এফিন প্রতিসম গ্রুপ-এর উৎস দেখুন

[[File:Uniform triangular tiling 121212.png|thumb|upright=1.2|alt=Tiling of the plane by regular triangles|সমতলের নিয়মিত ত্রিভুজাকার টাইলসের সজ্জা, যার প্রতিসাম্য অ্যাফাইন প্রতিসম গ্রুপ দ্বারা বর্ণিত।{{math|''S̃''<sub>3</sub>}}]]
'''এফিন প্রতিসম গ্রুপ''' হলো একটি গাণিতিক কাঠামোর শ্রেণি, যা [[সংখ্যারেখা]] এবং সমতলের নিয়মিত [[ত্রিভুজাকার টাইলিং|ত্রিভুজাকার বিন্যাসের]] প্রতিসমতা বর্ণনা করে, পাশাপাশি সংশ্লিষ্ট উচ্চমাত্রিক বস্তুকেও অন্তর্ভুক্ত করে। এই জ্যামিতিক বিবরণের পাশাপাশি, এফিন প্রতিসম গ্রুপকে অন্যান্য উপায়েও সংজ্ঞায়িত করা যায়: এটি [[বিন্যাস]] (পূর্ণসংখ্যাগুলোর পুনর্বিন্যাস) এর একটি সমষ্টি, যা নির্দিষ্ট পর্যায়ক্রমিক বৈশিষ্ট্যযুক্ত ({{math|..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}}), অথবা খাঁটি বীজগাণিতিক পরিভাষায় এটি নির্দিষ্ট [[উৎপাদক ও সম্পর্ক|উৎপাদক ও সম্পর্কযুক্ত]] একটি [[গোষ্ঠী (গণিত)|গোষ্ঠী]]। এটি [[সমাবেশবিদ্যা]] এবং [[প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব|প্রতিনিধিত্ব তত্ত্বে]] অধ্যয়ন করা হয়।
একটি সসীম [[প্রতিসম গ্রুপ]] একটি সসীম সেটের সমস্ত [[বিন্যাস|বিন্যাসের]] সমষ্টি নিয়ে গঠিত। প্রতিটি এফিন প্রতিসম গ্রুপ একটি সসীম প্রতিসম গ্রুপের একটি অসীম [[গোষ্ঠী সম্প্রসারণ|সম্প্রসারণ]]। সসীম প্রতিসম গ্রুপগুলোর অনেক গুরুত্বপূর্ণ সমাবেশিক বৈশিষ্ট্য সংশ্লিষ্ট এফিন প্রতিসম গ্রুপগুলোর জন্যও সম্প্রসারিত করা যায়। [[বিন্যাস পরিসংখ্যান]] যেমন [[বিন্যাস#অবনমন|অবনমন]] এবং [[উলট (বিচ্ছিন্ন গণিত)|উলট]] এফিন ক্ষেত্রেও সংজ্ঞায়িত করা যায়। সসীম ক্ষেত্রের মতো, এই পরিসংখ্যানগুলোর জন্য প্রাকৃতিক সমাবেশিক সংজ্ঞাগুলোর একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যাও রয়েছে।

এফিন প্রতিসম গ্রুপের অন্যান্য গাণিতিক বস্তুর সাথে ঘনিষ্ঠ সম্পর্ক রয়েছে, যার মধ্যে [[জাগলিং প্যাটার্ন]] এবং নির্দিষ্ট [[জটিল প্রতিফলন গ্রুপ]] অন্তর্ভুক্ত। এদের অনেক সমাবেশগত এবং জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য বিস্তৃত [[এফিন কক্সেটার গ্রুপ]] পরিবারের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।

==সংজ্ঞা==
এফিন প্রতিসম গ্রুপকে সমভাবে একটি বিমূর্ত [[গ্রুপ (গণিত)|গ্রুপ]] হিসেবে [[উৎপাদক ও সম্পর্ক|উৎপাদক ও সম্পর্কের]] মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, অথবা এটি নির্দিষ্ট জ্যামিতিক ও সমাবেশগত মডেলের মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে।
{{sfnp|Shi|1986|p = 66}}

=== বীজগণিতীয় সংজ্ঞা ===
[[File:Dynkin diagram for the affine symmetric group.png|thumb|upright=1.2|alt=The first part of the figure is labeled "S̃ sub n for n > 2". It consists of a cycle of circular nodes, labeled s sub 1, s sub 2, ..., s sub n - 1, and one circle labeled "s sub 0 = s sub n". Adjacent nodes in the cycle are connected by straight lines, non-adjacent nodes are not connected. The second part of the figure is labeled "S̃ sub 2". It consists of two circular nodes, labeled s sub 0 and s sub 1. They are connected by a straight line segment, which is labeled "infinity".|২ এবং ২ এর বেশি উৎপাদক বিশিষ্ট অ্যাফাইন প্রতিসম গ্রুপের জন্য [[ডিনকিন রেখাচিত্র]]।]]
গ্রুপ সংজ্ঞায়িত করার একটি উপায় হল [[উৎপাদক ও সম্পর্ক]] ব্যবহার করা। এই সংজ্ঞায়, উৎপাদক হলো গ্রুপের এমন একটি উপসেট, যা বিভিন্ন উপায়ে সংযোজিত হয়ে গ্রুপের সমস্ত উপাদান উৎপন্ন করে। সংজ্ঞার সম্পর্কগুলো হলো একটি সমীকরণ ব্যবস্থা, যা নির্ধারণ করে কখন দুটি উৎপাদকের সংযোজন সমান হয়।
{{efn|More precisely, every relation between generators can be explained by the given relations, so that the group is the largest among all groups whose generators satisfy the given relations. The formal version of this definition is given in terms of [[quotient group|quotients]] of [[free group]]s.}}
{{sfnp|Gallian|2013|loc = Chapter 26}} এইভাবে, এফিন প্রতিসম গ্রুপ <math>\widetilde{S}n</math> একটি সেট <math display="block"> s_0, s_1, \ldots, s{n - 1}</math> দ্বারা উৎপন্ন হয় যা {{mvar|n}} উপাদান ধারণ করে এবং নিচের সম্পর্কগুলো পূর্ণ করে: যখন <math> n \geq 3 </math>,
# <math>s_i^2 = 1</math> (যেমন, উৎপাদকগুলি [[উলটন (গণিত)|উলটন]] হয়),
# <math> s_is_j = s_js_i </math> যদি {{mvar|j}} <math>i - 1, i, i + 1</math> এর মধ্যে না হয়, এর মানে হচ্ছে যে, এই উৎপাদকগুলির জন্য গ্রুপ অপারেশন [[যোগসূত্রীয় গুণনফল]] এবং
# <math> s_is_{i + 1}s_i = s_{i + 1}s_is_{i + 1} </math>। 
উপরে দেওয়া সম্পর্কগুলিতে সূচকগুলি [[মডুলার অঙ্কগণনা|মডুলো {{mvar|n}}]] হিসেবে নেওয়া হয়, যাতে তৃতীয় সম্পর্কটি একটি বিশেষ ক্ষেত্রে অন্তর্ভুক্ত হয় <math> s_0s_{n - 1}s_0 = s_{n - 1}s_0s_{n - 1} </math>। (দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সম্পর্কগুলোকে কখনও কখনও [[ব্রেইড সম্পর্ক]] বলা হয়)।
{{sfnp|Stembridge|1996|p=355}}) <math> n = 2</math>, এফিন প্রতিসম গ্রুপ <math>\widetilde{S}_2</math> হল [[অসীম ডাইহেড্রাল গ্রুপ]] যা দুটি উপাদান <math>s_0, s_1</math> দ্বারা উৎপন্ন এবং শুধুমাত্র সম্পর্কগুলি অনুসরণ করে <math>s_0^2 = s_1^2 = 1</math>।
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|pp = 5–6}}

এই সম্পর্কগুলো বিশেষ রূপে পুনরায় লেখা যেতে পারে যা [[কক্সেটার গ্রুপ]]কে সংজ্ঞায়িত করে, সুতরাং এফিন প্রতিসম গ্রুপগুলি কক্সেটার গ্রুপ, যেখানে <math>s_i</math> তাদের কক্সেটার উৎপাদক সেট হিসেবে কাজ করে।{{sfnp|Björner|Brenti|2005|pp = 5–6}} প্রতিটি কক্সেটার গ্রুপ একটি [[কক্সেটার-ডিনকিন চিত্র]] দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে, যেখানে শিখরগুলি উৎপাদকদের প্রতিনিধিত্ব করে এবং প্রান্তগুলি তাদের মধ্যে সম্পর্কগুলি এনকোড করে।{{sfnp|Humphreys|1990|p = 31}}
<math> n \geq 3</math> এর জন্য, <math>\widetilde{S}_n</math> এর কক্সেটার–ডিনকিন ডায়াগ্রাম হল একটি [[সাইকেল গ্রাফ|{{mvar|n}}-চক্র]] (যেখানে প্রান্তগুলি সন্নিহিত উৎপাদকদের মধ্যে সম্পর্কগুলিকে উপস্থাপন করে এবং অন্য উৎপাদকদের মধ্যে প্রান্তের অভাব নির্দেশ করে যে তারা একে অপরের সাথে আবদ্ধ), যখন <math> n = 2</math> এর জন্য এটি দুটি নোড নিয়ে গঠিত, যা একটি প্রান্ত দ্বারা যুক্ত এবং তার উপর <math>\infty</math> চিহ্নিত।
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 2}}{{sfnp|Björner|Brenti|2005|pp = 5–6}}

=== জ্যামিতিক সংজ্ঞা ===
[[File:A 2 lattice and hyperplanes.png|thumb|upright=1.2|alt=The plane divided into equilateral triangles by three sets of parallel lines. Certain intersections of the lines (vertices of the triangles) are circled.|যখন {{math|1=''n'' = 3}}, তখন স্থান {{mvar|V}} একটি দ্বিমাত্রিক সমতল এবং প্রতিফলনগুলি রেখার মাধ্যমে হয়। মূল ল্যাটিস {{math|Λ}}-এর বিন্দুগুলি বৃত্তাবদ্ধ করা হয়েছে।]]
[[ইউক্লিডীয় স্থান]]ে <math>\R^{n}</math> এ <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> কোঅর্ডিনেট সহ, {{mvar|V}} পয়েন্টগুলির সেট যার জন্য <math>x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0</math> একটি [[hyperplane|(হাইপার)প্লেন]] গঠন করে, একটি {{math|(''n'' − 1)}}-মাত্রিক উপস্থান। প্রতিটি আলাদা উপাদান {{mvar|i}} এবং {{mvar|j}} এর জন্য <math>{1, \ldots, n}</math> এবং প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা {{mvar|k}}, {{mvar|V}} এর মধ্যে এমন পয়েন্টগুলির সেট যা <math>x_i - x_j = k</math> পূর্ণ করে, {{mvar|V}} এর মধ্যে একটি {{math|(''n'' − 2)}}-মাত্রিক উপস্থান গঠন করে, এবং {{mvar|V}} এর একটি অনন্য [[Reflection (mathematics)|প্রতিফলন]] রয়েছে যা এই উপস্থানটি স্থির রাখে। তাহলে এফিন প্রতিসম গ্রুপ <math>\widetilde{S}_n</math> {{mvar|V}} থেকে নিজে তার মধ্যে মানচিত্রের একটি সংগ্রহ হিসেবে জ্যামিতিকভাবে উপলব্ধি করা যেতে পারে, এই প্রতিফলনগুলির সংকলন।
{{sfnp|Humphreys|1990|pp = 87–89, 95–6}}
{{mvar|V}} এর মধ্যে, পূর্ণসংখ্যার সহিত সন্নিবেশিত বিন্দুগুলির উপসেট ''[[মূল গ্রিড]]'' {{math|Λ}} গঠন করে। এটি সব [[পূর্ণসংখ্যা]] ভেক্টরগুলির সেট <math>(a_1, \ldots, a_n)</math> যেমন <math>a_1 + \cdots + a_n = 0</math>।{{sfnp|Humphreys|1990|p = 41}} প্রতিটি প্রতিফলন এই নেটটি সংরক্ষণ করে, এবং তাই পুরো গ্রুপ দ্বারা নেটটি সংরক্ষিত থাকে।{{sfnp|Humphreys|1990|p = 87}}

এই প্রতিফলনের স্থির উপস্থানগুলি {{mvar|V}}-কে একে অপরের সাদৃশ্যপূর্ণ [[সরলিক|সাম্প্লেক্স]]-এ বিভক্ত করে, যেগুলিকে ''আলকোভ'' বলা হয়।{{sfnp|Humphreys|1990|loc = Section 4.3}} যখন <math>n = 3</math> তখন পরিস্থিতিটি চিত্রে দেখানো হয়েছে; এই ক্ষেত্রে, রুট ল্যাটিস একটি ত্রিভুজাকার ল্যাটিস, প্রতিফলনকারী রেখাগুলি {{mvar|V}}-কে সমবাহু ত্রিভুজ আলকোভে ভাগ করে, এবং রুটগুলি হলো ছয়টি ত্রিভুজ আলকোভ দ্বারা গঠিত অপর্যায়িত হেক্সাগনের কেন্দ্র।
{{sfnp|Petersen|2015|loc = Chapter 14}}{{sfnp|Coxeter|1973|loc = Chapter 5}}
[[File:Affine A 2 hyperplanes.png|thumb|upright=1.4|alt=The plane divided into triangles by three sets of parallel lines. One triangle is shaded; the lines that form its edges are thickened and labeled by the equations y - z = 0, x - y = 0, and x - z = 0.|অ্যাফাইন প্রতিসম গ্রুপের জন্য প্রতিফলন এবং অ্যালকভ। মৌলিক অ্যালকভটি ছায়াযুক্ত।]]

জ্যামিতিক এবং বীজগণিতীয় সংজ্ঞাগুলির মধ্যে অনুবাদ করতে, একটি আলকোভ নির্ধারণ করা হয় এবং তার সীমানা গঠনকারী {{mvar|n}} হাইপারপ্লেনগুলি বিবেচনা করা হয়। এই সীমানা হাইপারপ্লেনগুলির মাধ্যমে প্রতিফলনগুলি কোসেটার জেনারেটরের সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে। বিশেষভাবে, একটি অনন্য আলকোভ (''মৌলিক আলকোভ'') রয়েছে যা এমন পয়েন্ট <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> নিয়ে গঠিত, যেখানে <math> x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq x_1 - 1</math>, যা হাইপারপ্লেনগুলি দ্বারা সীমানাবদ্ধ <math> x_1 - x_2 = 0,</math> <math>x_2 - x_3 = 0,</math> ..., এবং <math> x_1 - x_n = 1,</math> <math>n = 3</math> ক্ষেত্রে চিত্রিত। <math>i = 1, \ldots, n - 1</math> এর জন্য, <math>x_i - x_{i + 1} = 0</math> এর মাধ্যমে প্রতিফলনকে কোসেটার জেনারেটর <math>s_i</math> এর সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে, এবং <math> x_1 - x_n = 1</math> এর মাধ্যমে প্রতিফলনকে জেনারেটর <math> s_0 = s_n</math> এর সাথে চিহ্নিত করা যেতে পারে।
{{sfnp|Humphreys|1990|loc = Section 4.3}}

