পঞ্চভুজ-এর উৎস দেখুন

{{কাজ চলছে}}
{{তথ্যছক বহুভুজ
|name=পঞ্চভুজ
|image=5-gon cyclic 01.svg
|caption=একটি বৃত্তস্থ পঞ্চভুজ
|edges=৫
|angle=
}}

[[জ্যামিতি|জ্যামিতিতে]], '''পঞ্চভুজ'''  ({{ব্যুৎপত্তি|el|''πέντε'' (পেন্টে)|পাঁচ||''γωνία'' (গনিয়া)|কোণ}} ) যে কোনো পাঁচমুখী [[বহুভুজ]] বা পঞ্চকোণ। একটি সরল পঞ্চভুজের [[অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণ|অন্তঃস্থ কোণগুলোর]] সমষ্টি ৫৪০°।

পঞ্চভুজ সরল বা স্ব-ছেদী হতে পারে। একটি স্ব-ছেদী সুষম ''পঞ্চভুজ'' (বা ''তারা পঞ্চভুজ'' ) কে পেন্টাগ্রাম বলা হয়।

== সুষম পঞ্চভুজ ==
{{সুষম বহুভুজ ডাটাবেজ|Regular polygon stat table|p5}}

[[চিত্র:Regular_pentagon_1.svg|থাম্ব|বাহু ( <math>t</math> ), [[পরিবৃত্ত|পরিব্যাসার্ধ]] ( <math>R</math> ), অন্তঃব্যাসার্ধ ( <math>r</math> ), উচ্চতা {{Nowrap|(<math>R + r</math>)}}, প্রস্থ/ তির্যক {{Nowrap|(<math>\varphi t</math>)}}]]
''[[সুষম বহুভুজ|সুষম]]  পঞ্চভুজের'' শ্লেফ্লি প্রতীক {5} এবং [[অন্তঃকোণ ও বহিঃকোণ|অভ্যন্তরীণ কোণ]] 108° হয়।

একটি ''[[সুষম বহুভুজ|সুষম]]  পঞ্চভুজের'' [[প্রতিসাম্যের অক্ষ|আলোর প্রতিসাম্যের]] পাঁচটি রেখা রয়েছে এবং পাঁচ ক্রমের ঘূর্ণন প্রতিসাম্য রয়েছে (72°, 144°, 216° এবং 288° এর মধ্যে)। উত্তল সুষম পঞ্চভুজের [[কর্ণ (জ্যামিতি)|কর্ণ]] এর বাহু [[সোনালী অনুপাত|সোনালী অনুপাতের]] মধ্যে থাকে। পঞ্চভুজের  বাহুর  দৈর্ঘ্যকে <math>t,</math> এর উচ্চতা <math>H</math> (একবাহু থেকে বিপরীত শীর্ষের দূরত্ব), প্রস্থ <math>W</math> (দুটি দূরতম পৃথক বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব, যা তির্যক দৈর্ঘ্যের সমান <math>D</math> ) এবং পরিব্যাসার্ধ <math>R</math> দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

: <math>\begin{align}
  H &= \frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}~t \approx 1.539~t, \\
  W=
  D &= \frac{1 + \sqrt5}{2}~t\approx 1.618~t, \\
  W &= \sqrt{2-\frac{2}{\sqrt{5}}} \cdot H\approx 1.051~H, \\
  R &= \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{10}} t\approx 0.8507~t, \\
  D &= R\ {\sqrt { \frac {5 + \sqrt{5}}{2}} } = 2R\cos 18^\circ = 2R\cos\frac{\pi}{10} \approx 1.902~R.
\end{align}</math>

বাহুর দৈর্ঘ্যের সাহায্যে উত্তল সুষম পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল <math>t</math> দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

: <math>\begin{align}
  A &= \frac{{t^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5} }}{4} = \frac{5t^2 \tan 54^\circ}{4} \\
   &= \frac{\sqrt{5(5 + 2\sqrt{5})} \;t^2}{4} = \frac{t^2 \sqrt{4 \varphi^5 + 3}}{4}
 \approx 1.720~t^2 
\end{align}</math>

যদি একটি সুষম পঞ্চভুজের পরিব্যাসার্ধ  <math>R</math> দেওয়া থাকে, এর বাহুর দৈর্ঘ্য <math>t</math> সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:

: <math>t = R\ {\sqrt { \frac {5 - \sqrt{5}}{2}} } = 2R\sin 36^\circ = 2R\sin\frac{\pi}{5} \approx 1.176~R,</math>

এবং এর ক্ষেত্রফল হল:

: <math>A = \frac{5R^2}{4}\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}};</math>

যেহেতু পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল <math>\pi R^2,</math> সুষম পঞ্চভুজ তার পরিবৃত্তের প্রায় 0.7568 অংশের সমান।

=== ক্ষেত্রফল সূত্রের ব্যুৎপত্তি ===
যেকোনো সুষম বহুভুজের ক্ষেত্রফল হল:

