দ্বিপদী ধারা-এর উৎস দেখুন

'''দ্বিপদী ধারা''' হল [[গণিত|গণিতে]] বহুপদীর একটি সাধারণীকরণ যা একটি [[দ্বিপদী উপপাদ্য|দ্বিপদ সূত্রের]] অভিব্যক্তি থেকে আসে। যেমন: <math>(1+x)^n</math>  অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য <math>n</math> . বিশেষত, দ্বিপদী ধারা হল [[অপেক্ষক (গণিত)|ফাংশনের]] জন্য [[টেলর ধারা|ম্যাকলারিন ধারা]] <math>f(x)=(1+x)^{\alpha}</math>, যেখানে <math>\alpha \in \Complex</math> এবং <math>|x| < 1</math> . স্পষ্টভাবে,

{{NumBlk|:|<math>\begin{align}
 (1 + x)^\alpha  &= \sum_{k=0}^{\infty} \; \binom{\alpha}{k} \; x^k = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots
 \end{align}</math>|{{EquationRef|1}}}}

যেখানে ( {{সমীকরণ নোট|1}} ) এর ডানদিকের পাওয়ার ধারাকে [[দ্বিপদী সহগ|(সাধারণকৃত) দ্বিপদ সহগগুলির]] মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়

: <math>\binom{\alpha}{k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}. </math>

মনে রাখবেন, যদি {{Mvar|α}}  একটি অঋণাত্মক [[পূর্ণ সংখ্যা|পূর্ণসংখ্যা]] {{Mvar|n}} হয় তবে {{Math|''x''{{sup|''n'' + 1}}}} পদ এবং ধারার পরবর্তী সমস্ত পদ {{Math|0}}, যেহেতু প্রতিটিতে {{Math|(''n'' − ''n'')}} এর একটি গুণনীয়ক রয়েছে। সুতরাং, এই ক্ষেত্রে, ধারটি সসীম এবং বীজগাণিতিক [[দ্বিপদী উপপাদ্য|দ্বিপদী সূত্র]] দেয়।
== সংকোচন ==
=== সংকোচনের শর্ত === 
যে ([[দ্বিপদী ধারা#সংকোচন|1]]) সংকুচিত হবে কিনা তা নির্ভর করে [[জটিল সংখ্যা]] α এবং {{Tmath|x}} এর মানের উপর। আরও সঠিকভাবে:

1. যদি |{{Tmath|x}}| < 1 হয়, তবে ধারাটি যেকোনো জটিল সংখ্যা α এর জন্য সম্পূর্ণভাবে সংকুচিত হবে।

2. যদি |{{Tmath|x}}| = 1 হয়, তবে ধারাটি সম্পূর্ণভাবে সংকুচিত হবে কেবলমাত্র যদি এবং কেবলমাত্র যদি Re(α) > 0 অথবা α = 0, যেখানে Re(α) α এর [[জটিল সংখ্যা|বাস্তব অংশকে]] নির্দেশ করে।

3. যদি |{{Tmath|x}}| = 1 এবং {{Tmath|x}} ≠ −1 হয়, তবে ধারাটি সংকুচিত হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি Re(α) > −1।

4. যদি {{Tmath|x}} = −1 হয়, তবে ধারাটি সংকুচিত হবে যদি এবং কেবলমাত্র যদি Re(α) > 0 অথবা α = 0।

5. যদি |{{Tmath|x}}| > 1 হয়, তবে ধারাটি বিভ্রান্ত হবে, যদি না α একটি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা হয়, এই ক্ষেত্রে ধারাটি একটি সসীম যোগফল হবে।

বিশেষ করে, যদি α একটি অ-ঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যা না হয়, তবে সংকোচনের বৃত্তের সীমানায়, |{{Tmath|x}}| = 1, অবস্থাটি নিম্নরূপে সারাংশ করা হয়:

