ধ্রুবক (গণিত)-এর উৎস দেখুন

{{জন্য|নির্দিষ্ট বিষয়ের ধারণার |গাণিতিক ধ্রুবক}}
[[গণিত]]ে, '''ধ্রুবক''' শব্দটি বিভিন্ন অর্থ বহন করে।[[বিশেষণ]] হিসাবে, এটি অপরিবর্তনশীলতাকে (অর্থাৎ নির্দিষ্ট কোন [[মান(গণিত)|মান]]ের সমান থাকা) নির্দেশ করে, [[বিশেষ্য]] হিসাবে, এর দুটি ভিন্ন অর্থ রয়েছে:
* একটি নির্দিষ্ট এবং সুসংজ্ঞায়িত সংখ্যা বা কোন অপরিবর্তনশীল গাণিতিক বস্তু অথবা এটি প্রকাশকারী কোনো [[প্রতীক]]।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Sobolev |প্রথমাংশ=S.K. (originator) |শিরোনাম=Individual constant |ইউআরএল=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Individual_constant&oldid=55830 |সংগ্রহের-তারিখ=2024-09-05 |ওয়েবসাইট=[[Encyclopedia of Mathematics]] |প্রকাশক=[[Springer Publishing|Springer]] |আইএসবিএন=1402006098}}</ref><ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Sobolev |প্রথমাংশ=S.K. (originator) |শিরোনাম=Constant |ইউআরএল=http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Constant&oldid=37036 |সংগ্রহের-তারিখ=2024-09-05 |ওয়েবসাইট=[[Encyclopedia of Mathematics]] |প্রকাশক=[[Springer Publishing|Springer]] |আইএসবিএন=1402006098}}</ref> শব্দগুলি পৃথক বোঝাতে কখনও কখনও  ''[[গাণিতিক ধ্রুবক]]'' বা ''[[ভৌত ধ্রুবক]]''  ব্যবহৃত হয়।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Definition of CONSTANT|ইউআরএল=https://www.merriam-webster.com/dictionary/constant|সংগ্রহের-তারিখ=2021-11-09|ওয়েবসাইট=www.merriam-webster.com|ভাষা=en}}</ref>
*একটি [[ফাংশন (গণিত)|ফাংশন]] যার মান অপরিবর্তিত থাকে (যেমন, একটি ''[[ধ্রুবক ফাংশন]]'')।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Weisstein|প্রথমাংশ=Eric W.|শিরোনাম=Constant|ইউআরএল=https://mathworld.wolfram.com/Constant.html|সংগ্রহের-তারিখ=2020-08-08|ওয়েবসাইট=mathworld.wolfram.com|ভাষা=en}}</ref> এধরনের ধ্রুবক সাধারণত একটি [[চলক (গণিত)|চলক]] দ্বারা উপস্থাপিত হয় যা প্রশ্নে থাকা প্রধান চলকের উপর নির্ভর করে না।

উদাহরণস্বরূপ, একটি সরল [[দ্বিঘাত সমীকরণ|দ্বিঘাত ফাংশন]] সাধারণত এভাবে লেখা হয়:
:<math>a x^2 + b x + c\, ,</math>

যেখানে {{mvar|a}}, {{mvar|b}} এবং {{mvar|c}} হচ্ছে ধ্রুবক ([[সহগ]] বা [[পরামিতি]]) এবং {{mvar|x}} একটি [[চলক (গণিত)|চলক]]— গাণিতিক শর্তানুসারে প্রদত্ত ফাংশনের মানের ধারক।

ফাংশনটিকে আরও সুনির্দিষ্টভাবে প্রকাশ করার একটি উপায় হল:
:<math>x\mapsto a x^2 + b x + c \, ,</math>

এটি ফাংশনের শর্তাধীনে {{mvar|x}} কে চলক হিসেবে (এবং {{mvar|a}}, {{mvar|b}} এবং {{mvar|c}} কে ধ্রুবক হিসাবেও) সুনির্দিষ্টভাবে চিহ্নিত করে। এই উদাহরণে {{mvar|a}}, {{mvar|b}} এবং {{mvar|c}} [[বহুপদী]]র [[সহগ]]। যেহেতু {{mvar|c}}, {{mvar|x}} বিহীন, তাই এটিকে [[ধ্রুবক পদ]] বলা হয় এবং {{math|''x''<sup>0</sup>}} কে এর সহগ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। সাধারণভাবে বললে, বহুপদী পরিভাষায় শূন্যঘাতি  (কোনো চলক নেই) যেকোনো বহুপদীর পদ একটি ধ্রুবক।<ref>{{বই উদ্ধৃতি | শেষাংশ = Foerster | প্রথমাংশ = Paul A. | শিরোনাম = Algebra and Trigonometry: Functions and Applications, Teacher's Edition | সংস্করণ = Classics | বছর = 2006 | আইএসবিএন = 0-13-165711-9 | প্রকাশক = [[Prentice Hall]] | অবস্থান = Upper Saddle River, NJ | ইউআরএল-সংগ্রহ = registration | ইউআরএল = https://archive.org/details/algebratrigonome00paul_0 }}</ref>{{rp|18}}

