কসি–শোয়ার্জের অসমতা-এর উৎস দেখুন

{{কাজ চলছে/২০২৫}}
'''কসি–শোয়ার্জের অসমতা''' (যাকে '''কসি-বুনিয়াকোভস্কি-শোয়ার্জ অসমতাও''' বলা হয়) <ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=O'Connor|প্রথমাংশ=J.J.|শেষাংশ২=Robertson|প্রথমাংশ২=E.F.|শিরোনাম=Hermann Amandus Schwarz|ইউআরএল=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Schwarz/|ওয়েবসাইট=[[University of St Andrews]], Scotland}}</ref>  <ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Ćurgus|প্রথমাংশ=Branko|শিরোনাম=Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz inequality|ইউআরএল=http://www.wwu.edu/faculty/curgus/Courses/Math_pages/Math_504/Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky.html|ওয়েবসাইট=Western Washington University}}</ref> <ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Joyce|প্রথমাংশ=David E.|শিরোনাম=Cauchy's inequality|ইউআরএল=https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma130/cauchy.pdf|ইউআরএল-অবস্থা=live|আর্কাইভের-ইউআরএল=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/ma130/cauchy.pdf|আর্কাইভের-তারিখ=2022-10-09|ওয়েবসাইট=Clark University}}</ref> হল ভেক্টর নর্মের গুণফলের পরিপ্রেক্ষিতে একটি অভ্যন্তরীণ গুণফলের স্থানে(ইনার প্রোডাক্ট স্পেস) দুটি ভেক্টরের মধ্যে অভ্যন্তরীণ গুণফলের উপর একটি ঊর্ধ্বসীমা। এটি গণিতে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ এবং বহুল ব্যবহৃত [[অসমতা|অসমতার]] মধ্যে একটি হিসাবে বিবেচিত হয়। <ref name="Steele">{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html|শিরোনাম=The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities|শেষাংশ=Steele|প্রথমাংশ=J. Michael|বছর=2004|প্রকাশক=The Mathematical Association of America|পাতা=1|আইএসবিএন=978-0521546775}}</ref>

ভেক্টরের অভ্যন্তরীণ গুণফলকে সসীম যোগফল (সসীম-মাত্রিক ভেক্টর স্পেসের মাধ্যমে), [[ধারা (গণিত)|অসীম সিরিজ]] ( সিকোয়েন্স স্পেসের ভেক্টরগুলির মাধ্যমে) এবং [[যোগজীকরণ|ইন্টিগ্রাল]] ( [[হিলবার্ট জগৎ|হিলবার্ট স্পেসের]] ভেক্টরগুলির মাধ্যমে) হিসেবে বর্ণনা করা যেতে পারে। যোগের অসমতা অগাস্টিন লুইস কসি দ্বারা প্রকাশিত হয়েছিল ১৮২১ সালে। ইন্টিগ্রালের জন্য সংশ্লিষ্ট অসমতা প্রকাশ করেছিলেন ভিক্টর বুনিয়াকোভ্স্কি (১৮৫৯)  এবং হারম্যান শোয়ার্জ (১৮৮৮)। শোয়ার্জ ইন্টিগ্রাল সংস্করণের আধুনিক প্রমাণ দিয়েছেন। <ref name="Steele">{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html|শিরোনাম=The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities|শেষাংশ=Steele|প্রথমাংশ=J. Michael|বছর=2004|প্রকাশক=The Mathematical Association of America|পাতা=1|আইএসবিএন=978-0521546775}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFSteele2004">Steele, J. Michael (2004). [http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html ''The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities'']. The Mathematical Association of America. p.&nbsp;1. [[আন্তর্জাতিক মান পুস্তক নম্বর|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/978-0521546775|<bdi>978-0521546775</bdi>]]. <q>...there is no doubt that this is one of the most widely used and most important inequalities in all of mathematics.</q></cite></ref>

== অসমতার বিবৃতি ==
কসি-শোয়ার্জ অসমতা বলে যে  <math>\mathbf{u}</math> এবং <math>\mathbf{v}</math> সমস্ত ভেক্টরের জন্য একটি অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট স্পেসে
{{NumBlk|:|<math>\left |\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\right |^2 \leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \cdot \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle,</math>|{{EquationRef|Cauchy–Schwarz inequality [written using only the inner product]|1}}}}

কোথায় <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> হল ইনার প্রোডাক্ট । অভ্যন্তরীণ গুণফলের উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে বাস্তব এবং জটিল [[ডট গুণন|ডট গুণফল]] ; অভ্যন্তরীণ গুণফলের উদাহরণগুলি দেখুন। প্রতিটি অভ্যন্তরীণ গুণফল থেকে একটি ইউক্লিডীয় <math>\ell_2</math> নর্ম  পাওয়া যায়, যাকে {{Em|ক্যানোনিক্যাল}} বা {{Em|induced}} {{Em|norm}} বলা হয়, যেখানে একটি ভেক্টর <math>\mathbf{u}</math>- এর নর্ম চিহ্নিত এবং সংজ্ঞায়িত করা হয়, <math display="block">\|\mathbf{u}\| := \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle},</math> যেখানে <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle</math> সর্বদা একটি অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা (অভ্যন্তরীণ গুণফলটি জটিল-সংখ্যা হলেও)। উপরোক্ত অসমতার উভয় পক্ষের বর্গমূল গ্রহণ করে, কসি-শোয়ার্জ অসমতাকে নর্মের পরিপ্রেক্ষিতে আরও পরিচিত আকারে লেখা যেতে পারে: <ref name="Strang5">{{বই উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Linear Algebra and its Applications|শেষাংশ=Strang|প্রথমাংশ=Gilbert|তারিখ=19 July 2005|প্রকাশক=Cengage Learning|পাতাসমূহ=154–155|অধ্যায়=3.2|আইএসবিএন=978-0030105678|সংস্করণ=4th}}</ref> <ref name=":0">{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=oOYQVeHmNk4C|শিরোনাম=Applied Analysis|শেষাংশ=Hunter|প্রথমাংশ=John K.|শেষাংশ২=Nachtergaele|প্রথমাংশ২=Bruno|বছর=2001|প্রকাশক=World Scientific|আইএসবিএন=981-02-4191-7}}</ref>