* যদি Re(α) > 0 হয়, তবে ধারাটি সম্পূর্ণভাবে সংকুচিত হবে।
* যদি −1 < Re(α) ≤ 0 হয়, তবে ধারাটি শর্তসাপেক্ষে সংকুচিত হবে যদি {{Tmath|x}} ≠ −1 এবং {{Tmath|x}} = −1 হলে ধারাটি ত্রুটিপূর্ণ হবে।
* যদি Re(α) ≤ −1 হয়, তবে ধারাটি ত্রুটিপূর্ণ হবে।
=== পরিচায়ক গুলো প্রমাণে ব্যবহার ===
নিম্নলিখিতগুলি যেকোনো জটিল সংখ্যা α এর জন্য প্রযোজ্য:

:<math>{\alpha \choose 0} = 1,</math>
{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k+1} = {\alpha\choose k}\,\frac{\alpha-k}{k+1},  </math>|{{EquationRef|2}}}}
{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k-1} +  {\alpha\choose k} = {\alpha+1 \choose k}. </math>|{{EquationRef|3}}}}
যদি α একটি অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা না হয় (এই ক্ষেত্রে বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কগুলি শূন্য হয়ে যায় যেহেতু k α এর চেয়ে বড় হয়), তবে বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কগুলির জন্য একটি উপকারী অমসৃণ সম্পর্ক হল, ল্যান্ডাউ নোটেশনে:
{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k} = \frac{(-1)^k} {\Gamma(-\alpha)k^ {1+\alpha} } \,(1+o(1)), \quad\text{as }k\to\infty. </math>|{{EquationRef|4}}}}

এটি আসলে ইউলারের গামা ফাংশনের সংজ্ঞার সমান:

:<math>\Gamma(z) = \lim_{k \to \infty} \frac{k! \; k^z}{z \; (z+1)\cdots(z+k)}, </math>

এবং তাৎক্ষণিকভাবে নিচের粗 সীমাগুলি প্রমাণিত হয়:{{NumBlk|:|<math> \frac {m} {k^{1+\operatorname{Re}\,\alpha}}\le \left|{\alpha \choose k}\right| \le \frac {M} {k^{1+\operatorname{Re}\alpha}}, </math>|{{EquationRef|5}}}}
যেখানে {{Mvar|m}} এবং {{Mvar|M}} কিছু ধনাত্মক ধ্রুবক।

সাধারণীকৃত বাইনোমিয়াল গুণাঙ্কের জন্য সূত্র ([[দ্বিপদী ধারা#পরিচায়ক গুলো প্রমাণে ব্যবহার|2]]) পুনর্লিখন করা যেতে পারে:
{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose  k} = \prod_{j=1}^k \left (\frac {\alpha + 1} j - 1 \right ). </math>|{{EquationRef|6}}}}

=== প্রমাণ ===
(i) এবং (v) প্রমাণ করতে, অনুপাত পরীক্ষা প্রয়োগ করুন এবং উপরের সূত্র (2) ব্যবহার করে দেখান যে, যখন  <math>\alpha</math> একটি অ-ঋণাত্নক পূর্ণসংখ্যা নয়, তখন সম্মিলন ব্যাসার্ধ ঠিক 1। অংশ (ii) সূত্র (5) থেকে পাওয়া যায়,[[:en:Convergence tests#p-series test|{{mvar|p}}-ধারার]] সঙ্গে তুলনা করে।

:<math> \sum_{k=1}^\infty \; \frac {1} {k^p}, </math>

 <math>p=1+\operatorname{Re}\alpha</math> সহ, (iii) প্রমাণ করতে, প্রথমে সূত্র (3) ব্যবহার করে প্রাপ্ত করুন:

{{NumBlk|:|<math>(1 + x) \sum_{k=0}^n \; {\alpha \choose k} \; x^k =\sum_{k=0}^n \; {\alpha+1\choose k} \; x^k + {\alpha \choose n} \;x^{n+1}, </math>|{{EquationRef|7}}}}