=== সম্মিলিত সংজ্ঞা ===

এফিন প্রতিসম গ্রুপের উপাদানগুলি পূর্ণসংখ্যার একটি আবর্তিত পারমুটেশন গ্রুপ হিসাবে বাস্তবায়িত হতে পারে। বিশেষত, বলুন যে একটি ফাংশন <math>u \colon \Z \to \Z</math> একটি ''এফিন পারমুটেশন'' যদি
*এটি একটি [[বিজেকশন]] (প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা একটি নির্দিষ্ট <math>x</math> এর জন্য ঠিক একবার <math>u(x)</math> এর মান হিসাবে উপস্থিত হয়),
*<math>u(x + n) = u(x) + n</math> সকল পূর্ণসংখ্যা {{mvar|x}} এর জন্য (ফাংশনটি <math>n</math> দ্বারা স্থানান্তরের অধীনে [[ইকুইভেরিয়ান্ট ম্যাপ|ইকুইভেরিয়ান্ট]]) এবং
*<math> u(1) + u(2) + \cdots + u(n) = 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}</math>, <math>n</math>তম [[ত্রিভুজসংখ্যা]]।
প্রতিটি এফিন পারমুটেশন, এবং আরও সাধারণভাবে প্রতিটি শিফট-একুইভেরিয়েন্ট বায়েকশন, সংখ্যাগুলি <math>u(1), \ldots, u(n)</math> অবশ্যই {{mvar|n}} এর মডুলোর মধ্যে সব আলাদা হতে হবে। একটি এফিন পারমুটেশন তার ''উইন্ডো নোটেশন'' <math>[u(1), \ldots, u(n)]</math> দ্বারা এককভাবে নির্ধারিত, কারণ <math>u</math> এর অন্যান্য মান এই মানগুলিকে শিফট করে পাওয়া যেতে পারে। অতএব, এফিন পারমুটেশনগুলি এমন [[যুগল]] <math>[u(1), \ldots, u(n)]</math> হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যা {{mvar|n}} এর প্রতিটি কংগ্রুয়েন্স ক্লাস থেকে একটি উপাদান ধারণ করে এবং <math>1 + 2 + \cdots + n</math> এর সমান যোগফল থাকে।
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|loc = Chapter 8.3}}

কম্বিনেটোরিকাল এবং বীজগণিতিক সংজ্ঞাগুলির মধ্যে অনুবাদ করতে, <math>i = 1, \ldots, n- 1</math> এর জন্য, কোসেটার জেনারেটর <math>s_i</math> কে সেই এফিন পারমুটেশন হিসেবে চিহ্নিত করা যেতে পারে যার উইন্ডো নোটেশন <math>[1, 2, \ldots, i - 1, i + 1, i, i + 2, \ldots, n ]</math>, এবং জেনারেটর <math>s_0 = s_n</math> কে <math>[0, 2, 3, \ldots, n - 2, n - 1, n + 1]</math> এফিন পারমুটেশন হিসেবে চিহ্নিত করা যেতে পারে। আরও সাধারণভাবে, প্রতিটি প্রতিফলন (অর্থাৎ, কোসেটার জেনারেটরের একটি কনজুগেট) এককভাবে এইভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে: <math>{1, \ldots, n}</math> এর মধ্যে স্বতন্ত্র পূর্ণসংখ্যা {{mvar|i}}, {{mvar|j}} এবং যে কোনো পূর্ণসংখ্যা {{mvar|k}} এর জন্য, এটি {{mvar|i}} কে {{math|''j'' − ''kn''}} মানচিত্রে {{mvar|i}} কে, {{mvar|j}} কে {{math|''i'' + ''kn''}} মানচিত্রে রূপান্তরিত করে, এবং সমস্ত ইনপুট যা {{mvar|i}} বা {{mvar|j}} এর সাথে মডুলো {{mvar|n}} সম্মত নয়, সেগুলি অপরিবর্তিত রাখে।
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|loc = Proposition 8.3.5}}

=== ম্যাট্রিক্স হিসেবে উপস্থাপনা ===
[[File:Matrix representation of an affine permutation.png|thumb|alt=A grid is drawn. The columns are labeled "..., −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..." from left to right, and the rows are labeled "..., −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..." from top to bottom. Heavy lines are drawn between columns 0 and 1, columns 3 and 4, rows 0 and 1, and rows 3 and 4. The cells in row-column pairs (−2, −1), (0, 1), (1, 2), (2, 0), (3, 4), (4, 5), and (5, 3) are marked with a filled circle. |অ্যাফাইন পারমুটেশন [2, 0, 4] এর ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা, যেখানে 1 এর পরিবর্তে • এবং 0 বাদ দেওয়ার প্রথা অনুসরণ করা হয়েছে। সারি এবং কলামের লেবেল দেখানো হলো।]]
এফিন প্রতিসমগুলি অসীম পিরিয়ডিক [[পারমুটেশন ম্যাট্রিক্স]] হিসেবে উপস্থাপন করা যেতে পারে।{{sfnp|Chmutov|Pylyavskyy|Yudovina|2018|loc = Section 1.6}}

যদি <math>u : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}</math> একটি এফিন প্রতিসম হয়, তবে সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সটি অসীম গ্রিড <math> \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math> এ <math>(i, u(i))</math> অবস্থানে 1 এর মান থাকবে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য, এবং অন্যান্য সব মান 0 হবে। যেহেতু <math>u</math> একটি বাইজেকশন, ফলে ফলস্বরূপ ম্যাট্রিক্সে প্রতিটি সারি এবং কলামে ঠিক একটি 1 থাকবে। <math>u</math> মানচিত্রের পিরিয়ডিকিটি শর্ত নিশ্চিত করে যে, প্রতিটি <math>(a, b)</math> অবস্থানে থাকা মানটি <math>(a + n, b + n)</math> অবস্থানে থাকা মানের সমান হবে।{{sfnp|Chmutov|Pylyavskyy|Yudovina|2018|loc = Section 1.6}} যেমন উদাহরণস্বরূপ, <math>[2, 0, 4] \in \widetilde{S}_3</math> এর জন্য একটি অংশিক ম্যাট্রিক্স চিত্রে দেখানো হয়েছে। সারি 1-এ, কলাম 2-এ একটি 1 আছে; সারি 2-এ, কলাম 0-এ একটি 1 আছে; এবং সারি 3-এ, কলাম 4-এ একটি 1 আছে। ঐ সারি এবং কলামগুলোর বাকি সব মান 0, এবং ম্যাট্রিক্সের অন্যান্য সমস্ত মান পিরিয়ডিকিটি শর্ত দ্বারা স্থির থাকে।

== সসীম প্রতিসম গ্রুপের সাথে সম্পর্ক ==

এফিন প্রতিসম গ্রুপ <math>\widetilde{S}_n</math> সসীম প্রতিসম গ্রুপ <math>S_n</math> কে অন্তর্ভুক্ত করে, যা <math>n</math> উপাদানের পারমুটেশন দ্বারা গঠিত। এটি উভয়ই একটি [[উপগুচ্ছ]] এবং একটি [[ভগ্নাংশ গ্রুপ]] হিসেবে কাজ করে।{{sfnp|Lewis|McCammond|Petersen|Schwer|2019}} এই সংযোগগুলি এফিন প্রতিসম গ্রুপের সমন্বয় এবং জ্যামিতিক সংজ্ঞাগুলির মধ্যে একটি সরাসরি অনুবাদ সম্ভব করে।

=== একটি উপগ্রুপ হিসেবে ===
এফিন প্রতিসম গ্রুপ <math>\widetilde{S}_n</math> থেকে একটি সাবগ্রুপ নির্বাচন করার একটি [[wikt:canonical#Adjective|প্রথাগত]] পদ্ধতি রয়েছে, যা সসামান্য প্রতিসম গ্রুপ <math>S_n</math> এর সাথে সমরূপ।
বীজগণিতীয় সংজ্ঞা অনুযায়ী, এটি <math>\widetilde{S}n</math> এর একটি সাবগ্রুপ, যা <math>s_1, \ldots, s{n - 1}</math> দ্বারা উৎপন্ন (সরল প্রতিফলন <math>s_0 = s_n</math> বাদে)। ভৌগোলিকভাবে, এটি সেই রূপান্তরের সাবগ্রুপের সাথে সম্পর্কিত যা উৎপত্তি বিন্দুকে রক্ষা করে, আর কম্বিনেটোরিক্যালভাবে এটি সেই উইন্ডো নোটেশনের সাথে সম্পর্কিত, যার জন্য <math>{u(1), \ldots, u(n) } = {1, 2, \ldots, n }</math> (অথবা, যেখানে উইন্ডো নোটেশনটি একটি সসামান্য প্রতিসম গ্রুপের [[একলাইন নোটেশন]])।
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 260}}{{sfnp|Kane|2001|loc=Section 11-3}}

যদি <math> u = [u(1), u(2), \ldots, u(n)]</math> একটি মানক <math>S_n \subset \widetilde{S}n</math> এর উপাদানের উইন্ডো নোটেশন হয়, তবে এর {{mvar|V}} তে <math>\R^n</math> হাইপারপ্লেনে ক্রিয়া হলো সমন্বয়ের মাধ্যমে সন্নিবেশ করা: <math> (x_1, x_2, \ldots, x_n) \cdot u = (x{u(1)}, x_{u(2)}, \ldots, x_{u(n)})</math>।{{sfnp|Lewis|McCammond|Petersen|Schwer|2019|p = 4118}} (এই প্রবন্ধে, পারমিউটেশন এবং এফিন পারমিউটেশনগুলির ভূগোলিক ক্রিয়া ডান দিকে হয়; অতএব, যদি {{mvar|u}} এবং {{mvar|v}} দুটি এফিন পারমিউটেশন হয়, তবে একটি বিন্দুর উপর {{math|''uv''}} এর ক্রিয়া প্রথমে {{mvar|u}} প্রয়োগ করার পর, তারপর {{mvar|v}} প্রয়োগ করার মাধ্যমে দেওয়া হয়।)

এছাড়াও <math>S_n</math>-এর অনেক অ-মানক কপি <math>\widetilde{S}_n</math>-এর মধ্যে রয়েছে। একটি ভূগোলিক নির্মাণ হলো <math>\Lambda</math> তে কোনো একটি বিন্দু {{mvar|a}} বেছে নেওয়া (অর্থাৎ, একটি পূর্ণসংখ্যার ভেক্টর যার সমন্বয় 0-এ যোগফল হয়); <math>(\widetilde{S}_n)_a</math> সাবগ্রুপ যা <math>\widetilde{S}_n</math>-এর [[isometry|ইজোমেট্রি]]-গুলি নিয়ে গঠিত এবং যা {{mvar|a}}-কে স্থির রাখে, তা <math>S_n</math>-এর সাথে সমরূপ।{{sfnp|Lewis|McCammond|Petersen|Schwer|2019|loc = Corollary 2.5}}

=== ভাগফল হিসেবে ===

একটি সাধারণ মানচিত্র (প্রকৃতপক্ষে, একটি [[surjection|সার্জেকটিভ]] [[গ্রুপ হোমোমরফিজম]]) {{mvar|π}} রয়েছে যা <math>\widetilde{S}_n</math> কে সীমিত সিমেট্রিক গ্রুপ <math>S_n</math> তে ম্যাপ করে। সংমিশ্রণগত সংজ্ঞা অনুসারে, একটি অ্যাফাইন পারমিউটেশনকে একটি পারমিউটেশনে ম্যাপ করা যায় উইন্ডো এন্ট্রিগুলিকে মডুলো {{mvar|n}} এর উপাদানে হ্রাস করে, যার ফলে একটি পারমিউটেশনের একলাইন নোটেশন রেখে দেওয়া হয়।{{sfnp|Shi|1986|pp = 85&ndash;6}} এই প্রবন্ধে, একটি অ্যাফাইন পারমিউটেশনের {{mvar|u}} ছবি <math>\pi(u)</math> কে {{mvar|u}} এর ''অধীন পারমিউটেশন'' বলা হয়।

মানচিত্র {{mvar|π}} কক্সেটর জেনারেটর <math> s_0 = [0, 2, 3, 4, \ldots, n - 2, n - 1, n + 1]</math> কে সেই পারমিউটেশনে পাঠায়, যার একলাইন নোটেশন এবং সাইকেল নোটেশন যথাক্রমে <math> [n , 2 , 3 , 4, \ldots , n - 2 , n - 1 , 1]</math> এবং <math>(1 ; n)</math>।
{{sfnp|Petersen|2015|loc = Section 14.4.1}}{{sfnp|Shi|1986|pp = 85&ndash;6}}

{{mvar|π}} এর [[কর্ণেল (গণিত)|কর্ণেল]] সংজ্ঞা অনুযায়ী, এটি সেই আফাইন পারমিউটেশনগুলির সেট, যার অধীনস্থ পারমিউটেশন হল [[ঐক্য উপাদান|ঐক্য]]। এমন আফাইন পারমিউটেশনগুলির উইন্ডো নোটেশনগুলি <math>[1 - a_1 \cdot n, 2 - a_2 \cdot n, \ldots, n - a_n \cdot n]</math> আকারে থাকে, যেখানে <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n)</math> একটি পূর্ণসংখ্যা ভেক্টর যা <math>a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 0</math>, অর্থাৎ যেখানে <math>(a_1, \ldots, a_n) \in \Lambda</math>। জ্যামিতিকভাবে, এই কর্ণেলটি [[অনুবাদ (জ্যামিতি)|অনুবাদগুলি]] গঠিত, যে গুলি সম্পূর্ণ {{mvar|V}} স্থানটি ঘুরানো বা প্রতিফলিত না করেই স্থানান্তরিত করে।
{{sfnp|Kane|2001|loc=Section 11-1}} একটি [[লিখনগত ভুল]] হিসাবে, এই প্রবন্ধে চিহ্ন {{math|Λ}} ব্যবহার করা হয় এই তিনটি সেটের জন্য ({{mvar|V}}-এর পূর্ণসংখ্যার ভেক্টর, আফাইন পারমিউটেশনগুলির অধীনস্থ পারমিউটেশন যা ঐক্য, এবং অনুবাদ); এই তিনটি পরিবেশে, প্রাকৃতিক গ্রুপ অপারেশন {{math|Λ}}-কে একটি [[অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ]]ে পরিণত করে, যা {{math|''n'' − 1}} ভেক্টর <math>{(1, -1, 0, \ldots, 0), (0, 1, -1, \ldots, 0), \ldots, (0, \ldots, 0, 1, -1)}</math> দ্বারা [[স্বাধীন অ্যাবেলিয়ান গ্রুপ|স্বাধীনভাবে]] উৎপন্ন। {{sfnp|Humphreys|1990|loc = Section 2.10}}