: <math>A = \frac{1}{2}Pr</math>

যেখানে ''P'' হল বহুভুজের পরিধি, এবং ''r'' হল অন্তঃব্যাসার্ধ (সমতুল্যভাবে [[অ্যাপথেম]]  )। ''P'' এবং ''r-এর'' জন্য সুষম পঞ্চভুজের মানগুলি প্রতিস্থাপন করলে সূত্রটি পাওয়া যায়:

: <math>A = \frac{1}{2} \cdot 5t \cdot \frac{t\tan\mathord\left(\frac{3 \pi}{10}\right)}{2} = \frac{5t^2\tan\mathord\left(\frac{3 \pi}{10}\right)}{4}</math>

এখানে বাহুর দৈর্ঘ্য ''t''

=== অন্তঃব্যাসার্ধ ===
প্রতিটি সুষম উত্তল বহুভুজের মতো, সুষম উত্তল পঞ্চভুজের একটি অন্তঃবৃত্ত থাকে। সুষম পঞ্চভুজের অন্তর্লিখিত বৃত্তের ব্যাসার্ধ ''r'' এর [[অ্যাপথেম|অ্যাপথেমটি]] বাহুর দৈর্ঘ্য ''t'' এর সাথে সম্পর্কিত

: <math>r = \frac{t}{2\tan\mathord\left(\frac{\pi}{5}\right)} = \frac{t}{2\sqrt{5 - \sqrt{20}}} \approx 0.6882 \cdot t.</math>

=== পরিবৃত্ত থেকে শীর্ষবিন্দু পর্যন্ত জ্যা ===
প্রতিটি সুষম উত্তল বহুভুজের মতো, সুষম উত্তল পঞ্চভুজের একটি  পরিবৃত্ত থাকে। ক্রমাগত শীর্ষবিন্দু A, B, C, D, E সহ একটি নিয়মিত পঞ্চভুজের জন্য, যদি B এবং C বিন্দুর মধ্যে বৃত্তের কোন বিন্দু P হয়, তাহলে PA + PD = PB + PC + PE।

=== সমতলে বিন্দু ===
পরিব্যাসার্ধ <math>R</math> সহ একটি সুষম পঞ্চভুজের সমতলে নির্বিচারে যেকোনো বিন্দুর জন্য , যার দূরত্ব সুষম পঞ্চভুজের ভরকেন্দ্র এবং এর পাঁচটি শীর্ষবিন্দু হতে যথাক্রমে <math>L</math> এবং <math>d_i</math>, আমরা পাই <ref name="Mamuka">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Meskhishvili|প্রথমাংশ=Mamuka|তারিখ=2020|শিরোনাম=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids|ইউআরএল=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065|পাতাসমূহ=335–355}}</ref>

: <math>\begin{align}
 \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^2 &= 5\left(R^2 + L^2\right), \\
 \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^4 &= 5\left(\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2R^2 L^2\right), \\
 \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^6 &= 5\left(\left(R^2 + L^2\right)^3 + 6R^2 L^2 \left(R^2 + L^2\right)\right), \\
 \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^8 &= 5\left(\left(R^2 + L^2\right)^4 + 12R^2 L^2 \left(R^2 + L^2\right)^2 + 6R^4 L^4\right).
\end{align}</math>

যদি <math>d_i</math> একটি সুষম পঞ্চভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে তার পরিবৃত্তের যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব হয়, তাহলে <ref name="Mamuka">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Meskhishvili|প্রথমাংশ=Mamuka|তারিখ=2020|শিরোনাম=Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids|ইউআরএল=https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065|পাতাসমূহ=335–355}}<cite class="citation journal cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFMeskhishvili2020">Meskhishvili, Mamuka (2020). [https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065 "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids"]. ''Communications in Mathematics and Applications''. '''11''': 335–355.</cite></ref>

: <math>3\left(\textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^2\right)^2 = 10 \textstyle \sum_{i=1}^5 d_i^4 .</math>

=== জ্যামিতিক অঙ্কন ===
সুষম পঞ্চভুজ পেন্সিল কম্পাস এবং রুলার দিয়ে সহজেই অঙ্কনযোগ্য, কারণ ৫ একটি [[ফার্মা সংখ্যা|ফার্ম্যাট প্রাইম]] । সুষম পঞ্চভুজ অঙ্কনের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি প্রচলিত। নিচে কিছু আলোচনা করা হল।