এবং তারপর (ii) এবং সূত্র (5) আবার ব্যবহার করে ধরা হবে যে, <math> \operatorname{Re} \alpha> - 1 </math> হলে ডান দিকের সিরিজের সম্মিলন প্রমাণিত হবে। অন্যদিকে, সিরিজটি সম্মিলিত হয় না যদি <math>|x|=1</math> এবং<math> \operatorname{Re} \alpha \le - 1 </math>, আবার সূত্র (5) দ্বারা। বিকল্পভাবে, আমরা লক্ষ্য করতে পারি যে, সকল <math>j</math>-এর জন্য,

<math display="inline"> \left |\frac {\alpha + 1}{j} - 1 \right | \ge 1 - \frac {\operatorname{Re} \alpha + 1}{j} \ge 1 </math>

তাহলে, সূত্র (6) দ্বারা, সকল <math display="inline"> k, \left|{\alpha \choose  k} \right| \ge 1 </math> এর জন্য,

এটি (iii) এর প্রমাণ সম্পন্ন করে। (iv) তে ফিরে আসা, আমরা উপরের পরিচয় (7) ব্যবহার করি<math>x=-1</math> এবং<math>\alpha</math> এর স্থলে রেখে, সঙ্গে সূত্র (4) ব্যবহার করে, প্রাপ্ত করব...

:<math>\sum_{k=0}^n \; {\alpha\choose k} \; (-1)^k = {\alpha-1 \choose n} \;(-1)^n= \frac{1} {\Gamma(-\alpha+1)n^{\alpha}}(1+o(1))</math>

যেহেতু <math>n\to\infty</math> এখন, (iv) তত্ত্বটি<math>n^{-\alpha} = e^{-\alpha \log(n)}</math>সিকুয়েন্সের অসিম্পটোটিক আচরণ থেকে অনুসৃত হয়, <math>n^{-\alpha} = e^{-\alpha \log(n)}</math>। (সঠিকভাবে, <math> \left|e^{-\alpha\log n}\right| = e^{-\operatorname{Re}\alpha\, \log n}</math> অবশ্যই <math>0</math>-এ প্রবণ হয় যদি <math>\operatorname{Re}\alpha>0</math> এবং <math>+\infty</math>-এ বিচ্যুত হয় যদি <math>\operatorname{Re}\alpha<0</math> যদি <math>\operatorname{Re}\alpha=0</math>, তবে <math>n^{-\alpha} = e^{-i \operatorname{Im}\alpha\log n}</math> প্রবণ হয় যদি এবং শুধুমাত্র যখন সিকুয়েন্স <math>\bmod{2\pi}</math>-এ প্রবণ হয়, যা অবশ্যই সত্য যদি<math>\alpha=0</math>, কিন্তু যদি <math>\operatorname{Im}\alpha \neq0</math>, তবে এটি মিথ্যা: পরবর্তী ক্ষেত্রে সিকুয়েন্সটি<math>\bmod{2\pi}</math>-অনুযায়ী ঘন হয়, কারণ <math>\log n</math> বিচ্যুত হয় এবং <math>\log (n+1)-\log n</math> শূন্যে প্রবণ হয়।

== দ্বিপদী ধারার সমষ্টি ==
দ্বিপদী ধারার সমষ্টি নির্ণয় করার জন্য প্রচলিত যুক্তি সাধারণত এইভাবে হয়। সহগমন ব্যাসার্ধের মধ্যে, যেখানে {{math|{{abs|''x''}} < 1}}  , ধারাটি পদক্রমে [[অন্তরজ]] করে এবং সূত্র (1) ব্যবহার করে, তখন ধারটির সমষ্টি একটি বিশ্লেষণাত্মক ফাংশন হয় যা সাধারণ পার্থক্য সমীকরণ {{math|1=(1 + ''x'')''u''′(''x'') − ''αu''(''x'') = 0}} সমাধান করে, যার প্রাথমিক শর্ত হলো  {{math|1=''u''(0) = 1}}

