তুরীয় সংখ্যা-এর উৎস দেখুন

{{সংখ্যাতত্ত্ব}}

[[গণিত]]-এ, '''তুরীয় সংখ্যা'''(ইংরেজি Transcendental number) এমন একটি সংখ্যা যা [[বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যা|বীজগাণিতিক সংখ্যা]] নয়—অর্থাৎ,  [[মূলদ সংখ্যা|মূলদ]] [[সহগযুক্ত]] সসীম ঘাতের অশূন্য [[বহুপদ|বহুপদীর]] [[একটি ফাংশনের শূন্য|মূল]] নয়। সবচেয়ে পরিচিত তুরীয় সংখ্যা হল [[Pi|{{pi}}]] এবং {{mvar|[[e (গাণিতিক ধ্রুবক)|e]]}}।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|ইউআরএল=http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/trans.html|শিরোনাম=The 15 Most Famous Transcendental Numbers - Cliff Pickover|ওয়েবসাইট=sprott.physics.wisc.edu|সংগ্রহের-তারিখ=2020-01-23}}</ref><ref>{{বই উদ্ধৃতি |শেষাংশ১=Shidlovskii |প্রথমাংশ১=Andrei B. |শিরোনাম=Transcendental numbers |তারিখ=June 2011 |প্রকাশক=Walter de Gruyter |আইএসবিএন=9783110889055 |পাতা=1}}</ref>

যদিও তুরীয় সংখ্যার মাত্র কয়েকটি শ্রেণী সম্পর্কে জানা যায়(কারণ একটা সংখ্যা যে তুরীয় সংখ্যা তা প্রমাণ করা অত্যন্ত কঠিন) তবুও  তুরীয় সংখ্যা দুর্লভ না। প্রকৃতপক্ষে, [[প্রায় সব]] বাস্তব এবং জটিল সংখ্যাগুলি তুরীয় সংখ্যা, যেহেতু বীজগণিতিক সংখ্যাগুলি একটি [[গণনাযোগ্য সেট]] গঠন করে, যখন  [[বাস্তব সংখ্যা|বাস্তব সংখ্যার]] [[সেট (গণিত)|সেট]] এবং [[জটিল সংখ্যা|জটিল সংখ্যার]] সেট উভয়ই [[অগণনাযোগ্য সেট]], এবং যে কোনও গণনাযোগ্য সেটের চেয়ে বড়। সমস্ত 'বাস্তব তুরীয় সংখ্যা' ('তুরীয় বাস্তব সংখ্যা' বা 'তুরীয় অমূলদ সংখ্যা' নামেও পরিচিত) হল [[অমূলদ সংখ্যা]], যেহেতু সমস্ত মূলদ সংখ্যা বীজগণিতিক সংখ্যা। <ref name=numbers>{{বই উদ্ধৃতি |শেষাংশ১=Bunday |প্রথমাংশ১=B. D. |শেষাংশ২=Mulholland |প্রথমাংশ২=H. |শিরোনাম=Pure Mathematics for Advanced Level |তারিখ=20 May 2014 |প্রকাশক=Butterworth-Heinemann |আইএসবিএন=978-1-4831-0613-7 |ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=02_iBQAAQBAJ |সংগ্রহের-তারিখ=21 March 2021 |ভাষা=en}}</ref><ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ১=Baker |প্রথমাংশ১=A. |শিরোনাম=On Mahler's classification of transcendental numbers |সাময়িকী=Acta Mathematica |তারিখ=1964 |খণ্ড=111 |পাতাসমূহ=97–120 |ডিওআই=10.1007/bf02391010 |s2cid=122023355 |doi-access=free }}</ref><ref>{{cite arXiv |last1=Heuer |first1=Nicolaus |last2=Loeh |first2=Clara |title=Transcendental simplicial volumes |date=1 November 2019 |class=math.GT |eprint=1911.06386 }}</ref><ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Real number {{!}} mathematics|ইউআরএল=https://www.britannica.com/science/real-number|সংগ্রহের-তারিখ=2020-08-11|ওয়েবসাইট=Encyclopedia Britannica|ভাষা=en}}</ref> এর বিপরীতটা সত্য নয়: সব অমূলদ সংখ্যা তুরীয় সংখ্যা নয়। তাই, বাস্তব সংখ্যার সেটকে মূলদ সংখ্যা, বীজগাণিতিক অ-মূলদ সংখ্যা এবং তুরীয় বাস্তব সংখ্যার সেট অনাধিক্রান্তভাবে গঠন করে।<ref name=numbers/> উদাহরণস্বরূপ, [[2 এর বর্গমূল]] একটি অমূলদ সংখ্যা, কিন্তু এটি তুরীয় সংখ্যা নয় কারণ এটি একটি বহুপদী সমীকরণ {{math|''x''<sup>2</sup> − 2 {{=}} 0}} এর একটি মূল। [[গোল্ডেন রেশিও]] (<math>\varphi</math> বা <math>\phi</math> লেখা হয়) হল আরেকটি অমূলদ সংখ্যা যা তুরীয় সংখ্যা নয়, কারণ এটি বহুপদী সমীকরণ {{math|''x''<sup>2</sup> −''x'' − 1 {{=}} 0}} এর মুল। একটি সংখ্যার তুরীয় সংখ্যা হওয়ার ধর্মকে '''ট্রান্সসেন্ডেন্স'' বলে।

==ইতিহাস==
"ট্রান্সসেনডেন্টাল" নামটি ল্যাটিন ''transcendĕre'' শব্দটি থেকে এসেছে 'উপরে বা তার বাইরে আরোহণ করা বা অতিক্রম করা',<ref>''[[Oxford English Dictionary]]'', [http://www.oed.com/view/Entry/204606 ''s.v.'']</ref> এবং এই গাণিতিক ধারণার প্রথম ব্যবহার করা হয়েছিল [[গটফ্রাইড লিবনিজ|লিবনিজের]] 1682 একটি গবেষণা পত্রে যেখানে তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে {{math|sin ''x''}}, {{mvar|x}} এর একটি [[বীজগণিতিক ফাংশন]] নয়। <ref>{{harvnb|Leibniz|Gerhardt|Pertz|1858|pp=97–98}}.</ref><ref>{{harvnb|Bourbaki|1994|p=74}}.</ref> [[লিওনহার্ড অয়লার|অয়লার]], 18 শতকে, সম্ভবত প্রথম ব্যক্তি যিনি আধুনিক অর্থে তুরীয় ''সংখ্যা''কে সংজ্ঞায়িত করেছিলেন।<ref>{{harvnb|Erdős|Dudley|1983}}.</ref>

[[জোহান হেনরিখ ল্যামবার্ট]] অনুমান করেছিলেন যে {{mvar|[[E (mathematical constant)|e]]}} এবং [[Pi|{{pi}}]] উভয়ই তুরীয় সংখ্যা, তিনি 1768 সালে গবেষণা পত্রে প্রমাণ করেন {pi}} হল [[অমূলদ সংখ্যা]], এবং {{pi}}-এর অতিক্রমের প্রমাণের একটি অস্থায়ী স্কেচ প্রস্তাব করেছে।<ref>{{harvnb|Lambert|1768}}।</ref>

[[জোসেফ লিউভিল]] 1844 সালে সর্বপ্রথম তুরীয় সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণ করেন,<ref name=Kempner>{{harvnb|Kempner|1916}}।</ref> এবং 1851 সালে প্রথম দশমিক উদাহরণ দেন যেমন [[লিউভিল সংখ্যা|লিউভিল ধ্রুবক]] <!-- "ডেসিমাল লিউভিল ধ্রুবক" 10^-n ব্যবহার করে! | "বাইনারি লিউভিল ধ্রুবক" 2^-n ব্যবহার করে! //-->

:<math>
\begin{align}
L_b &= \sum_{n=1}^\infty 10^{-n!} \\ &= 10^{-1} + 10^{-2} + 10^{-6} + 10^{-24} + 10^{-120} + 10^{-720} + 10^{-5040} + 10^{-40320} + \ldots \\
&= 0.\textbf{1}\textbf{1}000\textbf{1}00000000000000000\textbf{1}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ldots \\
\end{align}</math>

