ডট গুণন-এর উৎস দেখুন

[[গণিত|গণিতে]], '''ডট গুণন''' বা '''স্কেলার গুণন''' ({{lang-en|Dot product}})<ref group="note">The term ''scalar product'' means literally "product with a [[Scalar (mathematics)|scalar]] as a result". It is also used sometimes for other [[symmetric bilinear form]]s, for example in a [[pseudo-Euclidean space]].</ref> হল একটি বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপ যা সংখ্যার দুটি সমান দৈর্ঘ্যের ক্রম (সাধারণত সমন্বয় ভেক্টর ) নেয় এবং একটি একক সংখ্যা প্রদান করে। [[ইউক্লিডীয় জ্যামিতি|ইউক্লিডীয় জ্যামিতিতে]], দুটি [[সদিক রাশি|ভেক্টরের]] [[কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা|কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের]] ডট গুণন ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। এটিকে প্রায়শই ইউক্লিডীয় স্থানের '''অভ্যন্তরীন গুণন'''(বা খুব কমই '''অভিক্ষেপ গুণন''') বলা হয়, যদিও এটি একমাত্র অভ্যন্তরীণ গুণন নয় যা ইউক্লিডীয় স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে (আরো জন্য অভ্যন্তরীণ গুণন স্থান দেখুন)।

বীজগণিতভাবে,ডট গুণফল হল সংখ্যার দুটি অনুক্রমের সংশ্লিষ্ট এন্ট্রির গুণফলের সমষ্টি। এবং জ্যামিতিকভাবে, এটি দুটি ভেক্টরের [[সদিক রাশি|ইউক্লিডীয় মাত্রা]] এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণের [[সাইন ও কোসাইন|কোসাইন]] এর গুণফল। কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবহার করার সময় এই সংজ্ঞাগুলি সমতুল্য বা সমান হয়। আধুনিক [[জ্যামিতি|জ্যামিতিতে]], [[ইউক্লিডীয় স্থান|ইউক্লিডীয় স্থানগুলিকে]] প্রায়শই [[সদিক রাশির বীজগণিত|ভেক্টর স্পেস]] ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ক্ষেত্রে, ডট পণ্যটি দৈর্ঘ্য (একটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য নিজেই ভেক্টরের বিন্দু গুণফলের [[বর্গমূল]] ) এবং কোণগুলি নির্ধারণের জন্য ব্যবহৃত হয়।

"ডট গুণন " নামটি কেন্দ্রীভূত বিন্দু থেকে উদ্ভূত হয়েছে "&nbsp;'''·'''&nbsp;" যেটি প্রায়শই এই ক্রিয়াকলাপটিকে মনোনীত করতে ব্যবহৃত হয়;<ref name=":1">{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Dot Product|ইউআরএল=https://www.mathsisfun.com/algebra/vectors-dot-product.html|সংগ্রহের-তারিখ=2020-09-06|ওয়েবসাইট=www.mathsisfun.com}}</ref> বিকল্প নাম "স্কেলার গুণন " যেটি নির্দেশ যে ফলাফলটি একটি ভেক্টরের পরিবর্তে একটি [[অদিক রাশি|স্কেলার]] (যেমন ত্রিমাত্রিক স্থানের ভেক্টর গুণফলের  সাথে)।

==সংজ্ঞা==
===স্থানাঙ্ক জ্যামিতির সাহায্যে===
দুটি ভেক্টর (স্থানাঙ্ক সহ) <math>\mathbf{a} = [a_1, a_2, \cdots, a_n]</math> ও {{nowrap|1=<math>\mathbf{b} = [b_1, b_2, \cdots, b_n]</math>,}} হলে,

:<math display="block">\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n</math>

;উদাহরণ 
* ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্কতলে দুটি বিন্দু {{nowrap|<math> [1,3,-5] </math>}} ও {{nowrap|<math> [4,-2,-1] </math>}} হলে তাদের অবস্থান ভেক্টরের ডট গুণফল হবে:

<math display="block">
\begin{align}
\ [1, 3, -5] \cdot [4, -2, -1] &= (1 \times 4) + (3\times-2) + (-5\times-1) \\
&= 4 - 6 + 5 \\
&= 3
\end{align}
</math>
----
====কলাম ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে====
<math display="block">\mathbf a \cdot \mathbf b = \mathbf a^{\mathsf T} \mathbf b,</math>
যেখানে <math>a{^\mathsf T}</math> হল <math>\mathbf a</math> এর ট্রান্সপোজ রূপ।

;উদাহরণ (পূর্বের তথ্য একই রেখে)
<math display="block">
\begin{bmatrix}
  1 & 3 & -5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  4 \\ -2 \\ -1
\end{bmatrix} = 3 \, 
</math>

===ইউক্লিডীয় জ্যামিতির সাহায্যে===
ভেক্টর <math>\mathbf{a}</math> এর মান চিহ্নিত হয় <math> \left\| \mathbf{a} \right\| </math> দ্বারা। তাই দুইটি ভেক্টর <math>\mathbf{a}</math> ও <math>\mathbf{b}</math> হলে তাদের ডট গুণফল হবে:<ref name="Spiegel2009">{{বই উদ্ধৃতি |লেখক১=M.R. Spiegel |লেখক২=S. Lipschutz |লেখক৩=D. Spellman |শিরোনাম= Vector Analysis (Schaum's Outlines)|সংস্করণ= 2nd |বছর= 2009|প্রকাশক= McGraw Hill|আইএসবিএন=978-0-07-161545-7}}</ref><ref>{{বই উদ্ধৃতি|লেখক১=A I Borisenko|লেখক২=I E Taparov|শিরোনাম=Vector and tensor analysis with applications | প্রকাশক=Dover | অনুবাদক=Richard Silverman | বছর=1968 | পাতা=14}}</ref>

<math display="block">\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}= \left\|\mathbf{a}\right\| \left\|\mathbf{b}\right\|\cos\theta </math>

যেখানে, <math>\theta</math> হল <math>\mathbf{a}</math> ও <math>\mathbf{b}</math> এর মধ্যবর্তী [[কোণ]]।

==ধর্ম==
ডট গুণন তবেই সম্ভব যখন <math>\mathbf{a}</math>, <math>\mathbf{b}</math>, ও <math>\mathbf{c}</math> প্রকৃত [[সদিক রাশি|ভেক্টর]] এবং <math>r</math>, <math>c_1</math> ও <math>c_2</math> হল [[অদিক রাশি|স্কেলার]]।

; [[বিনিময় বৈশিষ্ট্য]]
: <math display="block"> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} ,</math> সংজ্ঞা থেকে (<math>\theta</math> হল  <math>\mathbf{a}</math> ও <math>\mathbf{b}</math> এর মধ্যবর্তী কোণ):<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Nykamp|প্রথমাংশ=Duane|শিরোনাম=The dot product|ইউআরএল=https://mathinsight.org/dot_product|সংগ্রহের-তারিখ=September 6, 2020|ওয়েবসাইট=Math Insight}}</ref> <math display="block"> \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \left\| \mathbf{a} \right\| \left\| \mathbf{b} \right\| \cos \theta = \left\| \mathbf{b} \right\| \left\| \mathbf{a} \right\| \cos \theta = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a} </math>
; [[বিচ্ছেদ বৈশিষ্ট্য]] (ভেক্টর যোগের জন্য) : <math display="block"> \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} </math>
; [[দ্বিরৈখিকতা]] : <math display="block"> \mathbf{a} \cdot ( r \mathbf{b} + \mathbf{c} ) = r ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) + ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} ) </math>
; [[স্কেলার গুণ]]: <math> ( c_1 \mathbf{a} ) \cdot ( c_2 \mathbf{b} ) = c_1 c_2 ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) </math>
; [[সংযোগ নিয়ম]] মেনে চলে না: কারণ স্কেলার রাশি <math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}</math> ও একটি ভেক্টর <math>\mathbf{c}</math> এর মধ্যে ডট গুণন সম্ভব নয়। <math>(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\cdot\mathbf{c}</math> বা <math>\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}\cdot\mathbf{c})</math> উভয়ই অর্থহীন।<ref>Weisstein, Eric W. "Dot Product." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html</ref>
; [[লম্বতা]]
: দুটি অশূন্য ভেক্টর <math>\mathbf{a}</math> ও <math>\mathbf{b}</math> পরস্পর লম্ব হলে <math>\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0</math>