এই সমস্যার একমাত্র সমাধান হল ফাংশন {{math|1=''u''(''x'') = (1 + ''x'')<sup>''α''</sup>}}। আসলে, ইন্টিগ্রেটিং ফ্যাক্টর {{math|1= (1 + ''x'')<sup>−''α''−1</sup>}} দ্বারা গুণ করলে,

:<math>0=(1+x)^{-\alpha}u'(x) - \alpha (1+x)^{-\alpha-1} u(x)=  \big[(1+x)^{-\alpha}u(x)\big]'\,,</math>

অতএব, ফাংশন {{math|1= (1 + ''x'')<sup>''−α''</sup>''u''(''x'')}} একটি ধ্রুবক, যা প্রাথমিক শর্ত আমাদের বলছে যে এটি {{math|1}}। অর্থাৎ, {{{math|1=''u''(''x'') = (1 + ''x'')<sup>''α''</sup>}} হল সেই দ্বিপদী ধারার সমষ্টি , যেখানে {{math|{{abs|''x''}} < 1}}।

== বিপরীত দ্বিপদী ধারা ==
বিপরীত দ্বিপদী ধারাটি [[টেলর ধারা|ম্যাকলরিন ধারার]] মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করা হয়, যেখানে ফাংশনটি হল 
<math>g(x)=(1-x)^{-\alpha}</math>
এবং এখানে<math>\alpha \in \Complex</math> এবং<math>|x| < 1</math>

:<math>\begin{align}
\frac{1}{(1 - x)^\alpha} &= \sum_{k=0}^{\infty} \; \frac{g^{(k)}(0)}{k!} \; x^k \\
 &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha+1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha+1)(\alpha+2)}{3!} x^3 + \cdots,
 \end{align}</math>

যা মাল্টিসেট সহগের মাধ্যমে লেখা হয়,

:<math>\left(\!\!{\alpha\choose k}\!\!\right) := {\alpha+k-1 \choose k} = \frac{\alpha (\alpha+1) (\alpha+2) \cdots (\alpha+k-1)}{k!}\,.</math>

যখন, {{mvar|α}} একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, বেশ কয়েকটি প্রচলিত ধারা দেখা যায়। {{math|1=''α'' = 1}} ক্ষেত্রে ধারা, {{math|1 + ''x'' + ''x''{{sup|2}} + ''x''{{sup|3}} + ...}} দেয়, যেখানে প্রতিটি পদটির সহগ সরলভাবে{{math|1=''α'' = 2}} ক্ষেত্রে ধারা, {{math|1 + 2''x'' + 3''x''{{sup|2}} + 4''x''{{sup|3}} + ...}} দেয়, যার সহগগুলি গণনা সংখ্যা। {{math|1=''α'' = 3}} ক্ষেত্রে ধারা, {{math|1 + 3''x'' + 6''x''{{sup|2}} + 10''x''{{sup|3}} + ...}} দেয়, যার সহগগুলি ত্রিভুজ সংখ্যা। {{math|1=''α'' = 4}} ক্ষেত্রে ধারা, {{math|1 + 4''x'' + 10''x''{{sup|2}} + 20''x''{{sup|3}} + ...}} দেয়, যার সহগগুলি টেট্রাহেড্রাল সংখ্যা, এবং অনুরূপভাবে উচ্চতর পূর্ণসংখ্যা {{mvar|α}} মানগুলির জন্যও।