এছাড়াও, উভয় পক্ষই সমান হবে, শুধুমাত্র যদি <math>\mathbf{u}</math> এবং <math>\mathbf{v}</math> রৈখিকভাবে নির্ভরশীল(লিনিয়ারলি ডিপেনডেন্ট) হয়। <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=PkHhBwAAQBAJ|শিরোনাম=Fourier and Wavelet Analysis|শেষাংশ=Bachmann|প্রথমাংশ=George|শেষাংশ২=Narici|প্রথমাংশ২=Lawrence|তারিখ=2012-12-06|প্রকাশক=Springer Science & Business Media|পাতা=14|আইএসবিএন=9781461205050}}</ref> <ref>{{বই উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Mathematical Physics: A Modern Introduction to Its Foundations|ইউআরএল=https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass|শেষাংশ=Hassani|প্রথমাংশ=Sadri|বছর=1999|প্রকাশক=Springer|পাতা=[https://archive.org/details/mathematicalphys0000hass/page/n54 29]|আইএসবিএন=0-387-98579-4}}</ref> <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=CQWwoQEACAAJ|শিরোনাম=Linear Algebra Done Right, 3rd Ed.|শেষাংশ=Axler|প্রথমাংশ=Sheldon|তারিখ=2015|প্রকাশক=Springer International Publishing|পাতা=172|আইএসবিএন=978-3-319-11079-0}}</ref>

== বিশেষ ক্ষেত্রে ==

=== সেদ্রাকিয়ানের লেমা – ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা ===
সেদ্রাকিয়ানের অসমতা, যা বার্গস্ট্রোমের অসমতা, এঙ্গেলের রূপ, টিটুর লেমা (অথবা T2 লেমা) নামেও পরিচিত, বলে যে <math>u_1, u_2, \dots, u_n</math> বাস্তব সংখ্যার জন্য এবং <math>v_1, v_2, \dots, v_n</math> ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য: <math display="block">\frac{\left(u_1 + u_2 + \cdots + u_n\right)^2}{v_1 + v_2 + \cdots + v_n} \leq \frac{u^2_1}{v_1} + \frac{u^2_2}{v_2} + \cdots + \frac{u^2_n}{v_n},</math>অথবা, সমষ্টি চিহ্ন ব্যবহার করে বলা যেতে পারে, <math display="block">\biggl(\sum_{i=1}^n u_i\biggr)^2 \bigg/ \sum_{i=1}^n v_i \,\leq\, \sum_{i=1}^n \frac{u_i^2}{v_i}.</math>

এটি কসি-শোয়ার্জ অসমতার সরাসরি পরিণতি, যা [[ডট গুণন|ডট গুণফল]] <math>\R^n</math>-এর উপর ব্যবহার করে এবং <math>u_i' = \frac{u_i}{\sqrt{v_i\vphantom{t}}}</math> ও <math>v_i' = {\textstyle \sqrt{v_i\vphantom{t}}}</math>, এই প্রতিস্থাপন ব্যবহার করে পাওয়া যায়। এই ফর্মটি বিশেষভাবে সহায়ক যখন অসমতা ভগ্নাংশের সাথে জড়িত, যেখানে ভগ্নাংশের লব একটি [[বর্গ সংখ্যা|পূর্ণবর্গ]] ।

==={{math|R<sup>2</sup>}} - সমতল===
[[File:Cauchy-Schwarz_inequation_in_Euclidean_plane.gif|থাম্ব|300x300পিক্সেল|ইউক্লিডীয় সমতলের একক বৃত্তে কসি-শোয়ার্জ অসমতা]]
বাস্তব ভেক্টর স্পেস <math>\R^2</math> দ্বিমাত্রিক সমতল নির্দেশ করে। এটি একটি দ্বিমাত্রিক [[ইউক্লিডীয় স্থান|ইউক্লিডীয় স্থানও]](স্পেস) যেখানে অভ্যন্তরীণ গুণফল হল [[ডট গুণন|ডট গুণফল]](ডট প্রোডাক্ট) । যদি <math>\mathbf{u} = (u_1, u_2)</math> এবং <math>\mathbf{v} = (v_1, v_2)</math> তাহলে কৌচি-শোয়ার্জ বৈষম্য হয়ে ওঠে: <math display="block">\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle^2 = \bigl(\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\| \cos \theta\bigr)^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2,</math>কোথায় <math>\theta</math> হল <math>\mathbf{u}</math> এবং <math>\mathbf{v}</math> এর মধ্যে [[কোণ]]

উপরের ফর্মটি সম্ভবত অসমতা বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায়, কারণ কোসাইনের বর্গ সর্বাধিক ১ হতে পারে, যা তখন ঘটে যখন ভেক্টরগুলি একই বা বিপরীত দিকে থাকে। এটি <math>u_1</math>, <math>u_2</math>, <math>v_1</math>, এবং <math>v_2</math> ভেক্টর স্থানাঙ্কের পরিপ্রেক্ষিতে পুনরায় বর্ণনা করা যেতে পারে যেমন <math display="block">\left(u_1 v_1 + u_2 v_2\right)^2 \leq \left(u_1^2 + u_2^2\right) \left(v_1^2 + v_2^2\right),</math>যেখানে সমতা বজায় থাকে যদি এবং শুধুমাত্র যদি  <math>\left(u_1, u_2\right)</math> ভেক্টরের একই বা বিপরীত দিকে <math>\left(v_1, v_2\right)</math>ভেক্টর থাকে, অথবা যদি তাদের মধ্যে একটি শূন্য ভেক্টর হয়।

==={{math| '''R'''<sup>''n''</sup>}} : ''n'' মাত্রিক ইউক্লিডিয়ান স্পেস ===
[[ইউক্লিডীয় স্থান|ইউক্লিডীয় স্পেসে]] <math>\R^n</math> ও এই স্পেসের আদর্শ অভ্যন্তরীণ গুণফল, যা [[ডট গুণন|ডট গুণফল]], দিয়ে কসি-শোয়ার্জ অসমতা প্রকাশ করলে: <math display="block">\biggl(\sum_{i=1}^n u_i v_i\biggr)^2 \leq \biggl(\sum_{i=1}^n u_i^2\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n v_i^2\biggr).</math>

এই ক্ষেত্রে শুধুমাত্র প্রাথমিক বীজগণিত ব্যবহার করে কৌচি-শোয়ার্জ অসমতা প্রমাণ করা যেতে পারে,  ডান এবং বাম দিকের পার্থক্য হল পর্যবেক্ষণ করলে<math display="block"> \tfrac{1}{2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (u_i v_j - u_j v_i)^2 \ge 0</math> 

