গুণ (গণিত)-এর উৎস দেখুন

[[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|৪টি থলের প্রতিটিতে ৩টি করে মার্বেল থাকলে মার্বেলের মোট পরিমাণ হবে ১২টি (৪ × ৩ = ১২)।]]
[[File:Multiply scaling.svg|thumb|right|গুণকে [[স্কেল ফ্যাক্টর|স্কেলিংরূপেও]] কল্পনা করা যেতে পারে। চিত্রে স্কেলিংয়ের মাধ‍্যমে ২ কে ৩ দ্বারা গুণ এবং গুণফল হিসেবে ৬ দেখানো হয়েছে।]]
[[File:Multiplication as scaling integers.gif|thumb|২ × ৩ = ৬ গুণের অ‍্যানিমেশন।]]
[[File:Multiplication scheme 4 by 5.jpg|thumb|right|৪ × ৫ = ২০। বড় আয়তক্ষেত্রটি ২০টি বর্গের সমন্বয়ে গঠিত, যেগুলোর প্রতিটির মান এক একক।]]
[[File:Multiply field fract.svg|thumb|right|একটি কাপড়ের ক্ষেত্রফল। {{nowrap|1=৪.৫মি. × ২.৫মি. = ১১.২৫মি.<sup>২</sup>}}; {{nowrap|1=৪{{sfrac|১|২}} × ২{{sfrac|১|২}} = ১১{{sfrac|১|৪}}}}]]

অঙ্কশাস্ত্রের চারটি মৌলিক [[গাণিতিক ক্রিয়া|ক্রিয়ার]] মধ্যে '''গুণ''' (বা '''গুণন''') একটি, যেখানে অন্য তিনটি ক্রিয়া হলো [[যোগ]], [[বিয়োগ]] এবং [[ভাগ]])। গুণকে সচরাচর আড়াআড়ি ক্রশ চিহ্ন <code><math>\times</math></code> দ্বারা সূচিত করা হয়। এছাড়া গুণে ব্যবহৃত সংখ্যা বা চলকগুলোর অভ্যন্তরে বিন্দু <code><math>.</math></code> বসিয়ে, চলকের ক্ষেত্রে একে অপরকে পাশাপাশি বসিয়ে এবং কম্পিউটারের ক্ষেত্রে সংখ্যার মধ্যে তারাচিহ্ন <code><math>*</math></code> বসিয়ে গুণকে নির্দেশ করা হয়ে থাকে। সংখ্যার গুণন ক্রিয়ায় যে ফল বের হয় তাকে বলা হয় গুণফল।

দুইটি [[পূর্ণ সংখ্যা]]র গুণকে পৌনঃপুনিক যোগ হিসেবে কল্পনা করা যেতে পারে, যেখানে গুণফল হলো সংখ্যা দুটির যেকোনো একটিকে অপর সংখ্যার মান যত তত বার যোগ করার সমান। অর্থাৎ দুইটি পূর্ণ সংখ্যা "ক" এবং "খ"-এর মধ্যকার গুণ হচ্ছে, "ক"-এর যে সংখ্যামান আছে, ততটি "খ"-কে তার নিজের সাথে যোগ। এক্ষেত্রে "ক"-কে '''গুণ্য''',  "খ"-কে ''''গুণক''' এবং গুণ ক্রিয়ার ফলাফলকে '''গুণফল''' বলা হয়। গুণনে অংশগ্রহণকারী "ক" এবং "খ"-এর উভয়কেই এই গুণফলের গুণজ বা গুণনীয়ক বা উৎপাদক বলা হয়।

:<math>a\times b = \underbrace{b + \cdots + b}_{a \text{ times}} = \underbrace{a + \cdots + a}_{b \text{ times}}</math>

উদাহরণস্বরূপ, ৩ দিয়ে ৪-এর গুণকে সচরাচর  ৩ × ৪ এর আকারে লেখা হয় এবং ইংরেজিবলয়ে একে ''থ্রি টাইমস ফোর'' পড়া হয়, যার অর্থ দাড়ায়, ৪-কে ৩ বার যোগ। ফলতঃ ৩ × ৪ এর গণনা ৪-এর তিনটি অনুলিপির একত্রে যোগের মাধ্যমে করা যেতে:

:৩ × ৪ = ৪ + ৪ + ৪ = ১২

এখানে ৩ (গুণক) ও ৪ (গুণ্য) হলো গুণনীয়ক এবং ১২ হলো গুণফল।

গুণের প্রধান একটি ধর্ম হলো এর [[বিনিময় বৈশিষ্ট্য|বিনিময়যোগ্যতা]], যা এ কথাই বলে যে, ৪-এর তিনটি অনুলিপির যোগের যে ফলাফল বের হবে, ৩-এর চারটি অনুলিপির যোগেও সেই ফলাফলই পাওয়া যাবে। অর্থাৎ, "৩ দিয়ে ৪-কে গুণ" এবং "৪ দিয়ে ৩-কে গুণ" করা সমার্থক।

:৪ × ৩ = ৩ + ৩ + ৩ + ৩ = ১২

এই কারণে, গুণ্য ও গুণকের সংজ্ঞা বা অভিধা কী হলো না হলো তা গুণফলের ওপর কোনো প্রভাব ফেলে না।<ref name="Devlin">{{ওয়েব উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Devlin |প্রথমাংশ=Keith |ইউআরএল=http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_01_11.html |শিরোনাম=What Exactly is Multiplication? |লেখক-সংযোগ=Keith Devlin |প্রকাশক=[[Mathematical Association of America]] |তারিখ=January 2011 |উক্তি=With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first) |সংগ্রহের-তারিখ=May 14, 2017 |আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20170527070801/http://www.maa.org/external_archive/devlin/devlin_01_11.html |আর্কাইভের-তারিখ=May 27, 2017 |ইউআরএল-অবস্থা=live }}</ref>

এই মৌলিক সংজ্ঞার যে পদ্ধতিগত [[সাধারণীকরণ]]গুলো রয়েছে সেগুলো দিয়েই ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা, মূলদ সংখ্যাসহ সকল বাস্তব সংখ্যার গুণকে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

এছাড়া গুণকে একটি আয়তক্ষেত্র কতটি পূর্ণ সংখ্যক বস্তু দিয়ে সাজানো রয়েছে সেই [[গণনা|সংখ্যা গণনা]]রূপে করা কল্পনা করা যেতে পারে। অথবা একে কল্পনা করা যেতে পারে নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্য-প্রস্থের বাহুযুক্ত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সাথে। কোন বাহুটি প্রথমে পরিমাপ করা হলো আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার উপর নির্ভর করে না - যা গুণের বিনিময় বৈশিষ্ট্যেরই অনুসারী।

দুটি রাশির গুণনের ফলে একটি নতুন ধরনের রাশি বের হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি আয়তক্ষেত্রের দুই বাহুর দৈর্ঘ্যকে গুণ করলে এর ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়, যেখানে দৈর্ঘ্য ও ক্ষেত্রফল পরস্পরের সাথে সম্পর্কযুক্ত হলেও এরা সম্পূর্ণভাবে আলাদা দুটি রাশি বা পরিমাপ। এই ধরনের একটি গুণ [[মাত্রা সমীকরণ|মাত্রা সমীকরণের]] আলোচনার বিষয়।

গুণের বিপরীত প্রক্রিয়া হলো [[ভাগ]]। উদাহরণস্বরূপ, ৪-কে ৩ দ্বারা গুণ ১২-এর সমান হওয়ায়, ১২-কে ৩ দ্বারা ভাগ করলে ৪-এর সমান হয়। প্রকৃতপক্ষে, ৩ দ্বারা ভাগ অনুসারে, ৩ দ্বারা গুন করলে মূল সংখ্যা পাওয়া যায়।{{clarify|date=March 2022}} ০ ব্যতীত অন্য যেকোনো সংখ্যাকে ঐ সংখ্যা দিয়েই ভাগের ফল হবে ১।

[[জটিল সংখ্যা]]র ন্যায় অন্যান্য সংখ্যার ক্ষেত্রেও, উপরন্তু [[ম্যাট্রিক্স|ম্যাট্রিক্সের]] মতো আরও বিমূর্ত কাঠামোর জন্যেও গুণকে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ধরনের আরও কিছু কিছু বিমূর্ত কাঠামোর ক্ষেত্রে [[অপারেন্ড]]গুলোর পারস্পরিক গুণন যে ক্রমানুসারে চালনা করা হয় তা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। (গণিতে  অপারেন্ড হলো সেসব সংখ্যা বা রাশি যাদের ওপর [[গাণিতিক ক্রিয়া]] নির্বাহ করা হয়। যেমন: ৫{{sup|২}}-এ ৫ হলো অপারেন্ড এবং এর ওপর যে গাণিতিক ক্রিয়াটি প্রয়োগ করা হয়েছে তার নাম [[বর্গীকরণ]]।) গণিতে ব্যবহৃত বিভিন্ন ধরনের গুণফলের একটি তালিকা [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Product_(mathematics) গুণফল (গণিত)] -এ দেওয়া হয়েছে।