==== রিচমন্ডের পদ্ধতি ====
[[চিত্র:Richmond_pentagon_1.PNG|থাম্ব]]
প্রদত্ত বৃত্তে সুষম পঞ্চভুজ নির্মাণের একটি পদ্ধতি রিচমন্ড <ref name="Richmond">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Richmond|প্রথমাংশ=Herbert W.|বছর=1893|শিরোনাম=A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=bcMKAAAAIAAJ&pg=PA206|পাতাসমূহ=206–207}}</ref> বর্ণনা করেছেন এবং আরও আলোচনা করা হয়েছে ক্রমওয়েলের ''পলিহেড্রায়'' । <ref>{{বই উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Polyhedra|শিরোনামের-সংযোগ=Polyhedra (book)|শেষাংশ=Peter R. Cromwell|তারিখ=22 July 1999|প্রকাশক=Cambridge University Press|at=[https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PA63 p. 63]|আইএসবিএন=0-521-66405-5}}</ref>

উপরের প্যানেলটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত পঞ্চভুজের বাহু অঙ্কন করতে রিচমন্ডের পদ্ধতিতে দেখায়। পঞ্চভুজটি একটি একক ব্যাসার্ধের বৃত্তে অন্তর্লিখিত। এর কেন্দ্রটি ''C'' বিন্দুতে অবস্থিত এবং একটি মধ্যবিন্দু ''M'' এর ব্যাসার্ধ বরাবর অর্ধেক পথ চিহ্নিত করা হয়েছে। এই বিন্দুটি ''D'' বিন্দুতে কেন্দ্রের উপরে উল্লম্বভাবে পরিধির সাথে যুক্ত হয়েছে। কোণ ''CMD'' দ্বিখণ্ডিত, এবং দ্বিখণ্ডকটি উল্লম্ব অক্ষকে ''Q'' বিন্দুতে ছেদ করে। ''Q এর'' মধ্য দিয়ে একটি অনুভূমিক রেখা বৃত্তটিকে ''P'' বিন্দুতে ছেদ করে, এবং জ্যা ''PD'' হল খোদাই করা পঞ্চভুজের প্রয়োজনীয় দিক।

এই বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করতে, দুটি সমকোণী ত্রিভুজ ''DCM'' এবং ''QCM'' বৃত্তের নীচে চিত্রিত করা হয়েছে। [[পিথাগোরাসের উপপাদ্য]] এবং দুটি বাহু ব্যবহার করে বৃহত্তর ত্রিভুজের কর্ণ পাওয়া যায় <math>\scriptstyle \sqrt{5}/2</math> . ছোট ত্রিভুজের পার্শ্ব ''h'' তারপর [[ত্রিকোণমিতিক অভেদসমূহের তালিকা|অর্ধ-কোণ সূত্র]] ব্যবহার করে পাওয়া যায়:

: <math>\tan(\phi/2) = \frac{1 - \cos(\phi)}{\sin(\phi)} \ ,</math>

যেখানে বৃহত্তর ত্রিভুজ থেকে ''ϕ'' এর কোসাইন এবং সাইন জানা যায়। ফলাফল হল:

: <math>h = \frac{\sqrt 5 - 1}{4} \ .</math>

যদি DP সত্যিই একটি নিয়মিত পেন্টাগনের পাশে হয়, <math>m \angle\mathrm{CDP} = 54^\circ</math>, তাই DP = 2 cos(54°), QD = DP cos(54°) = 2cos <sup>2</sup> (54°), এবং CQ = 1 − 2cos <sup>2</sup> (54°), যা কোসাইন দ্বারা −cos(108°) সমান [[ত্রিকোণমিতিক অভেদসমূহের তালিকা|ডবল কোণ সূত্র]] । এটি 72° এর কোসাইন, যা সমান <math>\left(\sqrt 5 - 1\right)/4</math> ইচ্ছামত

==== কার্লাইল বৃত্ত ====
[[চিত্র:Regular_Pentagon_Using_Carlyle_Circle.gif|থাম্ব|কার্লাইল চেনাশোনা ব্যবহার করার পদ্ধতি]]
কার্লাইল বৃত্তটি একটি [[দ্বিঘাত সমীকরণ|দ্বিঘাত সমীকরণের]] মূল খুঁজে বের করার জন্য একটি জ্যামিতিক পদ্ধতি হিসাবে উদ্ভাবিত হয়েছিল। <ref name="Weisstein">{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=Zg1_QZsylysC&pg=PA329|শিরোনাম=CRC concise encyclopedia of mathematics|শেষাংশ=Eric W. Weisstein|বছর=2003|প্রকাশক=CRC Press|পাতা=329|আইএসবিএন=1-58488-347-2|সংস্করণ=2nd}}</ref> এই পদ্ধতিটি একটি নিয়মিত পেন্টাগন নির্মাণের জন্য একটি পদ্ধতির দিকে পরিচালিত করে। ধাপগুলো নিম্নরূপঃ <ref name="DeTemple">{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=DeTemple|প্রথমাংশ=Duane W.|তারিখ=Feb 1991|শিরোনাম=Carlyle circles and Lemoine simplicity of polygon constructions|ইউআরএল=http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf|পাতাসমূহ=97–108|ডিওআই=10.2307/2323939|jstor=2323939|আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20151221113614/http://apollonius.math.nthu.edu.tw/d1/ne01/jyt/linkjstor/regular/1.pdf#3|আর্কাইভের-তারিখ=2015-12-21|ইউআরএল-অবস্থা=dead}}</ref>