অথবা নিম্নলিখিত <math>x</math> এর দ্বিঘাত বহুপদী বিবেচনা করলে<math display="block"> (u_1 x + v_1)^2 + \cdots + (u_n x + v_n)^2 = \biggl(\sum_i u_i^2\biggr) x^2 + 2 \biggl(\sum_i u_i v_i\biggr) x + \sum_i v_i^2.</math>

যেহেতু পরের বহুপদীটি অঋণাত্মক, তাই এর সর্বাধিক একটি বাস্তব মূল আছে, তাই এর বিভেদক শূন্যের চেয়ে কম বা সমান। অর্থাৎ, <math display="block">\biggl(\sum_i u_i v_i\biggr)^2 - \biggl(\sum_i {u_i^2}\biggr) \biggl(\sum_i {v_i^2}\biggr) \leq 0.</math>
==={{math| '''C'''<sup>''n''</sup>}} : ''n'' মাত্রিক জটিল স্পেস ===

যদি <math>\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \Complex^n</math> এবং <math>\mathbf{u} = (u_1, \ldots, u_n)</math> ও <math>\mathbf{v} = (v_1, \ldots, v_n)</math> (যেখানে <math>u_1, \ldots, u_n \in \Complex</math> এবং <math>v_1, \ldots, v_n \in \Complex</math> ) এবং যদি অভ্যন্তরীণ গুণফল ভেক্টর স্পেস <math>\Complex^n</math>-এর ক্যানোনিকাল জটিল অভ্যন্তরীণ গুণ (দ্বারা সংজ্ঞায়িত <math>\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle := u_1 \overline{v_1} + \cdots + u_{n} \overline{v_n},</math> যেখানে [[অনুবন্ধী জটিল|জটিল সংযোজনের]] জন্য বার নোটেশন ব্যবহার করা হয়), তাহলে অসমতাটি আরও স্পষ্টভাবে নিম্নরূপে পুনঃনির্ধারণ করা যেতে পারে: <math display="block">\bigl|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\bigr|^2 
= \Biggl|\sum_{k=1}^n u_k\bar{v}_k\Biggr|^2 
\leq \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle 
= \biggl(\sum_{k=1}^n u_k \bar{u}_k\biggr) \biggl(\sum_{k=1}^n v_k \bar{v}_k\biggr) 
= \sum_{j=1}^n |u_j|^2 \sum_{k=1}^n |v_k|^2.</math>

অর্থাৎ, <math display="block">\bigl|u_1 \bar{v}_1 + \cdots + u_n \bar{v}_n\bigr|^2 \leq \bigl(|u_1|{}^2 + \cdots + |u_n|{}^2\bigr) \bigl(|v_1|{}^2 + \cdots + |v_n|{}^2\bigr).</math>
==={{math| '''L'''<sup>''2''</sup>}} ===

বর্গাকার-সমন্বিত জটিল-মূল্যযুক্ত [[অপেক্ষক (গণিত)|ফাংশনের]] অভ্যন্তরীণ গুণফল  জনেসেরয, নিম্নলিখিত অসমতাটি ধারণ করে। <math display="block">\left|\int_{\R^n} f(x) \overline{g(x)}\,dx\right|^2 \leq \int_{\R^n} \bigl|f(x)\bigr|^2\,dx \int_{\R^n} \bigl|g(x)\bigr|^2 \,dx.</math>

হোল্ডার বৈষম্য হলো এর একটি সাধারণীকরণ।

== ব্যবহার ==

=== বিশ্লেষণ ===
যেকোনো অভ্যন্তরীণ গুণফল স্থানে, ত্রিভুজ বৈষম্য হল কচি-শোয়ার্জ বৈষম্যের ফলাফল, যেমনটি এখন দেখানো হয়েছে: <math display="block">\begin{alignat}{4}
\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 
&= \langle \mathbf{u} + \mathbf{v}, \mathbf{u} + \mathbf{v} \rangle && \\
&= \|\mathbf{u}\|^2 + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2 ~ && ~ \text{ where } \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle = \overline{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} \\
&= \|\mathbf{u}\|^2 + 2 \operatorname{Re} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \|\mathbf{v}\|^2 && \\
&\leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| + \|\mathbf{v}\|^2 && \\
&\leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{v}\|^2 ~ && ~ \text{ using CS}\\
&=\bigl(\|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|\bigr)^2. && 
\end{alignat}</math>

ত্রিভুজ অসমতার বর্গমূল নিলে পাওয়া যায়: <math display="block">\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|.</math>

অভ্যন্তরীণ গুণফল দ্বারা সৃষ্ট [[টপোগণিত|টপোলজির]] সাপেক্ষে অভ্যন্তরীণ গুণফল একটি [[অবিচ্ছিন্ন ফাংশন]] তা প্রমাণ করার জন্য কচি-শোয়ার্জ অসমতা ব্যবহার করা হয়। <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=_lTDAgAAQBAJ|শিরোনাম=Functional Analysis|শেষাংশ=Bachman|প্রথমাংশ=George|শেষাংশ২=Narici|প্রথমাংশ২=Lawrence|তারিখ=2012-09-26|প্রকাশক=Courier Corporation|পাতাসমূহ=141|আইএসবিএন=9780486136554}}</ref> <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=SsbsCgAAQBAJ|শিরোনাম=Measure, Integration and Function Spaces|শেষাংশ=Swartz|প্রথমাংশ=Charles|তারিখ=1994-02-21|প্রকাশক=World Scientific|পাতাসমূহ=236|আইএসবিএন=9789814502511}}</ref>

=== জ্যামিতি ===
কসি-শোয়ার্জ অসমতা "দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ" ধারণাটিকে যেকোনো [[বাস্তব সংখ্যা|বাস্তব]] অভ্যন্তরীণ-প্রোডাক্ট স্পেস পর্যন্ত প্রসারিত করার অনুমতি দেয়: <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=s7bMBQAAQBAJ|শিরোনাম=A Modern Introduction to Linear Algebra|শেষাংশ=Ricardo|প্রথমাংশ=Henry|তারিখ=2009-10-21|প্রকাশক=CRC Press|পাতাসমূহ=18|আইএসবিএন=9781439894613}}</ref> <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=WDTcBQAAQBAJ|শিরোনাম=Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics|শেষাংশ=Banerjee|প্রথমাংশ=Sudipto|শেষাংশ২=Roy|প্রথমাংশ২=Anindya|তারিখ=2014-06-06|প্রকাশক=CRC Press|পাতাসমূহ=181|আইএসবিএন=9781482248241}}</ref> <math display="block">\cos\theta_{\mathbf{u} \mathbf{v}} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|}.</math>