=== জ্যামিতিক এবং সম্মিলিত সংজ্ঞার মধ্যে সংযোগ ===
[[File:Alcoves labeled by affine permutations.png|thumb|upright=1.2|alt=The plane is divided into equilateral triangles by three sets of parallel lines. Each triangle is labeled by a triple of three numbers. One triangle, labeled by [1, 2, 3], is shaded. One of its vertices is the origin. The other five triangles that share this vertex are labeled (in clockwise order) by [2, 1, 3], [3, 1, 2], [3, 2, 1], [2, 3, 1], and [1, 3, 2]. The third triangle adjacent to [2, 1, 3] is labeled [2, 0, 4]. |অ্যাফাইন পারমুটেশন দ্বারা লেবেলযুক্ত <math>\widetilde{S}_3</math>-এর জন্য অ্যালকভ। একটি অ্যালকভ {{mvar|A}} একটি পারমুটেশন {{mvar|u}}-এর উইন্ডো নোটেশন দ্বারা লেবেল করা হয় যদি {{mvar|u}} মৌলিক অ্যালকভকে (ছায়াযুক্ত) {{mvar|A}}-তে পাঠায়। ঋণাত্মক সংখ্যাগুলিকে ওভারবার দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।]]

আফাইন সিমেট্রিক গ্রুপ <math>\widetilde{S}_n</math> {{math|Λ}} কে একটি [[স্বাভাবিক উপগ্রুপ]] হিসেবে ধারণ করে, এবং এটি [[সেমিডিরেক্ট প্রোডাক্ট]] <math display = block> \widetilde{S}_n \cong S_n \ltimes \Lambda </math>-এর সমমূর্তি, যেখানে <math>S_n</math>-এর {{math|Λ}}-এর উপর ক্রিয়া হল সমন্বয়গুলির পারমিউটেশন দ্বারা। অতএব, <math>\widetilde{S}_n</math>-এর প্রতিটি উপাদান {{mvar|u}} এর একটি অনন্য বাস্তবায়ন রয়েছে যা একটি গুণফল হিসাবে প্রকাশ করা যায় <math> u = r \cdot t </math>, যেখানে <math>r</math> হল <math>S_n</math>-এর মানক কপি থেকে একটি পারমিউটেশন এবং <math>t</math> হল {{math|Λ}}-এর একটি অনুবাদ।
{{sfnp|Lewis|McCammond|Petersen|Schwer|2019|loc=Section 4.1}}

এই দৃষ্টিভঙ্গি <math>\widetilde{S}n</math> এর সম্মিলিত এবং জ্যামিতিক সংজ্ঞাগুলির মধ্যে সরাসরি অনুবাদ করার সুযোগ দেয়: যদি কেউ লিখে <math>[u(1), \ldots, u(n)] = [r_1 - a_1 \cdot n, \ldots, r_n - a_n \cdot n]</math>, যেখানে <math>r = [r_1, \ldots, r_n] = \pi(u)</math> এবং <math>(a_1, a_2, \ldots, a_n) \in \Lambda</math>, তবে অ্যাফাইন পারমিউটেশন {{mvar|u}} সংশ্লিষ্ট সাদৃশ্যগত গতি {{mvar|V}} দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় {{sfnp|Lewis|McCammond|Petersen|Schwer|2019|loc=Section 4.1}} <math display="block">(x_1, \ldots, x_n) \cdot u = \left(x{r(1)} + a_1, \ldots, x_{r(n)} + a_n \right).</math>

তদুপরি, প্রতিটি অ্যাফাইন কক্সটার গ্রুপের মতো, অ্যাফাইন সিমেট্রিক গ্রুপ [[ট্রানসিটিভ গ্রুপ অ্যাকশন|ট্রানসিটিভভাবে]] এবং [[ফ্রি গ্রুপ অ্যাকশন]] দ্বারা অ্যালকোভগুলির সেটে কার্যকর হয়: প্রতি দুটি অ্যালকোভের জন্য, একটি অনন্য গ্রুপ উপাদান এক অ্যালকোভকে অন্যটিতে পরিণত করে।{{sfnp|Humphreys|1990|loc = Chapter 4.5}} অতএব, একটি অবাধ অ্যালকোভ <math>A_0</math> বেছে নেওয়া গ্রুপকে অ্যালকোভগুলির একে অপরের সাথে সম্পর্কিত করে: পরিচিতি উপাদান <math>A_0</math> এর সাথে সম্পর্কিত এবং অন্যান্য প্রতিটি গ্রুপ উপাদান {{mvar|g}} সম্পর্কিত অ্যালকোভ <math>A = A_0 \cdot g</math> এর সাথে যা <math>A_0</math> চিত্র <math>g</math> এর অ্যাকশনের অধীনে।
{{sfnp|Humphreys|1990|loc = Chapter 4}}

=== উদাহরণ: {{math|''n'' {{=}} 2}} ===
[[File:Infinite dihedral group.png|thumb|alt=Coordinate x- and y-axes in the plane. A thick line labeled V runs from upper left to lower right, passing through the origin. It is crossed by several equally spaced dashed lines that are perpendicular to it. At every other intersection point, a node is drawn. The dashed line through the origin is labeled s_1, and the dashed line nearest to it is labeled s_0.|অ্যাফাইন প্রতিসম গ্রুপ <math>\widetilde{S}_2</math> ইউক্লিডীয় সমতলে রেখা {{mvar|V}}-এর উপর কাজ করে। প্রতিফলনগুলি ড্যাশযুক্ত রেখাগুলির মাধ্যমে হয়। মূল ল্যাটিস {{math|Λ}}-এর ভেক্টরগুলি চিহ্নিত করা হয়েছে।]]

গণিতগতভাবে <math>\widetilde{S}_2</math> হলো অসীম দিহেড্রাল গ্রুপ, যা দুটি উৎপাদক <math>s_0, s_1</math> দ্বারা উৎপন্ন, এবং সম্পর্কগুলি হলো <math>s_0^2 = s_1^2 = 1</math>।{{sfnp|Björner|Brenti|2005|pp = 5–6}} গ্রুপের প্রতিটি অন্যান্য উপাদান <math>s_0</math> এবং <math>s_1</math> এর কপি দ্বারা একটি পরিবর্তনশীল গুণফল হিসেবে লেখা যেতে পারে।{{sfnp|Gallian|2013|p = 454}}

সম্মিলিতভাবে, এফিন পারমিউটেশন <math>s_1</math> এর উইন্ডো নোটেশন হলো <math>[2, 1]</math>, যা প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা {{mvar|k}} এর জন্য <math>2k \mapsto 2k - 1, 2k - 1 \mapsto 2k</math> বিজেকশনটির সাথে সম্পর্কিত। এফিন পারমিউটেশন <math>s_0</math> এর উইন্ডো নোটেশন হলো <math>[0, 3]</math>, যা প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা {{mvar|k}} এর জন্য <math>2k \mapsto 2k + 1, 2k + 1 \mapsto 2k</math> বিজেকশনটির সাথে সম্পর্কিত। অন্যান্য উপাদানগুলির উইন্ডো নোটেশনগুলি হলো:

: <math>
\begin{align}
\overbrace{s_0 s_1 \cdots s_0 s_1}^{2k \text{ factors}} & = [1 + 2k, 2 - 2k ], \\[5pt]
\overbrace{s_1 s_0 \cdots s_1 s_0}^{2k \text{ factors}} & = [1 - 2k, 2 + 2k ], \\[5pt]
\overbrace{s_0 s_1 \cdots s_0}^{2k + 1 \text{ factors}} & = [2 + 2k, 1 - 2k ], \\[5pt]
\overbrace{s_1 s_0 \cdots s_1}^{2k + 1 \text{ factors}} & = [2 - 2(k + 1), 1 + 2(k + 1) ].
\end{align}
</math>

জ্যামিতিকভাবে, {{mvar|V}} স্থানটি যাহাতে <math>\widetilde{S}_2</math> কাজ করে তা একটি রৈখিক স্থান, যেখানে অসীম সংখ্যক সমানভাবে স্পেসড প্রতিফলন রয়েছে।{{sfnp|Gallian|2013|p = 455}} যতটুকু বলেছি, <math>\widetilde{S}_2</math> যা কাজ করে এমন স্থান {{mvar|V}} একটি রৈখিক স্থান, যেখানে অসীম সংখ্যক সমানভাবে স্পর্শক বিন্দু রয়েছে। এটি স্বাভাবিকভাবে রৈখিক স্থান {{mvar|V}}-কে বাস্তব রেখা <math>\R^1</math> এর সাথে সংযুক্ত করা যেতে পারে, যেখানে <math>s_0</math> বিন্দু {{math|0}} এর চারপাশে প্রতিবিম্ব এবং <math>s_1</math> বিন্দু {{math|1}} এর চারপাশে প্রতিবিম্ব। এই ক্ষেত্রে, প্রতিবিম্ব <math>(s_0 s_1)^k s_0</math> বিন্দু {{math|–''k''}} এর চারপাশে প্রতিবিম্বিত করে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা {{mvar|k}} এর জন্য, <math>s_0 s_1</math> এর সমন্বয় রেখাকে {{math|–2}} দ্বারা স্থানান্তরিত করে এবং <math>s_1 s_0</math> এর সমন্বয় রেখাকে {{math|2}} দ্বারা স্থানান্তরিত করে।{{sfnp|Lewis|Reiner|2016|loc = Section 4.1}}{{sfnp|Gallian|2013|p = 455}}

==বিন্যাস পরিসংখ্যান ও বিন্যাস ধরন== 
অনেক [[যাদুকরী বিন্যাস পরিসংখ্যান|বিন্যাস পরিসংখ্যান]] এবং সীমানাবদ্ধ বিন্যাসের যৌগিকতার অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলো এফিন পরিস্থিতিতে সম্প্রসারিত হতে পারে।
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 245}}

===অবতরণ, দৈর্ঘ্য, এবং বিপরীতক্রম===
একটি কক্সেটার গ্রুপ {{mvar|G}} এর একটি উপাদান {{mvar|g}} এর ''দৈর্ঘ্য'' <math>\ell(g)</math> হলো সর্বনিম্ন সংখ্যা {{mvar|k}}, যাতে {{mvar|g}} কে {{mvar|k}} টি কক্সেটার উৎপাদক <math> g= s_{i_1} \cdots s_{i_k}</math> হিসাবে লিখা যেতে পারে।{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 15}}
জ্যামিতিকভাবে, <math>\widetilde{S}n</math> এর একটি উপাদান {{mvar|g}} এর দৈর্ঘ্য হলো সেই প্রতিফলিত হাইপারপ্লেনগুলির সংখ্যা যা <math>A_0</math> এবং <math> A_0 \cdot g</math> কে আলাদা করে, যেখানে <math>A_0</math> হলো মৌলিক এলকোভ (যা কক্সেটার উৎপাদক <math>s_0, s_1, \ldots, s{n - 1}</math> দ্বারা সীমানাবদ্ধ একটি সিম্পলেক্স)।
{{efn|In fact, the same is true for any affine Coxeter group.}}
{{sfnp|Humphreys|1990|p = 93}}
যতটুকু গণনা করা যায়, একটি অভ্যন্তরীণ পরিবর্তনশীলতার দৈর্ঘ্য [[বিপরীততা (বৈষম্য গাণিতিকতা)|বিপরীততার]] একটি উপযুক্ত ধারণার মাধ্যমে সংকেতিত হয়: একটি অভ্যন্তরীণ পরিবর্তনশীলতার জন্য
{{mvar|u}}, দৈর্ঘ্য হলো 
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 261}}
<math display = block> \ell(u) = \# \left\{ (i, j) \colon i \in \{1, \ldots, n\}, j \in \mathbb{Z}, i < j, \text{ and } u(i) > u(j) \right\}.</math>
অথবা, এটি সমতুল্য বর্গের সংখ্যা যা <math> (i, j) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} </math> এর জন্য, যেখানে <math> i < j</math> এবং <math> u(i) > u(j)</math>, এবং সমতুল্য সম্পর্ক অনুযায়ী <math> (i, j) \equiv (i', j') </math> যদি <math>(i - i', j - j') = (kn, kn)</math> কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য
{{mvar|k}}।
দৈর্ঘ্যের জন্য [[জেনারেটিং ফাংশন]]
<math>\widetilde{S}_n</math> হলো
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 208}}{{sfnp|Björner|Brenti|1996|loc = Cor. 4.7}}
<math display = block> \sum_{g \in \widetilde{S}_n} q^{\ell(g)} = \frac{1 - q^n}{(1 - q)^n}.</math>
এছাড়াও, বিন্যাসে [[Descents (permutation)|পতন]] এর একটি এফিন রূপ রয়েছে: একটি এফিন বিন্যাসে {{mvar|u}} অবস্থানের পতন হয়ে থাকে যদি {{mvar|i}} <math>u(i) > u(i + 1)</math>।

অনুরূপভাবে, বিন্যাসে [[অবতরণ|অবতরণের]] একটি অভিক্ষিপ্ত সদৃশ রূপ রয়েছে: একটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস। {{mvar|u}} একটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাসে যদি <math>u(i) > u(i + 1)</math> হয়, তবে অবস্থান {{mvar|i}} এ একটি অবতরণ থাকে। (আবর্তনশীলতার কারণে, {{mvar|u}}-এর অবস্থান {{mvar|i}} তে একটি অবতরণ থাকবে যদি এবং কেবল যদি সকল পূর্ণসংখ্যার {{mvar|k}} এর জন্য <math>i + kn</math> অবস্থানেও অবতরণ থাকে।) বীজগাণিতিকভাবে, অবতরণগুলি কক্সেটার গোষ্ঠীর দৃষ্টিকোণ থেকে ‘‘ডানদিকের অবতরণ’’ এর সাথে সম্পর্কিত; অর্থাৎ, {{mvar|i}} হল {{mvar|u}}-এর একটি অবতরণ যদি এবং কেবল যদি <math> \ell(u \cdot s_i) < \ell (u)</math>.{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 263}} বামদিকের অবতরণ (অর্থাৎ, সেই সূচক {{mvar|i}} যার জন্য <math> \ell(s_i \cdot u) < \ell (u)</math>) হল বিপরীত অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস <math>u^{-1}</math>-এর অবতরণ। সমতুল্যভাবে, এগুলি সেই মান {{mvar|i}} যেগুলি {{mvar|i}} থেকে পূর্বে {{math| ''i'' − 1}} অবস্থান নেয় ধারাবাহিকতায়:
<math> \ldots, u(-2), u(-1), u(0), u(1), u(2), \ldots</math>.{{sfnp|Chmutov|Lewis|Pylyavskyy|2022|loc = Section 3.2}}
জ্যামিতিকভাবে, {{mvar|i}} তখনই এবং শুধুমাত্র তখনই {{mvar|u}}-এর একটি অবতরণ হবে যদি <math>s_i</math>-এর স্থির সমতল <math>A_0</math> এবং <math> A_0 \cdot u</math> এর মধ্যবর্তী অঞ্চলকে বিভক্ত করে।
{{sfnp|Shi|1987|p=55}}