# একটি [[বৃত্ত]] আঁকুন যাতে পঞ্চভুজ খোদাই করা যায় এবং কেন্দ্র বিন্দু ''O'' চিহ্নিত করা যায়।
# বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে একটি অনুভূমিক রেখা আঁকুন। বৃত্তের সাথে বাম ছেদটিকে ''বি'' বিন্দু হিসাবে চিহ্নিত করুন।
# কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে একটি উল্লম্ব রেখা তৈরি করুন। বৃত্তের সাথে একটি ছেদকে বিন্দু ''A'' হিসাবে চিহ্নিত করুন।
# ''O'' এবং ''B'' এর মধ্যবিন্দু হিসাবে ''M'' বিন্দুটি তৈরি করুন।
# ''A'' বিন্দু দিয়ে ''M'' কেন্দ্রিক একটি বৃত্ত আঁকুন। অনুভূমিক রেখা (মূল বৃত্তের ভিতরে) দিয়ে এর ছেদকে ''W'' বিন্দু হিসাবে এবং বৃত্তের বাইরে এর ছেদটিকে ''V'' বিন্দু হিসাবে চিহ্নিত করুন।
# ব্যাসার্ধ ''OA'' এবং কেন্দ্র ''W'' এর একটি বৃত্ত আঁকুন। এটি পেন্টাগনের দুটি শীর্ষবিন্দুতে মূল বৃত্তটিকে ছেদ করে।
# ব্যাসার্ধ ''OA'' এবং কেন্দ্র ''V'' এর একটি বৃত্ত আঁকুন। এটি পেন্টাগনের দুটি শীর্ষবিন্দুতে মূল বৃত্তটিকে ছেদ করে।
# পঞ্চম শীর্ষবিন্দু হল মূল বৃত্তের সাথে অনুভূমিক রেখার ডানদিকের ছেদ।

পদক্ষেপ 6-8 নিম্নলিখিত সংস্করণের সমতুল্য, অ্যানিমেশনে দেখানো হয়েছে:

: 6 ক. O এবং W এর মধ্যবিন্দু হিসাবে F বিন্দু তৈরি করুন।

: 7 ক. F এর মাধ্যমে একটি উল্লম্ব রেখা তৈরি করুন। এটি পেন্টাগনের দুটি শীর্ষে মূল বৃত্তকে ছেদ করে। তৃতীয় শীর্ষবিন্দু হল মূল বৃত্তের সাথে অনুভূমিক রেখার ডানদিকের ছেদ।

: 8 ক. কম্পাস এবং ধাপ 7a এ পাওয়া শীর্ষবিন্দুর দৈর্ঘ্য ব্যবহার করে অন্য দুটি শীর্ষবিন্দু তৈরি করুন।

==== ইউক্লিডের পদ্ধতি ====
[[চিত্র:01-Pentagon-Euklid_Animation.gif|থাম্ব|একটি প্রদত্ত বৃত্তে পেন্টাগনের জন্য ইউক্লিডের পদ্ধতি, সোনালী ত্রিভুজ ব্যবহার করে, অ্যানিমেশন 1 মিনিট 39 সেকেন্ড]]
একটি নিয়মিত পেন্টাগন একটি কম্পাস এবং সোজা প্রান্ত ব্যবহার করে গঠনযোগ্য, হয় একটি প্রদত্ত বৃত্তে একটিকে খোদাই করে বা একটি প্রদত্ত প্রান্তে একটি নির্মাণ করে। এই প্রক্রিয়াটি [[ইউক্লিড]] তার ''[[মৌলিক উপাদানসমূহ (ইউক্লিড)|Elements]]'' circa 300 BC-তে বর্ণনা করেছিলেন। <ref name="Martin">{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=ABLtD3IE_RQC&pg=PA6|শিরোনাম=Geometric constructions|শেষাংশ=George Edward Martin|বছর=1998|প্রকাশক=Springer|পাতা=6|আইএসবিএন=0-387-98276-0}}</ref><ref name="Fitzpatrick">{{বই উদ্ধৃতি|ইউআরএল=https://farside.ph.utexas.edu/books/Euclid/Elements.pdf#page=120&zoom=auto,-205,774|শিরোনাম=Euklid's Elements of Geometry, Book 4, Proposition 11|শেষাংশ=Fitzpatrick|প্রথমাংশ=Richard|বছর=2008|প্রকাশক=Lulu.com|পাতা=119|আইএসবিএন=978-0-615-17984-1}}</ref>
=== ভৌত নির্মাণ পদ্ধতি ===
[[File:Overhand-folded-ribbon-pentagon.svg|thumb|কাগজের ফিতার উপরিভাগের গিঁট]]
* একটি সুষম পঞ্চভুজ কেবল একটি কাগজের ফিতা ব্যবহার করেই তৈরি করা সম্ভব। এর জন্য ফিতায় একটি [[উপরিভাগের গিঁট]] (overhand knot) বেঁধে, ধীরে ধীরে গিঁটটি চেপে সমতল করে ফিতার দুই প্রান্ত টেনে সোজা করতে হয়। পঞ্চভুজ তৈরি হওয়ার পর, ফিতার এক প্রান্ত ভাঁজ করে পঞ্চভুজের উপর দিয়ে রাখলে, পিছন থেকে আলো দিলে একটি পেন্টাগ্রাম দেখা যাবে।<ref>''[[Mathematical Models (Cundy and Rollett)|Mathematical Models]]'' by [[Martyn Cundy|H. Martyn Cundy]] and A.P. Rollett, second edition, 1961 (Oxford University Press), p. 57.</ref>
*শক্ত কাগজ বা কার্ডবোর্ডে একটি নিয়মিত [[ষড়ভুজ]]  তৈরি করুন। বিপরীত শীর্ষবিন্দুগুলোর মধ্যে তিনটি ব্যাস বরাবর ভাঁজ করুন। একটি শীর্ষবিন্দু থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত কেটে একটি সমবাহু ত্রিভুজাকার ফ্ল্যাপ তৈরি করুন। এই ফ্ল্যাপটিকে তার পাশের অংশের নিচে স্থির করে লাগান। এভাবে একটি [[পঞ্চভুজাকার পিরামিড]] তৈরি হবে, যার ভিত্তি হবে একটি সুষম পঞ্চভুজ।