যেটিতে দশমিক বিন্দুর পরে {{mvar|n}}তম সংখ্যাটি {{math|1}} যদি {{mvar|n}} সমান {{math|''k''!}} ({{mvar|k}} [[factorial]]) হয় কিছু {{mvar|k}} এবং {{math|0}} ছাড়া। <ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি| ইউআরএল = http://mathworld.wolfram.com/LiouvillesConstant.html| শিরোনাম = Weisstein, Eric W. "Liouville's Constant", MathWorld}}</ref> অন্য কথায়, এই সংখ্যার {{math|''n''}}তম সংখ্যাটি 1 হলে তবেই {{mvar|n} } হল একটি সংখ্যা {{math|1=1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24}}, ইত্যাদি। লিউভিল দেখিয়েছেন যে এই সংখ্যাটি তুরীয় সংখ্যার একটি শ্রেণীর অন্তর্গত যা যেকোনো অমূলদ বীজগাণিতিক সংখ্যার চেয়ে [[মূলদ সংখ্যা]] দ্বারা আনুমানিক কাছাকাছি হতে পারে এবং এই শ্রেণীর সংখ্যাকে [[লিউভিল' বলা হয় সংখ্যা]]s, তার সম্মানে নামকরণ করা হয়েছে। লিউভিল দেখিয়েছেন যে সমস্ত লিউভিল সংখ্যা তুরীয়।<ref>{{harvnb|Liouville|1851}}।</ref>

1873 সালে [[চার্লস হারমাইট]] দ্বারা  {{mvar|e}}	তুরীয় সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণের উদ্দেশ্যে বিশেষভাবে নির্মিত না হয়েই প্রথম সংখ্যাটি ট্রান্সসেন্ডেন্টাল প্রমাণিত হয়েছিল।

1874 সালে, [[জর্জ ক্যান্টর]] প্রমাণ করেন যে বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যা গণনাযোগ্য এবং বাস্তব সংখ্যাগুলি অগণিত। তিনি তুরীয় সংখ্যা নির্মাণের জন্য একটি [[ক্যান্টরের প্রথম সেট তত্ত্ব নিবন্ধ|নতুন পদ্ধতি]] দিয়েছেন।   যদিও এটি ইতিমধ্যেই বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যার গণনাযোগ্যতার প্রমাণ দ্বারা উহ্য ছিল, ক্যান্টর একটি নির্মাণও প্রকাশ করেছেন যা প্রমাণ করে যে বাস্তব সংখ্যার মতো বহু  	তুরীয় সংখ্যা রয়েছে।<ref>{{harvnb|Cantor|1874}}.</ref><ref>{{harvnb|Gray|1994}}.</ref>। ক্যান্টরের নির্মাণ  	তুরীয় সংখ্যার সেট এবং বাস্তব সংখ্যার সেটের মধ্যে একটি [[এক থেকে এক চিঠিপত্র]] তৈরি করে। এই নিবন্ধে, ক্যান্টর শুধুমাত্র অমূলদ সংখ্যার সেটে তার নির্মাণ প্রয়োগ করেছেন।

1882 সালে, [[ফার্দিনান্দ ভন লিন্ডেমান]] {{mvar|π}} এর তুরীয় হওয়ার প্রথম সম্পূর্ণ প্রমাণ প্রকাশ করেন। তিনি প্রথম প্রমাণ করেন যে {{math|''e''<sup>''a''</sup>}} হল তুরীয়, যদি {{mvar|a}} একটি অ-শূন্য বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যা হয়। তারপর, যেহেতু {{math|''e''<sup>''i''{{pi}}</sup> {{=}} −1}} বীজগাণিতিক সংখ্যা ([[অয়লারের পরিচয়]] দেখুন), {{math|''i''{{pi}}}} অবশ্যই তুরীয় হতে হবে। কিন্তু যেহেতু {{math|''i''}} বীজগাণিতিক সংখ্যা, তাই {{mvar|π}} হতে হবে তুরীয়। এই পদ্ধতিটি [[কার্ল ওয়েইয়েরস্ট্রাস]] দ্বারা সাধারণীকরণ করা হয়েছিল যা বর্তমানে [[লিন্ডেম্যান-ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য]] নামে পরিচিত। {{mvar|π}}-এর সীমা অতিক্রম করার ফলে [[কম্পাস এবং স্ট্রেইটেডজ]] জড়িত বেশ কিছু প্রাচীন জ্যামিতিক নির্মাণের অসম্ভবতার প্রমাণ দেওয়া হয়েছিল, যার মধ্যে সবচেয়ে বিখ্যাতটি [[বৃত্তের বর্গকরণ]] রয়েছে।

1900 সালে, [[ডেভিড হিলবার্ট]] তুরীয় সংখ্যা সম্পর্কে একটি প্রভাবশালী প্রশ্ন উত্থাপন করেছিলেন, [[হিলবার্টের সপ্তম সমস্যা]]: যদি {{mvar|a}} একটি বীজগাণিতিক সংখ্যা হয় যা শূন্য বা এক নয়, এবং {{mvar|b }} একটি অযৌক্তিক [[বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যা]], {{math|''a''<sup>''b''</sup>}} কি অগত্যা তুরীয়? 1934 সালে [[গেলফন্ড-শ্নেইডার উপপাদ্য]] দ্বারা ইতিবাচক উত্তর দেওয়া হয়েছিল। এই কাজটি [[অ্যালান বেকার (গণিতবিদ)|অ্যালান বেকার]] দ্বারা 1960-এর দশকে যেকোন সংখ্যক লগারিদমের (বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যার) রৈখিক আকারের জন্য নিম্ন সীমার উপর তার কাজ দ্বারা প্রসারিত হয়েছিল।<ref>J J O'Connor and E F Robertson: [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Baker_Alan.html Alan Baker]. The MacTutor History of Mathematics archive 1998.</ref>

==বৈশিষ্ট্য==
একটি তুরীয় সংখ্যা হল একটি (সম্ভবত জটিল) সংখ্যা যা কোনো পূর্ণসংখ্যা বহুপদীর মূল নয়। প্রতিটি বাস্তব  	তুরীয় সংখ্যা অবশ্যই [[অমূলদ সংখ্যা|অমূলদিত]] হতে হবে, যেহেতু একটি [[মূলদ সংখ্যা]] হল [[একটি বহুপদীর ডিগ্রি|ডিগ্রী]] একটি পূর্ণসংখ্যা বহুপদীর মূল৷<ref>{{harvnb |হার্ডি|2005}}।</ref> তুরীয় সংখ্যার সেট হল [[uncountable|uncountably infinite]]। যেহেতু মূলদ সহগ সহ বহুপদীগুলি [[গণনাযোগ্য]], এবং যেহেতু এই জাতীয় প্রতিটি বহুপদীর একটি সসীম সংখ্যা [[একটি ফাংশনের শূন্য|শূন্য]], [[বীজগণিতীয় সংখ্যা]]গুলিকেও গণনাযোগ্য হতে হবে। যাইহোক, [[ক্যান্টরের তির্যক যুক্তি]] প্রমাণ করে যে বাস্তব সংখ্যা (এবং তাই [[জটিল সংখ্যা]]) অগণিত। যেহেতু বাস্তব সংখ্যা হল বীজগাণিতিক সংখ্যা এবং তুরীয় সংখ্যার মিলন, তাই উভয়েরই [[উপসেট]] গণনাযোগ্য হওয়া অসম্ভব। এটি তুরীয় সংখ্যাকে অগণিত করে তোলে।

কোন [[মূলদ সংখ্যা]] তুরীয় সংখ্যা নয় এবং সমস্ত বাস্তব ট্রান্সেন্ডেন্টাল সংখ্যাই অমূলদ। [[অযৌক্তিক সংখ্যা]]গুলি সমস্ত বাস্তব  	তুরীয় সংখ্যা এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা সংখ্যাগুলির একটি উপসেট ধারণ করে, যার মধ্যে [[চতুর্মুখী অমূলদ]]গুলি এবং বীজগণিতের অযৌক্তিকগুলির অন্যান্য রূপ রয়েছে।