কসি-শোয়ার্জ অসমতা প্রমাণ করে যে এই সংজ্ঞাটি যুক্তিসঙ্গত, এখানে দেখানো হয় যে ডান দিকটি {{Math|[&minus;1,&nbsp;1]}} ব্যবধানে অবস্থিত  এবং এই ধারণাটিকে ন্যায্যতা দেয় যে (প্রকৃত) [[হিলবার্ট জগৎ|হিলবার্ট স্পেসগুলি]] কেবল [[ইউক্লিডীয় স্থান|ইউক্লিডীয় স্পেসের]] সাধারণীকরণ। [[জটিল সংখ্যা|জটিল]] অভ্যন্তরীণ-প্রোডাক্ট স্পেসে পরম মান বা ডান দিকের বাস্তব অংশ গ্রহণ করে, একটি কোণ সংজ্ঞায়িত করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে, <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=7x8MCAAAQBAJ|শিরোনাম=Linear Algebra: An Introduction to Abstract Mathematics|শেষাংশ=Valenza|প্রথমাংশ=Robert J.|তারিখ=2012-12-06|প্রকাশক=Springer Science & Business Media|পাতাসমূহ=146|আইএসবিএন=9781461209010}}</ref> <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=JnMZDAAAQBAJ|শিরোনাম=Fourier Analysis with Applications|শেষাংশ=Constantin|প্রথমাংশ=Adrian|তারিখ=2016-05-21|প্রকাশক=Cambridge University Press|পাতাসমূহ=74|আইএসবিএন=9781107044104}}</ref> যেমনটি কোয়ান্টাম ফিডেলিটি থেকে একটি মেট্রিক বের করার সময় করা হয়।

=== সম্ভাব্যতা তত্ত্ব ===

ধরা হল, <math>X</math> এবং <math>Y</math> [[দৈব চলক|এলোমেলো ভেরিয়েবল]]। সুতরাং সহভ্যারিয়েন্স অসমতা <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=TMSnGkr_DxwC|শিরোনাম=Probability and Statistical Inference|শেষাংশ=Mukhopadhyay|প্রথমাংশ=Nitis|তারিখ=2000-03-22|প্রকাশক=CRC Press|পাতাসমূহ=150|আইএসবিএন=9780824703790}}</ref> <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=aVJmcega44cC|শিরোনাম=Theoretical Statistics: Topics for a Core Course|শেষাংশ=Keener|প্রথমাংশ=Robert W.|তারিখ=2010-09-08|প্রকাশক=Springer Science & Business Media|পাতাসমূহ=71|আইএসবিএন=9780387938394}}</ref> থেকে পাওয়া যায়: <math display="block">\operatorname{Var}(X) \geq \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)^2}{\operatorname{Var}(Y)}.</math>

দৈব চলকের সেটে তাদের প্রোডাক্টের প্রত্যাশা ব্যবহার করে অভ্যন্তরীণ গুণফল সংজ্ঞায়িত করার পর, <math display="block">\langle X, Y \rangle := \operatorname{E}(X Y),</math>কসি-শোয়ার্জ বৈষম্য হয়ে ওঠে <math display="block">\bigl|\operatorname{E}(XY)\bigr|^2 \leq \operatorname{E}(X^2) \operatorname{E}(Y^2).</math>

কচি-শোয়ার্জ অসমতা ব্যবহার করে সহ-প্রকরণ বৈষম্য প্রমাণ করতে, ধরুন <math>\mu = \operatorname{E}(X)</math> এবং <math>\nu = \operatorname{E}(Y),</math> তারপর <math display="block">\begin{align}
\bigl|\operatorname{Cov}(X, Y)\bigr|^2 
&= \bigl|\operatorname{E}((X - \mu)(Y - \nu))\bigr|^2 \\
&= \bigl|\langle X - \mu, Y - \nu \rangle \bigr|^2\\
&\leq \langle X - \mu, X - \mu \rangle \langle Y - \nu, Y - \nu \rangle \\
& = \operatorname{E}\left((X - \mu)^2\right) \operatorname{E}\left((Y - \nu)^2\right) \\
& = \operatorname{Var}(X) \operatorname{Var}(Y),
\end{align}</math>যেখানে <math>\operatorname{Var}</math> [[ভেদাঙ্ক]](ভ্যারিয়েন্স) নির্দেশ করে এবং <math>\operatorname{Cov}</math> [[সহভেদাঙ্ক|সহ-ভেদাঙ্ক]] বোঝায়।

== সাধারণীকরণ ==
কসি-শোয়ার্জ বৈষম্যের বিভিন্ন সাধারণীকরণ বিদ্যমান। হোল্ডারের বৈষম্য এটির সাধারণীকরণ করে <math>L^p</math> নর্মে। আরও সাধারণভাবে, এটিকে ব্যানাচ স্পেসে একটি রৈখিক অপারেটরের নর্ম-এর সংজ্ঞার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে (যেমন, যখন স্থানটি একটি [[হিলবার্ট জগৎ|হিলবার্ট স্পেস]] হয়)। আরও সাধারণীকরণ করা যায় অপারেটর তত্ত্বের প্রেক্ষাপটে, যেমন অপারেটর-উত্তল ফাংশন এবং অপারেটর বীজগণিতের জন্য, যেখানে ডোমেন এবং/অথবা রেঞ্জ একটি C*-বীজগণিত বা W*-বীজগণিত দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়।

