উপাদান (গণিত)-এর উৎস দেখুন

[[গণিত]]ের ভাষায় কোন [[সেট]]ের অন্তর্ভুক্ত [[সমতা (গণিত)|স্বতন্ত্র]] যেকোন [[গাণিতিক বস্তু|বস্তু]]ই হল ঐ সেটের '''উপাদান''' বা '''সদস্য'''।

== সেট ==
<math>A = \{1, 2, 3, 4\}</math> লেখার মানে হল 1, 2, 3 এবং 4 সংখ্যাটি <math>A</math> সেটের সদস্য। <math>A</math> সেটের এক বা একাধিক উপাদান নিয়ে গঠিত সেটকে (যেমন:- <math>\{2\}</math>, <math>\{2, 4\}</math>, <math>\{1, 2, 3\}</math> ইত্যাদি) <math>A</math> এর [[উপসেট]] বলা হয়। এমনকি সেট <math>A</math> তার নিজেরই একটি উপসেট।

একটি সেট নিজেও অন্য আরেকটি সেটের উপাদান হতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, <math>B = \{1, 2, \{3, 4\}\}</math> সেটটি বিবেচনা করা যাক। এখানে 1, 2, 3 এবং 4 কিন্তু <math>B</math> সেটের উপাদান নয়। বরং <math>B</math> সেটের মাত্র তিনটি উপাদান বিদ্যমান; যথা: 1 এবং 2 সংখ্যাদুটি আর <math>\{3, 4\}</math> সেটটি।

যেকোন কিছুই একটি সেটের সদস্য হতে পারে। যেমন: <math>C = \{\mathrm{\color{red}red}, \mathrm{\color{green}green}, \mathrm{\color{blue}blue}\}</math> এমনই একটি সেট যার উপাদান হল {{red|লাল}}, {{green|সবুজ}} এবং {{blue|নীল}} বর্ণসমূহ।

== সংকেত ও পরিভাষা ==
[[চিত্র:First usage of the symbol ∈.png|থাম্ব|ডান|[[সেট সদস্যতা]]র প্রতীক স্বরূপ ϵ এর প্রথম কোন নথিভুক্ত ব্যবহার।]]

কোন '''সেটের সদস্যতা'''কে তথা '''অমুক তমুকের উপাদান''' [[দ্বিমিক সম্পর্ক|সম্পর্ক]]টিকে &nbsp;"∈" প্রতীকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

<math>x \in A </math> লেখার অর্থ “<math>x</math> হচ্ছে <math>A</math> এর একটি উপাদান”।<ref name=":0">{{ওয়েব উদ্ধৃতি|তারিখ=2020-04-11|শিরোনাম=Comprehensive List of Set Theory Symbols|ইউআরএল=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/set-theory-symbols/|সংগ্রহের-তারিখ=2020-08-10|ওয়েবসাইট=Math Vault|ভাষা=en-US}}</ref><ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Weisstein|প্রথমাংশ=Eric W.|শিরোনাম=Element|ইউআরএল=https://mathworld.wolfram.com/Element.html|সংগ্রহের-তারিখ=2020-08-10|ওয়েবসাইট=mathworld.wolfram.com|ভাষা=en}}</ref> অধিকাংশ বাংলাভাষী শিক্ষার্থী একে “<math>x</math> এলিমেন্ট <math>A</math>” পড়ে থাকে।{{Citation needed|date=01, August 2021}} তবে ইংরেজিতে এর বেশ কয়েকটি প্রকাশভঙ্গি রয়েছে। যেমন: “<math>x</math> is a member of <math>A</math>”, “<math>x</math> belongs to <math>A</math>”, “<math>x</math> is in <math>A</math>”, “<math>x</math> lies in <math>A</math>”। সেটের সদস্যতা বোঝাতে “<math>A</math> includes <math>x</math>” এবং “<math>A</math> contains <math>x</math>” লেখাও হয়ে হয়ে থাকে যদিও কিছু লেখক এদেরকে “<math>x</math> হচ্ছে <math>A</math> এর একটি উপসেট” অর্থে ব্যবহার করে থাকেন।<ref name="schech">{{বই উদ্ধৃতি |লেখক = Eric Schechter |লেখক-সংযোগ = Eric Schechter |শিরোনাম= Handbook of Analysis and Its Foundations |প্রকাশক= [[Academic Press]] |বছর= 1997|আইএসবিএন= 0-12-622760-8 }} p. 12</ref> আমেরিকান নৈয়ায়িক ও গণিতবিদ [[জর্জ বুলোস]] “contains” শব্দটি শুধু সেটের সদস্যতা এবং “includes” শব্দটি শুধু উপসেট নির্দেশে ব্যবহারের পক্ষে প্রবলভাবে জোর দিয়েছেন।<ref name="boolos">{{cite speech |title=24.243 Classical Set Theory (lecture) |author=George Boolos |author-link=George Boolos |date=February 4, 1992 |location=[[Massachusetts Institute of Technology]] }}</ref>