==সংকেত এবং পরিভাষা==
{{Infobox symbol
|name= গুণ চিহ্ন
|sign=× ⋅
|unicode={{unichar|00D7|Multiplication sign|html=}}<br />{{unichar|22C5|Dot operator|html=}} 
|see also = 
|different from= {{unichar|00B7|Middle dot|nlink=Interpunct}}<br /> {{unichar|002E|Full stop|nlink=}}
}}
{{আরও দেখুন|Multiplier (linguistics)}}

পাটিগণিতে গুণনকে সচরাচর দুটি পদের মধ্যে গুণ চিহ্ন (×) ব্যবহার করে লেখা হয়। দুটি পদের মধ্যে গুণ বা অন্যান্য প্রক্রিয়া চিহ্ন বসিয়ে রাশিমালা লেখার এই নিয়মকে [[ইনফিক্স সংকেতায়ন]] বলা হয়।<ref>{{Citation |last=Khan Academy |title=Intro to multiplication {{!}} Multiplication and division {{!}} Arithmetic {{!}} Khan Academy |date=2015-08-14 |url=https://www.youtube.com/watch?v=RNxwasijbAo |access-date=2017-03-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170324175113/https://www.youtube.com/watch?v=RNxwasijbAo |archive-date=2017-03-24 |url-status=live }}</ref> উদাহরণস্বরূপ,
:২ × ৩ = ৬ ("দুই গুণ তিন [[সমান চিহ্ন|সমান]] ছয়")
:৩ × ৪ = ১২
:২ × ৩ × ৫ = ৫ × ৬ = ৩০
:২ × ২ × ২ × ২ × ২ = ৩২

গুণকে নির্দেশ করতে অন্যান্য [[গাণিতিক প্রতীক-চিহ্নাদি|গাণিতিক চিহ্নও]] ব্যবহার করা হয়:
* গুণ চিহ্ন × এবং বহুল ব্যবহৃত চলক {{mvar|x}} এর মধ্যে বিভ্রান্তি কমাতে, গুণকে ডট (বিন্দু) চিহ্ন দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়।<ref>{{Citation |last=Khan Academy |title=Why aren't we using the multiplication sign? {{!}} Introduction to algebra {{!}} Algebra I {{!}} Khan Academy |date=2012-09-06 |url=https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |access-date=2017-03-07 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170327163705/https://www.youtube.com/watch?v=vDaIKB19TvY |archive-date=2017-03-27 |url-status=live }}</ref> এছাড়াও, সংখ্যার পাদদেশে না বসে কিছুটা উপরে মধ্যম-অবস্থানে বসে সাধারণত এমন একটি বিন্দু (''middle-position dot'') দিয়ে এবং ইংরেজি সাহিত্যে পূর্ণ বিরতির জন্য যে বিন্দু চিহ্নটি ([[ফুল স্টপ]], যা সংখ্যার পাদদেশে বসে) ব্যবহার করা হয়, কদাচিৎ সেই চিহ্নটি দিয়েও গুণকে প্রকাশ করা হয়:
:{{math|৫ ⋅ ৩}} বা {{math|৫ . ৩}} (বাংলা সংখ্যার ক্ষেত্রে)
:{{math|5 ⋅ 2}} অথবা {{math|5 . 3}} (ইংরেজি সংখ্যার ক্ষেত্রে)
:উপরের উদাহরণ দুটিতে যে ডট চিহ্নটি 'কিছুটা উপরে মধ্যম-অবস্থানে' অর্থাৎ মাঝামাঝি অবস্থানে বসেছে তাকে [[ইউনিকোড|ইউনিকোডে]] {{unichar|22C5|dot operator}} নামে [[এনকোডিং|এনকোড]] করা হয়েছে। এটি এখন যুক্তরাষ্ট্রসহ অন্যান্য দেশে আদর্শরূপে ধরা হয়। পক্ষান্তরে বিরতির জন্য ব্যবহৃত ডট চিহ্নটি (ফুল স্টপ) [[দশমিক সংখ্যায় পূর্ণাংশ এবং ভগ্নাংশের মধ্যে পার্থক্যসূচক চিহ্ন|দশমিক বিন্দু]]রূপে ব্যবহার করা হয়। যখন ডট অপারেটর অক্ষরটি অ্যাক্সেসযোগ্য থাকে না অর্থাৎ এটি ব্যবহার করার সুযোগ থাকে না, সেক্ষেত্রে [[ইন্টারপাংক্ট]]&nbsp;(·) চিহ্ন ব্যবহার করা হয়, যা  ডট অপারেটরটির তুলনায় আরেকটু ওপরে বসে। কিছু কিছু দেশে দেশে দশমিক চিহ্নরূপে (দশমিক সংখ্যায় সংখ্যাটির পূর্ণাংশ এবং ভগ্নাংশের মধ্যে পার্থক্য করতে যে চিহ্ন ব্যবহার করা হয়) কমা ব্যবহার করা হয়, আর গুণের জন্য ব্যবহার করা হয় ফুল স্টপের বিন্দু চিহ্নটি অথবা মাঝামাঝি অবস্থানের ডট বিন্দুটি।{{citation needed|date=March 2022}}
:ইতিহাস বলে যে, যুক্তরাজ্য  এবং আয়ারল্যান্ডে দশমিক চিহ্নরূপে কখনও কখনও মাঝামাঝি অবস্থানের ডট বিন্দুটি ব্যবহার করা হতো যাতে এটি খাতায় টানা অনুভূমিক রেখাগুলোর সাথে মিশে না যায় এবং গুণের জন্য ব্যবহার করা হতো ফুল স্টপের বিন্দুটি। যাইহোক, যুক্তরাজ্যের সাবেক প্রযুক্তি মন্ত্রণালয় ১৯৬৮ সালে ফুলস্টপকে দশমিক বিন্দরূপে ব্যবহার করার বিধান জারি করায়<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |ডিওআই=10.1038/218111c0 |শিরোনাম=Victory on Points |সাময়িকী=Nature |খণ্ড=218 |সংখ্যা নং = 5137 |পাতা=111 |বছর=1968 |বিবকোড=1968Natur.218S.111. |doi-access=free}}</ref> এবং এসআই স্ট্যান্ডার্ডটি তখন থেকে ব্যাপকভাবে গৃহীত হওয়ায়, ডট চিহ্নের এমন প্রয়োগ এখন শুধু দ্য [[দ্য ল্যানসেট|ল্যানসেটের]] মতো অতীব ঐতিহ্যবাহী জার্নালেই দেখতে পাওয়া যায়।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি |শিরোনাম=The Lancet – Formatting guidelines for electronic submission of manuscripts |ইউআরএল=http://download.thelancet.com/pb/assets/raw/Lancet/authors/artwork-guidelines.pdf |সংগ্রহের-তারিখ=2017-04-25}}</ref>
* [[বীজগণিত|বীজগণিতে]] চলক-সংশ্লিষ্ট গুণনের ক্ষেত্রে প্রায়শই চলকগুলোকে পাশাপাশি বসিয়ে বা পরস্পর সন্নিবিষ্ট করে (''juxtaposition'') লেখা হয়, যাকে অন্তর্নিহিত বা অব্যক্ত গুণও বলা হয় (''implied multiplication'')। যেমন: ''x'' ও ''y''-এর গুণকে ''xy'', ''x''-এর পাঁচ গুণকে বা 5 ও ''x''-এর গুণকে 5''x'' আকারে লেখা।<ref>{{বই উদ্ধৃতি |শিরোনাম=Announcing the TI Programmable 88! |প্রকাশক=[[Texas Instruments]] |তারিখ=1982<!--or 1983--> |ইউআরএল=http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |সংগ্রহের-তারিখ=2017-08-03 |ইউআরএল-অবস্থা=live |আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20170803091337/http://www.datamath.net/Leaflets/TI-88_Announcement.pdf |আর্কাইভের-তারিখ=2017-08-03}}</ref> [[বন্ধনী]] দ্বারা বেষ্টিত রাশির ক্ষেত্রেও এই সংকেতায়ন ব্যবহার করা যেতে পারে। যেমন: ২-এর ৫ গুণকে লেখার ক্ষেত্রে ৫(২) অথবা (৫)(২) লেখা। বন্ধনী দ্বারা বেষ্টিত চলকের নাম ফাংশন নামের সাথে বিভ্রান্তি তৈরি করতে পারে। ফলে যেসব ক্ষেত্রে কিছু কিছু চলককে একাধিক বর্ণের সমন্বয়ে লিখতে হয়, সেই চলকগুলোর নাম অন্য চলকের নামের সাথে মিলে গেলে গুণের এই অন্তর্নিহিত ব্যবহার অস্পষ্টতার কারণ হতে পারে। আবার, গাণিতিক ক্রিয়ার সঠিক অনুক্রম  নির্ধারণের বেলায়ও গুণের এই অন্তর্নিহিত ব্যবহার অস্পষ্টতা ঘটাতে পারে।{{Citation needed|date=March 2022}}
* [[সদিক রাশি|ভেক্টর রাশি]]<nowiki/>র গুণের ক্ষেত্রে, আড়াআড়ি ক্রস এবং ডট চিহ্ন দুটির মধ্যে একটি সুনির্দিষ্ট পার্থক্য রয়েছে। ক্রস চিহ্নটি দিয়ে সাধারণত দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণ বা গুণফলকে বোঝানো হয়। দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণনে একটি ভেক্টর রাশি পাওয়া যায়। একে ভেক্টর গুণনও বলা হয়। পক্ষান্তরে, দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণকে ভেক্টর রাশি দুটির মধ্যে একটি ডট বসিয়ে প্রকাশ করা হয়। দুটি ভেক্টরের স্কেলার গুণনে একটি স্কেলার রাশি বের হয়।<ref>{{বই উদ্ধৃতি 
|ইউআরএল= 
|শিরোনাম= উচ্চ মাধ্যমিক পদার্থবিজ্ঞান : প্রথম পত্র 
|শেষাংশ=তপন 
|প্রথমাংশ=ড. শাহজান
|শেষাংশ২=হাসান 
|প্রথমাংশ২=মুহম্মদ আজিজ 
|শেষাংশ৩=চৌধুরী  
|প্রথমাংশ৩=ড. রানা 
|তারিখ=২০০৮ 
|প্রকাশক=হাসান বুক হাউস, ঢাকা 
|সংস্করণ=৯ম
|পাতাসমূহ=২০ – ২৩
|ভাষা=বাংলা
|সংগ্রহের-তারিখ=২১ মার্চ ২০২২
|আইএসবিএন=}}</ref>