ট্রান্সসেন্ডেন্টাল আর্গুমেন্টে যেকোন অ-ধ্রুবক একক-ভেরিয়েবল [[বীজগাণিতিক সংখ্যা ফাংশন]] প্রয়োগ করলে একটি ট্রান্সসেন্ডেন্টাল মান পাওয়া যায়। উদাহরণ স্বরূপ, {{pi}} তুরীয় সংখ্যা তা জানা থেকে অবিলম্বে অনুমান করা যায় যে সংখ্যা যেমন {{math|5''π'', {{sfrac|''π''-3|{{sqrt|2}}}}, ({{sqrt|''π''}}-{{sqrt|3}}){{sup|8}}}}, এবং {{math|{{sqrt|''π''{{sup|5}}+7|4}}}}ও তুরীয় সংখ্যা।

যাইহোক, বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের একটি বীজগণিতিক ফাংশন একটি বীজগণিতিক সংখ্যা প্রদান করতে পারে যখন এই সংখ্যাগুলি [[বীজগাণিতিক সংখ্যাভাবে স্বাধীন]] না হলে  	তুরীয় সংখ্যাগুলিতে প্রয়োগ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, {{pi}} এবং {{math|(1 − ''π'')}} হল বট h তুরীয়, কিন্তু {{math|''π'' + (1 −''π'') {{=}} 1}} স্পষ্টতই নয়। এটি অজানা যে {{math|''e'' + ''π''}}, উদাহরণস্বরূপ, ট্রান্সেন্ডেন্টাল কিনা, যদিও অন্তত একটি {{math|''e'' + ''π''}} এবং {{mvar|eπ}} অবশ্যই তুরীয় হতে হবে। আরও সাধারণভাবে, যেকোনো দুটি তুরীয় সংখ্যা {{mvar|a}} এবং {{mvar|b}}, অন্তত একটি {{math|''a'' + ''b''}} এবং {{mvar| ab}} তুরীয় হতে হবে। এটি দেখতে, বহুপদ বিবেচনা করুন {{math|(''x'' −''a'')(''x'' − ''b'') {{=}} ''x''<sup> 2</sup> − (''a'' + ''b'')''x'' + ''ab''}}। যদি {{math|(''a'' + ''b'')}} এবং {{mvar|ab}} উভয়ই বীজগাণিতিক সংখ্যা হয়, তাহলে এটি বীজগাণিতিক সংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদ হবে। যেহেতু বীজগণিতীয় সংখ্যাগুলি একটি [[বীজগণিতীয়ভাবে বন্ধ ক্ষেত্র]] গঠন করে, এর অর্থ হল বহুপদীর মূল, {{mvar|a}} এবং {{mvar|b}}, বীজগাণিতিক সংখ্যা হতে হবে। কিন্তু এটি একটি দ্বন্দ্ব, এবং এইভাবে এটি অবশ্যই হওয়া উচিত যে সহগগুলির মধ্যে অন্তত একটি তুরীয়।

[[গণনাযোগ্য সংখ্যা|অ-গণনাযোগ্য সংখ্যা]] হল তুরীয় সংখ্যার একটি [[কঠোর উপসেট]]।

সমস্ত [[লিউভিল নম্বর]]গুলি তুরীয়, কিন্তু উল্টো নয়৷ যেকোন লিউভিল সংখ্যার অবশ্যই তার [[চলমান ভগ্নাংশ]] প্রসারণে সীমাহীন আংশিক ভাগফল থাকতে হবে। একটি [[ক্যান্টরের তির্যক যুক্তি|গণনা যুক্তি]] ব্যবহার করে কেউ দেখাতে পারে যে এমন  	তুরীয় সংখ্যা রয়েছে যা আংশিক ভাগফলকে আবদ্ধ করেছে এবং তাই লিউভিল সংখ্যা নয়।

{{mvar|e}}-এর সুস্পষ্ট ক্রমাগত ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে, কেউ দেখাতে পারে যে {{mvar|e}} একটি Liouville সংখ্যা নয় (যদিও এটির ক্রমাগত ভগ্নাংশের প্রসারণের আংশিক ভাগ সীমাহীন)। [[কার্ট মাহলার]] 1953 সালে দেখিয়েছিলেন যে {{pi}}ও একটি লিউভিল নম্বর নয়। এটি অনুমান করা হয় যে সমস্ত অসীম অবিরত ভগ্নাংশগুলি আবদ্ধ পদগুলির সাথে যেগুলি শেষ পর্যন্ত পর্যায়ক্রমিক নয় সেগুলি তুরীয় (অবশেষে পর্যায়ক্রমিক অবিরত ভগ্নাংশগুলি দ্বিঘাত অযৌক্তিকের সাথে মিলে যায়)৷<ref>{{harvnb|Adamczewski|Bugeaud|2005}}৷</ref>

==যেসব সংখ্যা তুরীয় সংখ্যা হিসাবে প্রমাণিত==
তুরীয় সংখ্যা হিসাবে প্রমাণিত সংখ্যা:

* {{math|[[e (mathematical constant)|e]]<sup>a</sup>}} যদি {{mvar|a}} হয় [[বীজগণিতিক সংখ্যা|বীজগাণিতিক সংখ্যা]] এবং অশূন্য ( [[লিন্ডেম্যান-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য]])।
*[[pi|{{pi}}]] ([[লিন্ডম্যান-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য]] দ্বারা)।
* {{math|e<sup>''π''</sup>}}, [[গেলফন্ডের ধ্রুবক]], পাশাপাশি {{math|''e''<sup>−'' π''/2</sup> {{=}} ''i<sup>i</sup>''}} ([[গেলফন্ড–শ্নেইডার উপপাদ্য]] দ্বারা)।
* {{math|''a<sup>b</sup>''}} যেখানে {{mvar|a}} বীজগণিতীয় কিন্তু 0 বা 1 নয়, এবং {{mvar|b}} হল অমূলদ বীজগাণিতিক সংখ্যা (এর দ্বারা গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য), বিশেষ করে:
::{{math|2{{sup|{{sqrt|2}}}}}}, [[Gelfond–Schneider ধ্রুবক]] (বা হিলবার্ট সংখ্যা)
*{{math|[[trigonometric function|sin]] ''a''}}, {{math|[[trigonometric function|cos]] ''a''}}, {{math|[[trigonometric function| tan]] ''a''}}, {{math|[[trigonometric function|csc]] ''a''}}, {{math|[[trigonometric function|সেকেন্ড]] ''a''}} , এবং {{math|[[trigonometric function|cot]] ''a''}}, এবং তাদের [[হাইপারবোলিক ফাংশন|হাইপারবোলিক কাউন্টারপার্টস]], যেকোনো অশূন্য বীজগাণিতিক সংখ্যার জন্য {{mvar|a}}, [এ প্রকাশ করা হয়। [radian]]s (লিন্ডেম্যান-ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য দ্বারা)।
*কোসাইন ফাংশনের [[স্থির-বিন্দুর পুনরাবৃত্তি#আকর্ষণকারী নির্দিষ্ট পয়েন্ট|স্থির বিন্দু]] (এটিকে [[ডটি নম্বর]] {{mvar|d}}ও বলা হয়) – সমীকরণের অনন্য বাস্তব সমাধান {{math|cos ''x'' {{=}} ''x''}}, যেখানে {{mvar|x}} রেডিয়ানে (লিন্ডেম্যান–ওয়েইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য দ্বারা)।<ref name="wolfram_dottie">{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ১=Weisstein|প্রথমাংশ১=Eric W.|শিরোনাম=Dottie Number|ইউআরএল=http://mathworld.wolfram.com/DottieNumber.html|ওয়েবসাইট=Wolfram MathWorld|প্রকাশক=Wolfram Research, Inc.|সংগ্রহের-তারিখ=23 July 2016}}</ref>
* {{math|[[natural logarithm|ln]] ''a''}} যদি {{mvar|a}} বীজগাণিতিক সংখ্যা হয় এবং লগারিদম ফাংশনের যেকোনো শাখার জন্য 0 বা 1 এর সমান না হয় (লিন্ডেম্যান- দ্বারা উইয়েরস্ট্রাস উপপাদ্য)।
* {{math|[[Logarithm|log]]<sub>''b''</sub> ''a''}} যদি {{mvar|a}} এবং {{mvar|b}} ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় একই পূর্ণসংখ্যার উভয় শক্তি নয় (গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য দ্বারা)।
* [[বেসেল ফাংশন]] {{math|''J''<sub>''ν''</sub>(''x'')}}, এর প্রথম ডেরিভেটিভ, এবং ভাগফল {{math| {{sfrac|''J'''<sub>''ν''</sub>(''x'')|''J''<sub>''ν''</sub>('' x'')}}}} হয় ট্রান্সেন্ডেন্টাল যখন ''ν'' মুলদ হয় এবং ''x'' হয় বীজগাণিতিক সংখ্যা এবং অশূন্য,<ref>{{বই উদ্ধৃতি |শেষাংশ১=Siegel |প্রথমাংশ১=Carl L. |শিরোনাম=On Some Applications of Diophantine Approximations: a translation of Carl Ludwig Siegel's Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen by Clemens Fuchs, with a commentary and the article Integral points on curves: Siegel's theorem after Siegel's proof by Clemens Fuchs and Umberto Zannier |তারিখ=2014 |প্রকাশক=Scuola Normale Superiore |আইএসবিএন=978-88-7642-520-2 |পাতাসমূহ=81–138 |ইউআরএল=https://doi.org/10.1007/978-88-7642-520-2_2 |ভাষা=de |অধ্যায়=Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen|ডিওআই=10.1007/978-88-7642-520-2_2 }}</ref> এবং {{math|''J''<sub>''ν''</sub>(x)}} এবং {{math|''J''{{'}}<sub>''ν''</sub>(x)}}-এর সমস্ত অশূন্য মূল তুরীয় সংখ্যা হয়, যখন ''ν'' মুলদ হয়। <ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ১=Lorch |প্রথমাংশ১=Lee |শেষাংশ২=Muldoon |প্রথমাংশ২=Martin E. |শিরোনাম=Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions |সাময়িকী=International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences |তারিখ=1995 |খণ্ড=18 |সংখ্যা নং=3 |পাতাসমূহ=551–560 |ডিওআই=10.1155/S0161171295000706 |doi-access=free }}</ref>
* {{math|''[[Lambert W Function|W]]''(''a'')}} যদি {{mvar|a}} হয় বীজগাণিতিক সংখ্যা এবং অশূন্য, ল্যামবার্ট ডব্লিউ ফাংশনের যেকোনো শাখার জন্য (দ্বারা লিন্ডেম্যান–ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য), বিশেষ করে: {{math|Ω}} [[ওমেগা ধ্রুবক]]
* {{math|{{sqrt|''x''}}{{sub|''s''}}}, যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার [[Tetration#Square super-root|square super-root]] হয় একটি পূর্ণসংখ্যা বা ট্রান্সসেন্ডেন্টাল (গেলফন্ড-শ্নেইডার উপপাদ্য দ্বারা)
* {{math|[[gamma function|Γ]](1/3)}},{{harvnb|Le Lionnais|1979|p=46}} via Wolfram Mathworld, [http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html Transcendental Number]</ref> {{math|Γ(1/4)}},<ref name = "Chudnovsky">{{harvnb|Chudnovsky|1984}} via Wolfram Mathworld, [http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html Transcendental Number]</ref> এবং {{math|Γ(1/6)}}.<ref name = "Chudnovsky"/> এছাড়াও <math>\Gamma(1/4)^4/\pi</math> এবং <math>\Gamma(1/3)^2/\pi</math> সংখ্যাগুলিও তুরীয় সংখ্যা। ref name=":0">{{ওয়েব উদ্ধৃতি |শিরোনাম=Mathematical Constants {{!}} Mathematics (general) |ইউআরএল=https://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/recreational-mathematics/mathematical-constants,%20https://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/recreational-mathematics |সংগ্রহের-তারিখ=2022-09-22 |ওয়েবসাইট=Cambridge University Press |ভাষা=en}}</ref>
* 0.64341054629..., [[কাহেনের ধ্রুবক]]।<ref>{{harvnb|Davison|Shallit|1991}}।</ref>
* [[চ্যাম্পারনোন ধ্রুবক]], সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমন্বিত উপস্থাপনা দ্বারা গঠিত অমূলদ সংখ্যা। p=12}}।<ref>{{harvnb|Mahler|1937}}.</ref><ref>{{harvnb|Mahler|1976|p=12}}.</ref>
* {{math|Ω}}, [[চৈটিনের ধ্রুবক]] (যেহেতু এটি একটি অ-গণনাযোগ্য সংখ্যা)।<ref>{{harvnb|Calude|2002|page=239}}।</ref>
* তথাকথিত ''ফ্রেডহোম ধ্রুবক,'' যেমন<ref name=Kempner/><ref>{{harvnb|Allouche|Shallit|2003|pp=385,403}}। 'ফ্রেডহোম নম্বর' নামটি ভুল স্থান পেয়েছে: কেম্পনার প্রথম প্রমাণ করেছিলেন যে এই সংখ্যাটি তুরীয় সংখ্যা, এবং 403 পৃষ্ঠার নোটে বলা হয়েছে যে ফ্রেডহোম কখনই এই সংখ্যাটি অধ্যয়ন করেননি।</ref><ref name=Sha1999>{{harvnb|Shallit|1999}} .</ref>
*:<math>\sum_{n=0}^\infty 10^{-2^n} = 0.\textbf{1}\textbf{1}0\textbf{1}000\textbf{1}0000000\ textbf{1}\ldots</math>
:যা 10 কে যেকোনো বীজগাণিতিক সংখ্যা {{math|''b'' > 1}} দিয়ে প্রতিস্থাপন করে।<ref name=Lox1988>{{harvnb|Loxton|1988}}।</ref>
* [[গাউসের ধ্রুবক]] এবং [[লেমনিসকেট ধ্রুবক]]।<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://dl.acm.org/doi/10.1145/360569.360580|শিরোনাম=The lemniscate constants|শেষাংশ= টড|প্রথমাংশ=John|তারিখ=1975|সাময়িকী=communications of the ACM|খণ্ড=18|পাতাসমূহ=14–19|ডিওআই=10.1145/360569.360580|s2cid=85873}}</ref>
* যেকোন বীজগাণিতিক {{math|''b'' ∈ (0, 1)}}-এর জন্য পূর্বোক্ত লিউভিল ধ্রুবক।
* [[প্রোহেত–থু–মোর্স ধ্রুবক]]।<ref>{{harvnb|Mahler|1929}}।</ref><ref>{{harvnb|Allouche|Shallit|2003|p=387}}।</ref>
* [[কোমোরনিক–লোরেটি ধ্রুবক]]।<ref>{{citation|last1=Allouche|first1=Jean-Paul|last2=Cosnard|first2=Michel|doi=10.2307/2695302|issue=5|journal=American Mathematical Monthly|jstor=2695302|mr=1763399|pages=448–449|title=The Komornik–Loreti constant is transcendental|volume=107|year=2000}}</ref>
* যে কোনো সংখ্যা যার জন্য কিছু নির্দিষ্ট ভিত্তির সাপেক্ষে অঙ্কগুলি একটি [[স্টুরমিয়ান শব্দ]] গঠন করে।<ref>{{harvnb|Pytheas Fogg|2002}}।</ref>
* {{math|''β'' > 1}} এর জন্য
::<math>\sum_{k=0}^\infty 10^{-\left\lfloor \beta^{k} \right\rfloor};</math>
: যেখানে <math>\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor</math> হল [[ফ্লোর ফাংশন]]।
* 3.300330000000000330033... এবং এর পারস্পরিক 0.30300000303..., শুধুমাত্র দুটি ভিন্ন দশমিক সংখ্যা সহ দুটি সংখ্যা যার অশূন্য অঙ্কের অবস্থান [[Moser–de Bruijn ক্রম]] এবং এর দ্বিগুণ। <ref>{{harvnb|Blanchard|Mendès France|1982}}.</ref>
* সংখ্যা {{math|{{sfrac|''π''|2}}{{sfrac|''Y''{{sub|0}}(2)|''J''{{sub|0 }}(2)}}-''γ''}}, যেখানে {{math|''Y''{{sub|''α''}}(''x'')}} এবং {{math |''J''{{sub|''α''}}(''x'')}} হল বেসেল ফাংশন এবং {{mvar|γ}} হল [[ইউলার–মাশ্চেরনি ধ্রুবক]]৷<ref>{{সাইট জার্নাল|last1=Mahler|first1=Kurt|last2=Mordell|first2=Louis Joel|date=1968-06-04|title=A. B. Shidlovski দ্বারা একটি উপপাদ্যের প্রয়োগ /doi/10.1098/rspa.1968.0111|journal=লন্ডনের রয়্যাল সোসাইটির কার্যক্রম। সিরিজ A. গাণিতিক এবং ভৌত বিজ্ঞান >{{সাইট জার্নাল|last=Lagarias|first=Jeffrey C.|date=2013-07-19|title=Euler's constant: অয়লারের কাজ এবং আধুনিক উন্নয়ন|arxiv=1303.1856|journal=Bulletin of the American Mathematical Society=volulu 50|ইস্যু=4|পৃষ্ঠা=527–628|doi=10.1090/S0273-0979-2013-01423-X|issn=0273-0979|doi-access=free}}</ref>
* নেস্টেরেনকো 1996 সালে প্রমাণ করেছিলেন যে <math>\pi,e^\pi</math> এবং <math>\Gamma(1/4)</math> বীজগাণিতিক সংখ্যাভাবে স্বাধীন।<ref name=":0" />