=== প্রতিসাম্য ===
[[File:Symmetries of pentagon.png|thumb|একটি সুষম পঞ্চভুজের প্রতিসাম্য। শীর্ষবিন্দুগুলো তাদের প্রতিসম অবস্থান অনুযায়ী রঙ করা হয়েছে। নীল প্রতিফলন রেখাগুলো শীর্ষবিন্দু এবং প্রান্ত বরাবর আঁকা হয়েছে। কেন্দ্রের গাইরেশন ক্রমগুলো (gyration orders) উল্লেখ করা হয়েছে।]]

The ''regular pentagon'' has [[dihedral symmetry|Dih<sub>5</sub> symmetry]], order 10. Since 5 is a [[prime number]] there is one subgroup with dihedral symmetry: Dih<sub>1</sub>, and 2 [[cyclic group]] symmetries: Z<sub>5</sub>, and Z<sub>1</sub>.

These 4 symmetries can be seen in 4 distinct symmetries on the pentagon. [[John Horton Conway|John Conway]] labels these by a letter and group order.<ref>John H. Conway, Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], (2008) The Symmetries of Things, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon pp. 275-278)</ref> Full symmetry of the regular form is '''r10''' and no symmetry is labeled '''a1'''. The dihedral symmetries are divided depending on whether they pass through vertices ('''d''' for diagonal) or edges ('''p''' for perpendiculars), and '''i''' when reflection lines path through both edges and vertices. Cyclic symmetries in the middle column are labeled as '''g''' for their central gyration orders.

Each subgroup symmetry allows one or more degrees of freedom for irregular forms. Only the '''g5''' subgroup has no degrees of freedom but can be seen as [[directed edge]]s.

=== সুষম পেন্টাগ্রাম ===
A pentagram or pentangle is a [[regular polygon|regular]] [[star polygon|star]] pentagon. Its [[Schläfli symbol]] is {5/2}. Its sides form the diagonals of a regular convex pentagon – in this arrangement the [[Pentagram#Golden ratio|sides of the two pentagons]] are in the [[golden ratio]].

== সমবাহু পঞ্চভুজ ==
[[File:Equilateral pentagon.SVG|thumb|class=skin-invert-image|একটি শৃঙ্খলে নিষ্পত্তি করা চারটি সমান বৃত্ত সহ নির্মিত সমবাহু পঞ্চভুজ]]

একটি সমবাহু পঞ্চভুজ হলো এমন একটি বহুভুজ, যার পাঁচটি বাহুর দৈর্ঘ্য সমান। তবে, এর পাঁচটি অভ্যন্তরীণ কোণের মান বিভিন্ন হতে পারে, যার প্রত্যেকটি একেকটি পঞ্চভুজ (ত্রিমাত্রিক ক্ষেত্রে)। এর বিপরীতে, একটি সুষম পঞ্চভুজ অনুরূপতার দৃষ্টিকোণ থেকে অনন্য, কারণ এটি সমবাহু এবং সমকোণী (এর পাঁচটি কোণ সমান)।