[[কম্পিউটার প্রোগ্রামিং|কম্পিউটার প্রোগ্রামিংয়ে]] গুণকে নির্দেশ করার ক্ষেত্রে তারকাচিহ্ন এখনও সবচেয়ে ব্যাপকহারে ব্যবহার করা হয়, (যেমন: <code>5*2</code>)। বেশিরভাগ কম্পিউটারে যেসব অক্ষর সেট (যেমন: ASCII এবং EBCDIC) ব্যবহার করা হয়, ঐতিহাসিকভাবেই সেগুলোতে অক্ষরের সংখ্যা কম হওয়ায় একটি সীমাবদ্ধতার সৃষ্টি হয়। যার কারণে এখানে <code>⋅</code> বা <code>×</code> এর মতো একটি গুণ চিহ্নের ঘাটতি থেকেই যায়। উপরন্তু, যখন তারকাচিহ্নের উপস্থিতি প্রতিটি কীবোর্ডেই দেখা যায়। এসব কারণে, কম্পিউটারে গুণকে নির্দেশে তারকাচিহ্নের ব্যবহার ব্যাপকতর। তারকাচিহ্নের এই প্রয়োগটির উদ্ভব ঘটেছে [[ফরট্রান]] প্রোগ্রামিং ভাষায়।{{Citation needed|date=March 2022}}

{{anchor|Terminology|multiplier}}
যে সংখ্যাগুলি গুণ করা হয় সেগুলিকে সাধারণত "ফ্যাক্টর" বলা হয়। যে সংখ্যাটি গুণ করা হবে তা হ'ল "গুণ্য", এবং যে সংখ্যাটি দ্বারা এটি গুণ করা হয় তা হ'ল "গুণক"। সাধারণত, গুণক প্রথমে স্থাপন করা হয় এবং গুণ্য দ্বিতীয়তে স্থাপন করা হয় ;<ref name="Devlin"/> তবে কখনও কখনও প্রথম ফ্যাক্টরটি গুণক এবং দ্বিতীয়টি গুণ্য হয়.<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি |লেখক=Crewton Ramone |ইউআরএল=http://www.crewtonramoneshouseofmath.com/multiplicand-and-multiplier.html |শিরোনাম=Multiplicand and Multiplier |সংগ্রহের-তারিখ=10 November 2015 |প্রকাশক=Crewton Ramone's House of Math |আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20151026161239/http://www.crewtonramoneshouseofmath.com/multiplicand-and-multiplier.html |আর্কাইভের-তারিখ=26 October 2015 |ইউআরএল-অবস্থা=live }}.</ref> এছাড়াও, যেহেতু গুণের ফলাফল সংখ্যাগুলির ধরনের উপর নির্ভর করে না, তাই "গুণক" এবং "গুণক" এর মধ্যে পার্থক্য শুধুমাত্র একটি খুব প্রাথমিক স্তরে এবং কিছু [[গুণিতক]] অ্যালগরিদমগুলিতে দরকারী, যেমন দীর্ঘ গুণন। অতএব, কিছু উৎসে, "গুণক" শব্দটি "ফ্যাক্টর" এর প্রতিশব্দ হিসাবে বিবেচিত হয়।<ref>{{বই উদ্ধৃতি |লেখক=Chester Litvin |ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=-ULmPYAA8voC&q=Can+the+multiplicand+be+the+first+number&pg=PA6 |শিরোনাম=Advance Brain Stimulation by Psychoconduction |মাধ্যম=[[Google Book Search]] |তারিখ= 2012|আইএসবিএন=978-1-4669-0152-0 |পাতাসমূহ=2–3, 5–6}}</ref> বীজগণিতে, একটি সংখ্যা যা একটি ভেরিয়েবল বা এক্সপ্রেশনের গুণক(e.g., the 3 in 3''xy''<sup>2</sup>) তাকে সহগ বলা হয়।

গুণের ফলাফলকে গুণফল বলে। যখন একটি গুণনীয়ক একটি পূর্ণসংখ্যা হয়, তখন গুণফলটি অন্যটির গুণিতক বা অন্যের গুণফল। সুতরাং {{math|২ × [[Pi|{{pi}}]]}} হলো π এর গুণিতক, যেমন ৫১৩৩ × ৪৮৬ × π। পূর্ণসংখ্যার একটি গুণফল প্রতিটি ফ্যাক্টরের একাধিক; উদাহরণস্বরূপ, ১৫ হল ৩ এবং ৫ এর গুণফল এবং ৩ এর গুণিতক এবং ৫ এর গুণিতক উভয়ই। {{Citation needed|date=December 2021}}

== গণনা ==
[[file:צעצוע מכני משנת 1918 לחישובי לוח הכפל The Educated Monkey.jpg|200px|thumb|শিক্ষিত বানর – 1918 সালের একটি টিনের খেলনা, একটি গুণ "ক্যালকুলেটর" হিসাবে ব্যবহৃত হয়।<small>যেমন: : বানরের পা ৪ এবং ৯ এ সেট করুন এবং গুণফল – 36 –পান তার হাতে।</small>]]

পেন্সিল এবং কাগজ ব্যবহার করে সংখ্যাকে গুণ করার জন্য অনেক সাধারণ পদ্ধতিতে ছোট সংখ্যার (সাধারণত ০ থেকে ৯ পর্যন্ত যেকোনো দুটি সংখ্যা) মুখস্থ বা পরামর্শকৃত পণ্যগুলির একটি গুণ সারণী প্রয়োজন। যাইহোক, একটি পদ্ধতি, প্রাচীন মিশরীয় গুন অ্যালগরিদম, তা করে না। নীচের উদাহরণটি "দীর্ঘ গুণ" ("স্ট্যান্ডার্ড অ্যালগরিদম", "গ্রেড-স্কুল গুণন") ব্যাখ্যা করে:

       23958233
 ×         5830
 ———————————————
       00000000 ( =      23,958,233 ×     0)
      71874699  ( =      23,958,233 ×    30)
    191665864   ( =      23,958,233 ×   800)
 + 119791165    ( =      23,958,233 × 5,000)
 ———————————————
   139676498390 ( = 139,676,498,390        )

হাত দিয়ে কয়েক দশমিকের বেশি স্থানে সংখ্যাকে গুণ করা ক্লান্তিকর এবং ত্রুটি-প্রবণ। সাধারণ লগারিদমগুলি এই ধরনের গণনাকে সরল করার জন্য উদ্ভাবিত হয়েছিল, যেহেতু লগারিদম যোগ করা গুণ করার সমতুল্য। স্লাইড নিয়মটি সংখ্যাগুলিকে প্রায় তিনটি নির্ভুলতার জায়গায় দ্রুত গুণিত করার অনুমতি দেয়। ২০ শতকের গোড়ার দিকে, যান্ত্রিক ক্যালকুলেটর, যেমন মার্চ্যান্ট, ১০-অঙ্কের সংখ্যার স্বয়ংক্রিয় গুণ। আধুনিক ইলেকট্রনিক কম্পিউটার এবং ক্যালকুলেটর হাত দিয়ে গুণ করার প্রয়োজনীয়তাকে অনেকটাই কমিয়ে দিয়েছে।

===ঐতিহাসিক অ্যালগরিদম===
গুণের পদ্ধতিগুলি [[মিশরীয় সভ্যতা]], {{Citation needed span|text=গ্রিক, ভারতীয়|date=December 2021|reason=This claim is not sourced in the subsections below.}}, এবং [[History of China#Ancient China|চীন]] সভ্যতার লেখায় নথিভুক্ত ছিল।

প্রায় ১৮,০০০ থেকে ২০,০০০ খ্রিস্টপূর্বাব্দের ঈশানগো বুন, মধ্য আফ্রিকার ভূতাত্ত্বিক সময়কালের গুণের জ্ঞানের দিকে ইঙ্গিত করতে পারে, তবে এটি অনুমানমূলক।<ref>{{cite arXiv|last=Pletser|first=Vladimir|date=2012-04-04|title=Does the Ishango Bone Indicate Knowledge of the Base 12? An Interpretation of a Prehistoric Discovery, the First Mathematical Tool of Humankind|class=math.HO|eprint=1204.1019}}</ref>{{Verification needed|date=December 2021}}

==== মিশরীয় ====
পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশের গুণনের মিশরীয় পদ্ধতি, যা Rhind Mathematical Papyrus-এ নথিভুক্ত করা হয়েছে, তা ছিল ধারাবাহিক সংযোজন এবং দ্বিগুণ। উদাহরণস্বরূপ, ১৩ এবং ২১ এর গুণফল খুঁজে পেতে একজনকে ২১ দ্বিগুণ করতে হবে, প্রাপ্ত করে

{{nowrap|1=২ × ২১ = ৪২}}, {{nowrap|1=৪ × ২১ = ২ × ৪২ = ৮৪}}, {{nowrap|1=৪ × ২১ =  ২ × ৮৪ = ১৬৮}}. দ্বিগুণ ক্রমানুসারে পাওয়া উপযুক্ত পদ যোগ করে সম্পূর্ণ ফলটি খুঁজে পাওয়া যেতে পারে<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Peasant Multiplication|ইউআরএল=http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Algebra/PeasantMultiplication.shtml|সংগ্রহের-তারিখ=2021-12-29|ওয়েবসাইট=www.cut-the-knot.org}}</ref>
:১৩ × ২১ = (১ + ৪ + ৮) × ২১ = (১ × ২১) + (৪ × ২১) + (৮ × ২১) = ২১ + ৮৪ + ১৬৮ = ২৭৩.

==== ব্যাবিলনীয়রা ====
ব্যাবিলনীয়রা আধুনিক যুগের দশমিক পদ্ধতির অনুরূপ একটি সেক্সাজেসিমাল পজিশনাল সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করত। এইভাবে, ব্যাবিলনীয় গুণন আধুনিক দশমিক গুণের সাথে খুব মিল ছিল। ৬০ × ৬০ বিভিন্ন প্রোডাক্ট মনে রাখার আপেক্ষিক অসুবিধার কারণে, ব্যাবিলনীয় গণিতবিদগণ গুণন সারণী নিযুক্ত করেছিলেন। এই টেবিলগুলি একটি নির্দিষ্ট মূল সংখ্যা n এর প্রথম বিশ গুণিতকের একটি তালিকা নিয়ে গঠিত: n, ২n, ..., ২০n; ১০n এর গুণিতকগুলি অনুসরণ করে: ৩০n ৪০n, এবং ৫০n। তারপর যেকোন সেক্সাজেসিমাল প্রোডাক্ট গণনা করার জন্য, বলুন ৫৩n, শুধুমাত্র টেবিল থেকে গণনা করা ৫০n এবং ৩n যোগ করতে হবে।{{Citation needed|date=December 2021}}

====চীনারা====
[[File:Multiplication algorithm.GIF|thumb|right|250px|{{nowrap|1=38 × 76 = 2888}}]]
গাণিতিক পাঠ্য Zhoubi Suanjing, 300 BC এর পূর্বে তারিখে, এবং গাণিতিক শিল্পের নয়টি অধ্যায়ে, গুণের গণনাগুলিকে শব্দে লেখা হয়েছিল, যদিও প্রাথমিক চীনা গণিতবিদরা রড ক্যালকুলাস নিযুক্ত করেছিলেন যেখানে স্থান মান সংযোজন, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ জড়িত ছিল। চীনারা ইতিমধ্যেই যুদ্ধরত রাষ্ট্রের সময়কালের শেষে একটি দশমিক গুণের সারণী ব্যবহার করছে।.<ref name="Nature">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি | ইউআরএল =http://www.nature.com/news/ancient-times-table-hidden-in-chinese-bamboo-strips-1.14482 | শিরোনাম =Ancient times table hidden in Chinese bamboo strips | সাময়িকী =Nature | প্রথমাংশ =Jane |শেষাংশ=Qiu |লেখক-সংযোগ=Jane Qiu| তারিখ =7 January 2014 | সংগ্রহের-তারিখ =22 January 2014 | ডিওআই =10.1038/nature.2014.14482 | s2cid =130132289 | আর্কাইভের-ইউআরএল =https://web.archive.org/web/20140122064930/http://www.nature.com/news/ancient-times-table-hidden-in-chinese-bamboo-strips-1.14482 | আর্কাইভের-তারিখ =22 January 2014 | ইউআরএল-অবস্থা =live }}</ref>

===আধুনিক পদ্ধতি===
[[Image:Gelosia multiplication 45 256.png|right|250px|thumb|Product of 45 and 256. Note the order of the numerals in 45 is reversed down the left column. The carry step of the multiplication can be performed at the final stage of the calculation (in bold), returning the final product of {{nowrap|1=45 × 256 = 11520}}. This is a variant of [[Lattice multiplication]].]]
হিন্দু-আরবি সংখ্যা পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে গুণের আধুনিক পদ্ধতি প্রথম [[ব্রহ্মগুপ্ত]] দ্বারা বর্ণিত হয়েছিল। ব্রহ্মগুপ্ত যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের নিয়ম দিয়েছেন। হেনরি বারচার্ড ফাইন, তখন প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটির গণিতের অধ্যাপক, নিম্নলিখিত লিখেছেন:
:''ভারতীয়রা শুধুমাত্র অবস্থানগত দশমিক পদ্ধতিরই উদ্ভাবক নয়, সিস্টেমের সাথে প্রাথমিক গণনার সাথে জড়িত বেশিরভাগ প্রক্রিয়ার উদ্ভাবক। যোগ এবং বিয়োগ তারা আজকাল সঞ্চালিত হয় হিসাবে বেশ সঞ্চালিত; গুণন তারা অনেক উপায়ে প্রভাবিত করেছে, তাদের মধ্যে আমাদের, কিন্তু বিভাজন তারা জটিলভাবে করেছে।''<ref>{{বই উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Fine |প্রথমাংশ=Henry B. |লেখক-সংযোগ=Henry Burchard Fine |শিরোনাম=The Number System of Algebra – Treated Theoretically and Historically |সংস্করণ=2nd |তারিখ=1907 |পাতা=90 |ইউআরএল=https://archive.org/download/numbersystemofal00fineuoft/numbersystemofal00fineuoft.pdf}}</ref>
এই স্থান মানের দশমিক গাণিতিক অ্যালগরিদমগুলি আরব দেশগুলিতে ৯ম শতাব্দীর প্রথম দিকে আল খোয়ারিজমি দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং ১৩শ শতাব্দীতে ফিবোনাক্কি দ্বারা পশ্চিমা বিশ্বে জনপ্রিয় হয়েছিল।{{Citation needed|date=December 2021}}