যেহেতু অভিক্ষিপ্ত বিন্যাসের অবতরণ সংখ্যার জন্য প্রতিসম সংখ্যক সম্ভাবনা রয়েছে, কিন্তু অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস অসীম সংখ্যক, তাই অবতরণ সংখ্যার ভিত্তিতে অভিক্ষিপ্ত বিন্যাসের জন্য একটি উৎপাদক ফাংশন সরলভাবে গঠন করা সম্ভব নয় (যা [[ঐলারীয় বহুপদী]]গুলির একটি অভিক্ষিপ্ত সদৃশ রূপ)।
{{sfnp|Reiner|1995|p = 2}} একটি সম্ভাব্য সমাধান হলো সীমিত প্রতিসম গ্রুপ <math>S_n</math>-এর মধ্যে অভিক্ষিপ্ত অবতরণ (সমতুল্যভাবে, আবর্তিত অবতরণ) বিবেচনা করা।
{{sfnp|Petersen|2015|loc=Chapter 14}} এর আরেকটি সম্ভাব্য পদ্ধতি হলো অভিক্ষিপ্ত বিন্যাসের দৈর্ঘ্য এবং অবতরণের সংখ্যা একসঙ্গে বিবেচনা করা। সীমিত প্রতিসম গ্রুপ <math>\widetilde{S}_n</math>-এর জন্য এই পরিসংখ্যানগুলোর [[বহুচর উৎপাদক ফাংশন]] একসঙ্গে সমস্ত {{mvar|n}} এর জন্য প্রকাশ করা হয়:
<math display = block>  
\sum_{n \geq 1} \frac{x^n}{1 - q^n} \sum_{w \in \widetilde{S}_n} t^{\operatorname{des}(w)} q^{\ell(w)}  
=  
\left[  
\frac{x \cdot \frac{\partial}{\partial{x}} \log(\exp(x; q))}{1 - t \exp(x; q)}  
\right]_{x \mapsto x \frac{1 - t}{1 - q}}  
</math>  যেখানে {{math|des(''w'')}} হলো অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস {{mvar|w}}-এর অবতরণের সংখ্যা এবং 
<math>\exp(x; q) = \sum_{n \geq 0} \frac{x^n (1 - q)^n}{(1 - q)(1 - q^2) \cdots (1 - q^n)}</math> হচ্ছে {{mvar|q}}[[-সূচকীয় ফাংশন]]।
{{sfnp|Reiner|1995|loc = Theorem 6}}

=== চক্রের ধরন এবং প্রতিফলন দৈর্ঘ্য ===
যেকোনো দ্বৈতএকসংকেতী প্রতিফলন <math>u : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}</math> পূর্ণসংখ্যাগুলিকে (সম্ভাব্য অসীম) চক্রের একটি তালিকায় বিভক্ত করে। প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা {{mvar|i}} এর জন্য, {{mvar|i}}-কে ধারণকারী চক্রটি হলো
<math> ( \ldots, u^{-2}(i), u^{-1}(i), i, u(i), u^2(i), \ldots )</math> 
যেখানে সূচকীয় রূপান্তর ফাংশনীয় সংযোজন নির্দেশ করে। <!--উদাহরণস্বরূপ, <math>\widetilde{S}_5</math>-এ একটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস, যার উইন্ডো সূচক <math>[6, 3, 2, 0, 4]</math>, এতে দুটি অসীম চক্র রয়েছে:
<math> (\ldots, -9, -4, 1, 6, 11, \ldots)</math> এবং
<math> (\ldots, 10, 9, 5, 4, 0, -1, -5, \ldots)</math>,
এছাড়াও, প্রতিটি <math>k \in \mathbb{Z}</math> এর জন্য অসংখ্য সসীম চক্র <math> (5k + 2, 5k + 3)</math> রয়েছে।
একটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাসের চক্র তার ভিত্তির বিন্যাসের চক্রগুলোর সাথে স্পষ্ট সম্পর্কযুক্ত। উপরের উদাহরণে, ভিত্তির বিন্যাস <math>[1, 3, 2, 5, ৪] = (1)(23)(45)</math>-এ, প্রথম অসীম চক্রটি (1) চক্রের সাথে সম্পর্কিত, দ্বিতীয়টি (45) চক্রের সাথে সম্পর্কিত, এবং সমস্ত সসীম চক্র (23) চক্রের সাথে সম্পর্কিত।-->

একটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস {{mvar|u}} এর জন্য, নিম্নলিখিত শর্তগুলি একে অপরের সমান: {{mvar|u}}-এর সমস্ত চক্র সসীম {{mvar|u}}-এর সসীম [[অর্ডার (গোষ্ঠী তত্ত্ব)|অর্ডার]] আছে,এবং {{mvar|u}}-এর ভৌত ক্রিয়া {{mvar|V}}-এ কমপক্ষে একটি স্থির বিন্দু আছে।
{{sfnp|Lewis|McCammond|Petersen|Schwer|2019|loc=Propositions 1.31 and 4.24}}

একটি উপাদান {{mvar|u}} এর "প্রতিচ্ছবি দৈর্ঘ্য" <math>\ell_R(u)</math> হলো সর্বনিম্ন সংখ্যা {{mvar|k}}, এমন যে সেখানে প্রতিচ্ছবিগুলি <math>r_1, \ldots, r_k</math> আছে, যাতে <math>u = r_1 \cdots r_k</math> হয়। (প্রতিসম
গ্রুপে, প্রতিচ্ছবি হলো স্থানান্তর, এবং একটি বিন্যাস {{mvar|u}}-এর প্রতিচ্ছবি দৈর্ঘ্য হলো <math>n - c(u)</math>, যেখানে <math>c(u)</math> হলো {{mvar|u}}-এর চক্রের সংখ্যা।){{sfnp|Lewis|McCammond|Petersen|Schwer|2019}} 
{{harv|লুইস|ম্যাকক্যামন্ড|পিটারসেন|শ্ভের|২০১৯}}, অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস {{mvar|u}} এর জন্য নিম্নলিখিত সূত্র প্রমাণিত হয়েছে: {{mvar|u}}-এর প্রতিটি চক্রের জন্য, ''ওজন'' হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে সেই পূর্ণসংখ্যা ''k'' যা এমনভাবে সংজ্ঞায়িত হয় যে, পরপর তালিকাভুক্ত এন্ট্রিগুলি {{mvar|n}} মডুলো অনুযায়ী কংগ্রুয়েন্ট থাকলেও তারা ঠিক {{math|''kn''}} দ্বারা পার্থক্য করে। <!--(উদাহরণস্বরূপ, উপরের বিন্যাস <math>[ 5, 2, 0, 3]</math>-এ, প্রথম অসীম চক্রের ওজন 1 এবং দ্বিতীয় অসীম চক্রের ওজন -1; সমস্ত সসীম চক্রের ওজন 0।)--> {{mvar|u}}-এর চক্রের ওজনগুলির একটি যুগ্ম তৈরি করুন (একই চক্রের অনুবাদগুলি {{mvar|n}}-এর গুণফল দ্বারা শুধুমাত্র একবার গননা করা হবে), এবং ''শূন্যতা'' <math>\nu(u)</math> সংজ্ঞায়িত করুন সেই যুগ্মের সর্বনিম্ন [[সেট বিভাজন]] হিসেবে, যাতে প্রতিটি অংশের যোগফল 0 হয়।  <!--(In the example above, the tuple is <math>(1, -1, 0)</math> and the nullity is 2, with corresponding partition <math>(1, -1), (0)</math>.)--> তাহলে, {{mvar|u}}-এর প্রতিচ্ছবি দৈর্ঘ্য হলো
<math display = block> \ell_R(u) = n - 2 \nu(u) + c(\pi(u)),</math>
যেখানে <math>\pi(u)</math> হলো {{mvar|u}}-এর অন্তর্নিহিত বিন্যাস।{{sfnp|Lewis|McCammond|Petersen|Schwer|2019|loc = Theorem 4.25}}

প্রতিটি অভিক্ষিপ্ত বিন্যাস {{mvar|u}}-এর জন্য, এমন একটি উপগোষ্ঠী {{mvar|W}} নির্বাচন করা হয় <math>\widetilde{S}_n</math> -এর যা <math>W \cong S_n</math>, <math> \widetilde{S}_n = W \ltimes \Lambda</math>, এবং এই সেমিডাইরেক্ট প্রোডাক্ট দ্বারা যা মানানসই মানক রূপ <math> u = w \cdot t </math> এবং এই আধা-প্রত্যক্ষ পণ্য দ্বারা যা মানানসই মানক রূপ <math> u = w \cdot t </math> নির্দেশিত হয়, প্রতিচ্ছবি দৈর্ঘ্যগুলো যোগফলযোগ্য, অর্থাৎ, <math>\ell_R(u) = \ell_R(w) + \ell_R(t)</math>।
{{sfnp|Lewis|McCammond|Petersen|Schwer|2019|loc = Corollary 2.5}}

=== সম্পূর্ণরূপে বিনিময়যোগ্য উপাদান এবং প্যাটার্ন পরিহার ===
একটি কক্সেটার গ্রুপের উপাদান {{mvar|g}}-এর জন্য একটি ''হ্রাসকৃত শব্দ'' হলো <math>(s_{i_1}, \ldots, s_{i_{\ell(g)}})</math> এর একটি যুগ্ম যা কক্সেটার উৎপাদকদের সর্বনিম্ন সম্ভব দৈর্ঘ্যের, এমনভাবে যে <math> g = s_{i_1} \cdots s_{i_{\ell(g)}}</math>।
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 15}} {{mvar|g}} উপাদানটি ''সম্পূর্ণভাবে আদান-প্রদানযোগ্য'' বলা হয় যদি কোন হ্রাসকৃত শব্দটি যেকোনো অন্য শব্দে পরিণত হতে পারে শুধুমাত্র যেসব উপাদান একে অপরের সাথে আদান-প্রদান করে, তাদের জোড়াগুলি একে অপরের সাথে স্থানান্তরিত করে।{{sfnp|Stembridge|1996|p = 353}}
উদাহরণস্বরূপ, সমাপ্ত প্রতিসম
গ্রুপ <math>S_4</math> -এ, উপাদান <math> 2143 = (12)(34)</math> সম্পূর্ণভাবে আদান-প্রদানযোগ্য, কারণ এর দুটি হ্রাসকৃত শব্দ <math>(s_1, s_3)</math> এবং <math>(s_3, s_1)</math> একে অপরের সাথে আদান-প্রদান করে স্থানান্তরিত করা যায়, কিন্তু <math> 4132 = (142)(3)</math> সম্পূর্ণভাবে আদান-প্রদানযোগ্য নয়, কারণ <math>(s_2, s_3, s_2, s_1)</math> থেকে <math>(s_3, s_2, s_3, s_1)</math> হ্রাসকৃত শব্দে পৌঁছানোর জন্য কোন আদান-প্রদান সম্ভব নয়।{{sfnp|Billey|Jockusch|Stanley|1993|p=358}}

{{harvtxt|বিলি|জোকুস্চ|স্ট্যানলি|১৯৯৩}} প্রমাণিত হয়েছে যে,প্রতিসম গ্রুপ <math>S_n</math> এ, একটি পারমুটেশন সম্পূর্ণভাবে কমিউটেটিভ হলে এবং কেবল তখনই যদি এটি [[পারমুটেশন প্যাটার্ন]] 321 থেকে বিরত থাকে, অর্থাৎ, এর এক-লাইন নোটেশনটিতে কোনো তিন-টার্ম ডিক্রিজিং সাবসিকোয়েন্স না থাকে।
{{harv|গ্রিন|২০০২}}-এ এই ফলাফলটি অ্যাফাইন পারমুটেশনগুলিতে সম্প্রসারিত করা হয়েছে: একটি অ্যাফাইন পারমুটেশন {{mvar|u}} সম্পূর্ণভাবে কমিউটেটিভ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি এমন কোনো পূর্ণসংখ্যা {{mvar|i}}, {{mvar|j}}, এবং {{mvar|k}} না থাকে, যাদের জন্য <math> u(i) > u(j) > u(k)</math>। {{efn|এই তিনটি অবস্থান {{mvar|i}}, {{mvar|j}}, এবং {{mvar|k}} একক উইন্ডোর মধ্যে থাকতে হবে না। উদাহরণস্বরূপ, <math>\widetilde{S}_4</math> এ উইন্ডো নোটেশন <math>[-4, -1, 1, 14]</math> সহ এফিন পারমুটেশন {{mvar|w}} সম্পূর্ণ কমিউটেটিভ নয়, কারণ <math>w(0) = 10</math>, <math>w(3) = 1</math>, এবং <math>w(5) = 0</math>, যদিও চারটি ধারাবাহিক অবস্থানে তিনটি টার্মের ডিক্রিজিং সাবসিকোয়েন্স নেই।}}{{sfnp|Hanusa|Jones|2010|p = 1345}}

যে কোনো একক প্যাটার্ন {{mvar|p}} পরিহারকারী এফিন প্রতিসমের সংখ্যা সসীম হয় যদি এবং শুধু যদি {{mvar|p}} 321 প্যাটার্নটি পরিহার করে,{{sfnp|Crites|2010|loc = Theorem 1}} অতএব, বিশেষ করে, অনন্ত সংখ্যক পুরোপুরি কমিউটেটিভ এফিন প্রতিসম রয়েছে। এগুলি দৈর্ঘ্য অনুসারে গণনা করা হয়েছে {{harv|হানুসা|জোনস|২০১০}}।

== প্যারাবলিক উপগ্রুপ এবং অন্যান্য গঠন ==
<math>\widetilde{S}_n</math> এর পরাবৃত্তি উপগোষ্ঠীসমূহ এবং তাদের [[অংশ]] প্রতিনিধিগুলি একটি সমৃদ্ধ গাণিতিক কাঠামো প্রদান করে। প্রতিসম গ্রুপের অন্যান্য দিক যেমন তাদের [[ব্রুহাত আদেশ]] এবং [[প্রতিনিধিত্ব তত্ত্ব]]ও গাণিতিক পদ্ধতিসমূহের মাধ্যমে বোঝা যেতে পারে।
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 245}}