===কোসাইন নিয়মের সাথে সম্পর্ক===
{{মূল নিবন্ধ|কোসাইন নিয়ম}}[[File:Dot product cosine rule.svg|100px|thumb|ত্রিভুজটির একটি বাহু '''a''' ও অপর বাহু '''b''' ভেক্টর দ্বারা চিহ্নিত, যাদের মধ্যবর্তী কোণ ''θ'']]

দুটি ভেক্টরের <math>{\color{red}\mathbf{a}}</math> ও <math>{\color{blue}\mathbf{b}}</math> যাদের মধ্যবর্তী কোণ <math>\theta</math> (ছবিতে দেখুন), তৃতীয় বাহুর সাথে তারা একটি ত্রিভুজ তৈরী করেছে, যা হল <math>{\color{orange}\mathbf{c}} = {\color{red}\mathbf{a}} - {\color{blue}\mathbf{b}}</math>. ধরি <math>a</math>, <math>b</math> ও <math>c</math> হল যথাক্রমে <math>{\color{red}\mathbf{a}}</math>, <math>{\color{blue}\mathbf{b}}</math>, এবং <math>{\color{orange}\mathbf{c}}</math> এর দৈর্ঘ্য।

<math display="block">
\begin{align}
\mathbf{\color{orange}c} \cdot \mathbf{\color{orange}c} & = ( \mathbf{\color{red}a} - \mathbf{\color{blue}b}) \cdot ( \mathbf{\color{red}a} - \mathbf{\color{blue}b} ) \\
 & = \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{red}a} - \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} - \mathbf{\color{blue}b} \cdot \mathbf{\color{red}a} + \mathbf{\color{blue}b} \cdot \mathbf{\color{blue}b} \\
 & = {\color{red}a}^2 - \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} - \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \\
 & = {\color{red}a}^2 - 2 \mathbf{\color{red}a} \cdot \mathbf{\color{blue}b} + {\color{blue}b}^2 \\
{\color{orange}c}^2 & = {\color{red}a}^2 + {\color{blue}b}^2 - 2 {\color{red}a} {\color{blue}b} \cos \mathbf{\color{purple}\theta} \\
\end{align}
</math>

এটিই [[কোসাইন নিয়ম]]।
{{clear}}

==ত্রৈধ গুণন==
{{মূল নিবন্ধ|ত্রৈধ গুণন}}
;স্কেলার ত্রৈধ গুণন 
:<math> \mathbf{a} \cdot ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} ) = \mathbf{b} \cdot ( \mathbf{c} \times \mathbf{a} )=\mathbf{c} \cdot ( \mathbf{a} \times \mathbf{b} )</math>

;ভেক্টর ত্রৈধ গুণন 
:<math> \mathbf{a} \times ( \mathbf{b} \times \mathbf{c} ) = ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} )\, \mathbf{b} - ( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} )\, \mathbf{c} .</math>

==আরও দেখুন==
*[[ক্রস গুণন]]
==নোট==
{{সূত্র তালিকা|group=note}}
{{Notelist}}

==তথ্যসূত্র==
{{সূত্র তালিকা}}

==বহিঃসংযোগ==
{{কমন্স বিষয়শ্রেণী|Scalar product}}
* {{springer|title=Inner product|id=p/i051240}}
* [http://www.mathreference.com/la,dot.html Explanation of dot product including with complex vectors]
* [http://demonstrations.wolfram.com/DotProduct/ "Dot Product"] by Bruce Torrence, [[Wolfram Demonstrations Project]], 2007.

{{রৈখিক বীজগণিত}}

[[বিষয়শ্রেণী:ভেক্টর (গণিত ও পদার্থবিজ্ঞান)]]