====গ্রিড পদ্ধতি====
গ্রিড পদ্ধতি গুণন, বা বক্স পদ্ধতি, ইংল্যান্ড এবং ওয়েলসের প্রাথমিক বিদ্যালয়ে এবং মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের কিছু এলাকায় একাধিক অঙ্কের গুণ কীভাবে কাজ করে তা বোঝার জন্য ব্যবহার করা হয়। ৩৪ কে ১৩ দ্বারা গুন করার একটি উদাহরণ নিম্নরূপ একটি গ্রিডে সংখ্যাগুলি সাজানো হবে:

:{| class="wikitable" style="text-align: center;"
! scope="col" width="40pt" | &nbsp;
! scope="col" width="120pt" | ৩০
! scope="col" width="40pt" | ৪
|-
! scope="row" | ১০
|৩০০
|৪০
|-
! scope="row" | ৩
|৯০
|১২
|}

এবং তারপর এন্ট্রি যোগ করুন।

===কম্পিউটার অ্যালগরিদম===
{{মূল নিবন্ধ|Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs}}
The classical method of multiplying two {{math|''n''}}-digit numbers requires {{math|''n''<sup>2</sup>}} digit multiplications. [[Multiplication algorithm]]s have been designed that reduce the computation time considerably when multiplying large numbers. Methods based on the [[Discrete Fourier transform#Multiplication of large integers|discrete Fourier transform]] reduce the [[computational complexity]] to {{math|''O''(''n'' log ''n'' log log ''n'')}}. In 2016, the factor {{math|log log ''n''}} was replaced by a function that increases much slower, though still not constant.<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ১=Harvey|প্রথমাংশ১=David|শেষাংশ২=van der Hoeven|প্রথমাংশ২=Joris|শেষাংশ৩=Lecerf|প্রথমাংশ৩=Grégoire|শিরোনাম=Even faster integer multiplication|বছর=2016|সাময়িকী=Journal of Complexity|খণ্ড=36|পাতাসমূহ=1–30|ডিওআই=10.1016/j.jco.2016.03.001|issn=0885-064X|arxiv=1407.3360|s2cid=205861906}}</ref> In March 2019, David Harvey and Joris van der Hoeven submitted a paper presenting an integer multiplication algorithm with a complexity of <math>O(n\log n).</math><ref>David Harvey, Joris Van Der Hoeven (2019). [https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02070778 Integer multiplication in time O(n log n)] {{ওয়েব আর্কাইভ|ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20190408180939/https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02070778 |তারিখ=2019-04-08 }}</ref> The algorithm, also based on the fast Fourier transform, is conjectured to be asymptotically optimal.<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://www.quantamagazine.org/mathematicians-discover-the-perfect-way-to-multiply-20190411/|শিরোনাম=Mathematicians Discover the Perfect Way to Multiply|শেষাংশ=Hartnett|প্রথমাংশ=Kevin|ওয়েবসাইট=Quanta Magazine|তারিখ=11 April 2019|ভাষা=en|সংগ্রহের-তারিখ=2020-01-25}}</ref> The algorithm is not practically useful, as it only becomes faster for multiplying extremely large numbers (having more than {{math|2<sup>1729<sup>12</sup></sup>}} bits).<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://cacm.acm.org/magazines/2020/1/241707-multiplication-hits-the-speed-limit/fulltext|শিরোনাম=Multiplication Hits the Speed Limit|শেষাংশ=Klarreich|প্রথমাংশ=Erica|ওয়েবসাইট=cacm.acm.org|ভাষা=en|সংগ্রহের-তারিখ=2020-01-25|আর্কাইভের-ইউআরএল=https://archive.today/20201031123457/https://cacm.acm.org/magazines/2020/1/241707-multiplication-hits-the-speed-limit/fulltext|আর্কাইভের-তারিখ=2020-10-31|ইউআরএল-অবস্থা=live}}</ref>

== পরিমাপের গুণফলগুলি ==
{{মূল নিবন্ধ|Dimensional analysis}}
কেউ শুধুমাত্র অর্থপূর্ণভাবে একই ধরনের পরিমাণ যোগ বা বিয়োগ করতে পারে, কিন্তু বিভিন্ন ধরনের পরিমাণ সমস্যা ছাড়াই গুণ বা ভাগ করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি তিনটি মার্বেল সহ চারটি ব্যাগ হিসাবে চিন্তা করা যেতে পারে:<ref name="Devlin"/>
:[৪ টি ব্যাগ] × [প্রতি ব্যাগে ৩ টি মার্বেল] = ১২ টি মার্বেল.

যখন দুটি পরিমাপ একসাথে গুণ করা হয়, তখন পরিমাপের প্রকারের উপর নির্ভর করে গুণফলটি এক প্রকারের হয়। সাধারণ তত্ত্ব মাত্রিক বিশ্লেষণ দ্বারা দেওয়া হয়। এই বিশ্লেষণটি নিয়মিতভাবে পদার্থবিজ্ঞানে প্রয়োগ করা হয়, তবে এটির অর্থ এবং অন্যান্য প্রয়োগ ক্ষেত্রেও অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে।

পদার্থবিজ্ঞানের একটি সাধারণ উদাহরণ হল যে সময় দ্বারা গতি গুণ করলে দূরত্ব পাওয়া যায়। উদাহরণ স্বরূপ:
:প্রতি ঘন্টায় ৫০ কিলোমিটার × ৩ ঘন্টা = ১৫০ কিলোমিটার.
এই ক্ষেত্রে, ঘন্টা ইউনিটগুলি বাতিল হয়ে যায়, শুধুমাত্র কিলোমিটার ইউনিটের সাথে গুণফলটি রেখে যায়।.

একক জড়িত গুণের অন্যান্য উদাহরণগুলির মধ্যে রয়েছে:
:২.৫ মিটার × ৪.৫ মিটার = ১১.২৫ বর্গমিটার
:১১ মিটার/সেকেন্ড × ৯ সেকেন্ড = ৯৯ মিটার
:প্রতি বাড়িতে ৪.৫ জন বাসিন্দা  × ২০ টি বাড়ি = ৯০ জন বাসিন্দা

== একটি অনুক্রমের গুণফল ==

=== ক্যাপিটাল পাই স্বরলিপি ===

ফ্যাক্টরগুলির একটি অনুক্রমের গুণফলকে প্রোডাক্ট প্রতীক দিয়ে লেখা যেতে পারে, যা বড় অক্ষর থেকে উদ্ভূত হয়েছে <math>\textstyle \prod</math> (পাই) গ্রিক বর্ণমালা (অনেকটা একইভাবে বড় অক্ষরের মতো <math>\textstyle \sum</math> (সিগমা) যোগফলের প্রসঙ্গে ব্যবহৃত হয়).<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Weisstein|প্রথমাংশ=Eric W.|ভাষা=en|শিরোনাম=Product|ইউআরএল=https://mathworld.wolfram.com/Product.html|সংগ্রহের-তারিখ=2020-08-16|ওয়েবসাইট=mathworld.wolfram.com}}</ref><ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Summation and Product Notation|ইউআরএল=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|সংগ্রহের-তারিখ=2020-08-16|ওয়েবসাইট=math.illinoisstate.edu|আর্কাইভের-তারিখ=২০২৩-০৮-২৯|আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20230829132018/https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|ইউআরএল-অবস্থা=অকার্যকর}}</ref> ইউনিকোড অবস্থান {{unichar|220F}} এই জাতীয় প্রোডাক্ট বোঝানোর জন্য একটি গ্লিফ রয়েছে, যা {{unichar|03A0}}, অক্ষর থেকে আলাদা। এই স্বরলিপির অর্থ দেওয়া হয়েছে:

: <math>\prod_{i=1}^4 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,</math>

এটা হল

: <math>\prod_{i=1}^4 i = 24.</math>

সাবস্ক্রিপ্ট একটি আবদ্ধ ভেরিয়েবলের জন্য প্রতীক দেয় (i এই ক্ষেত্রে), যাকে "গুণের সূচক" বলা হয়, তার নিম্ন সীমা (1) সহ, যেখানে সুপারস্ক্রিপ্ট (এখানে 4) তার উপরের সীমা দেয়। নিম্ন এবং উপরের সীমা হল পূর্ণসংখ্যা নির্দেশ করে অভিব্যক্তি। গুণের সূচকের জন্য প্রতিস্থাপিত ক্রমাগত পূর্ণসংখ্যার মানগুলির সাথে, নিম্ন সীমা থেকে শুরু করে এবং উপরের সীমা পর্যন্ত ১ দ্বারা বৃদ্ধি করে (এবং সহ) পণ্য অপারেটরকে অনুসরণ করে অভিব্যক্তি গ্রহণ করে পণ্যের গুণকগুলি পাওয়া যায়। উদাহরণ স্বরূপ:

: <math>\prod_{i=1}^6 i = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 6 = 720.</math>

আরো সাধারণভাবে, স্বরলিপিকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

: <math>\prod_{i=m}^n x_i = x_m \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \,\,\cdots\,\, \cdot x_{n-1} \cdot x_n,</math>

যেখানে m এবং n হল পূর্ণসংখ্যা বা অভিব্যক্তি যা পূর্ণসংখ্যাকে মূল্যায়ন করে।যে ক্ষেত্রে {{nowrap|1=''m'' = ''n''}}, গুণফলের মান একক ফ্যাক্টর ''xm-এর সমান''; যদি {{nowrap|''m'' > ''n''}} হয়, পণ্যটি একটি খালি পণ্য যার মান হল ১—উপাদান নির্বিশেষে।

==== মূলধন পাই স্বরলিপির বৈশিষ্ট্য ====
সংজ্ঞানুসারে,

: <math>\prod_{i=1}^{n}x_i=x_1\cdot x_2\cdot\ldots\cdot x_n.</math>

যদি সমস্ত গুণনীয়ক অভিন্ন হয়, n ফ্যাক্টরের একটি গুণফল সূচকের সমতুল্য:
:<math>\prod_{i=1}^{n}x=x\cdot x\cdot\ldots\cdot x=x^n.</math>

গুণের সহযোগীতা এবং কম্যুটেটিভিটি বোঝায়
:<math>\prod_{i=1}^{n}{x_iy_i} =\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)\left(\prod_{i=1}^{n}y_i\right)</math> and
:<math>\left(\prod_{i=1}^{n}x_i\right)^a =\prod_{i=1}^{n}x_i^a</math>
যদি a একটি অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, অথবা যদি সব <math>x_i</math> ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা, এবং
:<math>\prod_{i=1}^{n}x^{a_i} =x^{\sum_{i=1}^{n}a_i}</math>
যদি সব <math>a_i</math> অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, অথবা যদি x একটি ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যা হয়।
===অসীম গুণফল===
{{মূল নিবন্ধ|Infinite product}}
কেউ অসীম অনেক পদের গুণফলও বিবেচনা করতে পারে; এদেরকে অসীম গুণফল বলা হয়। লক্ষণীয়ভাবে, এটি অনন্ত প্রতীক ∞ দ্বারা উপরের n প্রতিস্থাপন করে। এই ধরনের একটি অসীম অনুক্রমের গুণফলকে প্রথম n পদের গুণফলের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, কারণ n সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়। এটা হল,
:<math>\prod_{i=m}^\infty x_i = \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^n x_i.</math>

কেউ একইভাবে m কে ঋণাত্মক অসীম দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারে এবং সংজ্ঞায়িত করতে পারে:
:<math>\prod_{i=-\infty}^\infty x_i = \left(\lim_{m\to-\infty}\prod_{i=m}^0 x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty} \prod_{i=1}^n x_i\right),</math>
যদি উভয় সীমা বিদ্যমান থাকে।{{Citation needed|date=December 2021}}
==সংখ্যার বৈশিষ্ট্য==
[[Image:Multiplication chart.svg|thumb|alt=এই প্যাটার্নটিকে অন্যান্য চতুর্ভুজে প্রসারিত করার কারণে একটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুণে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা একটি ধনাত্মক সংখ্যা প্রদান করে। এছাড়াও লক্ষ্য করুন কিভাবে শূন্য দ্বারা গুন করলে মাত্রিকতা হ্রাস পায়, যেমন একটি একবচন ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণিত হয় যেখানে নির্ধারক 0 হয়। এই প্রক্রিয়ায়, তথ্য হারিয়ে যায় এবং পুনরুদ্ধার করা যায় না।|০-১০ সংখ্যার গুণ। লাইন লেবেল = গুণিতক। এক্স-অক্ষ = গুণক। Y-অক্ষ = গুনফল।]]

বাস্তব এবং জটিল সংখ্যাগুলির জন্য, যার মধ্যে রয়েছে, উদাহগুণফলবরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যা, পূর্ণসংখ্যা এবং ভগ্নাংশ, গুণের নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

;[[Commutative property|পরিবর্তনমূলক বৈশিষ্ট্য]]
:যে ক্রমানুসারে দুটি সংখ্যাকে গুণ করা হয় তা বিবেচ্য নয়:
::<math>x\cdot y = y\cdot x.</math><ref name=":0">{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Multiplication - Encyclopedia of Mathematics|ইউআরএল=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Multiplication|সংগ্রহের-তারিখ=2021-12-29|ওয়েবসাইট=encyclopediaofmath.org}}</ref><ref name=":2"/><ref name=":1">{{বই উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Biggs|প্রথমাংশ=Norman L.|শিরোনাম=Discrete Mathematics|প্রকাশক=Oxford University Press|বছর=2002|আইএসবিএন=978-0-19-871369-2|পাতাসমূহ=25|ভাষা=en}}</ref>

;[[Associative property|সহযোগী]] [[Commutative property|বৈশিষ্ট্য]]
:শুধুমাত্র গুণ বা যোগ জড়িত অভিব্যক্তি অপারেশনের ক্রম সাপেক্ষে অপরিবর্তনীয়:
::<math>(x\cdot y)\cdot z = x\cdot(y\cdot z)</math><ref name=":0"/><ref name=":1"/>
; [[বিতরণমূলক বৈশিষ্ট্য]]
:যোগের উপর গুণের সাপেক্ষে ধরে রাখে। বীজগাণিতিক রাশির সরলীকরণে এই পরিচয়টি গুরুত্বপূর্ণ:
::<math>x\cdot(y + z) = x\cdot y + x\cdot z </math><ref name=":0" /><ref name=":1" />

;[[Identity element|পরিচয় উপাদান]]
:গুণগত পরিচয় হল ১; ১ দ্বারা গুণিত যে কোন কিছু নিজেই। ১ এর এই বৈশিষ্ট্যটি পরিচয় সম্পত্তি হিসাবে পরিচিত:
::<math>x\cdot 1 = x</math><ref name=":0" /><ref name=":1" />

;০ এর বৈশিষ্ট্য
:যে কোনো সংখ্যাকে ০ দ্বারা গুণ করলে ০ হয়। এটি গুণের শূন্য বৈশিষ্ট্য হিসাবে পরিচিত:
::<math>x\cdot 0 = 0</math><ref name=":0" />

;[[Additive inverse|নেগেটিভ]]
:যেকোন সংখ্যার -১ গুণ সেই সংখ্যার যোজক বিপরীতের সমান।
::<math>(-1)\cdot x = (-x)</math> যেখানে <math>(-x)+x=0</math>

:–১ বার –১ হলো ১ .
::<math>(-1)\cdot (-1) = 1</math>{{Citation needed|date=December 2021}}

;[[Inverse element|বিপরীত উপাদান]]
:০ ব্যতীত প্রতিটি সংখ্যা x এর একটি গুণগত বিপরীত আছে<math>\frac{1}{x}</math>, যেমন: <math>x\cdot\left(\frac{1}{x}\right) = 1</math>.
:{{Citation needed|date=December 2021}}
;[[অর্ডার সংরক্ষণ]]
:একটি ধনাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ ক্রম সংরক্ষণ করে:
::For {{nowrap|''a'' > 0}}, if {{nowrap|''b'' > ''c''}} then {{nowrap|''ab'' > ''ac''}}.
:একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ ক্রম বিপরীত:
::For {{nowrap|''a'' < 0}}, if {{nowrap|''b'' > ''c''}} then {{nowrap|''ab'' < ''ac''}}.{{Citation needed|date=December 2021}}
:জটিল সংখ্যার এমন কোনো ক্রম নেই যা যোগ এবং গুণ উভয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Angell|প্রথমাংশ=David|শিরোনাম=ORDERING COMPLEX NUMBERS... NOT*|ইউআরএল=https://web.maths.unsw.edu.au/~angell/articles/complexorder.pdf|ইউআরএল-অবস্থা=live|সংগ্রহের-তারিখ=29 December 2021|ওয়েবসাইট=web.maths.unsw.edu.au}}</ref><ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Total ordering on complex numbers|ইউআরএল=https://math.stackexchange.com/questions/487997/total-ordering-on-complex-numbers|সংগ্রহের-তারিখ=2021-12-29|ওয়েবসাইট=Mathematics Stack Exchange}}</ref>