∈ সম্পর্কের [[বিপ্রতীপ সম্পর্ক]] ∈<sup>T</sup> কে লেখা যেতে পারে—
:<math>A \ni x </math>
যার অর্থ “<math>A</math> হচ্ছে <math>x</math> এর ধারক বা আধার” (A contains or includes x)।

সেট সদস্যতার [[নঞতা]]কে &nbsp;"∉" প্রতীকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। <math>x \notin A</math> লেখার অর্থ “<math>x</math>, <math>A</math> এর উপাদান নয়” বাংলাভাষী শিক্ষার্থীরা যাকে “<math>x</math> নট এলিমেন্ট <math>A</math>”রূপে পড়ে থাকে।<ref name=":0" />

সর্বপ্রথম [[জুসেপ্পে পিয়ানো]] ১৮৮৯ সালে তার ভবিষ্যৎ-প্রভাবশালী [[অ্যারিথমিটিসেস প্রিন্সিপিয়া, নোভা মেথোডো এক্সপোসিটা]] গ্রন্থে ∈ প্রতীকটি ব্যবহার করেন।<ref name=ken>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Kennedy|প্রথমাংশ=H. C.|তারিখ=July 1973|ডিওআই=10.1305/ndjfl/1093891001|সংখ্যা নং=3|সাময়িকী=Notre Dame Journal of Formal Logic|mr=0319684|পাতাসমূহ=367–372|প্রকাশক=Duke University Press|শিরোনাম=What Russell learned from Peano|খণ্ড=14|doi-access=free}}</ref> এখানে X-পৃষ্ঠায় তিনি লেখেন:

<blockquote>{{lang|la|Signum ∈ significat est. Ita a ∈ b legitur a est quoddam b; …}}</blockquote>

যার অর্থ

<blockquote>∈ প্রতীকটির মানে হল ''is''। সুতরাং a ∈ b কে a ''is a'' b রূপে পড়া হয়; …</blockquote>

∈ প্রতীকটি প্রাচীন গ্রিক শব্দ [https://en.m.wiktionary.org/wiki/%E1%BC%90%CF%83%CF%84%CE%AF#Ancient_Greek ἐστί] (অর্থ: “হয়”) এর প্রথম বর্ণ ছোট হাতের [[এপসাইলন]] (ϵ) এর একটি পরিমার্জনকৃত রূপ।<ref name=ken/>

{{charmap
|2208 |name1=Element of                 
|ref1char1=\in               |ref2char1=\[Element]
|2209 |name2=Not an element of          |ref1char2=\notin            |ref2char2=\[NotElement]
|220b |name3=Contains as member         |ref1char3=\ni               |ref2char3=\[ReverseElement]
|220c |name4=Does not contain as member |ref1char4=\not\ni or \notni 
|ref2char4=\[NotReverseElement]
|namedref1=[[LaTeX]]
|namedref2=[[Wolfram Mathematica (software)|Wolfram Mathematica]]
}}

== সেটের গণনাংক ==
{{মূল|গণনাংক}}
কোন নির্দিষ্ট সেটের উপাদান সংখ্যা হল সেই ধর্ম যাকে বলা হয় গণনাংক (cardinality), অনানুষ্ঠানিকভাবে যা সেটের আকার।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Sets - Elements {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|ইউআরএল=https://brilliant.org/wiki/sets-elements/|সংগ্রহের-তারিখ=2020-08-10|ওয়েবসাইট=brilliant.org|ভাষা=en-us}}</ref> উপরের উদাহরণগুলোতে <math>A</math> সেটের গণনাংক 4 যেখানে
<math>B</math> এবং <math>C</math> উভয়ের গণনাংক 3 । অসীম সেট হল সেই সেট যার উপাদান সংখ্যা অসীম, পক্ষান্তরে [[সসীম সেট]] হল সেই সেট যার উপাদান সংখ্যা সসীম। এতক্ষণ পর্যন্ত আলোচিত প্রতিটি সেটই এক একটি সসীম সেট। স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যার সেট <math>N = \{1, 2, 3, 4, ...\}</math> হল অসীম সেটের একটি উদাহরণ।

== উদাহরণ ==
''A'' = {1, 2, 3, 4 }, ''B'' = {1, 2, {3, 4}} এবং ''C'' = {red, green, blue} নামে সংজ্ঞায়িত উপর্যুক্ত সেটগুলোর আলোকে আমরা নিম্নোক্ত উক্তিগুলোকে সত্য পাব:
* 2 ∈ ''A''
* 5 ∉ ''A''
* {3,4} ∈ ''B''
* 3 ∉ ''B''
* 4 ∉ ''B''
* হলুদ ∉ ''C''

== তথ্যসূত্র ==
{{সূত্র তালিকা}}

[[বিষয়শ্রেণী:সেট তত্ত্ব]]
[[বিষয়শ্রেণী:সেট তত্ত্বের মৌলিক ধারণা]]