== বৃত্তীয় পঞ্চভুজ ==
একটি [[বৃত্তীয় বহুভুজ|বৃত্তীয়]] পঞ্চভুজ হল এমন একটি পঞ্চভুজ যার সমস্ত পাঁচটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত যায়, যাকে পরিবৃত্ত বলা হয়। সাধারণ পঞ্চভুজ হল বৃত্তীয় পঞ্চভুজের একটি উদাহরণ। একটি বৃত্তীয় পঞ্চভুজের ক্ষেত্রফল, তা সাধারণ হোক বা না হোক, পঞ্চভুজের বাহুগুলির ফাংশন হিসাবে একটি [[সেপ্টিক সমীকরণ]]-এর মূলগুলির মধ্যে একটির বর্গমূলের এক চতুর্থাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।<ref>Weisstein, Eric W. "Cyclic Pentagon." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [http://mathworld.wolfram.com/CyclicPentagon.html]</ref><ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Robbins |প্রথমাংশ=D. P. |তারিখ=1994 |শিরোনাম=Areas of Polygons Inscribed in a Circle |সাময়িকী=[[Discrete and Computational Geometry]] |খণ্ড=12 |সংখ্যা নং=2 |পাতাসমূহ=223–236 |ডিওআই=10.1007/bf02574377|doi-access=free }}</ref><ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Robbins |প্রথমাংশ=D. P. |তারিখ=1995 |শিরোনাম=Areas of Polygons Inscribed in a Circle |সাময়িকী=The American Mathematical Monthly |খণ্ড=102 |সংখ্যা নং=6 |পাতাসমূহ=523–530 |ডিওআই=10.2307/2974766|jstor=2974766 }}</ref>

যেসব বৃত্তীয় পঞ্চভুজের বাহু এবং ক্ষেত্রফল মূলদ সংখ্যা হয়, তাদের [[রবিন্স পঞ্চভুজ]] বলা হয়। এটি প্রমাণিত হয়েছে যে একটি রবিন্স পঞ্চভুজের কর্ণগুলি হয় সবই মূলদ হতে হবে অথবা সবই অমূলদ হতে হবে, এবং এটি অনুমান করা হয় যে সমস্ত কর্ণই মূলদ হবে।<ref>*{{citation
 | last1 = Buchholz
 | first1 = Ralph H.
 | last2 = MacDougall
 | first2 = James A.
 | doi = 10.1016/j.jnt.2007.05.005
 | issue = 1
 | journal = [[Journal of Number Theory]]
 | mr = 2382768
 | pages = 17–48
 | title = Cyclic polygons with rational sides and area
 | volume = 128
 | year = 2008
 | doi-access = free
 }}.</ref>

== সাধারণ উত্তল পঞ্চভুজসমূহ ==

For all convex pentagons with sides <math>a, b, c, d, e</math> and diagonals <math>d_1, d_2, d_3, d_4, d_5</math>, the following inequality holds:<ref name="Crux">''Inequalities proposed in “[[Crux Mathematicorum]]”'', [http://www.imomath.com/othercomp/Journ/ineq.pdf].</ref>{{rp|p.75,#1854}}

:<math>3(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2) > d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2+d_5^2</math>.

== টাইলিংয়ে পঞ্চভুজ ==
[[File:2-d pentagon packing dual.svg|thumb|right|একই আকারের সুষম পঞ্চভুজের সেরা প্যাকিংটি একটি দ্বৈত সজ্জা কাঠামো যা সমতলটির 92.131% আচ্ছাদিত করে।]]
একটি সাধারণ পঞ্চভুজ কোনো সাধারণ বহুভুজের টাইলিং-এ উপস্থিত হতে পারে না। প্রথমে, এটি প্রমাণ করে যে একটি পঞ্চভুজ [[সুষম টাইলিং]] গঠন করতে পারে না (যেখানে সমস্ত মুখ সর্বসম হয়, অর্থাৎ সমস্ত বহুভুজ পঞ্চভুজ হতে হবে), লক্ষ্য করা যায় যে {{nowrap|360° / 108° {{=}} 3{{frac|1|3}}}} (যেখানে 108° হল অভ্যন্তরীণ কোণ), যা একটি পূর্ণ সংখ্যা নয়; সুতরাং, একটি শীর্ষবিন্দুতে কোনো পূর্ণসংখ্যার সংখ্যক পঞ্চভুজ শেয়ার করে এবং তাদের মধ্যে কোনো ফাঁক না রেখে টাইলিং সম্ভব নয়। আরও কঠিন হল এই প্রমাণ করা যে একটি পঞ্চভুজ সাধারণ বহুভুজ দ্বারা তৈরি কোনো প্রান্ত-থেকে-প্রান্ত টাইলিং-এ থাকতে পারে না:

সাধারণ পঞ্চভুজের সর্বাধিক পরিচিত [[প্যাকিং ঘনত্ব]] হল <math>(5-\sqrt 5)/3\approx 0.921</math>, যা [[ডাবল ল্যাটিস]] প্যাকিং দ্বারা অর্জিত হয়। 2016 সালে প্রকাশিত একটি প্রিপ্রিন্টে, [[Thomas Callister Hales|থমাস হেলস]] এবং ওয়োডেন কুসনার ঘোষণা করেছিলেন যে সাধারণ পঞ্চভুজের এই ডাবল ল্যাটিস প্যাকিং (যা "পেন্টাগোনাল আইস-রে" চাইনিজ ল্যাটিস ডিজাইন নামে পরিচিত, আনুমানিক 1900 সালের) সমতলে সাধারণ পঞ্চভুজের সমস্ত প্যাকিংয়ের মধ্যে সর্বোত্তম ঘনত্ব রয়েছে।<ref>{{citation | last1 = Hales | first1 = Thomas | author1-link = Thomas Callister Hales | last2 = Kusner | first2 = Wöden | arxiv = 1602.07220 | date = September 2016 | title = Packings of regular pentagons in the plane}}</ref>

4 বা তার বেশি সাধারণ বহুভুজ একটি শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয়ে একটি পঞ্চভুজ ধারণ করতে পারে না। 3টি বহুভুজের সংমিশ্রণের ক্ষেত্রে, যদি 3টি বহুভুজ একটি শীর্ষবিন্দুতে মিলিত হয় এবং একটির বাহুর সংখ্যা বিজোড় হয়, তবে অন্য দুটি সর্বসম হতে হবে। এর কারণ হল পঞ্চভুজের প্রান্তসমূহ স্পর্শ করা বহুভুজগুলি পঞ্চভুজের চারপাশে পর্যায়ক্রমে থাকতে হবে, যা পঞ্চভুজের বিজোড় সংখ্যক বাহুর কারণে অসম্ভব। পঞ্চভুজের জন্য, এটি এমন একটি বহুভুজ তৈরি করে যার কোণগুলি সবই {{nowrap|(360 − 108) / 2 {{=}} 126°}}। এই বহুভুজের বাহুর সংখ্যা খুঁজে বের করতে, ফলাফল হল {{nowrap|360 / (180 − 126) {{=}} 6{{frac|2|3}}}}, যা একটি পূর্ণ সংখ্যা নয়। সুতরাং, সাধারণ বহুভুজ দ্বারা তৈরি কোনো টাইলিং-এ একটি পঞ্চভুজ উপস্থিত হতে পারে না।

15 শ্রেণীর পঞ্চভুজ রয়েছে যা সমতলকে [[পেন্টাগোনাল টাইলিং#মনোহেড্রাল উত্তল পেন্টাগোনাল টাইলিং|মনোহেড্রালভাবে টাইল]] করতে পারে। সাধারণভাবে এই পঞ্চভুজগুলির কোনো প্রতিসাম্য নেই, যদিও কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে দর্পণ প্রতিসাম্য থাকতে পারে।
{| class=wikitable
|+ 15 মনোহেড্রাল পঞ্চভুজীয় টাইলস
!1||2||3||4||5
|- align=center
|[[File:Prototile p5-type1.png|120px]]
|[[File:Prototile p5-type2.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type3.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type4.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type5.png|120px]]
|- align=center
!6||7||8||9||10
|- align=center
|[[File:Prototile p5-type6.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type7.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type8.png|120px]]
|[[File:Prototile p5-type9.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type10.png|120px]]
|- align=center
!11||12||13||14||15
|- align=center
|[[File:Prototile p5-type11.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type12.png|120px]]
||[[File:Prototile p5-type13.png|120px]]
|[[File:Prototile p5-type14.png|120px]]
|[[File:Prototile p5-type15.png|120px]]
|}

== বহুপৃষ্ঠক পঞ্চভুজ ==

{| class=wikitable width=840
![[আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য|I<sub>h</sub>]]
![[পাইরিটোহেড্রাল প্রতিসাম্য|T<sub>h</sub>]]
![[চতুস্তলকীয় প্রতিসাম্য|চতুস্তল]]
![[অষ্টতলকীয় প্রতিসাম্য|অষ্টতল]]
![[আইকোসাহেড্রাল প্রতিসাম্য|I]]
![[ত্রিমাত্রিক ডাইহেড্রাল প্রতিসাম্য|D<sub>5d</sub>]]
|-
|[[File:Dodecahedron.svg|120px]]
|[[File:Pyritohedron.png|120px]]
|[[File:Tetartoid.png|120px]]
|[[File:Pentagonalicositetrahedronccw.jpg|120px]]
|[[File:Pentagonalhexecontahedronccw.jpg|120px]]
|[[File:Pentagonal truncated trapezohedron.png|120px]]
|- align=center
|[[ডোডেকাহেড্রন]]
|[[পাইরিটোহেড্রন]]
|[[টেটারটয়েড]]
|[[পঞ্চভুজীয় আইকোসিটেট্রাহেড্রন]]
|[[পঞ্চভুজীয় হেক্সেকনটাহেড্রন]]
|[[অগ্রভাগহীন ট্র্যাপিজোহেড্রন]]
|}