একটি ধনাত্মক রৈখিক অপেক্ষক সংজ্ঞায়িত করতে একটি অভ্যন্তরীণ গুণফল ব্যবহার করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি হিলবার্ট স্থান দেওয়া হয়েছে <math>L^2(m), m</math> একটি সীমাবদ্ধ পরিমাপ(ফাইনাইট মেজার) হওয়ায়, আদর্শ অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট প্রকাশ করা হয় একটি ইতিবাচক অপেক্ষক <math>\varphi</math> দ্বারা <math>\varphi (g) = \langle g, 1 \rangle.</math> বিপরীতভাবে, প্রতিটি ধনাত্মক রৈখিক অপেক্ষক <math>\varphi</math> এর উপর <math>L^2(m)</math> একটি অভ্যন্তরীণ প্রোডাক্ট সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে <math>\langle f, g \rangle _\varphi := \varphi\left(g^* f\right),</math> যখন <math>g^*</math> হল এর বিন্দুভিত্তিক [[অনুবন্ধী জটিল|জটিল সংযোজক]] <math>g.</math>এর। এই ভাষায়, কসি-শোয়ার্জ বৈষম্য <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=u9M9PFLNpMMC|শিরোনাম=Mathematical Aspects of Quantum Field Theory|শেষাংশ=Faria|প্রথমাংশ=Edson de|শেষাংশ২=Melo|প্রথমাংশ২=Welington de|তারিখ=2010-08-12|প্রকাশক=Cambridge University Press|পাতাসমূহ=273|আইএসবিএন=9781139489805}}</ref> হয়ে যায় <math display="block">\bigl|\varphi(g^* f)\bigr|^2 \leq \varphi\left(f^* f\right) \varphi\left(g^* g\right),</math>

যা C*-বীজগণিতের ধনাত্মক ফাংশনাল পর্যন্ত প্রসারিত হয়:

{{math theorem|name=C*-বীজগণিতের ধনাত্মক ফাংশনালের জন্য কসি-শোয়ার্জ অসমতা<ref>{{cite book|last=Lin|first=Huaxin|date=2001-01-01|title=An Introduction to the Classification of Amenable C*-algebras|publisher=World Scientific|isbn=9789812799883|pages=27|url=https://books.google.com/books?id=2qru8d7BCAAC}}</ref><ref>{{cite book|last=Arveson|first=W.|date=2012-12-06|title=An Invitation to C*-Algebras|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461263715|pages=28|url=https://books.google.com/books?id=d5TqBwAAQBAJ}}</ref>|note=|style=|math_statement= 
If <math>\varphi</math> is a positive linear functional on a C*-algebra <math>A,</math> then for all <math>a, b \in A,</math> <math>\left|\varphi\left(b^*a\right)\right|^2 \leq \varphi\left(b^*b\right) \varphi\left(a^*a\right).</math>
}}

পরবর্তী দুটি উপপাদ্য অপারেটর বীজগণিতের আরও উদাহরণ।

{{math theorem|name=কাডিসন-শোয়ার্জ বৈষম্য<ref>{{cite book|last=Størmer|first=Erling|date=2012-12-13|title=Positive Linear Maps of Operator Algebras|series=Springer Monographs in Mathematics|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9783642343698|url=https://books.google.com/books?id=lQtKAIONqwIC}}</ref><ref>{{cite journal|last=Kadison|first=Richard V.|date=1952-01-01|title=A Generalized Schwarz Inequality and Algebraic Invariants for Operator Algebras|jstor=1969657|journal=Annals of Mathematics|doi=10.2307/1969657|volume=56|number=3|pages=494–503}}</ref>|note=Named after [[Richard Kadison]]|style=|math_statement= 
If <math>\varphi</math> is a unital positive map, then for every [[normal operator|normal element]] <math>a</math> in its domain, we have <math>\varphi(a^*a) \geq \varphi\left(a^*\right) \varphi(a)</math> and <math>\varphi\left(a^*a\right) \geq \varphi(a) \varphi\left(a^*\right).</math>
}}

এটি এই সত্যটিকে আরও বিস্তৃত করে <math>\varphi\left(a^*a\right) \cdot 1 \geq \varphi(a)^* \varphi(a) = |\varphi(a)|^2,</math> যখন <math>\varphi</math> একটি রৈখিক অপেক্ষক। এই ঘটনাটি যখন <math>a</math> স্ব-সংযুক্ত, অর্থাৎ, <math>a = a^*,</math> তখন '''ক্যাডিসনের বৈষম্য''' নামে পরিচিত।

{{math theorem|name=কসি-শোয়ার্জ বৈষম্য|note=২-ধনাত্মক মানচিত্রের জন্য পরিবর্তিত শোয়ার্জ অসমতা<ref>{{cite book|last=Paulsen|first=Vern|year=2002|title=Completely Bounded Maps and Operator Algebras|series=Cambridge Studies in Advanced Mathematics|volume=78|publisher=Cambridge University Press|isbn=9780521816694|page=40|url=https://books.google.com/books?id=VtSFHDABxMIC&pg=PA40}}</ref>|style=|math_statement= 
For a 2-positive map <math>\varphi</math> between C*-algebras, for all <math>a, b</math> in its domain,
<math display=block>\begin{align}
\varphi(a)^*\varphi(a) &\leq \Vert\varphi(1)\Vert \varphi\left(a^*a\right), \text{ and } \\[5mu]
\Vert\varphi\left(a^* b\right)\Vert^2 &\leq \Vert\varphi\left(a^*a\right)\Vert \cdot \Vert\varphi\left(b^*b\right)\Vert.
\end{align}</math>
}}

আরেকটি সাধারণীকরণ হল কসি-শোয়ার্জ অসমতার উভয় পক্ষের মধ্যে প্রবর্তনের মাধ্যমে প্রাপ্ত একটি পরিমার্জন: 

{{math theorem|name=ক্যালেবাউটের বৈষম্য<ref>{{cite journal|last1=Callebaut|first1=D.K.|date=1965|title=Generalization of the Cauchy–Schwarz inequality|journal=J. Math. Anal. Appl.|volume=12|issue=3|pages=491–494|doi=10.1016/0022-247X(65)90016-8|doi-access=free}}</ref>|note=|style=|math_statement=  
For reals <math>0 \leq s \leq t \leq 1,</math> 
<math display=block>\begin{align}
\biggl(\sum_{i=1}^n a_i b_i\biggr)^2 
~&\leq~ \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^{1+s} b_i^{1-s}\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^{1-s} b_i^{1+s}\biggr) \\
&\leq~ \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^{1+t} b_i^{1-t}\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^{1-t} b_i^{1+t}\biggr)
~\leq~ \biggl(\sum_{i=1}^n a_i^2\biggr) \biggl(\sum_{i=1}^n b_i^2\biggr).
\end{align}</math>
}}