== ইতিহাস ==
দ্বিপদী ধারার প্রথম ফলাফলগুলি ধনাত্নক-পূর্ণসংখ্যক সূচক ছাড়া অন্যান্য সূচকের জন্য [[আইজাক নিউটন|স্যার আইজ্যাক নিউটন]] দ্বারা প্রদান করা হয়েছিল, যা কিছু বক্ররেখার নিচে [[ক্ষেত্রফল|ক্ষেত্রফলের]] গবেষণার সময়। জন ওয়ালিস এই কাজের উপর ভিত্তি করে {{math|1=''y'' = (1 − ''x''<sup>2</sup>)<sup>''m''</sup>}} এর মতো অভিব্যক্তি বিবেচনা করেন, যেখানে {{mvar|m}} একটি ভগ্নাংশ। তিনি আবিষ্কার করেন যে (আধুনিক শর্তে লেখা) {{math|''c''<sub>''k''</sub>}} of {{math|(−''x''<sup>2</sup>)<sup>''k''</sup>}} এর পরপর আসা গুণাঙ্কগুলি পূর্ববর্তী গুণাঙ্কটিকে {{sfrac|{{mvar|m}} &minus; ({{mvar|k}} &minus; 1)|{{mvar|k}}}} দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায় (যেমন পূর্ণসংখ্যক সূচকের ক্ষেত্রে), ফলে এই গুণাঙ্কগুলির জন্য একটি সূত্রের প্রকাশ দেওয়া হয়। তিনি স্পষ্টভাবে নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি লিখেন:<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Coolidge|প্রথমাংশ=J. L.|তারিখ=March 1949|শিরোনাম=The Story of the Binomial Theorem|ইউআরএল=http://www.jstor.org/stable/2305028?origin=crossref|সাময়িকী=The American Mathematical Monthly|খণ্ড=56|সংখ্যা নং=3|পাতাসমূহ=147|ডিওআই=10.2307/2305028}}</ref>
:<math>(1-x^2)^{1/2}=1-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8-\frac{x^6}{16}\cdots</math>

:<math>(1-x^2)^{3/2}=1-\frac{3x^2}2+\frac{3x^4}8+\frac{x^6}{16}\cdots</math>

:<math>(1-x^2)^{1/3}=1-\frac{x^2}3-\frac{x^4}9-\frac{5x^6}{81}\cdots</math>
অতএব, দ্বিপদী ধারাটি কখনও কখনও ''[[দ্বিপদী উপপাদ্য#সরলীকরণ|নিউটনের দ্বিপদী উপপাদ্য]]'' হিসেবে অভিহিত করা হয়। নিউটন কোন প্রমাণ দেননি এবং ধারাটির প্রকৃতি সম্পর্কে স্পষ্টভাবে কিছু উল্লেখ করেননি। পরে, ১৮২৬ সালে [[নিল্‌স হেনরিক আবেল|নীলস হেনরিক আবেল]] এই বিষয়টি ''ক্রেলস জার্নালে'' প্রকাশিত একটি প্রবন্ধে আলোচনা করেন, যেখানে বিশেষভাবে সংকোচনের প্রশ্নগুলি বিবেচনা করা হয়।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=admin|তারিখ=2013-10-20|ভাষা=fr|শিরোনাম=Niels Abel et les critères de convergence|ইউআরএল=http://www.bibnum.education.fr/math%C3%A9matiques/alg%C3%A9bre/niels-abel-et-les-crit%C3%A8res-de-convergence|সংগ্রহের-তারিখ=2024-12-21|ওয়েবসাইট=Bibnum Education}}</ref>
== আরও দেখুন ==
{{প্রবেশদ্বার|গণিত}}
* [[দ্বিপদী উপপাদ্য]]
* [[ল্যাম্বার্ট ডব্লিউ ফাংশন]]
== তথ্যসূত্র ==
{{সূত্র তালিকা}}
== বহিঃসংযোগ ==

[[বিষয়শ্রেণী:বাস্তব বিশ্লেষণ]]
[[বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধারা]]
[[বিষয়শ্রেণী:গৌণিক ও দ্বিপদী বিষয়]]
[[বিষয়শ্রেণী:জটিল বিশ্লেষণ]]