== প্রকৃতিতে পঞ্চভুজ ==

=== উদ্ভিদ ===
<gallery>
File:BhindiCutUp.jpg|ভিন্ডির পঞ্চভুজীয় ক্রস-সেকশন।
File:Morning Glory Flower.jpg|[[মর্নিং গ্লোরি]], অন্যান্য অনেক ফুলের মতো, পঞ্চভুজ আকৃতি রয়েছে।
File:Rafflesia arnoldi - panoramio.jpg|[[র‍্যাফলেসিয়া]] ফুলের পেরিগোন টিউব হলো একটি নলাকার গঠন যা ফুলের পাপড়ির অংশ হিসেবে কাজ করে।
File:Sterappel dwarsdrsn.jpg| আপেলের গাইনোশিয়াম (মাতৃকেন্দ্র) পাঁচটি কারপেল ধারণ করে, যা পঞ্চকোণী তারা আকারে সাজানো থাকে।
File:Carambola Starfruit.jpg|''[[কামরাঙা]]'' আরেকটি ফল যা পাঁচ মাত্রিক প্রতিসাম্যের অধিকারী।
</gallery>

=== প্রাণী ===
<gallery>
File:Oreaster reticulatus201905mx.jpg|[[সমুদ্র তারা]]।  অনেক একাইনোডার্মের এর পঞ্চমাত্রিক [[অরীয় প্রতিসাম্যতা]] রয়েছে।
File:Sea Urchin Endoskeleton.jpg|একাইনোডার্মের আরেকটি উদাহরণ, একটি [[সমুদ্রিক অর্চিন]]ের [[অন্তঃকঙ্কাল]]।
File:Haeckel Ophiodea.jpg|[[ব্রিটল স্টার]] এর একটি চিত্র, এটিও পঞ্চভুজ আকৃতির একাইনোডার্ম।
</gallery>

=== খনিজ ===
<gallery>
File:Ho-Mg-ZnQuasicrystal.jpg|একটি হো-এমজি-জেডএন আয়কোসাহেড্রাল কোয়াসিক্রিস্টাল যা একটি পঞ্চভুজাকৃতি ডোডেকাহেড্রন হিসেবে গঠিত। এর পৃষ্ঠগুলি সত্যিকারের সুষম পঞ্চভুজ।
File:Pyrite elbe.jpg|'পাইরাইটের একটি পিরিটোহেড্রাল স্ফটিক। একটি পিরিটোহেড্রাল স্ফটিকের ১২টি একরকম পঞ্চভুজীয় (পাঁচকোণা) পৃষ্ঠ থাকে, যেগুলি সুষম না হলেও একে অপরের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।
File:Au-Gold-2-1-16 Miass 2018-03-01 11-05-41 V3.gif|স্বর্ণের একটি [[ফাইভিং]], আধা সেন্টিমিটার লম্বা।
</gallery>

== অন্য উদাহরণ ==
<gallery>
File:The Pentagon January 2008.jpg|[[পেন্টাগন]], [[মার্কিন প্রতিরক্ষা বিভাগ]]ের সদর দপ্তর।
File:Home base of baseball field in Třebíč, Třebíč District.jpg|বেসবল মাঠের [[হোম প্লেট]]
</gallery>

== আরও দেখুন ==
* [[সোনালী অনুপাত]]
* [[জ্যামিতি]]
* [[পেন্টাগ্রাম]]
* [[পিথাগোরাসের উপপাদ্য]]
* [[পিথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক উপপাদ্য]]

== টীকা ও তথ্যসূত্র ==
{{সূত্র তালিকা|30em}}

== বহিঃসংযোগ ==
{{Wiktionary|পঞ্চভুজ}}
{{কমন্স বিষয়শ্রেণী}}
* {{MathWorld|title=Pentagon|urlname=Pentagon}}
* [http://www.mathopenref.com/constinpentagon.html Animated demonstration] constructing an inscribed pentagon with compass and straightedge.
* [https://web.archive.org/web/20080616063532/http://www.opentutorial.com/Construct_a_pentagon How to construct a regular pentagon] with only a compass and straightedge.
* [https://web.archive.org/web/20080701200220/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi2DGeomTrig.html#knot How to fold a regular pentagon] using only a strip of paper
* [http://www.mathopenref.com/pentagon.html Definition and properties of the pentagon], with interactive animation
* [https://www.maa.org/book/export/html/116449 Renaissance artists' approximate constructions of regular pentagons] {{ওয়েব আর্কাইভ|ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20210413193914/https://www.maa.org/book/export/html/116449 |তারিখ=2021-04-13 }}
* [http://whistleralley.com/polyhedra/pentagon.htm Pentagon.] How to calculate various dimensions of regular pentagons.

{{বহুভুজ}}
{{কর্তৃপক্ষ নিয়ন্ত্রণ}}

[[বিষয়শ্রেণী:প্রাথমিক আকার]]
[[বিষয়শ্রেণী:গঠনযোগ্য বহুভুজ]]
[[বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা]]
[[বিষয়শ্রেণী:বহুভুজ]]