=== প্যারাবলিক উপগ্রুপ, অংশ প্রতিনিধি ===
[[File:Abacus diagram for affine S 4.png|thumb|right|upright|alt=The numbers from -7 to 16, arranged in order in a rectangular grid with four numbers per row. The numbers 9, 6, -5, and 0 are circled, as well as all of the numbers above them. |এফিম পেরমুটেশন [-5, 0, 6, 9] এর ব্যাকাস চিত্র]]]

একটি ''মানক [[প্যারাবোলিক উপগ্রিুপ]]'' যা একটি [[কক্সেটার গ্রুপ]] এর একটি উপগ্রুপ, এটি তার [[কক্সেটার উত্পাদক]] সেটের একটি উপসেট দ্বারা উত্পন্ন একটি উপগ্রুপ।{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 38}} এফিম প্রতিসম গ্রুপের সর্বাধিক প্যারাবোলিক উপগ্রুপগুলো সেগুলি, যা একটি একক কক্সেটার উত্পাদক বাদ দিয়ে আসে <math>\widetilde{S}_n</math> তে, সব সর্বাধিক প্যারাবোলিক উপগ্রুপ <math>S_n</math> সীমিত প্রতিসম গ্রুপের সমরূপ। উপগোষ্ঠীটি যা উপসেট <math> \{s_0, \ldots, s_{n - 1} \} \smallsetminus \{s_i\}</math> দ্বারা উত্পন্ন, এটি এমন সমস্ত এফিম পেরমুটেশন নিয়ে গঠিত যা সেগুলি স্থির রাখে অন্তর্বর্তীকালীন <math>[i + 1, i + n]</math>, অর্থাৎ, যেগুলি এই অন্তর্বর্তীকালীন প্রতিটি উপাদানকে অন্তর্বর্তীকালীন অন্য উপাদানে মানচিত্র করে।{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 263}}

একটি স্থির উপাদান {{mvar|i}} যার মান <math>{0, \ldots, n - 1}</math> এর জন্য, ধরা যাক <math> J = {s_0, \ldots, s_{n - 1} } \smallsetminus {s_i}</math> কক্সেটার উত্পাদকগুলির সর্বাধিক সঠিক উপসেট যা <math>s_i</math> বাদ দিয়ে আসে, এবং <math>(\widetilde{S}_n)_J</math> দ্বারা প্রকাশিত প্যারাবোলিক উপগোষ্ঠীটি বোঝানো হয় যা {{mvar|J}} দ্বারা উত্পন্ন। প্রতিটি <math> g \cdot (\widetilde{S}_n)_J </math> এর একটি স্বতন্ত্র উপাদান রয়েছে যার দীর্ঘতায় সর্বনিম্ন মান। এমন প্রতিনিধিদের সংগ্রহ, যা <math>(\widetilde{S}_n)^J</math> দ্বারা প্রকাশিত, নিম্নলিখিত এফিম পেরমুটেশনগুলি নিয়ে গঠিত:
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 263}}
<math display = block> (\widetilde{S}_n)^J = \left \{ u \in \widetilde{S}_n \colon u(i - n + 1) < u(i - n + 2) < \cdots < u(i - 1) < u(i) \right \}.</math>

বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে <math> J = {s_1, \ldots, s_{n - 1} }</math>, তাহলে <math>(\widetilde{S}_n)_J \cong S_n</math> হলো <math>S_n</math> এর একটি মানক অনুলিপি <math>\widetilde{S}_n</math> এর মধ্যে, <math>(\widetilde{S}_n)^J \cong \widetilde{S}_n/S_n</math> এর উপাদানগুলি প্রাকৃতিকভাবে ''ব্যাকাস চিত্র'' দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে: পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি অসীম স্ট্রিপে {{mvar|n}} প্রস্থে সাজানো থাকে, যা সারিতে ধারাবাহিকভাবে বাড়তে থাকে এবং তারপর উপরে থেকে নিচে চলে; পূর্ণসংখ্যাগুলি বৃত্তাকৃত হয় যদি সেগুলি মিনিমাম কোসেট প্রতিনিধির জানালা প্রবেশদ্বারের সঠিক উপরে থাকে।যেমন উদাহরণস্বরূপ, ন্যূনতম কোসেট প্রতিনিধি <math> u = [-5, 0, 6, 9]</math> সঠিক ব্যাকাস চিত্র দ্বারা ডানদিকে উপস্থাপিত হয়েছে। ব্যাকাস চিত্র থেকে প্রতিনিধি এর দৈর্ঘ্য হিসাব করতে, প্রতিটি [[সারি]]তে শেষ বৃত্তাকৃত উপাদানের থেকে ছোট যেসব বৃত্তহীন সংখ্যা আছে, সেগুলির মোট যোগফল করা হয়। (দেখানো উদাহরণে, এটি <math> 5 + 3 + 0 + 1 = 9</math> প্রদান করে।)
{{sfnp|Hanusa|Jones|2010|loc = Section 2.2}}

<math>\widetilde{S}_n/S_n</math>এর জন্য অন্যান্য সংমিশ্রণ মডেলগুলি কোর পার্টিশন (যে [[পূর্ণসংখ্যা বিভাজন]]গুলিতে কোনো [[Young's tableau#আর্ম এবং পা দৈর্ঘ্য|হুক দৈর্ঘ্য]] {{mvar|n}} দ্বারা বিভাজ্য নয়) বা সীমানিত পার্টিশন (পূর্ণসংখ্যা বিভাজন যেখানে কোনো অংশ {{mvar|n}} − 1 এর চেয়ে বড় নয়) এর মাধ্যমে প্রদান করা যেতে পারে। এই সম্বন্ধের অধীনে, এটি প্রমাণ করা যায় যে [[দুর্বল ব্রুহাত আদেশ]] <math>\widetilde{S}_n / S_n</math> এর উপর একটি নির্দিষ্ট উপগোষ্ঠীর সমরূপ যা [[ইয়ং-এর স্তম্ভ]] এর একটি উপ-অংশের সমান।
{{sfnp|Lapointe|Morse|2005}}{{sfnp|Berg|Jones|Vazirani|2009}}

=== ব্রুহাট ক্রম ===
[[ব্রুহাট ক্রম]]<math>\widetilde{S}_n</math>
এর উপর নিম্নলিখিত সংমিশ্রণমূলক বাস্তবায়ন রয়েছে। যদি {{mvar|u}} একটি এফিম পেরমুটেশন হয় এবং {{mvar|i}} এবং {{mvar|j}} পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে সংজ্ঞায়িত করা হয় <math> u [i, j] </math> যে সংখ্যাটি {{mvar|a}} এর সমষ্টি, যাতে <math> a \leq i </math> এবং <math> u(a) \geq j</math>। (যেমন, <math> u = [2, 0, 4] \in \widetilde{S}_3</math> হলে, <math>u [ 3, 1 ] = 3</math>: তিনটি প্রাসঙ্গিক মান হল <math> a = 0, 1, 3 </math>, যেগুলি যথাক্রমে {{mvar|u}} দ্বারা 1, 2 এবং 4 তে মানচিত্রিত হয়।) তারপর, দুটি এফিম পেরমুটেশন {{mvar|u}}, {{mvar|v}} এর জন্য, <math>u \leq v</math> হবে ব্রুহাত আদেশে যদি এবং শুধুমাত্র যদি <math> u[i, j] \leq v[i, j] </math> সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য {{mvar|i}}, {{mvar|j}}।
{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 264}}

===উপস্থাপনা তত্ত্ব এবং একটি এফিম রোবিনসন–শেনস্টেড সঙ্গতিপূর্ণতা===
সীমিত প্রতিসম গ্রুপ, [[রোবিনসন–শেনস্টেড সঙ্গতিপূর্ণতা]] গোষ্ঠী এবং একই আকারের [[স্ট্যান্ডার্ড ইয়ং টেবলো]]x এর জোড় <math>(P, Q)</math> এর মধ্যে একটি বিয়েকশন প্রদান করে। এই বিয়েকশনটি কম্বিনেটোরিক্স এবং [[সিমেট্রিক গোষ্ঠীর উপস্থাপনা তত্ত্ব]] এ একটি কেন্দ্রীয় ভূমিকা পালন করে। উদাহরণস্বরূপ, [[কাজডান–লুসটিগ তত্ত্ব]] এর ভাষায়, দুটি পেরমুটেশন একে অপরের বাম কোষে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের রোবিনসন–শেনস্টেডের অধীনে চিত্রিত টেবলো {{mvar|Q}} একই হয়, এবং একই ডান কোষে থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি তাদের চিত্রিত টেবলো {{mvar|P}} একই হয়।{{harv|শি|১৯৮৬}}-এ, জিয়ান-ই শি দেখিয়েছিলেন যে <math>\widetilde{S}_n</math> এর বাম কোষগুলি এখন ''ট্যাবলয়েড'' দ্বারা সূচকিত হয়,{{efn|A tabloid is a filling of the Young diagram with distinct entries, where two fillings are equivalent if they differ in the order of elements in rows. They are equinumerous with row-strict tableaux, in which entries are required to increase along rows (whereas standard Young tableau have entries that increase along rows and down columns).{{sfnp|Chmutov|Frieden|Kim|Lewis|2022|loc = Section 2.2.2}}}} এবং {{harv|শি|১৯৯১}}-এ, তিনি একটি অ্যালগরিদম প্রদান করেছিলেন যা একটি এফিম পেরমুটেশনের জন্য টেবলো {{mvar|P}} এর সমতুল্য ট্যাবলয়েড গণনা করে। {{harv|চুমুতভ|পাইল্যাভস্কি|ইউডোভিনা|২০১৮}}-এ, লেখকরা শি'র কাজ সম্প্রসারণ করে <math>\widetilde{S}_n</math> এবং <math>(P, Q, \rho)</math> এর মধ্যে একটি বিয়েক্টিভ মানচিত্র প্রদান করেন, যা একই আকারের দুটি ট্যাবলয়েড এবং একটি পূর্ণসংখ্যার ভেক্টর ধারণ করে, যার এন্ট্রিগুলি নির্দিষ্ট অগ্রাধিকার সম্পর্ক পূর্ণ করে। তাদের প্রক্রিয়া এফিম পেরমুটেশনের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনা ব্যবহার করে এবং [[ভিয়েননের জ্যামিতিক নির্মাণ|ছায়া নির্মাণ]] কে সাধারণীকৃত করে, যা {{harv|ভিয়েনট|১৯৭৭}}-এ পরিচিত হয়েছিল।

== বিপরীত বাস্তবায়ন ==

[[File:Alcoves labeled by affine permutations-inverse.png|thumb|upright=1.2|alt=The plane is divided into equilateral triangles by three sets of parallel lines. Each triangle is labeled by a triple of three numbers. One triangle, labeled by [1, 2, 3], is shaded. One of its vertices is the origin. The other five triangles that share this vertex are labeled (in clockwise order) by [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 2, 1], [3, 1, 2], and [1, 3, 2]. The third triangle adjacent to [2, 1, 3] is labeled [0, 1, 5]. |<math>\widetilde{S}_3</math>-এর জন্য এলকোভগুলো, যা এফিম প্রতিসম গ্রুপ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে, উপরে উল্লেখিত চিহ্নিতকরণের বিপরীতে।]]
কিছু পরিস্থিতিতে, কেউ <math>\Z</math>-এ অথবা এলকোভ এফিম প্রতিসম গ্রুপের ক্রিয়ার বিপরীত কার্যক্রম বিবেচনা করতে চায়, যা উপরে দেওয়া হয়েছে।
{{efn|In other words, one might be interested in switching from a [[left action|left group action]] to a right action or vice versa.{{sfnp|Shi|1986|p=68}}}} এই বিকল্প বাস্তবায়নগুলি নিচে বর্ণিত হয়েছে।

<math>\widetilde{S}_n</math> এর <math>\Z</math> উপর কম্বিনেটোরিক্যাল ক্রিয়ায়, উৎপাদক <math>s_i</math> ''মান'' {{mvar|i}} এবং {{math|i + 1}} পরিবর্তন করে কাজ করে। বিপরীত ক্রিয়ায়, এটি পরিবর্তে ''অবস্থান'' {{mvar|i}} এবং {{math|i + 1}} এর মধ্যে প্রবেশস্থল পরিবর্তন করে। একইভাবে, একটি সাধারণ প্রতিফলনের ক্রিয়া হলো ''অবস্থান'' {{math|j − kn}} এবং {{math|i + kn}} এ প্রবেশস্থল পরিবর্তন করা, প্রতিটি {{mvar|k}} এর জন্য, এমনকি সমস্ত ইনপুট যেগুলি {{mvar|i}} অথবা {{mvar|j}} এর সাথে {{mvar|n}} মডুলো সমান নয়, সেগুলিকে অপরিবর্তিত রাখা।{{sfnp|Knutson|Lam|Speyer|2013|loc=Section 2.1}}{{efn|In the finite symmetric group <math>S_n</math>, the analogous distinction is between the ''active'' and ''passive'' forms of a permutation.<ref>As in {{harv|Cameron|1994|loc=Section 3.5}}.</ref>}}

<math>\widetilde{S}_n</math> এর জ্যামিতিক ক্রিয়ায়, উৎপাদক <math>s_i</math> একটি আলকোভ {{mvar|A}}-এর উপর কাজ করে এটি মৌলিক আলকোভ {{math|''A''<sub>0</sub>}} এর একটি সীমানা সমতলে প্রতিফলিত করে। বিপরীত ক্রিয়ায়, এটি {{mvar|A}}-কে তার ''নিজস্ব'' সীমানা সমতলে প্রতিফলিত করে। এই দৃষ্টিভঙ্গি থেকে, একটি হ্রাসকৃত শব্দ একটি ''আলকোভ হাঁটা''-এর সাথে সম্পর্কিত যা টেসেলেটেড স্পেস {{mvar|V}}-এ ঘটে।<ref>As in, for example, {{harv|Beazley|Nichols|Park|Shi|2015}}, {{harv|Lam|2015}}.</ref>

== অন্যান্য গাণিতিক বস্তুর সাথে সম্পর্ক ==
এফিম প্রতিসম গ্রুপগুলো অন্যান্য অনেক গাণিতিক অবজেক্টের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।

=== জাগলিং নকশা ===
{{Wide image|Juggling-cropped.png|800px|alt=An alternating sequence of black and white circles runs from left to right. Interweaving paths in three colors are drawn; each circle lies on exactly one path, and the paths each connect two consecutive balls, then skip over three, then skip over three, and repeat this pattern. |জাগলিং নকশা [[441 (জাগলিং)|441]] একটি আর্ক চিত্রে চিত্রিত: প্রতিটি ছুড়ির উচ্চতা একটি আর্কের দৈর্ঘ্যের সাথে সম্পর্কিত; নোডগুলোর দুটি রঙ জাগলারদের বাম এবং ডান হাতের প্রতিনিধিত্ব করে। এই নকশাটির চারটি ক্রসিং রয়েছে, যা নিয়মিতভাবে পুনরাবৃত্তি হয়।}}
[[File:Juggling_441.gif|thumb|upright=0.5|alt=A stick-figure person juggling three balls|জাগলিং প্যাটার্ন 441]]

