার্ডি-লিটলউড যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা ধ্রুবক]]:

::<math> \prod_{p>2} \left(1 - \frac{1}{\left(p-1\right)^2}\right) = 0.660161... </math>

* [[লান্দাউ-রামানুজন ধ্রুবক]]:

::<math>\begin{align}
\frac{\pi}{4} \prod_{p \equiv 1\pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^\frac12 &= 0.764223... \\[6pt]
\frac{1}{\sqrt{2}} \prod_{p \equiv 3\pmod 4} \left(1 - \frac{1}{p^2}\right)^{-\frac12} &= 0.764223... 
\end{align}</math>

* [[মুরাতার ধ্রুবক]] {{OEIS|A065485}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{\left(p-1\right)^2}\right) = 2.826419... </math>

* [[স্ট্রংলি কেয়ারফ্রি ধ্রুবক]] {{math|×''ζ''(2)<sup>2</sup>}} {{OEIS2C|A065472}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{\left(p+1\right)^2}\right) = 0.775883... </math>

* [[Artin's conjecture on primitive roots|আর্টিনের ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A005596}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p-1)}\right) = 0.373955... </math>

* [[লান্দাউ-এর টোটিয়েন্ট ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A082695}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p(p-1)}\right) = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3) = 1.943596... </math>

* [[কেয়ারফ্রি ধ্রুবক]] {{math|×''ζ''(2)}} {{OEIS2C|A065463}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p(p+1)}\right) = 0.704442... </math>

:এবং এর রেসিপ্রোকাল {{OEIS2C|A065489}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p^2+p-1}\right) = 1.419562... </math>

* [[ফেলার–টর্নিয়ার ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A065493}}:

::<math> \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \prod_{p} \left(1 - \frac{2}{p^2}\right) = 0.661317... </math>

* [[দ্বিঘাত শ্রেণী সংখ্যা ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A065465}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p^2(p+1)}\right) = 0.881513... </math>

* [[টোটিয়েন্ট সামেটরি ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A065483}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{1}{p^2(p-1)}\right) = 1.339784... </math>

* [[সারনাকের ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A065476}}:

::<math> \prod_{p>2} \left(1 - \frac{p+2}{p^3}\right) = 0.723648... </math>

* [[কেয়ারফ্রি ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A065464}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{2p-1}{p^3}\right) = 0.428249... </math>

* [[স্ট্রংলি কেয়ারফ্রি ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A065473}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{3p-2}{p^3}\right) = 0.286747... </math>

* [[স্টিফেনের ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A065478}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{p}{p^3-1}\right) = 0.575959... </math>

* [[বার্বেনের ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A175640}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 + \frac{3p^2-1}{p(p+1)\left(p^2-1\right)}\right) = 2.596536... </math>

* [[তানিগুচির ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A175639}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{3}{p^3}+\frac{2}{p^4}+\frac{1}{p^5}-\frac{1}{p^6}\right) = 0.678234... </math>

* [[হিথ-ব্রাউন এবং মরোজ ধ্রুবক]] {{OEIS2C|A118228}}:

::<math> \prod_{p} \left(1 - \frac{1}{p}\right)^7 \left(1 + \frac{7p+1}{p^2}\right) = 0.0013176... </math>

== টীকা ==

{{সূত্র তালিকা|30em}}

== তথ্যসূত্র ==
{{ref begin}}
* [[G. Polya]], ''Induction and Analogy in Mathematics Volume 1'' Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 ''(A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)''
* {{Apostol IANT}} ''(Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)''
* [[G.H. Hardy]] and [[E.M. Wright]], ''An introduction to the theory of numbers'', 5th ed., Oxford (1979) {{isbn|0-19-853171-0}} ''(Chapter 17 gives further examples.)''
* George E. Andrews, Bruce C. Berndt, ''Ramanujan's Lost Notebook: Part I'', Springer (2005), {{isbn|0-387-25529-X}}
* G. Niklasch, ''Some number theoretical constants: 1000-digit values"
{{ref end}}

[[বিষয়শ্রেণী:বিশ্লেষণী সংখ্যাতত্ত্ব]]
[[বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধ্রুবক]]