==সম্ভাব্য তুরীয় সংখ্যা==
যে সংখ্যাগুলি এখনও ট্রান্সসেন্ডেন্টাল বা বীজগাণিতিক বলে প্রমাণিত হয়েছে:
* সংখ্যা {{pi}} এবং [[E (গাণিতিক ধ্রুবক)|সংখ্যা {{mvar|e}}]] এর অধিকাংশ যোগফল, গুণফল, ক্ষমতা ইত্যাদি, যেমন {{mvar|eπ}}, {{math|''e'' + ''π''}}, {{math|''π'' −''e''}}, {{math|'' π''/''e''}}, {{pi}}<sup>{{pi}}</sup>, {{math|''e''<sup>''e''</sup> >}}, {{math|''π''<sup>''e''</sup>}}, {{math|''π''{{sup|{{sqrt|2}}}} }}, {{math|''e''<sup>''π''<sup>2</sup></sup>}} যৌক্তিক, বীজগাণিতিক সংখ্যা, অযৌক্তিক বা তুরীয় বলে পরিচিত নয়। একটি উল্লেখযোগ্য ব্যতিক্রম হল {{math|''e''{{sup|''π''{{sqrt|''n''}}}}} (যেকোন ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য {{mvar|n}}) যা তুরীয় সংখ্যা প্রমাণিত হয়েছে।<ref>{{MathWorld|IrrationalNumber|Irrational Number}}</ref>
* [[অয়লার–মাশ্চেরনি ধ্রুবক]] {{mvar|γ}}'':'' 2010 সালে এম. রাম মূর্তি এবং এন. সারদা {{math|{{sfrac|''γ সম্বলিত সংখ্যাগুলির একটি অসীম তালিকা খুঁজে পান ''|4}}}} এমন যে তাদের মধ্যে সর্বাধিক একটি ব্যতীত সবগুলিই তুরীয় সংখ্যা৷<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ১=Mahler|প্রথমাংশ১=Kurt|শেষাংশ২=Mordell|প্রথমাংশ২=Louis Joel|তারিখ=1968-06-04|শিরোনাম=Applications of a theorem by A. B. Shidlovski|ইউআরএল=https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1968.0111|সাময়িকী=Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences|খণ্ড=305|সংখ্যা নং=1481|পাতাসমূহ=149–173|ডিওআই=10.1098/rspa.1968.0111|বিবকোড=1968RSPSA.305..149M|s2cid=123486171}}</ref><ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Lagarias|প্রথমাংশ=Jeffrey C.|তারিখ=2013-07-19|শিরোনাম=Euler's constant: Euler's work and modern developments|arxiv=1303.1856|সাময়িকী=Bulletin of the American Mathematical Society|খণ্ড=50|সংখ্যা নং=4|পাতাসমূহ=527–628|ডিওআই=10.1090/S0273-0979-2013-01423-X|issn=0273-0979|doi-access=free}}</ref>
* [[Apéry's constant]] {{math|''ζ''(3)}} (যা [[Apéry]] অযৌক্তিক প্রমাণিত)।
* [[কাতালানের ধ্রুবক]], এমনকি অযৌক্তিক বলেও প্রমাণিত নয়।
* [[খিনচিনের ধ্রুবক]], অযৌক্তিক বলেও প্রমাণিত নয়।
* অন্যান্য বিজোড় পূর্ণসংখ্যাতে [[রিম্যান জেটা ফাংশন]], {{math|''ζ''(5)}}, {{math|''ζ''(7)}}, ... (প্রমাণিত নয় অযৌক্তিক হতে)।
* [[Feigenbaum ধ্রুবক]] {{mvar|δ}} এবং {{mvar|α}}, এছাড়াও অযৌক্তিক প্রমাণিত নয়।
* [[মিলের ধ্রুবক]], অযৌক্তিক বলেও প্রমাণিত নয়।
* [[কোপল্যান্ড–এর্ডোস ধ্রুবক]], মৌলিক সংখ্যাগুলির দশমিক উপস্থাপনাগুলিকে একত্রিত করে গঠিত।
* <math>\Gamma(1/5)</math> অযৌক্তিক বলে প্রমাণিত হয়নি।<ref name=":0" />

অনুমান:
* [[শানুয়েলের অনুমান]],
* [[চারটি সূচক অনুমান]]।

==একটি প্রমাণের স্কেচ, যে {{mvar|e}} তুরীয় সংখ্যা==
প্রথম প্রমাণ যে [[E (গাণিতিক ধ্রুবক)|প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি, {{mvar|e}}]], 1873 সালের তুরীয় তারিখ। আমরা এখন [[ডেভিড হিলবার্ট]] (1862) এর কৌশল অনুসরণ করব -1943) যিনি [[চার্লস হারমাইট]]-এর মূল প্রমাণের সরলীকরণ দিয়েছেন। ধারণা নিম্নোক্ত:

অনুমান করুন, একটি দ্বন্দ্ব খোঁজার উদ্দেশ্যে, যে {{mvar|e}} বীজগাণিতিক সংখ্যা। তারপরে পূর্ণসংখ্যা সহগগুলির একটি সসীম সেট বিদ্যমান ''c''<sub>0</sub>, ''c''<sub>1</sub>, ..., ''c<sub>n</sub> sub>'' সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে:

:<math>c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0, \qquad c_0, c_n \neq 0.</math>

এখন একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ''k''-এর জন্য, আমরা নিম্নলিখিত বহুপদকে সংজ্ঞায়িত করি:

:<math> f_k(x) = x^{k} \left [(x-1)\cdots(x-n) \right ]^{k+1},</math>

এবং উপরের সমীকরণের উভয় দিক দিয়ে গুণ করুন

:<math>\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx,</math>

সমীকরণে পৌঁছাতে:

:<math>c_{0} \left (\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_1e\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+ c_{n}e^{n} \left (\int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right ) = 0.</math>