এই উপপাদ্যটি হোল্ডারের অসমতা থেকে অনুমান করা যেতে পারে। <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Callebaut%27s_Inequality|শিরোনাম=Callebaut's inequality|প্রকাশক=Entry in the AoPS Wiki}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true">[https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=Callebaut%27s_Inequality ''Callebaut's inequality'']. Entry in the AoPS Wiki.</cite></ref> ম্যাট্রিক্সের অপারেটর এবং টেনসর প্রোডাক্টের নন-কমিউটেটিভ সংস্করণও রয়েছে। <ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Moslehian|প্রথমাংশ=M.S.|শেষাংশ২=Matharu|প্রথমাংশ২=J.S.|তারিখ=2011|শিরোনাম=Non-commutative Callebaut inequality|পাতাসমূহ=3347–3353|arxiv=1112.3003|doi=10.1016/j.laa.2011.11.024}}</ref>

কসি-শোয়ার্জ অসমতা এবং ক্যান্টোরোভিচ বৈষম্যের বেশ কয়েকটি ম্যাট্রিক্স সংস্করণ রৈখিক রিগ্রেশন মডেলগুলিতে প্রয়োগ করা হয়েছে। <ref>
{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Liu, Shuangzhe|শেষাংশ২=Neudecker, Heinz|বছর=1999|শিরোনাম=A survey of Cauchy–Schwarz and Kantorovich-type matrix inequalities|পাতাসমূহ=55–73|doi=10.1007/BF02927110}}
</ref> <ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Liu|প্রথমাংশ=Shuangzhe|শেষাংশ২=Trenkler|প্রথমাংশ২=Götz|তারিখ=2023|শিরোনাম=Professor Heinz Neudecker and matrix differential calculus|পাতাসমূহ=2605–2639|ভাষা=en|doi=10.1007/s00362-023-01499-w}}</ref>

== প্রমাণ ==
নিচে দেওয়া প্রমাণ ছাড়াও কচি-শোয়ার্জ অসমতার আরও অনেক প্রমাণ <ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Wu|প্রথমাংশ=Hui-Hua|শেষাংশ২=Wu|প্রথমাংশ২=Shanhe|তারিখ=April 2009|শিরোনাম=Various proofs of the Cauchy–Schwarz inequality|ইউআরএল=http://www.uni-miskolc.hu/~matsefi/Octogon/volumes/volume1/article1_19.pdf|পাতাসমূহ=221–229|আইএসবিএন=978-973-88255-5-0|issn=1222-5657|আর্কাইভের-ইউআরএল=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.uni-miskolc.hu/~matsefi/Octogon/volumes/volume1/article1_19.pdf|আর্কাইভের-তারিখ=2022-10-09|ইউআরএল-অবস্থা=live|সংগ্রহের-তারিখ=18 May 2016}}</ref> রয়েছে। <ref name="Steele">{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html|শিরোনাম=The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities|শেষাংশ=Steele|প্রথমাংশ=J. Michael|বছর=2004|প্রকাশক=The Mathematical Association of America|পাতা=1|আইএসবিএন=978-0521546775}}</ref> <ref name=":0">{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=oOYQVeHmNk4C|শিরোনাম=Applied Analysis|শেষাংশ=Hunter|প্রথমাংশ=John K.|শেষাংশ২=Nachtergaele|প্রথমাংশ২=Bruno|বছর=2001|প্রকাশক=World Scientific|আইএসবিএন=981-02-4191-7}}</ref> অন্যান্য উৎসের সাথে পরামর্শ করার সময়, প্রায়শই বিভ্রান্তির দুটি উৎস থাকে। প্রথমত, কিছু লেখক প্রথম যুক্তির পরিবর্তে দ্বিতীয় যুক্তিতে {{Math|⟨⋅,⋅⟩}}-কে রৈখিক হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছেন। দ্বিতীয়ত, কিছু প্রমাণ কেবল তখনই বৈধ যখন ক্ষেত্রটি <math>\mathbb R</math> এবং <math>\mathbb C.</math>নয়। <ref>{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=4hIq6ExH7NoC|শিরোনাম=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|শেষাংশ=Aliprantis|প্রথমাংশ=Charalambos D.|শেষাংশ২=Border|প্রথমাংশ২=Kim C.|তারিখ=2007-05-02|প্রকাশক=Springer Science & Business Media|আইএসবিএন=9783540326960}}</ref>

এই অংশটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যের দুটি প্রমাণ দেয়:

{{math theorem|name=Cauchy–Schwarz inequality|note=|style=|math_statement= 
Let <math>\mathbf{u}</math> and <math>\mathbf{v}</math> be arbitrary vectors in an [[inner product space]] over the scalar field <math>\mathbb{F},</math> where <math>\mathbb F</math> is the field of real numbers <math>\R</math> or complex numbers <math>\Complex.</math> Then

{{NumBlk|:|<math>\bigl|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\bigr| \leq \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|</math>|{{EquationRef|Cauchy–Schwarz Inequality}}}}

with {{visible anchor|Characterization of Equality in Cauchy–Schwarz|text=equality holding}} in the {{EquationNote|Cauchy–Schwarz Inequality}} [[if and only if]] <math>\mathbf{u}</math> and <math>\mathbf{v}</math> are [[Linear independence|linearly dependent]]. 

Moreover, if <math> \left| \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\right| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|</math> and <math>\mathbf{v} \neq \mathbf{0}</math> then <math>\mathbf{u} = \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\|\mathbf{v}\|^2} \mathbf{v}.</math>
}} 


নিচে দেওয়া দুটি প্রমাণেই, প্রাথমিক ক্ষেত্রের প্রমাণ যেখানে কমপক্ষে একটি ভেক্টর শূন্য (অথবা সমতুল্য, যেখানে <math>\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|= 0</math> ) একই রকম। পুনরাবৃত্তি কমাতে এটি নীচে কেবল একবার উপস্থাপন করা হয়েছে। এতে উপরে প্রদত্ত [[কসি–শোয়ার্জের অসমতা|সমতা চরিত্রায়নের]] প্রমাণের সহজ অংশটিও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে; অর্থাৎ, এটি প্রমাণ করে যে যদি <math>\mathbf{u}</math> এবং <math>\mathbf{v}</math> তাহলে রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয় তবে,<math>\bigl|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\bigr| = \|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|.</math>