==ধ্রুবক ফাংশন==
কোনো ধ্রুবক দিয়ে একটি [[ধ্রুবক ফাংশন]]কে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে করা যেতে পারে যেন এটি শর্ত উপেক্ষা করে এবং সর্বদা একই মান প্রদান করে।<ref>{{বই উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Tanton|প্রথমাংশ=James|ইউআরএল=https://www.worldcat.org/oclc/56057904|শিরোনাম=Encyclopedia of mathematics|তারিখ=2005|প্রকাশক=Facts on File|আইএসবিএন=0-8160-5124-0|অবস্থান=New York|oclc=56057904}}</ref> একক চলকের একটি ধ্রুবক ফাংশন, যেন <math>f(x)=5</math>, এর [[লেখচিত্র]] একটি অনুভূমিক রেখা যা ''x''-অক্ষের সমান্তরাল।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Algebra|ইউআরএল=https://tutorial.math.lamar.edu/Classes/Alg/Alg.aspx|সংগ্রহের-তারিখ=2021-11-09|ওয়েবসাইট=tutorial.math.lamar.edu}}</ref>
এধরনের একটি ফাংশন সর্বদা একই মান (এই ক্ষেত্রে 5) গ্রহণ করে, কারণ ফাংশনকে সংজ্ঞায়িত করতে কোনো চলক ব্যবহৃত হয়নি।
[[File:Graph of a horizontal line.jpg|thumb|385x385px|<math>f(x) = 5</math> এর লেখচিত্র |none]]

== প্রসঙ্গ-নির্ভরতা ==
''ধ্রুবকের'' ধারণার প্রসঙ্গ-নির্ভরতা প্রাথমিক ক্যালক্যুলাস থেকে এই উদাহরণে দেখা যেতে পারে:
:<math>\begin{align}
\frac{d}{dx} 2^x  & = \lim_{h\to 0} \frac{2^{x+h} - 2^x} h = \lim_{h\to 0} 2^x\frac{2^h - 1} h \\[8pt]
& = 2^x \lim_{h\to 0} \frac{2^h - 1} h & & \text{since } x \text{ is constant (i.e. does not depend on } h\text{)} \\[8pt]
 & = 2^x \cdot\mathbf{constant,} & & \text{where }\mathbf{constant}\text{ means not depending on } x.
\end{align}</math>

এখানে ''ধ্রুবকের''  অর্থ এটি কোনো চলকের উপর নির্ভরশীল নয়, চলক পরিবর্তিত হলেও এর মান পরিবর্তিত হয় না। উপরের প্রথম ক্ষেত্রে, এটির মান&nbsp;''h'' এর উপর নির্ভরশীল নয়; দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, এটির মান&nbsp;''x'' এর উপর নির্ভরশীল নয়। একটি সীমিত প্রসঙ্গের একটি ধ্রুবককে একটি বৃহত্তর প্রসঙ্গে একটি চলক হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

==উল্লেখযোগ্য গাণিতিক ধ্রুবক==
{{মূল নিবন্ধ|গাণিতিক ধ্রুবক}}
কিছু মান গণিতে প্রচুর ব্যবহৃত হয় এবং প্রচলিত একটি নির্দিষ্ট প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এই [[মানক প্রতীক]] এবং তাদের মানগুলিকে [[গাণিতিক ধ্রুবক]] বলা হয়।যেমন:

* 0 ([[শূন্য]])
* 1 ([[এক]]), শূন্যের পরবর্তী [[স্বাভাবিক সংখ্যা]] 
* {{pi}} ([[পাই]]), বৃত্তের [[পরিধি]]র [[ব্যাস]]ের সাথে [[অনুপাত]]ের প্রতিনিধিত্বকারী ধ্রুবক, আনুমানিক 3.141592653589793238462643 এর সমান।<ref>{{বই উদ্ধৃতি | শেষাংশ = Arndt | প্রথমাংশ = Jörg | শেষাংশ২ = Haenel | প্রথমাংশ২ = Christoph | শিরোনাম = Pi – Unleashed | ইউআরএল = https://archive.org/details/piunleashed00jarn | ইউআরএল-সংগ্রহ = limited | পাতা = [https://archive.org/details/piunleashed00jarn/page/n253 240] | বছর = 2001 | প্রকাশক = Springer | আইএসবিএন = 978-3540665724}}</ref>
* {{mvar|[[e (গাণিতিক ধ্রুবক)|e]]}}, প্রায় 2.718281828459045235360287 এর সমান।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Weisstein|প্রথমাংশ=Eric W.|শিরোনাম=e|ইউআরএল=https://mathworld.wolfram.com/e.html|সংগ্রহের-তারিখ=2021-11-09|ওয়েবসাইট=mathworld.wolfram.com|ভাষা=en}}</ref>
* {{mvar|i}}, [[কাল্পনিক সংখ্যার একক]] যেখানে {{math|''i''<sup>2</sup> {{=}} −1}}.<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Weisstein|প্রথমাংশ=Eric W.|শিরোনাম=i|ইউআরএল=https://mathworld.wolfram.com/i.html|সংগ্রহের-তারিখ=2021-11-09|ওয়েবসাইট=mathworld.wolfram.com|ভাষা=en}}</ref>
* <math alt="Square root of 2">\sqrt{2}</math> ([[2 এর বর্গমূল]]), একক বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের কর্ণের দৈর্ঘ্য, আনুমানিক 1.414213562373095048801688 এর সমান।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Weisstein|প্রথমাংশ=Eric W.|শিরোনাম=Pythagoras's Constant|ইউআরএল=https://mathworld.wolfram.com/PythagorassConstant.html|সংগ্রহের-তারিখ=2021-11-09|ওয়েবসাইট=mathworld.wolfram.com|ভাষা=en}}</ref>
* {{mvar|φ}} ([[সোনালী অনুপাত]]), প্রায় 1.618033988749894848204586, বা বীজগাণিতিকভাবে, <math>1+ \sqrt{5} \over 2</math> এর সমান।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Weisstein|প্রথমাংশ=Eric W.|শিরোনাম=Golden Ratio|ইউআরএল=https://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html|সংগ্রহের-তারিখ=2021-11-09|ওয়েবসাইট=mathworld.wolfram.com|ভাষা=en}}</ref>

==ক্যালকুলাসে ধ্রুবক==
[[ক্যালকুলাস]], ধ্রুবককে প্রয়োগ অনুসারে বিভিন্নভাবে প্রক্রিয়া করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ধ্রুবক ফাংশনের [[অন্তরজ]] (পরিবর্তনের হার) শূন্য। এটি একারণে যে ধ্রুবক, সংজ্ঞা অনুসারে, পরিবর্তিত হয় না। তাই তাদের অন্তরজ শূন্য।

বিপরীতক্রমে, একটি ধ্রুবক ফাংশনের [[যোগজীকরণ|সমাকলন]] করার সময়, ধ্রুবকটি সমাকলনের চলক দ্বারা গুণিত হয়।

[[সীমা (গণিত)|লিমিট]] হিসাবের সময়, একটি ধ্রুবক হিসাবের আগে এবং পরে একই থাকে। 
একচলকের ফাংশনের সমাকলনে প্রায়শই একটি [[সমাকলন ধ্রুবক]] থাকে। এটি একারণে যে [[সমাকল]] হল [[বিপরীত ফাংশন|বিপরীত]] [[অন্তরজ]] অর্থাৎ সমাকলনের লক্ষ্য হল [[অবকলন|অন্তরীকরণ]]ের আগের মূল ফাংশনটি পুনরুদ্ধার করা। একটি ধ্রুবক ফাংশনের [[অন্তরজ]] শূন্য, যেমন উপরে উল্লেখ করা হয়েছে, এবং [[অন্তরজ অপারেটর]] হলো একটি রৈখিক অপারেটর, তাই কেবল ধ্রুবক পদ দ্বারা পৃথক ফাংশনগুলির অন্তরজ একই। এটি আমলে নেওয়ার জন্য, [[অনির্দিষ্ট যোগজ]]ে একটি [[সমাকলন ধ্রুবক]] যোগ করা হয়, এটি নিশ্চিত করে যে সম্ভাব্য সকল সমাধান অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। সমাকলন ধ্রুবককে সাধারণত 'c' হিসাবে লেখা হয় এবং এটি নির্দিষ্ট কিন্তু অসংজ্ঞায়িত মানের একটি ধ্রুবকের প্রতিনিধিত্ব করে।
===উদাহরণ===
যদি {{math|''f''}} একটি ধ্রুবক ফাংশন হয় যেন {{math|''x''}} এর প্রতিটি মানের জন্য <math>f(x) = 72</math> তাহলে
:<math>\begin{align}
           f'(x) &= 0 \\
  \int f(x) \,dx &= 72x + c\\
  \lim_{x\rarr0}f(x)&=72
\end{align}</math>

==আরও দেখুন==
*[[গাণিতিক প্রতীকের তালিকা]]
*[[ভৌত ধ্রুবক]]

==তথ্যসূত্র==
{{সূত্র তালিকা}}

==বহিঃসংযোগ==
*{{Commons category-inline|Constants}}

[[বিষয়শ্রেণী:বীজগণিত]]
[[বিষয়শ্রেণী:গণিত]]
[[বিষয়শ্রেণী:ধ্রুবক]]