{{harv|এহরেনবর্গ|রেডি|১৯৯৬}}-এ, একটি সম্পর্ক প্রদান করা হয়েছে যেখানে এফিম প্রতিসম গ্রুপের উপাদান এবং [[জাগলিং নকশা]]গুলো [[সাইটসওয়াপ নোটেশন]]এর একটি সংস্করণে এনকোড করা হয়েছে।{{sfnp|Polster|2003|p=42}} এখানে, একটি জাগলিং নকশা যার {{mvar|n}} পিরিয়ড, তা হলো একটি সিকোয়েন্স <math>(a_1, \ldots, a_n)</math> যা অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার (কিছু নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতার সাথে) একটি সিকোয়েন্স, যা একটি জাগলারের দ্বারা নিক্ষিপ্ত বলগুলির আচরণ বর্ণনা করে, যেখানে সংখ্যা <math>a_i</math> {{mvar|i}}-তম নিক্ষেপের আকাশে থাকার সময় (অথবা, নিক্ষেপের উচ্চতা) নির্দেশ করে।{{efn|Not every sequence of {{mvar|n}} nonnegative integers is a juggling sequence. In particular, a sequence corresponds to a "simple juggling pattern", with one ball caught and thrown at a time, if and only if the function <math>i \mapsto i + a_i \mod{n}</math> is a permutation of <math>\{1, \ldots, n\}</math>.{{sfnp|Polster|2003|p=22}}}} নকশা বলের সংখ্যা {{mvar|b}} হলো গড়। <math>b = \frac{a_1 + \cdots + a_n}{n}</math>।{{sfnp|Polster|2003|p=15}} 
এহেনবার্গ–রেডি সম্পর্ক প্রতিটি {{mvar|n}} যুগের জাগলিং নকশা <math>{\bf a} = (a_1, \ldots, a_n)</math> এর সাথে সম্পর্কিত করে <math>w_{\bf a} \colon \Z \to \Z</math> ফাংশনটি, যা দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়
<math display="block">
 w_{\bf a}(i) = i + a_i - b,
</math> যেখানে সিকোয়েন্সের সূচকগুলো {{mvar|n}} মডুলো নেওয়া হয়। তারপর <math>w_{\bf a}</math> একটি এফিন পেরমুটেশন <math>\widetilde{S}_n</math> এর মধ্যে, এবং তদ্ব্যতীত, প্রতিটি এফিন পেরমুটেশন এইভাবে একটি জাগলিং নকশা থেকে উদ্ভূত হয়।{{sfnp|Polster|2003|p=42}} এই বায়েকশনের অধীনে, এফিন পেরমুটেশনের দৈর্ঘ্য একটি প্রাকৃতিক পরিসংখ্যান দ্বারা জাগলিং প্যাটার্নে সংকেতিত হয়:
<math display="block">
\ell(w_{\bf a}) = (b - 1)n - \operatorname{cross}({\bf a}),
</math>যেখানে <math>\operatorname{cross}({\bf a})</math> হলো '''a''' এর আর্ক চিত্রে (যতটা পরিধির মধ্যে) ক্রসিং এর সংখ্যা। এটি অ্যাফাইন পেরমুটেশনের জন্য দৈর্ঘ্য দ্বারা উৎপন্ন ফাংশনের একটি মৌলিক প্রমাণ প্রদান করে।{{sfnp|Polster|2003|p=43}} যেমন উদাহরণস্বরূপ, জাগলিং নকশা [[441 (juggling)|441]] এর জন্য <math>n = 3</math> এবং <math> b = \frac{4 + 4 + 1}{3} = 3</math>। অতএব, এটি এফিন পেরমুটেশন <math>w_{441} = [1 + 4 - 3, 2 + 4 - 3, 3 + 1 - 3] = [2, 3, 1]</math> এর সাথে সম্পর্কিত। এই জাগলিং নকশাতে চারটি ক্রসিং রয়েছে, এবং অ্যাফাইন পেরমুটেশনের দৈর্ঘ্য <math>\ell(w_{441}) = (3 - 1) \cdot 3 - 4 = 2</math>।{{sfnp|Polster|2003|loc=Section 2.7}}

সামান্য কোসেট রিপ্রেজেন্টেটিভদের জন্য উৎপত্তি ফাংশন <math>\widetilde{S}_n/S_n</math> এর দৈর্ঘ্য দ্বারা এই একই কৌশলগুলি ব্যবহার করা যেতে পারে।{{sfnp|Clark|Ehrenborg|2011|loc = Theorem 2.2}}

=== জটিল প্রতিফলন গ্রুপ ===
একটি সসীম-মাত্রিক বাস্তব [[অন্তঃউৎপাদন স্থান]]-এ, একটি ''প্রতিফলন'' হলো একটি [[রৈখিক রূপান্তর]] যা একটি রৈখিক অতিরিক্ত সপাটকে বিন্দু-ভিত্তিকভাবে স্থির রাখে এবং সপাটের প্রতি আর্পিত ভেক্টরটিকে বিপরীত করে। এই ধারণাটি অন্যান্য [[ক্ষেত্র (গণিত)|ক্ষেত্র]]-এর জন্যও সম্প্রসারিত হতে পারে। বিশেষভাবে, একটি জটিল অন্তঃউৎপাদন স্থানে, একটি ''প্রতিফলন'' হলো একটি [[ঊনিটারি রূপান্তর]] {{mvar|T}} যা সসীম আদেশ সহ একটি অতিরিক্ত সপাটকে স্থির রাখে।{{efn|In some sources, unitary reflections are called ''pseudoreflections''.{{sfnp|Lehrer|Taylor|2009|p=9}}}} এটি নির্দেশ করে যে, যেসব ভেক্টর সপাটের প্রতি আর্জিত, সেগুলি {{mvar|T}} এর ঊইজেনভেক্টর, এবং সংশ্লিষ্ট ঊইজেনমান হলো একটি জটিল [[ঊনিতির মূল]]। একটি ''[[জটিল প্রতিফলন গোষ্ঠী]]'' হল একটি সসীম গ্রুপ যা একটি জটিল ভেক্টর স্থানে প্রতিফলন দ্বারা সৃষ্ট রৈখিক রূপান্তরগুলির সমষ্টি।
{{sfnp|Lehrer|Taylor|2009|p=10}}

জটিল প্রতিফলন গ্রুপগুলোকে সম্পূর্ণরূপে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে {{harvtxt|শেফার্ড|টড|১৯৫৪}}-এ: প্রতিটি জটিল প্রতিফলন গ্রুপ অমতান্ত্রিত জটিল প্রতিফলন গ্রুপগুলির একটি গুণফলসমূহের সাথে সমরূপ, এবং প্রতিটি অমতান্ত্রিত গ্রুপ বা একটি অসীম পরিবারে অন্তর্ভুক্ত <math>G(m, p, n)</math> (যেখানে {{mvar|m}}, {{mvar|p}}, এবং {{mvar|n}} হলো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, এবং {{mvar|p}} {{mvar|m}} কে বিভাজ্য) অথবা 34টি অন্যান্য (যেগুলোকে "অস্বাভাবিক" বলা হয়) উদাহরণের একটি। <math>G(m, 1, n)</math> গ্রুপ হলো [[সাধারণীকৃত প্রতিসম গ্রুপ]]: গণিতিকভাবে, এটি হলো [[রিথ পণ্য]] <math>(\Z / m \Z) \wr S_n</math> যা [[চক্রীয় গোষ্ঠী]] <math>\Z / m \Z</math> এবং প্রতিসম গ্রুপ <math>S_n</math> এর গুণফল। বাস্তবে, গ্রুপ উপাদানগুলি [[মনোমিয়াল ম্যাট্রিক্স|মনোমিয়াল ম্যাট্রিক্স]] দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে (যে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারি এবং কলামে একটি অ-শূন্য উপাদান থাকে) যাদের অ-শূন্য উপাদানগুলি সকলেই {{mvar|m}}তম একক রুট। <math>G(m, p, n)</math> গ্রুপগুলি হলো <math>G(m, 1, n)</math> এর উপগ্রুপ, এবং বিশেষভাবে <math>G(m, m, n)</math> গ্রুপটি ঐসব ম্যাট্রিক্স দ্বারা গঠিত যেখানে অ-শূন্য উপাদানগুলির গুণফল 1 এর সমান।
{{sfnp|Lehrer|Taylor|2009|loc=Chapter 2}}

{{harv|শি|২০০২}}-এ, শি প্রমাণ করেছেন যে, এফিন প্রতিসম গ্রুপ হলো <math>\left\{G(m, m, n) \colon m \geq 1 \right\}</math> পরিবারটির একটি ''সাধারণ আচ্ছাদন'' পরবর্তী অর্থে: প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা {{mvar|m}} এর জন্য, <math>\widetilde{S}_n</math> থেকে <math>G(m, m, n)</math> এ একটি সার্জেকশন <math>\pi_m</math> বিদ্যমান, এবং এই মানচিত্রগুলি স্বাভাবিক সার্জেকশনগুলির সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, যেমন <math>G(m, m, n) \twoheadrightarrow G(p, p, n)</math> যখন <math>p \mid m</math>, যা প্রতিটি উপাদানকে {{math|''m''/''p''}}তম শক্তিতে উত্তোলন করা থেকে আসে। অতিরিক্তভাবে, এই প্রক্ষেপণগুলি প্রতিফলন গ্রুপ কাঠামোকে সম্মান করে, অর্থাৎ, <math>\widetilde{S}_n</math> এর প্রতিটি প্রতিফলনের চিত্র <math>\pi_m</math> এর মাধ্যমে <math>G(m, m, n)</math> এ একটি প্রতিফলন হবে; এবং একইভাবে, যখন <math>m > 1</math>, <math>\widetilde{S}n</math> এর মানক [[কক্সিটার উপাদান]] <math>s_0 \cdot s_1 \cdots s{n - 1}</math> এর চিত্র একটি কক্সিটার উপাদান হবে <math> G(m, m, n)</math> এ।
{{sfnp|Lewis|2020|loc = Section 3.2}}

=== এফিন লাই বীজগণিতগুলো ===
প্রতিটি এফিন কক্সিটার গ্রুপ একটি [[অ্যাফাইন লাই অ্যালজেবরা]]র সাথে সম্পর্কিত, যা একটি নির্দিষ্ট [[অসীম-মাত্রিক স্থান|অসীম-মাত্রিক]] [[অ-সংযুক্ত অ্যালজেবরা]], যার উপস্থাপনামূলক গুণাবলী অত্যন্ত সুন্দর{{efn|For example, like finite-dimensional [[semisimple Lie algebra]]s, they admit an explicit parameterization of their [[integrable representation|integrable]] [[highest weight module]]s; whereas there is no corresponding general theory for general infinite-dimensional Lie algebras.{{sfnp|Kac|1990|loc = Introduction}} }} এই সম্পর্কের মধ্যে, কক্সিটার গ্রুপটি লাই বীজগণিত রুট স্থান (যা [[কার্টান সাবঅ্যালজেবরা]]র দ্বৈত) এর প্রতিসম গ্রুপ হিসেবে উদ্ভূত হয়।{{sfnp|Kac|1990|loc = Chapter 3}} এফিন লাই বীজগণিত শ্রেণীবিভাগে, যা <math>\widetilde{S}n</math> এর সাথে সম্পর্কিত, এটি (অ-ঘূর্ণিত) ধরনের <math>A{n - 1}^{(1)}</math> এবং এর [[কার্টান ম্যাট্রিক্স#লাই অ্যালজেবরা|কার্টান ম্যাট্রিক্স]] হলো <math> \left[ \begin{array}{rr} 2 & - 2 \ - 2& 2 \end{array} \right] </math> যখন <math>n = 2</math> এবং <math> \left[ \begin{array}{rr} 2 & - 2 \\ - 2& 2 \end{array} \right] </math> for <math>n = 2</math> and
<math display = block> \left[ \begin{array}{rrrrrr} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & -1 \\
-1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\
-1 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2
\end{array} \right]
</math> (একটি [[সার্কুল্যান্ট ম্যাট্রিক্স]]) যখন <math> n > 2 </math>।

অন্যান্য [[ক্যাক–মুডি অ্যালজেবরা]]র মতো, এফিন লাই বীজগণিতগুলো [[ওয়েইল–ক্যাক চরিত্র সূত্র]] পূর্ণ করে, যা বীজগণিতের [[চরিত্র তত্ত্ব|চরিত্রগুলি]] তাদের [[সর্বোচ্চ ওজন]] এর দ্বারা প্রকাশ করে।{{sfnp|Kac|1990|loc = Chapter 10}} অ্যাফাইন লাই অ্যালজেবরার ক্ষেত্রে, ফলস্বরূপ সৃষ্ট সনাক্তকরণগুলি [[ম্যাকডোনাল্ড সনাক্তকরণ]] এর সমতুল্য। বিশেষভাবে, <math>A_1^{(1)}</math> ধরনের এফিন লাই বীজগণিতের জন্য, যা এফিন প্রতিসম গ্রুপ <math>\widetilde{S}_2</math> এর সাথে সম্পর্কিত, সংশ্লিষ্ট ম্যাকডোনাল্ড সনাক্তকরণটি [[জ্যাকোবি ত্রিপল পণ্য]] এর সমতুল্য।

=== ব্রেইড গ্রুপ এবং গ্রুপ-তাত্ত্বিক গুণাবলী ===

কক্সিটার গ্রুপগুলোর কিছু বিশেষ গুণাবলী রয়েছে যা সব গ্রুপের মধ্যে ভাগ করা হয় না। এর মধ্যে রয়েছে যে তাদের [[শব্দ সমস্যা (গণিত)|গণিত বিষয়ক শব্দ সমস্যা]] [[অবিচ্ছেদ্য সমস্যা|অবিচ্ছেদ্য]] (অর্থাৎ, এমন একটি [[আলগোরিদম]] রয়েছে যা নির্ধারণ করতে পারে যে কোনো নির্দিষ্ট উৎপাদিত উপাদান একক উপাদান আইডেন্টিটি এর সমান কি না) এবং তারা [[রৈখিক গোষ্ঠী]] (অর্থাৎ, তারা একটি ক্ষেত্রের উপর বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্সের গ্রুপ দ্বারা উপস্থাপিত হতে পারে)।{{sfnp|Björner|Brenti|2005|pp = 75, 92}}{{sfnp|McCammond|2017|p=6}}