{{collapse top|title=Proof of the trivial parts: Case where a vector is <math>\mathbf{0}</math> and also one direction of the [[#Characterization of Equality in Cauchy–Schwarz|Equality Characterization]]|left=true}}
<!-- Note to Editors:
Anyone reading this part of the proof is very likely to be new to this subject, which is why this proof is much more detailed than the proofs given elsewhere in this article.
-->
By definition, <math>\mathbf{u}</math> and <math>\mathbf{v}</math> are linearly dependent if and only if one is a scalar multiple of the other. 
If <math>\mathbf{u} = c \mathbf{v}</math> where <math>c</math> is some scalar then 
<math display=block>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| 
= |\langle c \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle| 
= |c \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle| 
= |c|\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{v}\|
=\|c \mathbf{v}\| \|\mathbf{v}\|
=\|\mathbf{u}\| \|\mathbf{v}\|</math>

which shows that equality holds in the {{EquationNote|Cauchy–Schwarz Inequality}}. 
The case where <math>\mathbf{v} = c \mathbf{u}</math> for some scalar <math>c</math> follows from the previous case:
<math display=block>|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle| 
= |\langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle|
=\|\mathbf{v}\| \|\mathbf{u}\|.</math>

In particular, if at least one of <math>\mathbf{u}</math> and <math>\mathbf{v}</math> is the zero vector then <math>\mathbf{u}</math> and <math>\mathbf{v}</math> are necessarily linearly dependent (for example, if <math>\mathbf{u} = \mathbf{0}</math> then <math>\mathbf{u} = c \mathbf{v}</math> where <math>c = 0</math>), so the above computation shows that the Cauchy–Schwarz inequality holds in this case. 
{{collapse bottom}}


ফলস্বরূপ, কসি-শোয়ার্জ অসমতা কেবলমাত্র অ-শূন্য ভেক্টরগুলির জন্য প্রমাণ করতে হবে এবং [[কসি–শোয়ার্জের অসমতা|সমতা চরিত্রায়নের]] কেবল ট্রিভিয়াল নয় এমন দিকটিও দেখাতে হবে। 

===পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের মাধ্যমে প্রমাণ===

বিশেষ ক্ষেত্রে <math>\mathbf{v} = \mathbf{0}</math> উপরে প্রমাণিত হয়েছে তাই এখন থেকে ধরে নেওয়া হচ্ছে যে <math>\mathbf{v} \neq \mathbf{0}.</math> ধরি,<math display="block">\mathbf{z} := \mathbf{u} - \frac {\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v}.</math>

এটির প্রথম যুক্তিতে অভ্যন্তরীণ গুণফলের রৈখিকতা থেকে এটি অনুসরণ করা যায় যে: <math display="block">\langle \mathbf{z}, \mathbf{v} \rangle 
= \left\langle \mathbf{u} - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v}, \mathbf{v} \right\rangle 
= \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle - \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle 
= 0.</math>

অতএব, <math>\mathbf{z}</math> ভেক্টরের একটি লম্বক ভেক্টর <math>\mathbf{v}</math> (প্রকৃতপক্ষে, <math>\mathbf{z}</math> হল <math>\mathbf{u}</math>-এর প্রক্ষেপণ <math>\mathbf{v}.</math>এর অরথোগোনালে থাকা সমতলের দিকে) আমরা এইভাবে [[পিথাগোরাসের উপপাদ্য|পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য]] প্রয়োগ করতে পারি <math display="block">\mathbf{u}= \frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle} {\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle} \mathbf{v} + \mathbf{z}</math>যা থেকে পাওয়া যায়<math display="block">\|\mathbf{u}\|^2 
= \left|\frac{\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle}{\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle}\right|^2 \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{z}\|^2 
= \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2}{(\|\mathbf{v}\|^2 )^2} \,\|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{z}\|^2 
= \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2}{\|\mathbf{v}\|^2} + \|\mathbf{z}\|^2 \geq \frac{|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2}{\|\mathbf{v}\|^2}.</math>

কসি-শোয়ার্জ অসমরতার সাথে <math>\|\mathbf{v}\|^2</math> গুণ করলে এবং তারপর বর্গমূল নেওয়া হলে। তাছাড়া, যদি সম্পর্কটি <math>\geq</math> উপরের অভিব্যক্তিতে আসলে একটি সমতা, তাহলে <math>\|\mathbf{z}\|^2 = 0</math> এবং তাই <math>\mathbf{z} = \mathbf{0};</math> <math>\mathbf{z}</math> এর সংজ্ঞা তারপর <math>\mathbf{u}</math> এবং <math>\mathbf{v}.</math>এর মধ্যে রৈখিক নির্ভরতার সম্পর্ক স্থাপন করে যা এই বিভাগের শুরুতে বিপরীতটি প্রমাণিত হয়েছিল, তাই প্রমাণটি সম্পূর্ণ। <math>\blacksquare</math>

===একটি দ্বিঘাত বিশ্লেষণের মাধ্যমে প্রমাণ===

এক জোড়া ভেক্টর বিবেচনা করুন <math>\mathbf{u}, \mathbf{v}</math> . একটি ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করুন <math>p : \R \to \R</math>, যখন <math>p(t) = \langle t\alpha\mathbf{u} + \mathbf{v}, t\alpha\mathbf{u} + \mathbf{v}\rangle</math>দ্বারা সংজ্ঞায়িত, যখন <math>\alpha</math> একটি জটিল সংখ্যা যা এবং এবং <math>\alpha\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = |\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle|</math> .এমন একটি <math>\alpha</math> যদি থেকে বিদ্যমান থাকে তবে, <math>\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle = 0</math> তারপর <math>\alpha</math>-কে ১ হিসেবে ধরা যেতে পারে।