ইন্টিগ্রেশনের সংশ্লিষ্ট ডোমেনগুলিকে বিভক্ত করে, এই সমীকরণটি আকারে লেখা যেতে পারে

:<math>P+Q=0</math>

যেখানে

:<math>\begin{align}
P &= c_{0}\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{1}e\left (\int^{\infty}_{1}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{2}e^{2}\left (\int^{\infty}_{2}f_k e^{-x}\,dx\right ) +\cdots+ c_{n}e^{n}\left (\int^{\infty}_{n}f_k e^{-x}\,dx\right ) \\
Q &= c_{1}e\left (\int^{1}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+c_{2}e^{2} \left (\int^{2}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+c_{n}e^{n}\left (\int^{n}_{0} f_k e^{-x}\,dx \right ) 
\end{align}</math>

'''লেমা 1।'''' ''k'' এর উপযুক্ত পছন্দের জন্য, <math>\tfrac{P}{k!}</math> হল একটি অ-শূন্য পূর্ণসংখ্যা।

<blockquote>'''প্রুফ।'''' ''P''-এর প্রতিটি পদ একটি পূর্ণসংখ্যা গুণিতক গুণিতকগুলির সমষ্টি, যা সম্পর্কের ফলাফল

:<math>\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!</math>

যেটি যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ''j'' এর জন্য বৈধ ( [[গামা ফাংশন]] বিবেচনা করুন)।

এটি অ-শূন্য কারণ প্রতিটি ''a'' সন্তোষজনক 0< ''a'' ≤ ''n'' এর জন্য ইন্টিগ্র্যান্ড

:<math>c_{a}e^{a}\int^{\infty}_{a} f_k e^{-x}\,dx</math>

''e<sup>−x</sup>'' হল একটি পদের যোগফল যার সর্বনিম্ন ক্ষমতা ''x'' এর জন্য ''x'' প্রতিস্থাপনের পর ''k''+1 হয় অখণ্ডে +''a''। তারপর এটি ফর্মের অবিচ্ছেদ্য যোগফল হয়ে যায়

:<math>A_{j-k}\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx</math> যেখানে ''A''<sub>j-k</sub > পূর্ণসংখ্যা।

''k''+1 ≤ ''j'' সহ, এবং তাই এটি (''k''+1) দ্বারা বিভাজ্য একটি পূর্ণসংখ্যা! ''k!'' দ্বারা ভাগ করার পর, আমরা শূন্য [[মডুলার পাটিগণিত|মডুলো]] (''k''+1) পাব। যাইহোক, আমরা লিখতে পারি:

:<math>\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = \int^{\infty}_{0} \left ( \left [(-1)^{n }(n!) \right ]^{k+1}e^{-x}x^k + \cdots \right ) dx</math>

এবং এগুলো

:<math>{\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\equiv c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\not\equiv 0{\pmod {k+1}}.</math>

সুতরাং ''P''-এর প্রতিটি অখণ্ডকে ''k!'' দ্বারা ভাগ করার সময়, প্রাথমিকটি ''k''+1 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তবে বাকিগুলি যতক্ষণ ''k''+1 হবে ততক্ষণ। প্রাইম এবং ''n'' এবং |''c''<sub>0</sub>| থেকে বড়। এটি অনুসরণ করে যে <math>\tfrac{P}{k!}</math> নিজেই মৌলিক ''k''+1 দ্বারা বিভাজ্য নয় এবং তাই শূন্য হতে পারে না।</blockquote>

'''লেমা 2।''' <math>\left|\tfrac{Q}{k!}\right|<1</math> যথেষ্ট বড় <math>k</math> এর জন্য।

<blockquote> '''প্রুফ।''' নোট করুন

:<math>\begin{align}
f_k e^{-x} &= x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\\
&= \left(x(x-1)\cdots(x-n) \right)^k \cdot \left ((x-1)\cdots(x-n)e^{-x}\right)\\
&= u(x)^k \cdot v(x)
\end{align}</math>

যেখানে <math>u(x)</math> এবং <math>v(x)</math> সব <math>x</math> এর জন্য <math>x</math> এর একটানা ফাংশন, তাই সীমাবদ্ধ। ব্যবধানে <math>[0,n]</math>। অর্থাৎ, ধ্রুবক আছে <math>G, H> 0</math> এরকম

:<math> \left |f_k e^{-x} \right | \leq |u(x)|^k \cdot |v(x)| < G^k H \quad \text{ for } 0 \leq x \leq n.</math>

তাই <math>Q</math> কম্পোজ করা সেই অখণ্ডের প্রতিটিই আবদ্ধ, সবচেয়ে খারাপ অবস্থা

:<math>\left|\int_{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right| \leq \int_{0}^{n} \left |f_{k}e^{-x} \right |\,dx \leq \int_{0}^{n}G^k H\,dx = nG ^k H.</math>

এখন <math>Q</math> যোগফলকেও আবদ্ধ করা সম্ভব:

:<math>\left|\int_{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right| \leq \int_{0}^{n} \left |f_{k}e^{-x} \right |\,dx \leq \int_{0}^{n}G^k H\,dx = nG^k H.</math>

যেখানে <math>M</math> একটি ধ্রুবক যা <math>k</math> এর উপর নির্ভর করে না। এটা যে অনুসরণ করে

:<math>\left| \frac{Q}{k!} \right| < M \cdot \frac{G^k}{k!} \to 0 \quad \text{ as } k \to \infty,</math>

এই লেমার প্রমাণ শেষ করছি।</blockquote>

উভয় লেমাকে সন্তুষ্ট করে <math>k</math>-এর মান নির্বাচন করা একটি অ-শূন্য পূর্ণসংখ্যার দিকে নিয়ে যায় (<math>P/k!</math>) একটি অদৃশ্য হয়ে যাওয়া ছোট পরিমাণে (<math>Q/k!</math>) শূন্যের সমান হওয়া, একটি অসম্ভবতা। এটি অনুসরণ করে যে মূল অনুমান, যে {{mvar|e}} পূর্ণসংখ্যা সহগ সহ একটি বহুপদী সমীকরণ পূরণ করতে পারে, তাও অসম্ভব; অর্থাৎ, {{mvar|e}} হল তুরীয়।

=== {{pi}}=== এর অতিক্রম
একটি অনুরূপ কৌশল, [[ফার্দিনান্দ ভন লিন্ডেম্যান|লিন্ডেম্যান]]-এর মূল পদ্ধতির থেকে ভিন্ন, এটি দেখানোর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যে [[Pi|সংখ্যা {{pi}}]] তুরীয়। [[গামা-ফাংশন]] এবং {{mvar|e}}-এর প্রমাণ হিসাবে কিছু অনুমান ছাড়াও, [[প্রতিসম বহুপদী]] সম্পর্কে তথ্য প্রমাণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

{{pi}} এবং {{mvar|e}}-এর সীমা অতিক্রম করার প্রমাণ সম্পর্কিত বিস্তারিত তথ্যের জন্য, রেফারেন্স এবং বহিঃসংযোগগুলি দেখুন।

==এছাড়াও দেখুন==
{{পোর্টাল|গণিত}}
* [[ট্রান্সসেন্ডেন্টাল নাম্বার থিওরি]], ট্রান্সসেন্ডেন্টাল নাম্বার সম্পর্কিত প্রশ্নের অধ্যয়ন
* [[গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য]]
* [[ডিওফ্যান্টাইন আনুমানিক]]
* [[পিরিয়ডের রিং|পিরিয়ডস]], সংখ্যার একটি সেট (উভয় ট্রান্সসেন্ডেন্টাল এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা সহ) যা অখণ্ড সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।
{{সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস}}