অন্যান্য গাণিতিক সিস্টেম যা একটি গুণন অপারেশন অন্তর্ভুক্ত করে এই সমস্ত বৈশিষ্ট্য নাও থাকতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, গুণন, সাধারণভাবে, ম্যাট্রিক্স এবং চতুর্ভুজের জন্য কম্যুটেটিভ নয়।<ref name=":0"/>

== সেট তত্ত্বের সাথে গুণ ==
অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার গুণফলকে [[অঙ্কবাচক সংখ্যা|মূল সংখ্যা]] বা পিয়ানো স্বতঃসিদ্ধ ব্যবহার করে [[সেট তত্ত্ব]] দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।ইচ্ছামত পূর্ণসংখ্যা এবং তারপরে ইচ্ছামত মূলদ সংখ্যায় কীভাবে এটি প্রসারিত করা যায় তা নীচে দেখুন।প্রকৃত সংখ্যার গুণফল মূলদ সংখ্যার গুণফলের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়; বাস্তব সংখ্যার নির্মাণ দেখুন।

== গ্রুপ তত্ত্বে গুণ ==
এমন অনেক সেট আছে যেগুলি, গুণের ক্রিয়াকলাপের অধীনে, [[গ্রুপ (গণিত)|গ্রুপ]] গঠনকে সংজ্ঞায়িত করে এমন স্বতঃসিদ্ধগুলিকে সন্তুষ্ট করে।এই স্বতঃসিদ্ধ হল বন্ধ, সহযোগীতা, এবং একটি পরিচয় উপাদানের অন্তর্ভুক্তি এবং বিপরীত।

একটি সাধারণ উদাহরণ হল অ-শূন্য [[মূলদ সংখ্যা|মূলদ সংখ্যার]] সেট।এখানে আমাদের পরিচয় ১ আছে, যোগের অধীনে গোষ্ঠীর বিপরীতে যেখানে পরিচয়টি সাধারণত ০ হয়।লক্ষ্য করুন যে মূলদগুলির সাথে, আমাদের অবশ্যই শূন্যকে বাদ দিতে হবে কারণ, গুণনের অধীনে, এটির একটি বিপরীত নেই: এমন কোনও মূলদ সংখ্যা নেই যা শূন্য দ্বারা গুণ করা যেতে পারে ১ এ।এই উদাহরণে, আমাদের একটি [[আবেলীয় গ্রুপ|অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠী]] রয়েছে, তবে এটি সর্বদা হয় না।

এটি দেখতে, একটি প্রদত্ত [[ক্ষেত্র (গণিত)|ক্ষেত্রের]] উপর একটি প্রদত্ত মাত্রার ইনভার্টেবল বর্গ ম্যাট্রিক্সের সেট বিবেচনা করুন।এখানে, ক্লোজার, অ্যাসোসিয়েটিভিটি, এবং আইডেন্টিটি ( পরিচয় ম্যাট্রিক্স ) এবং ইনভার্সের অন্তর্ভুক্তি যাচাই করা সহজ।যাইহোক, ম্যাট্রিক্স গুণন পরিবর্তনশীল নয়, যা দেখায় যে এই দলটি নন-আবেলিয়ান।

আরেকটি বিষয় লক্ষ্য করার মতো বিষয় হল যে গুণের অধীনে পূর্ণসংখ্যাগুলি একটি গ্রুপ গঠন করে না - এমনকি যদি আমরা শূন্য বাদ দিই।এটি ১ এবং ব্যতীত অন্য সমস্ত উপাদানের জন্য একটি বিপরীতের অস্তিত্বের দ্বারা সহজেই দেখা যায়&nbsp;−১।

গোষ্ঠী তত্ত্বে গুণন সাধারণত একটি বিন্দু দ্বারা বা জুক্সটাপজিশন (উপাদানের মধ্যে একটি অপারেশন প্রতীক বাদ দেওয়া) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।তাই '''ক''' উপাদানকে '''খ''' উপাদান দ্বারা গুণ করলে ক•খ বা কখ  হিসাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে।সেট এবং অপারেশনের ইঙ্গিতের মাধ্যমে একটি গ্রুপকে উল্লেখ করার সময়, ডট ব্যবহার করা হয়।উদাহরণস্বরূপ, আমাদের প্রথম উদাহরণ দ্বারা নির্দেশিত হতে পারে <math>\left( \mathbb{Q}/ \{ 0 \} ,\, \cdot \right)</math> .

== স্বতঃসিদ্ধ ==
{{মূল নিবন্ধ|Peano axioms}}''[[অ্যারিথমিটিসেস প্রিন্সিপিয়া, নোভা মেথোডো এক্সপোসিটা|অ্যারিথমিটিসেস প্রিন্সিপিয়া, নোভা মেথোডো এক্সপোসিটা বইতে]]'', জিউসেপ পিয়ানো প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য তার স্বতঃসিদ্ধের উপর ভিত্তি করে পাটিগণিতের জন্য স্বতঃসিদ্ধ প্রস্তাব করেছেন। <ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|প্রকাশক=[[PlanetMath]]|শিরোনাম=Peano arithmetic|ইউআরএল=http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html|ইউআরএল-অবস্থা=live|আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html|আর্কাইভের-তারিখ=2007-08-19|সংগ্রহের-তারিখ=2007-06-03}}</ref> পিয়ানো পাটিগণিতের গুণনের জন্য দুটি স্বতঃসিদ্ধ রয়েছে:

: <math>x \times 0 = 0</math>
: <math>x \times S(y) = (x \times y) + x</math>

এখানে ''S'' ( ''y'' ) ''y'' এর উত্তরসূরীকে প্রতিনিধিত্ব করে; অর্থাৎ, প্রাকৃতিক সংখ্যা যা ''y'' অনুসরণ করে।যোগসূত্রের মতো বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য এইগুলি এবং পিয়ানো [[গাণিতিক আরোহ বিধি|গাণিতিকের]] অন্যান্য স্বতঃসিদ্ধ থেকে প্রমাণ করা যেতে পারে, যার মধ্যে অন্তর্ভুক্তি রয়েছে।উদাহরণস্বরূপ, ''S'' (0), ১ দ্বারা চিহ্নিত, একটি গুণগত পরিচয় কারণ

: <math>x \times 1 = x \times S(0) = (x \times 0) + x = 0 + x = x.</math>

[[পূর্ণ সংখ্যা|পূর্ণসংখ্যার]] জন্য স্বতঃসিদ্ধ সাধারণত এগুলিকে প্রাকৃতিক সংখ্যার অর্ডারযুক্ত জোড়ার সমতুল্য শ্রেণী হিসাবে সংজ্ঞায়িত করে।মডেলটি ( ''x'', ''y'' ) কে {{Nowrap|''x'' − ''y''}} এর সমতুল্য হিসাবে বিবেচনা করার উপর ভিত্তি করে যখন ''x'' এবং ''y'' কে পূর্ণসংখ্যা হিসাবে গণ্য করা হয়।সুতরাং (০,১) এবং (১,২) উভয়ই −১ এর সমান।এইভাবে সংজ্ঞায়িত পূর্ণসংখ্যার জন্য গুণন স্বতঃসিদ্ধ

: <math>(x_p,\, x_m) \times (y_p,\, y_m) = (x_p \times y_p + x_m \times y_m,\; x_p \times y_m + x_m \times y_p).</math>

যে নিয়মটি −১ × −১ = ১ থেকে বের করা যায়

: <math>(0, 1) \times (0, 1) = (0 \times 0 + 1 \times 1,\, 0 \times 1 + 1 \times 0) = (1,0).</math>

গুণকে [[মূলদ সংখ্যা]] এবং তারপর [[বাস্তব সংখ্যা|বাস্তব সংখ্যার]] অনুরূপভাবে প্রসারিত করা হয়।
 