প্রতিটি কক্সিটার গ্রুপ {{mvar|W}} একটি [[আরটিন–টিটস গোষ্ঠী]] <math>B_W</math> এর সাথে সম্পর্কিত, যা একটি অনুরূপ উপস্থাপনা দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, যেখানে প্রতিটি উৎপাদক {{mvar|s}} এর জন্য <math>s^2 = 1</math> সম্পর্ক বাদ দেওয়া হয়।{{sfnp|McCammond|2017|loc=Section 1.1}} বিশেষভাবে, <math>\widetilde{S}n</math> এর সাথে সম্পর্কিত আরটিন–টিটস গোষ্ঠী {{mvar|n}}টি উপাদান দ্বারা উৎপন্ন হয়, যা <math> \sigma_0, \sigma_1, \ldots, \sigma{n - 1}</math> দ্বারা প্রকাশিত হয় এবং সম্পর্কগুলির মধ্যে থাকে <math>\sigma_i \sigma_{i + 1} \sigma_i = \sigma_{i + 1}\sigma_i \sigma_{i + 1}</math> যেখানে <math>i = 0, \ldots, n - 1</math> (এবং অন্য কোনো সম্পর্ক নেই), যেখানে পূর্বের মতো সূচকগুলি {{mvar|n}} দ্বারা মডুলো হিসাবে নেওয়া হয় (অতএব <math> \sigma_n = \sigma_0</math>)।{{sfnp|Kent, IV|Peifer|2002}} কক্সিটার গ্রুপের আর্টিন-টিটস গ্রুপগুলির অনেক সুন্দর বৈশিষ্ট্য রয়েছে বলে অনুমান করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, এগুলি টর্শন-মুক্ত, এদের কেন্দ্র তুচ্ছ, শব্দ সমস্যা সমাধানযোগ্য এবং এরা  <math>K(\pi, 1)</math> অনুমানকে সিদ্ধ করে বলে মনে করা হয়। এই অনুমানগুলি সমস্ত আর্টিন-টিটস গ্রুপের জন্য সত্য বলে জানা যায়নি, তবে {{harv|চার্নি|পেইফার|২০০৩}}সালে দেখিয়েছেন যে <math>B_{\widetilde{S}_n}</math> এই বৈশিষ্ট্যগুলি ধারণ করে। (পরে, এইগুলি "এফিন" কক্সিটার গ্রুপের সাথে সম্পর্কিত আর্টিন-টিটস গ্রুপগুলির জন্য প্রমাণিত হয়েছে।){{sfnp|McCammond|Sulway|2017}}{{sfnp|McCammond|2017|pp = 14–17}}{{sfnp|Paolini|Salvetti|2021}} এফিন প্রতিসম গ্রুপ ক্ষেত্রে, এই প্রমাণগুলি আরটিন–টিটস গ্রুপের উপর সংশ্লিষ্ট [[গারসাইড গোষ্ঠী|গারসাইড কাঠামো]] ব্যবহার করে।{{sfnp|McCammond|2017|p=17}}

[[File:Artin-Tits braid group of affine type A generators.svg|thumb|alt=Above, four pictures, each of five vertical strands of thread. In the first, labeled "sigma sub 1", the first strand crosses over the second, while the other three strands go from top to bottom without crossing any other strand. The second and third (labeled "sigma sub 2" and "sigma sub 3") are similar, but with the second strand crossing over the third or the third strand crossing over the fourth, respectively. In the fourth picture, the second, third, and fifth strands go in a straight line from top to bottom; the first strand crosses behind all other strands before wrapping in front of the fifth strand and then under the fourth strand, ending in the fourth position; after crossing over the first strand, the fourth strand crosses over the fifth strand, then behind all other strands, ending in the first position. Below, three pictures, each of which show three strands drawn on a cylinder. In the first picture, the first strand crosses over the second, while the third goes from top to bottom without crossing anything; in the second picture, the second strand crosses over the third, while the first goes from top to bottom without crossing anything; in the final picture, the first and third strands wrap around the back of the cylinder with the third crossing over the first, while the second goes from top to bottom without crossing anything.|এফিন প্রতিসম গ্রুপের সাথে সম্পর্কিত আরটিন–টিটস গ্রুপের জেনারেটরগুলি, যা একটানা স্ত্রান্ড সহ ব্রেইড হিসেবে উপস্থাপিত হয়েছে (যখন {{math|''n'' {{=}} 4}}) এবং সিলিন্ডারের উপর অঙ্কিত ব্রেইড হিসেবে (যখন {{math|''n'' {{=}} 3}})।]]

আরটিন–টিটস গোষ্ঠীগুলিকে কখনও কখনও ''সাধারণীকৃত ব্রেইড গ্রুপ'' হিসেবে অভিহিত করা হয়, কারণ (সীমিত) প্রতিসম গ্রুপ <math>B_{S_n}</math> এর আরটিন–টিটস গ্রুপ হচ্ছে [[ব্রেইড গ্রুপ]]{{mvar|n}}টি স্ত্রান্ডে।{{sfnp|McCammond|2017|p=11}}
সব আরটিন–টিটস গ্রুপের জন্য জ্যামিতিক ব্রেইডের মাধ্যমে একটি প্রাকৃতিক উপস্থাপনা নেই। তবে, [[হাইপেরোঅকটাহেড্রাল গোষ্ঠী]] <math>S^{\pm}_n</math> এর আরটিন–টিটস গোষ্ঠী (জ্যামিতিকভাবে, ''n''-মাত্রিক [[হাইপারকিউব]] এর প্রতিসম গ্রুপ; সংযোজকভাবে, আকার ''n'' এর [[সাইনযুক্ত প্রতিস্থাপন]] গ্রুপ) এর একটি উপস্থাপনা রয়েছে: এটি ব্রেইড গ্রুপের একটি উপগ্রুপ দ্বারা প্রদত্ত, যা <math>n + 1</math>টি স্ত্রান্ডের ব্রেইড গ্রুপ থেকে গঠিত, যেখানে একটি নির্দিষ্ট স্ত্রান্ড শুরু অবস্থানে ফিরে আসে, অথবা সমতুল্যভাবে এটি {{mvar|n}}টি স্ত্রান্ডের ব্রেইড গ্রুপ হিসেবে উপস্থাপিত হয় একটি [[অ্যানুলাস (গণিত)|অ্যানুলার]] অঞ্চলে।{{sfnp|Kent, IV|Peifer|2002}}{{sfnp|Charney|Peifer|2003|pp=587–8}} এছাড়াও, হাইপেরোঅকটাহেড্রাল গ্রুপ <math>S^{\pm}n</math> এর আরটিন–টিটস গ্রুপ একটি সেমিডাইরেক্ট পণ্যের আকারে লেখা যেতে পারে, যা <math>B{\widetilde{S}_n}</math> এবং একটি অর্ন্তগত চক্রাকার গ্রুপ সমন্বয়ে গঠিত।{{sfnp|Charney|Peifer|2003|p=588}}এই অংশে, <math>B_{\widetilde{S}_n}</math> কে জ্যামিতিক ব্রেইড নিয়ে গঠিত একটি নির্দিষ্ট উপগোষ্ঠী হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং এটি একটি [[রৈখিক গোষ্ঠী]] হিসাবেও পরিচিত।{{sfnp|Allcock|2002}}{{sfnp|Kent, IV|Peifer|2002}}{{sfnp|Charney|Peifer|2003|pp=586}}

=== বর্ধিত এফিন প্রতিসম গ্রুপ ===
এফিন প্রতিসম গ্রুপ হলো ''বিস্তৃত এফিন প্রতিসম গ্রুপ''র একটি উপগ্রুপ। বিস্তৃত গ্রুপটি [[ওথ প্রোডাক্ট]] <math>\Z \wr S_n</math> এর সাথে অনুরূপ। এর উপাদানগুলো হলো ''বিস্তৃত এফিন প্রতিস্থাপন'': <math>u \colon \Z \to \Z</math> এর মতো bijections, যেখানে <math>u(x + n) = u(x) + n</math> সকল পূর্ণসংখ্যার জন্য সত্য।এফিন প্রতিসম গ্রুপের বিপরীতে, বিস্তৃত এফিন প্রতিসম গ্রুপ একটি কক্সেটর গ্রুপ নয়। তবে এর একটি প্রাকৃতিক উৎপাদন সেট রয়েছে, যা <math>\widetilde{S}n</math> এর জন্য কক্সেটর উৎপাদন সেটকে সম্প্রসারিত করে: ''শিফট অপারেটর'' <math>\tau</math>, যার উইন্ডো সূচক হলো <math>\tau = [2, 3, \ldots, n, n + 1]</math>, এটি সরল প্রতিফলনের সাথে বিস্তৃত গ্রুপটি উৎপন্ন করে, অতিরিক্ত সম্পর্ক <math>\tau s_i \tau^{-1} = s{i + 1}</math> এর অধীনে।
{{sfnp|Chmutov|Pylyavskyy|Yudovina|2018|loc = Section 1.6}}

=== অন্যান্য এফিন কক্সিটার গ্রুপের সমন্বয়শাস্ত্র === 
এফিন প্রতিসম গ্রুপ <math>\widetilde{S}_n</math>-এর জ্যামিতিক ক্রিয়া এটিকে প্রাকৃতিকভাবে এফিন কক্সেটার গ্রুপের একটি পরিবারে স্থান দেয়, যেগুলির প্রতিটি একটি অনুরূপ জ্যামিতিক ক্রিয়া একটি এফিন স্থানে সম্পাদন করে। <math>\widetilde{S}_n</math>-এর কম্বিনেটোরিয়াল বর্ণনাও এই গ্রুপগুলির অনেকের জন্য সম্প্রসারিত করা যেতে পারে:{{harvtxt|এরিকসন|এরিকসন|১৯৯৮}}কিছু প্রতিস্থাপন গ্রুপের স্বতঃসিদ্ধ বর্ণনা দেন, যা <math>\Z</math>-এর উপর কার্যক্রম চালায় (যা "[[জর্জ গোষ্ঠী]]" নামে পরিচিত, জর্জ লুস্জটিগের সম্মানে)। তিনি দেখান যে এই গোষ্ঠীগুলি ঠিক "ক্লাসিক্যাল" কক্সেটার গ্রুপ, যা সসীম এবং এফিন টাইপ A, B, C এবং D এর। (এফিন কক্সেটার গ্রুপগুলির শ্রেণিবিন্যাসে, এফিন প্রতিসম গ্রুপ হলো টাইপ A)। অতএব, অবতরণ, বিপর্যয় ইত্যাদির কম্বিনেটোরিয়াল ব্যাখ্যা এই ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।{{sfnp|Björner|Brenti|2005|loc = Chapter 8}} প্যারাবলিক কোশেন্টের সর্বনিম্ন দৈর্ঘ্যের কোসেট প্রতিনিধিদের অ্যাবাকাস প্রতিরূপগুলিও এই ক্ষেত্রে সম্প্রসারিত হয়েছে।{{sfnp|Hanusa|Jones|2012}}

==ইতিহাস==
কক্সেটার গ্রুপের সাধারণ অধ্যয়নকে বলা যেতে পারে যে, এটি প্রাচীন গ্রীসে নিয়মিত পলিহেড্রা ([[প্ল্যাটনিক সলিডস]]) শ্রেণীবদ্ধ করার মাধ্যমে প্রথম শুরু হয়েছিল। আধুনিক পদ্ধতিগত অধ্যয়ন (যা গাণিতিক এবং ভৌত সংজ্ঞাগুলিকে সংযুক্ত করে সীমিত এবং এফিন কক্সেটার গ্রুপগুলির) কক্সেটারের ১৯৩০-এর দশকের কাজ থেকে শুরু হয়েছিল।{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 24}} এফিন প্রতিসম গ্রুপের কম্বিনেটোরিয়াল বর্ণনা প্রথম {{harvtxt|লুসতিগ|১৯৮৩}} এর কাজে প্রকাশ পায়, এবং {{harvtxt|শি|১৯৮৬}} দ্বারা এর উপর বিস্তার ঘটানো হয়েছিল; উভয় লেখক কম্বিনেটোরিয়াল বর্ণনাটি ব্যবহার করেছিলেন <math>\widetilde{S}_n</math> এর কজদান–লুসতিগ সেলগুলি অধ্যয়ন করতে।{{sfnp|Björner|Brenti|2005|p = 293}}{{sfnp|Green|2002}} কম্বিনেটোরিয়াল সংজ্ঞাটি যে গাণিতিক সংজ্ঞার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, তার প্রমাণ {{harvtxt|এরিকসন|এরিকসন|১৯৯৮}} প্রদান করেছিলেন।{{sfnp|Green|2002}}