==নোট==
{{সূত্র তালিকা|30em}}

==রেফারেন্স==
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ১=Adamczewski
 | প্রথমাংশ১=Boris
 | শেষাংশ২=Bugeaud
 | প্রথমাংশ২=Yann
 | শিরোনাম=On the complexity of algebraic numbers, II. Continued fractions
 | সাময়িকী=[[Acta Mathematica]]
 | খণ্ড=195
 | সংখ্যা নং=1
 | বছর=2005
 | পাতাসমূহ=1–20
 | ডিওআই=10.1007/BF02588048
 | arxiv=math/0511677
 | বিবকোড=2005math.....11677A
 | s2cid=15521751
 }}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ১=Allouche
 | প্রথমাংশ১=Jean-Paul
 | author1-link=:fr:Jean-Paul Allouche
 | শেষাংশ২=Shallit
 | প্রথমাংশ২=Jeffrey
 | author2-link=Jeffrey Shallit
 | আইএসবিএন=978-0-521-82332-6
 | প্রকাশক=[[Cambridge University Press]]
 | শিরোনাম=Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations
 | বছর=2003
 | zbl=1086.11015
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Baker
 | প্রথমাংশ=Alan
 | লেখক-সংযোগ=Alan Baker (mathematician)
 | শিরোনাম=Transcendental Number Theory
 | প্রকাশক=[[Cambridge University Press]]
 | বছর=1990
 | আইএসবিএন=978-0-521-20461-3
 | zbl=0297.10013
| সংস্করণ=paperback
 }}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ১=Blanchard
 | প্রথমাংশ১=André
 | শেষাংশ২=Mendès France
 | প্রথমাংশ২=Michel
 | শিরোনাম=Symétrie et transcendance
 | সাময়িকী=Bulletin des Sciences Mathématiques
 | খণ্ড=106
 | সংখ্যা নং=3
 | পাতাসমূহ=325–335
 | বছর=1982
 | mr=680277
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Bourbaki
 | প্রথমাংশ=Nicolas
 | শিরোনাম=Elements of the History of Mathematics
 | ইউআরএল=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour
 | ইউআরএল-সংগ্রহ=registration
 | প্রকাশক=Springer
 | বছর=1994
| আইএসবিএন=9783540647676
 }}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Bugeaud
 | প্রথমাংশ=Yann
 | শিরোনাম=Distribution modulo one and Diophantine approximation
 | ধারাবাহিক=Cambridge Tracts in Mathematics
 | খণ্ড=193
 | প্রকাশক=[[Cambridge University Press]]
 | বছর=2012
 | আইএসবিএন=978-0-521-11169-0
 | zbl=1260.11001
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ১=Burger
 | প্রথমাংশ১=Edward B.
 | শেষাংশ২=Tubbs
 | প্রথমাংশ২=Robert
 | শিরোনাম=Making transcendence transparent. An intuitive approach to classical transcendental number theory
 | প্রকাশক=[[Springer-Verlag|Springer]]
 | বছর=2004
 | আইএসবিএন=978-0-387-21444-3
 | zbl=1092.11031
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Calude
 | প্রথমাংশ=Cristian S.
 | শিরোনাম=Information and Randomness: An Algorithmic Perspective
 | ইউআরএল=https://archive.org/details/informationrando0000calu_p3x3
 | ধারাবাহিক=Texts in Theoretical Computer Science
 | সংস্করণ=2nd rev. and ext.
 | প্রকাশক=[[Springer-Verlag|Springer]]
 | বছর=2002
 | আইএসবিএন=978-3-540-43466-5
 | zbl=1055.68058
}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Cantor
 | প্রথমাংশ=Georg
 | লেখক-সংযোগ=Georg Cantor
 | শিরোনাম=Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reelen algebraischen Zahlen
 | সাময়িকী=[[J. Reine Angew. Math.]]
 | খণ্ড=77
 | বছর=1874
 | পাতাসমূহ=258–262
 | ইউআরএল=http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583
}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Cantor
 | প্রথমাংশ=Georg
 | লেখক-সংযোগ=Georg Cantor
 | শিরোনাম=Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre
 | সাময়িকী=[[J. Reine Angew. Math.]]
 | খণ্ড=84
 | বছর=1878
 | পাতাসমূহ=242–258
 | ইউআরএল=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN243919689_0084&DMDID=dmdlog15
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Chudnovsky
 | প্রথমাংশ=G. V.
 | লেখক-সংযোগ=Chudnovsky_brothers
 | শিরোনাম=Contributions to the Theory of Transcendental Numbers
 | আইএসবিএন=978-0-8218-1500-7
 | প্রকাশক=[[American Mathematical Society]]
 | বছর=1984
}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ১=Davison
 | প্রথমাংশ১=J. Les
 | শেষাংশ২=Shallit
 | প্রথমাংশ২=Jeffrey O.
 | author2-link=Jeffrey Shallit
 | শিরোনাম=Continued fractions for some alternating series
 | সাময়িকী=[[Monatshefte für Mathematik]]
 | বছর=1991
 | খণ্ড=111
 | সংখ্যা নং=2
 | পাতাসমূহ=119–126
 | ডিওআই=10.1007/BF01332350
| s2cid=120003890
 }}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ১=Erdős
 | প্রথমাংশ১=Paul
 | author1-link=Paul Erdős
 | শেষাংশ২=Dudley
 | প্রথমাংশ২=Underwood
 | author2-link=Underwood Dudley
 | শিরোনাম=Some Remarks and Problems in Number Theory Related to the Work of Euler
 | সাময়িকী=Mathematics Magazine
 | খণ্ড=56
 | সংখ্যা নং=5
 | বছর=1983
 | পাতাসমূহ=292–298
 | jstor=2690369
 | ইউআরএল=https://users.renyi.hu/~p_erdos/1983-27.pdf
 | ডিওআই=10.2307/2690369
 | citeseerx=10.1.1.210.6272
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Gelfond
 | প্রথমাংশ=Alexander
 | লেখক-সংযোগ=Alexander Gelfond
 | শিরোনাম=Transcendental and Algebraic Numbers
 | প্রকাশক=Dover
 | বছর=1960
 | প্রকৃত-বছর=1956
}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Gray
 | প্রথমাংশ=Robert
 | শিরোনাম=Georg Cantor and transcendental numbers
 | সাময়িকী=[[Amer. Math. Monthly]]
 | খণ্ড=101
 | সংখ্যা নং=9
 | বছর=1994
 | পাতাসমূহ=819–832
 | ইউআরএল=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/georg-cantor-and-transcendental-numbers {{ওয়েব আর্কাইভ|ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20170407064803/http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/georg-cantor-and-transcendental-numbers |তারিখ=৭ এপ্রিল ২০১৭ }}
 | ডিওআই=10.2307/2975129
 | zbl=0827.01004
 | jstor=2975129
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 |শেষাংশ=Hardy
 |প্রথমাংশ=G. H.
 |শিরোনাম=An introduction to the theory of numbers
 |তারিখ=1979
 |প্রকাশক=Clarendon Press
 |অবস্থান=Oxford
 |আইএসবিএন=0-19-853171-0
 |পাতা=159
 |সংস্করণ=5th}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Higgins
 | প্রথমাংশ=Peter M.
 | শিরোনাম=Number Story
 | প্রকাশক=Copernicus Books
 | বছর=2008
 | আইএসবিএন=978-1-84800-001-8
}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Hilbert
 | প্রথমাংশ=David
 | লেখক-সংযোগ=David Hilbert
 | শিরোনাম=Über die Transcendenz der Zahlen ''e'' und <math>\pi</math>
 | সাময়িকী=[[Mathematische Annalen]]
 | খণ্ড=43
 | পাতাসমূহ=216–219
 | বছর=1893
| সংখ্যা নং=2–3
 | ডিওআই=10.1007/BF01443645
 | s2cid=179177945
 | ইউআরএল=https://zenodo.org/record/1428216
 }}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Kempner
 | প্রথমাংশ=Aubrey J.
 | শিরোনাম=On Transcendental Numbers
 | সাময়িকী=Transactions of the American Mathematical Society
 | খণ্ড=17
 | সংখ্যা নং=4
 | বছর=1916
 | পাতাসমূহ=476–482
 | ডিওআই=10.2307/1988833
 | doi-access=free
 | jstor=1988833
}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Lambert
 | প্রথমাংশ=Johann Heinrich
 | লেখক-সংযোগ=Johann Heinrich Lambert
 | শিরোনাম=Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes, circulaires et logarithmiques
 | সাময়িকী=Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Berlin
 | পাতাসমূহ=265–322
 | বছর=1768
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ১=Leibniz
 | প্রথমাংশ১=Gottfried Wilhelm
 | শেষাংশ২=Gerhardt
 | প্রথমাংশ২=Karl Immanuel
 | শেষাংশ৩=Pertz
 | প্রথমাংশ৩=Georg Heinrich
 | শিরোনাম=Leibnizens mathematische Schriften
 | প্রকাশক=A. Asher & Co.
 | বছর=1858
 | খণ্ড=5
 | পাতাসমূহ=97–98
 | ইউআরএল=https://archive.org/details/leibnizensmathe07leibgoog/page/n42
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Le Lionnais
 | প্রথমাংশ=François
 | লেখক-সংযোগ=François Le Lionnais
 | শিরোনাম=Les nombres remarquables
 | প্রকাশক=Hermann
 | বছর=1979
 | আইএসবিএন=2-7056-1407-9
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=LeVeque
 | প্রথমাংশ=William J.
 | লেখক-সংযোগ=William J. LeVeque
 | শিরোনাম=Topics in Number Theory, Volumes I and II
 | প্রকাশক=Dover
 | বছর=2002
 | প্রকৃত-বছর=1956
 | আইএসবিএন=978-0-486-42539-9
 | ইউআরএল-সংগ্রহ=registration
 | ইউআরএল=https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve
}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Liouville
 | প্রথমাংশ=Joseph
 | লেখক-সংযোগ=Joseph Liouville
 | শিরোনাম=Sur des classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique, ni même réductible à des irrationnelles algébriques
 | সাময়িকী=J. Math. Pures Appl.
 | খণ্ড=16
 | বছর=1851
 | পাতাসমূহ=133–142
 | ইউআরএল=http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1851_1_16_A5_0.pdf
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Loxton
 | প্রথমাংশ=J. H.
 | অধ্যায়=13. Automata and transcendence
 | শিরোনাম=New Advances in Transcendence Theory
 | ইউআরএল=https://archive.org/details/newadvancesintra0000unse
 | সম্পাদক-শেষাংশ=Baker
 | সম্পাদক-প্রথমাংশ=A.
 | সম্পাদক-সংযোগ=Alan Baker (mathematician)
 | প্রকাশক=[[Cambridge University Press]]
 | বছর=1988
 | আইএসবিএন=978-0-521-33545-4
 | zbl=0656.10032
 | পাতাসমূহ=[https://archive.org/details/newadvancesintra0000unse/page/215 215]–228
}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Mahler
 | প্রথমাংশ=Kurt
 | লেখক-সংযোগ=Kurt Mahler
 | শিরোনাম=Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen
 | সাময়িকী=[[Math. Annalen]]
 | খণ্ড=101
 | বছর=1929
 | পাতাসমূহ=342–366
 | জেএফএম=55.0115.01
 | ডিওআই=10.1007/bf01454845
| s2cid=120549929
 }}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Mahler
 | প্রথমাংশ=Kurt
 | লেখক-সংযোগ=Kurt Mahler
 | শিরোনাম=Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen
 | সাময়িকী=Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A.
 | সংখ্যা নং=40
 | বছর=1937
 | পাতাসমূহ=421–428
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Mahler
 | প্রথমাংশ=Kurt
 | লেখক-সংযোগ=Kurt Mahler
 | শিরোনাম=Lectures on Transcendental Numbers
 | ধারাবাহিক=Lecture Notes in Mathematics
 | খণ্ড=546
 | প্রকাশক=[[Springer-Verlag|Springer]]
 | বছর=1976
 | আইএসবিএন=978-3-540-07986-6
 | zbl=0332.10019
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ১=Natarajan
 | প্রথমাংশ১=Saradha
 | author1-link=:fr:Saradha Natarajan
 | শেষাংশ২=Thangadurai
 | প্রথমাংশ২=Ravindranathan
 | author2-link=Ravindranathan Thangadurai
 | প্রকাশক=[[Springer Verlag]]
 | শিরোনাম=Pillars of Transcendental Number Theory
 | বছর=2020
 | আইএসবিএন=978-981-15-4154-4
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Pytheas Fogg
 | প্রথমাংশ=N.
 | সম্পাদক১-প্রথমাংশ=Valérie
 | সম্পাদক১-শেষাংশ=Berthé
 | সম্পাদক১-সংযোগ=Valérie Berthé
 | সম্পাদক২-শেষাংশ=Ferenczi
 | সম্পাদক২-প্রথমাংশ=Sébastien
 | সম্পাদক৩-শেষাংশ=Mauduit
 | সম্পাদক৩-প্রথমাংশ=Christian
 | সম্পাদক৪-শেষাংশ=Siegel
 | সম্পাদক৪-প্রথমাংশ=A.
 | শিরোনাম=Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics
 | ধারাবাহিক=Lecture Notes in Mathematics
 | খণ্ড=1794
 | প্রকাশক=[[Springer-Verlag|Springer]]
 | বছর=2002
 | আইএসবিএন=978-3-540-44141-0
 | zbl=1014.11015
}}
*{{বই উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ=Shallit
 | প্রথমাংশ=Jeffrey
 | লেখক-সংযোগ=Jeffrey Shallit
 | অধ্যায়=Number theory and formal languages
 | শিরোনাম=Emerging applications of number theory. Based on the proceedings of the IMA summer program, Minneapolis, MN, USA, July 15-26, 1996
 | সম্পাদক১-প্রথমাংশ=Dennis A.
 | সম্পাদক১-শেষাংশ=Hejhal
 | সম্পাদক১-সংযোগ=Dennis Hejhal
 | সম্পাদক২-শেষাংশ=Friedman
 | সম্পাদক২-প্রথমাংশ=Joel
 | সম্পাদক৩-শেষাংশ=Gutzwiller
 | সম্পাদক৩-প্রথমাংশ=Martin C.
 | সম্পাদক৩-সংযোগ=Martin Gutzwiller
 | সম্পাদক৪-শেষাংশ=Odlyzko
 | সম্পাদক৪-প্রথমাংশ=Andrew M.
 | সম্পাদক৪-সংযোগ=Andrew Odlyzko
 | ধারাবাহিক=The IMA volumes in mathematics and its applications
 | খণ্ড=109
 | প্রকাশক=[[Springer-Verlag|Springer]]
 | বছর=1999
 | আইএসবিএন=978-0-387-98824-5
 | পাতাসমূহ=547–570
}}