যেহেতু অভ্যন্তরীণ গুণফলটি ধনাত্মক-নির্দিষ্ট, <math>p(t)</math> শুধুমাত্র অ-ঋণাত্মক বাস্তব মান গ্রহণ করে। অন্যদিকে, <math>p(t)</math> অভ্যন্তরীণ গুণফলের দ্বি-রৈখিকতা ব্যবহার করে প্রসারিত করা যেতে পারে: <math display="block">\begin{align}
p(t)
&= \langle t\alpha\mathbf{u}, t\alpha\mathbf{u}\rangle + \langle t\alpha\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + \langle\mathbf{v}, t\alpha\mathbf{u}\rangle + \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \\
&= t\alpha t\overline{\alpha}\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle + t\alpha\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle + t\overline{\alpha}\langle \mathbf{v}, \mathbf{u}\rangle + \langle\mathbf{v}, \mathbf{v}\rangle \\
&= \lVert \mathbf{u} \rVert^2 t^2 + 2|\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle|t + \lVert \mathbf{v} \rVert^2
\end{align}</math>সুতরাং, <math>p</math> বহুপদী যার ডিগ্রি <math>2</math> (যদি না <math>\mathbf{u} = 0,</math> যা এমন একটি কেস যা আগে পরীক্ষা করা হয়েছিল)। <math>p</math>-এর চিহ্নের কোনো পরিবর্তন হয় না, এই বহুপদীটির নির্ণায়ক অবশ্যই অ-ধনাত্মক হতে হবে: <math display="block">\Delta = 4 \bigl(\,|\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle|^2 - \Vert \mathbf{u} \Vert^2 \Vert \mathbf{v} \Vert^2\bigr) \leq 0.</math>উপসংহারটি নিম্নরূপ। <ref>{{বই উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Real and Complex Analysis|শেষাংশ=Rudin|প্রথমাংশ=Walter|বছর=1987|প্রকাশক=McGraw-Hill|আইএসবিএন=0070542341|সংস্করণ=3rd}}</ref>

সমতার ক্ষেত্রে, লক্ষ্য করুন যে <math>\Delta = 0</math> যদি এবং তা শুধুমাত্র ঘটে যদি <math>p(t) = \bigl(t\Vert \mathbf{u} \Vert + \Vert \mathbf{v} \Vert\bigr)^2.</math> যদি <math>t_0 = -\Vert \mathbf{v} \Vert / \Vert \mathbf{u} \Vert,</math> তারপর <math>p(t_0) = \langle t_0\alpha\mathbf{u} + \mathbf{v},t_0\alpha\mathbf{u} + \mathbf{v}\rangle = 0,</math> এবং তাই <math>\mathbf{v} = -t_0\alpha\mathbf{u}.</math>

==আরও দেখুন==
* [[বেসেলের অসমতা]]
* [[হোল্ডারের অসমতা]]
* [[জেনসেনের অসমতা]]
* [[ক্যান্টোরোভিচ অসমতা]]
* [[কুনিতা-ওয়াতানাবে অসমতা]]
* [[মিনকোস্কি অসমতা]]
* [[প্যালি-জিগমুন্ড অসমতা]]

==মন্তব্য==
==উদ্ধৃতি==
{{reflist|30em}}

==তথ্যসূত্র==

{{refbegin}}
* {{citation|first1=J. M.|last1=Aldaz|first2=S.|last2=Barza|first3=M.|last3=Fujii|first4=M. S.|last4=Moslehian|title=Advances in Operator Cauchy—Schwarz inequalities and their reverses|journal=Annals of Functional Analysis|volume=6|year=2015|issue=3|pages=275–295|doi=10.15352/afa/06-3-20|s2cid=122631202 |url=http://projecteuclid.org/euclid.afa/1429286046}}
* {{citation|first=Viktor|last=Bunyakovsky|author-link=Viktor Yakovlevich Bunyakovsky|title=Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies|journal=Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg|volume=7|issue=1|year=1859|pages=6|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/bunyakovsky.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/bunyakovsky.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live}}
* {{citation|first=A.-L.|last=Cauchy|title=Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités|journal=Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377|year=1821}}
* {{citation|first=S. S.|last=Dragomir|title=A survey on Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz type discrete inequalities|journal=Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics|volume=4|issue=3|year=2003|pages=142 pp|url=http://jipam.vu.edu.au/article.php?sid=301|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20080720034744/http://jipam.vu.edu.au/article.php?sid=301|archive-date=2008-07-20}}
*{{Citation|last1=Grinshpan|first1=A. Z.|title=General inequalities, consequences, and applications|doi=10.1016/j.aam.2004.05.001|year=2005|journal=Advances in Applied Mathematics|volume=34|issue=1|pages=71–100|doi-access=free }}
* {{Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982}} <!-- {{sfn|Halmos|1982|pp=}} -->
* {{citation|first=R. V.|last=Kadison|author-link=Richard V. Kadison|title=A generalized Schwarz inequality and algebraic invariants for operator algebras|journal=Annals of Mathematics|volume=56|year=1952|doi=10.2307/1969657|pages=494–503|jstor=1969657|issue=3}}.
* {{Citation|last=Lohwater|first=Arthur|title=Introduction to Inequalities|publisher=Online e-book in PDF format|url=http://www.mediafire.com/file/1mw1tkgozzu|year=1982}}
* {{citation|first=V.|last=Paulsen|title=Completely Bounded Maps and Operator Algebras|publisher=Cambridge University Press|year=2003}}.
* {{citation|first=H. A.|last=Schwarz|year=1888|pages=318|journal=Acta Societatis Scientiarum Fennicae|volume=XV|title=Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/Schwarz.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/Schwarz.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live}}
* {{springer|title=Cauchy inequality|id=C/c020880|first=E. D.|last=Solomentsev}}
* {{citation|url=http://www-stat.wharton.upenn.edu/~steele/Publications/Books/CSMC/CSMC_index.html|first=J. M.|last=Steele|title=The Cauchy–Schwarz Master Class|publisher=Cambridge University Press|year=2004|isbn=0-521-54677-X}}
{{refend}}

==বহিরাগত সূত্র==


* [http://jeff560.tripod.com/c.html Earliest Uses: The entry on the Cauchy–Schwarz inequality has some historical information.]
* [http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/LinearAlgebra/LinearlyIndependent.html#LinearlyIndependentVectors Example of application of Cauchy–Schwarz inequality to determine Linearly Independent Vectors] Tutorial and Interactive program.

{{Lp spaces}}
{{Functional Analysis}}
{{HilbertSpace}}

{{DEFAULTSORT:Cauchy-Schwarz inequality}}
[[Category:Augustin-Louis Cauchy]]
[[Category:Inequalities]]
[[Category:Linear algebra]]
[[Category:Operator theory]]
[[Category:Articles containing proofs]]
[[Category:Mathematical analysis]]
[[Category:Probabilistic inequalities]]