== বিভিন্ন ধরনের সংখ্যার গুণ ==
সংখ্যা (৩ টি আপেল), অর্ডার (৩য় আপেল), বা পরিমাপ (৩.৫ ফুট উঁচু) গণনা করতে পারে; যেহেতু [[গণিতের ইতিহাস]] আমাদের আঙ্গুলে গণনা থেকে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের মডেলিং পর্যন্ত অগ্রসর হয়েছে, গুণকে আরও জটিল এবং বিমূর্ত ধরনের সংখ্যায় সাধারণীকরণ করা হয়েছে এবং ব্যবহৃত হয়েছে এমন জিনিসগুলিতে যা সংখ্যা নয় (যেমন ম্যাট্রিক্স ) বা সংখ্যার মতো দেখতে নয় ( যেমন কোয়াটারনিয়ন )।
;পূর্ণসংখ্যা
:পূর্ণসংখ্যা যখন N এবং M ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা হয় তখন M এর N অনুলিপিগুলির যোগফল<math>N\times M</math> ।এটি একটি সারণির N চওড়া এবং M উচ্চতায় জিনিসের সংখ্যা দেয়।ঋণাত্মক সংখ্যার সাধারণীকরণ দ্বারা করা যেতে পারে
:<math>N\times (-M) = (-N)\times M = - (N\times M)</math> এবং
:<math>(-N)\times (-M) = N\times M</math>
:একই চিহ্নের নিয়ম মূলদ এবং বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য।{{Citation needed|date=December 2021}}

;[[মূলদ সংখ্যা]]
:ভগ্নাংশে সাধারণীকরণ <math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D}</math> যথাক্রমে লব এবং হরকে গুণ করে:<math>\frac{A}{B}\times \frac{C}{D} = \frac{(A\times C)}{(B\times D)}</math>. এটি একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল দেয় <math>\frac{A}{B}</math> উচ্চ এবং <math>\frac{C}{D}</math> প্রশস্ত, এবং একটি অ্যারের জিনিসের সংখ্যার সমান যখন মূলদ সংখ্যাগুলি পূর্ণ সংখ্যা হয়।<ref name=":0"/><ref name=":2">{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=multiplication|ইউআরএল=https://planetmath.org/Multiplication|সংগ্রহের-তারিখ=2021-12-29|ওয়েবসাইট=planetmath.org}}</ref>

;[[বাস্তব সংখ্যা|Real number]]
:বাস্তব সংখ্যা এবং তাদের পণ্যগুলি মূলদ সংখ্যার ক্রম অনুসারে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে ।

;[[জটিল সংখ্যা]]
:জটিল সংখ্যা বিবেচনা করে <math>z_1</math> এবং <math>z_2</math> as যথাক্রমে বাস্তব সংখ্যার জোড়া <math>(a_1, b_1)</math> এবং <math>(a_2, b_2)</math>, গুনফলটি <math>z_1\times z_2</math> হয় <math>(a_1\times a_2 - b_1\times b_2, a_1\times b_2 + a_2\times b_1)</math>. এটি বাস্তবের মতোই <math>a_1\times a_2</math> যখন কাল্পনিক অংশ <math>b_1</math> এবং <math>b_2</math> শূন্য হয়{{Citation needed|date=December 2021}}

:সমানভাবে, বোঝানো <math>\sqrt{-1}</math> হিসাবে <math>i</math>, আমাদের আছে<math>z_1 \times z_2 = (a_1+b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1 \times a_2)+(a_1\times b_2i)+(b_1\times a_2i)+(b_1\times b_2i^2)=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i.</math><ref name=":0"/><ref name=":2"/>
:বিকল্পভাবে, ত্রিকোণমিতিক আকারে, যদি<math>z_1 = r_1(\cos\phi_1+i\sin\phi_1), z_2 = r_2(\cos\phi_2+i\sin\phi_2)</math>হয়, তারপর<math display="inline">z_1z_2 = r_1r_2(\cos(\phi_1 + \phi_2) + i\sin(\phi_1 + \phi_2)).</math><ref name=":0"/>

;আরও সাধারণীকরণ
:গোষ্ঠী তত্ত্বে গুণন দেখুন, উপরে, এবং গুণিতক গোষ্ঠী, যা উদাহরণ স্বরূপ ম্যাট্রিক্স গুণ অন্তর্ভুক্ত করে।একটি খুব সাধারণ, এবং বিমূর্ত, গুণের ধারণা হল একটি রিং -এ "গুণগতভাবে নির্দেশিত" (দ্বিতীয়) বাইনারি অপারেশন।একটি রিং এর উদাহরণ যা উপরের সংখ্যা সিস্টেমগুলির মধ্যে কোনটি নয় একটি বহুপদী রিং (আপনি বহুপদী যোগ এবং গুণ করতে পারেন, কিন্তু বহুপদী কোন স্বাভাবিক অর্থে সংখ্যা নয়।)

;ভাগ
:প্রায়ই বিভাজন,<math>\frac{x}{y}</math>, একটি বিপরীত দ্বারা গুণের সমান,, <math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math>. কিছু ধরনের "সংখ্যার" গুণের ক্ষেত্রে বিপরীত ছাড়াই সংশ্লিষ্ট বিভাগ থাকতে পারে; একটি অবিচ্ছেদ্য ডোমেনে ''x'' এর কোনো বিপরীত নাও থাকতে পারে "<math>\frac{1}{x}</math>"কিন্তু<math>\frac{x}{y}</math> সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।একটি বিভাগ রিং মধ্যে বিপরীত আছে, কিন্তু <math>\frac{x}{y}</math> থেকে অ-পরিবর্তনমূলক রিংগুলিতে অস্পষ্ট হতে পারে<math>x\left(\frac{1}{y}\right)</math> হিসাবে একই হতে হবে না <math>\left(\frac{1}{y}\right)x</math>{{Citation needed|date=December 2021}}

== সূচকীকরণ ==
{{মূল নিবন্ধ|সূচকীকরণ}}
'''সূচকীকরণ''' হচ্ছে একটি [[গণিত|গাণিতিক]] [[প্রক্রিয়া (গণিত)|প্রক্রিয়া]], যা লেখা হয় ''' ''<math>a^n</math>'' ''' আকারে যেখানে, ''<math>a</math>''-কে বলা হয় [[ভিত্তি (এক্সপোনেনসিয়েশন)|ভিত্তি]] এবং ''<math>n</math>''-কে বলা হয় সূচক ''(exponent)'' বা শক্তি ''(power)''। যখন <math>n</math> একটি ধনাত্মক [[পূর্ণ সংখ্যা]], সূচকীকরণ প্রক্রিয়া তখন ভিত্তির পুনরাবৃত্ত [[গুণফল]] বোঝায় অর্থাৎ <math>a^n</math> হচ্ছে ভিত্তি <math>a</math> কে <math>n</math> সংখ্যক বার গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যায় তার সমান।

<math>{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \dots \times a} _{n\,{\textrm {times}}}.} {\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times \dots \times a} _{n\,{\textrm {times}}}.}</math>

সূচকটি সাধারণত ভিত্তির ডান পাশে উপরে শীর্ষলিপি ''(superscript)'' হিসেবে দেখানো হয়। সেক্ষেত্রে, <math>a^n</math>-কে ‘<math>n</math>-তম সূচক/শক্তিতে উন্নীত <math>a</math>’, ‘<math>n</math>-এর সূচকে/শক্তিতে উন্নীত <math>a</math>’, ‘<math>a</math> এর <math>n</math>-তম সূচক/শক্তি’, অথবা সবচেয়ে সংক্ষেপে ‘<math>a</math> টু দ্য <math>n</math>’ হিসেবে পড়া হয়।

== আরও দেখুন ==

* [[যোগ]]
* [[বিয়োগ]]
* [[ভাগ]]
* [[গৌণিক]]
* [[মাত্রা সমীকরণ]]

== তথ্যসূত্র ==
{{সূত্র তালিকা}}

== বহিঃসংযোগ ==
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/multiplication.shtml Multiplication] and [http://www.cut-the-knot.org/blue/SysTable.shtml Arithmetic Operations In Various Number Systems] at [[cut-the-knot]]
* [https://web.archive.org/web/20120719043305/http://webhome.idirect.com/~totton/suanpan/mod_mult/ Modern Chinese Multiplication Techniques on an Abacus]

{{গণিত-অসম্পূর্ণ}}
{{Elementary arithmetic}}
{{গণিতের ক্ষেত্রসমূহ}}

[[বিষয়শ্রেণী:Articles with unsourced statements from December 2021]]
[[বিষয়শ্রেণী:প্রাথমিক পাটিগণিত]]
[[বিষয়শ্রেণী:বাইনারি ক্রিয়াপ্রণালী]]
[[বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক অঙ্কপাতন]]
[[বিষয়শ্রেণী:গুণ| ]]
[[বিষয়শ্রেণী:গণিত]]
[[বিষয়শ্রেণী:পাটিগণিত]]

<!-- interwiki -->