== তথ্যসূত্র ==
{{সূত্র তালিকা}}
{{reflist|25em}}

=== টীকা ===
{{notelist}}

=== উদ্ধৃতি ===
* {{citation|title = Braid pictures for Artin groups | last = Allcock| first = Daniel| author-link=Daniel Allcock|journal = [[Trans. Amer. Math. Soc.]] | volume = 354 | year = 2002 | issue = 9 | pages = 3455–3474 | doi = 10.1090/S0002-9947-02-02944-6 | s2cid = 14473723| doi-access = free }}
* {{citation|title = Bijective projections on parabolic quotients of affine Weyl groups | last1 = Beazley |first1 = Elizabeth |last2 = Nichols | first2 = Margaret |last3 = Park|first3 = Min Hae |last4 = Shi|first4 = XiaoLin |last5 = Youcis|first5 = Alexander | journal = [[J. Algebr. Comb.]] | year = 2015 | volume = 41 | issue = 4 | pages = 911–948|doi=10.1007/s10801-014-0559-9|doi-access = free |arxiv = 1212.0771 }}
* {{citation|title = A bijection on core partitions and a parabolic quotient of the affine symmetric group | last1 = Berg | first1 = Chris | last2 = Jones | first2 = Brant | last3 = Vazirani | first3 = Monica | journal = [[J. Combin. Theory Ser. A]] | volume = 116 | year = 2009 | issue = 8 | pages = 1344–1360 | doi = 10.1016/j.jcta.2009.03.013| arxiv = 0804.1380 | s2cid = 3032099 }}
* {{citation |title=Some Combinatorial Properties of Schubert Polynomials |last1=Billey |first1=Sara C. |author1-link=Sara Billey |s2cid=8628113 |last2=Jockusch |first2=William |last3=Stanley |first3=Richard P. |author3-link=Richard P. Stanley |journal=[[J. Algebr. Comb.]] |year=1993 |volume=2 |issue=4 |pages=345–374 |doi=10.1023/A:1022419800503 |doi-access=free|hdl=2027.42/46173 |hdl-access=free }}
* {{citation |title=Affine permutations of type A |last1=Björner |first1=Anders |author1-link=Anders Björner |s2cid=2987208 |last2=Brenti |first2=Francesco |journal=[[Electron. J. Combin.]] |year=1996 |volume=3 |issue=2 |pages=R18 |doi=10.37236/1276 |doi-access=free}}
* {{citation |title=Combinatorics of Coxeter groups |last1=Björner |first1=Anders |author1-link=Anders Björner |s2cid=115235335 |last2=Brenti |first2=Francesco |publisher=Springer |year=2005 |isbn=978-3540-442387 |doi=10.1007/3-540-27596-7}}
* {{citation |first=Peter J. |last=Cameron |author-link=Peter Cameron (mathematician) |title=Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms |year=1994 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-45761-3 |s2cid=115451799 |doi=10.1017/CBO9780511803888}}
* {{citation|title = The <math>K(\pi,1)</math>-conjecture for the affine briad groups | last1 = Charney | first1 = Ruth |author1-link = Ruth Charney | last2=Peifer | first2 = David | journal = [[Comment. Math. Helv.]] | volume = 78 | year = 2003 | issue = 3 | pages = 584–600 | doi = 10.1007/S00014-003-0764-Y | s2cid = 54016405 | doi-access = free }}
* {{citation | title = An affine generalization of evacuation | last1 = Chmutov | first1 = Michael | last2 = Lewis | first2 = Joel Brewster | last3 = Pylyavskyy | first3 = Pavlo | year = 2022 | journal = [[Selecta Math.]] | series = New Series | volume = 28 | issue = 4| pages = Paper 67 | doi = 10.1007/s00029-022-00779-x | arxiv = 1706.00471| s2cid = 119168718 }}
* {{citation | title = Monodromy in Kazhdan-Lusztig cells in affine type A | last1 = Chmutov | first1 = Michael | last2 = Frieden | first2 = Gabriel | last3 = Kim | first3 = Dongkwan | last4 = Lewis | first4 = Joel Brewster | last5 = Yudovina |first5 = Elena | year = 2022 | journal = [[Math. Annalen]] | volume = 386 | issue = 3–4 | pages = 1891–1949 | doi = 10.1007/s00208-022-02434-4| arxiv = 1806.07429| s2cid = 119669284 }}
* {{citation| title = Matrix-ball construction of affine Robinson-Schensted correspondence | last1 = Chmutov | first1 = Michael | last2 = Pylyavskyy | first2 = Pavlo | last3 = Yudovina |first3 = Elena | journal = [[Selecta Math.]] |series=New Series | volume = 24 | issue = 2 | year = 2018 | pages = 667–750 | doi = 10.1007/s00029-018-0402-6| arxiv = 1511.05861 | s2cid = 119086049 }}
* {{citation |title=Excedances of affine permutations |last1=Clark |first1=Eric |s2cid=15349463 |last2=Ehrenborg |first2=Richard |author2-link=Richard Ehrenborg |journal=[[Advances in Applied Mathematics]] |volume=46 |year=2011 |issue=1–4 |pages=175–191 |doi=10.1016/j.aam.2009.12.006 |doi-access=free}}
* {{citation | title = [[Regular Polytopes (book)|Regular Polytopes]] | last = Coxeter | first = H.S.M. |author-link = Harold Scott MacDonald Coxeter | year = 1973 | publisher = Dover | edition = 3 | isbn = 0-486-61480-8}}
* {{citation |title=Enumerating pattern avoidance for affine permutations |last=Crites |first=Andrew |journal=[[Electron. J. Combin.]] |year=2010 |volume=17 |issue=1 |pages=R127 |doi=10.37236/399 |s2cid=15383510 |arxiv=1002.1933 |doi-access=free}}
* {{citation |title=Juggling and applications to ''q''-analogues |last1=Ehrenborg |first1=Richard |author1-link=Richard Ehrenborg |s2cid=18149014 |last2=Readdy |first2=Margaret |journal=[[Discrete Math.]] |year=1996 |volume=157 |issue=1–3 |pages=107–125 |doi=10.1016/S0012-365X(96)83010-X |citeseerx=10.1.1.8.6684}}
* {{citation |title=Affine Weyl groups as infinite permutations |last1=Eriksson |first1=Henrik |s2cid=218962 |last2=Eriksson |first2=Kimmo |journal=[[Electron. J. Combin.]] |year=1998 |volume=5 |pages=R18 |doi=10.37236/1356 |doi-access=free}}
* {{citation |last=Gallian |first=Joseph A. |author-link=Joseph Gallian |title=Contemporary Abstract Algebra |edition=8th |year=2013 |publisher=Brooks/Cole |isbn=978-1-133-59970-8 |lccn=2012938179}}
* {{citation |title=On 321-Avoiding Permutations in Affine Weyl Groups |last=Green |first=R.M. |journal=[[J. Algebr. Comb.]] |year=2002 |volume=15 |issue=3 |pages=241–252 |doi=10.1023/A:1015012524524 |s2cid=10583938 |doi-access=free}}
* {{citation|title = The enumeration of fully commutative affine permutations | last1 = Hanusa | first1 = Christopher R.H. | last2 = Jones | first2 = Brant C. | journal = [[Eur. J. Comb.]] | volume = 31 | issue = 5 | year = 2010 | pages = 1342–1359 | doi = 10.1016/j.ejc.2009.11.010| arxiv = 0907.0709 | s2cid = 789357 }}
* {{citation |title=Abacus models for parabolic quotients of affine Weyl groups |last1=Hanusa |first1=Christopher R.H. |s2cid=47583179 |last2=Jones |first2=Brant C. |journal=[[J. Algebra]] |volume=361 |year=2012 |pages=134–162 |arxiv=1105.5333v2 |doi=10.1016/j.jalgebra.2012.03.029 |doi-access=free}}
* {{citation |title=Reflection groups and Coxeter groups |last=Humphreys |first=James E. |author-link=James E. Humphreys |publisher=Cambridge University Press |year=1990 |isbn=0-521-37510-X |s2cid=121077209 |doi=10.1017/CBO9780511623646}}
* {{citation|title = Infinite-dimensional Lie algebras | last = Kac | first = Victor G. | author-link = Victor Kac | publisher = Cambridge University Press | edition = 3rd | year = 1990 | isbn = 0-521-46693-8 | doi=10.1017/CBO9780511626234| url = http://www.gbv.de/dms/hbz/toc/ht003009364.pdf }}
* {{citation |title=Reflection groups and invariant theory |last=Kane |first=Richard |publisher=Springer-Verlag |series=CMS Books in Mathematics/Ouvrages de Mathématiques de la SMC |year=2001 |isbn=0-387-98979-X |s2cid=119694827 |doi=10.1007/978-1-4757-3542-0}}
* {{citation |title=A geometric and algebraic description of annular braid groups |last1=Kent, IV |first1=Richard P. |s2cid=13593688 |last2=Peifer |first2=David |year=2002 |department=International Conference on Geometric and Combinatorial Methods in Group Theory and Semigroup Theory (Lincoln, NE, 2000) |journal=[[Internat. J. Algebra Comput.]] |volume=12 |issue=1–2 |pages=85–97 |doi=10.1142/S0218196702000997}}
* {{citation |title=Positroid varieties: juggling and geometry |last1=Knutson |first1=Allen |author1-link=Allen Knutson |s2cid=16108179 |last2=Lam |first2=Thomas |last3=Speyer |first3=David E. |journal=[[Compositio Mathematica]] |volume=149 |year=2013 |issue=10 |pages=1710–1752 |doi=10.1112/S0010437X13007240 |doi-access=free|arxiv=0903.3694 }}
* {{citation |title=The shape of a random affine Weyl group element and random core partitions |last=Lam |first=Thomas |journal=[[Ann. Probab.]] |volume=43 |year=2015 |issue=4 |pages=1643–1662 |arxiv=1102.4405v3 |doi=10.1214/14-AOP915 |s2cid=119691692 |doi-access=free}}
* {{citation | title = Tableaux on <math>k+1</math>-cores, reduced words for affine permutations, and <math>k</math>-Schur expansions | last1 = Lapointe | first1 = Luc | last2 = Morse | first2 = Jennifer | author2-link = Jennifer Morse (mathematician) | journal = [[J. Combin. Theory Ser. A]] | volume = 112 | issue = 1 | year = 2005 | pages = 44–81 | doi = 10.1016/j.jcta.2005.01.003| s2cid = 161241 | doi-access = free }} 
* {{Citation | last1=Lehrer | first1=Gustav I. | last2=Taylor | first2=Donald E. | title=Unitary reflection groups | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=Australian Mathematical Society Lecture Series | isbn=978-0-521-74989-3 | mr=2542964 | year=2009 | volume=20}}
* {{citation |title=A note on the Hurwitz action on reflection factorizations of Coxeter elements in complex reflection groups |last=Lewis |first=Joel Brewster |year=2020 |journal=[[Electron. J. Combin.]] |volume=27 |issue=2 |pages=P2.54 |doi=10.37236/9351 |s2cid=219176795 |arxiv=2001.08238 |doi-access=free}}
* {{citation|title = Computing reflection length in an affine Coxeter group | last1 = Lewis | first1 = Joel Brewster | last2 = McCammond | first2 = Jon | last3 = Petersen | first3 = T. Kyle | last4 = Schwer | first4 = Petra | journal = [[Trans. Amer. Math. Soc.]] | volume = 371 | year = 2019 | issue = 6 | pages = 4097–4127 | doi = 10.1090/tran/7472 |arxiv = 1710.06920 | s2cid = 119617021 }}
* {{citation |last1=Lewis |first1=Joel Brewster |last2=Reiner |first2=Victor |journal=[[The New York Journal of Mathematics]] |mr=3603073 |s2cid=1789116 |pages=1457–1486 |title=Circuits and Hurwitz action in finite root systems |url=https://nyjm.albany.edu/j/2016/22-63.html |volume=22 |year=2016 |arxiv=1603.05969}}
* {{citation |last=Lusztig |first=George |author-link=George Lusztig |title=Some examples of square integrable representations of semisimple ''p''-adic groups |journal=[[Trans. Amer. Math. Soc.]] |volume=277 |year=1983 |pages=623–653 |doi=10.1090/S0002-9947-1983-0694380-4 |s2cid=54190838 |doi-access=free}}
* {{citation |title=The mysterious geometry of Artin groups |last=McCammond |first=Jon |journal=[[Winter Braids Lect. Notes]] |volume=4 |year=2017 |issue=Winter Braids VII (Caen, 2017) |pages=Exp. No. 1, 30 |doi=10.5802/wbln.17 |s2cid=128279613 |doi-access=free}}
* {{citation|title = Artin groups of Euclidean type | last1 = McCammond | first1 = Jon | last2 = Sulway | first2 = Robert| journal = [[Invent. Math.]] | volume = 210 | year = 2017 | issue = 1 | pages = 231–282 | doi = 10.1007/s00222-017-0728-2 | bibcode = 2017InMat.210..231M | s2cid = 253738806 | arxiv = 1312.7770 }}
* {{citation|title = Proof of the <math>K(\pi,1)</math> conjecture for affine Artin groups | last1 = Paolini| first1 = Giovanni | last2 = Salvetti| first2 = Mario| journal = [[Invent. Math.]] | volume = 224 | year = 2021 | issue = 2 | pages = 487–572 | doi = 10.1007/s00222-020-01016-y | s2cid = 253738279| arxiv = 1907.11795 }}
* {{citation|title = Eulerian Numbers | last = Petersen | first = T. Kyle | series = Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher | publisher = Birkhauser | year = 2015 | isbn = 978-1-4939-3090-6 | doi = 10.1007/978-1-4939-3091-3}}
* {{citation|title = The Mathematics of Juggling | last = Polster | first = Burkard | author-link = Burkard Polster | publisher = Springer | year = 2003 | isbn = 0-387-95513-5 | doi=10.1007/b98883 | s2cid = 221274895}}
* {{citation |title=The distribution of descents and length in a Coxeter group |last=Reiner |first=Victor |journal=[[Electron. J. Combin.]] |volume=2 |year=1995 |pages=R25 |doi=10.37236/1219 |s2cid=6602595 |doi-access=free}}
* {{citation|title = Finite unitary reflection groups | last1 = Shephard | first1 = G. C. | author1-link = Geoffrey Colin Shephard | last2 = Todd | first2 = J. A. | author2-link = J. A. Todd | journal = [[Canad. J. Math.]] | volume = 6 | year = 1954 | pages = 274–304 | doi = 10.4153/CJM-1954-028-3| s2cid = 3342221 | doi-access = free }}
* {{citation |last=Shi |first=Jian-Yi |title=The Kazhdan-Lusztig Cells in Certain Affine Weyl Groups |year=1986 |publisher=Springer |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=1179 |doi=10.1007/bfb0074968 |isbn=3-540-16439-1 |s2cid=117899042}}
* {{citation |title=Alcoves corresponding to an affine Weyl group |last=Shi |first=Jian Yi |journal=[[J. London Math. Soc.]] |series=2 |volume=35 |issue=1 |year=1987 |pages=42–55 |doi=10.1112/jlms/s2-35.1.42 |s2cid=119897519}}
* {{citation |title=The generalized Robinson–Schensted algorithm on the affine Weyl group of type {{math|''A''<sub>''n''−1</sub>}} |last=Shi |first=Jian-Yi |journal=[[J. Algebra]] |volume=139 |year=1991 |issue=2 |pages=364–394 |doi=10.1016/0021-8693(91)90300-W |s2cid=124324517 |citeseerx=10.1.1.551.3094}}
* {{citation |title=Certain imprimitive reflection groups and their generic versions |last=Shi |first=Jian-Yi |journal=[[Trans. Amer. Math. Soc.]] |volume=354 |year=2002 |issue=5 |pages=2115–2129 |doi=10.1090/S0002-9947-02-02941-0 |s2cid=53996908 |doi-access=free}}
* {{citation |title=On the Fully Commutative Elements of Coxeter Groups |last=Stembridge |first=John |author-link=John Stembridge |journal=[[J. Algebr. Comb.]] |volume=5 |year=1996 |issue=4 |pages=353–385 |doi=10.1007/BF00193185 |s2cid=195239538 |doi-access=free|hdl=2027.42/46260 |hdl-access=free }}
* {{citation |contribution=Une forme géométrique de la correspondance de Robinson-Schensted |last=Viennot |first=G. |title=Combinatoire et Représentation du Groupe Symétrique |year=1977 |publisher=Springer |series=Lecture Notes in Mathematics |volume=579 |language=fr |pages=29–58 |editor-last=Foata |editor-first=Dominique |editor-link=Dominique Foata |doi=10.1007/BFb0090011 |isbn=978-3-540-08143-2 |s2cid=118727388}}

[[বিষয়শ্রেণী:প্রতিসাম্য]]