==External links==
{{wikisource|de:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 1|Über die Transzendenz der Zahlen e und π. (in German)}}
602440|Transcendental number (mathematics)}
*{{MathWorld |title=Transcendental Number |id=TranscendentalNumber}}
*{{MathWorld |title=Liouville Number |id=LiouvilleNumber}}
*{{MathWorld |title=Liouville's Constant |id=LiouvillesConstant}}
* {{in lang|en}} [http://planetmath.org/EIsTranscendental Proof that ''e'' is transcendental]
* {{in lang|en}} [http://deanlm.com/joseph-liouvilles-proof-of.html Proof that the Liouville Constant is transcendental] {{ওয়েব আর্কাইভ|ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20220819174344/http://deanlm.com/joseph-liouvilles-proof-of.html |তারিখ=১৯ আগস্ট ২০২২ }}
* {{in lang|de}} [http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf Proof that ''e'' is transcendental (PDF)] {{ওয়েব আর্কাইভ|ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20110716060646/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/euler.pdf |তারিখ=2011-07-16 }}
* {{in lang|de}} http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf {{ওয়েব আর্কাইভ|ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20110716060726/http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf |তারিখ=2011-07-16 }}

{{অমূলদ সংখ্যা}}
{{সংখ্যা পদ্ধতি}}
{{সংখ্যা তত্ত্ব}}
{{কর্তৃপক্ষ নিয়ন্ত্রণ}}

[[শ্রেণি:তুরীয় সংখ্যা| ]]
[[বিভাগ:প্রমাণ সম্বলিত নিবন্ধ]]

[[বিষয়শ্রেণী:তুরীয় সংখ্যা]]