প্রাথমিক বীজগণিত-এর উৎস দেখুন

{{চিত্রের ফ্রেম|content=<math>\overset{}{\underset{}{ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac} }{2a} } }</math>|width=200|caption=[[দ্বিঘাত সমীকরণ]] <math>ax^2+bx+c=0</math> where <math>a\neq0</math> এর সমাধান [[দ্বিঘাত সূত্র]]. এখানে {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, এবং {{mvar|c}} হলো স্বাধীন সংখ্যা, এবং {{mvar|x}} হচ্ছে সমীকরণটির সমাধান.|max-width=100|align=right}}

'''প্রাথমিক বীজগণিত''', এটি '''কলেজ বীজগণিত''' নামেও পরিচিত,<ref>Pierce, R., [https://www.mathsisfun.com/algebra/index-college.html College Algebra], ''Maths is Fun'', accessed 28 August 2023</ref> [[বীজগণিত|বীজগণিতের]] মৌলিক ধারণাগুলোর সমন্বয়ে এটি গঠিত। এটি [[পাটিগণিত|পাটিগণিতের]] আলোচ্য বিষয়গুলো থেকে অনেকটাই বিপরীত: পাটিগণিতে নির্দিষ্ট [[সংখ্যা]] নিয়ে আলোচনা করা হয়,<ref>[[Herbert Ellsworth Slaught|H.E. Slaught]] and N.J. Lennes, ''Elementary algebra'', Publ. Allyn and Bacon, 1915, [https://books.google.com/books?id=gLii_eO4dNsC&dq=%22Elementary%20algebra%22%20letters&pg=PA1 page 1] (republished by Forgotten Books)</ref> সেখানে বীজগণিতে [[চলক (গণিত)|চলক]] (কোন নির্দিষ্ট মান ছাড়াই পরিমাণ বুঝানোর ক্ষেত্রে) নিয়ে আলোচনা করা হয়।<ref>Lewis Hirsch, Arthur Goodman, ''Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students'', Publisher: Cengage Learning, 2005, {{আইএসবিএন|0534999727}}, 9780534999728, 654 pages, [https://books.google.com/books?id=7hdK4RSub5cC&q=generalization&pg=PA2 page 2]</ref>

চলকের ব্যবহারের মধ্যে রয়েছে বীজগাণিতিক লিপির ব্যবহার এবং পাটিগণিতের মধ্যে প্রবর্তিত [[গাণিতিক প্রক্রিয়া|ক্রিয়াকলাপের]] সাধারণ নিয়মগুলো যেমনঃ যোগ, বিয়োগ, গুণ, ভাগ ইত্যাদি। প্রাথমিক বীজগণিত [[বাস্তব সংখ্যা]] এবং [[জটিল সংখ্যা|জটিল সংখ্যার]] বাইরের বীজগণিতীয় কাঠামোর সাথে সম্পর্কিত নয়, কিন্তু [[বিমূর্ত বীজগণিত|বিমূর্ত বীজগণিতে]] এসবের বাইরেও আলোচনা করা হয়।[[চিত্র:Polynomialdeg2.svg|ডান|থাম্ব|200x200পিক্সেল| বীজগণিত সমীকরণের দ্বি-মাত্রিক প্লট (লাল বক্ররেখা) <math>y = x^2 - x - 2</math> .]]এটি সাধারণত [[মাধ্যমিক বিদ্যালয়|বিদ্যালয়ে মাধ্যমিক স্তরের]] শিক্ষার্থীদের এবং [[মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র|মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রের]] প্রাথমিক কলেজ স্তরে শেখানো হয়,<ref name="leff">Lawrence S. Leff, ''College Algebra: Barron's Ez-101 Study Keys'', Publisher: Barron's Educational Series, 2005, {{আইএসবিএন|0764129147}}, 9780764129148, 230 pages, [https://books.google.com/books?id=XesryURrNKAC&dq=algebra+variables+generalize&pg=PA2 page 2]</ref> এবং [[পাটিগণিত|পাটিগণিতের]] অধ্যয়নের উপর ভিত্তি করে এটি নিয়ে আলোচনা করা হয়। এটি চলক ব্যবহার করে পরিমাণ বোঝানোর মাধ্যমে পরিমাণের মধ্যে সাধারণ সম্পর্কগুলোকে আনুষ্ঠানিক এবং সংক্ষিপ্তভাবে প্রকাশ করার এবং এইভাবে সমস্যাগুলো নিয়ে আরও বিস্তর পরিধিতে সমাধান করার সুযোগ তৈরি করে দেয়। [[বিজ্ঞান]] এবং গণিতের অনেক পরিমাণগত সম্পর্ক বীজগাণিতিক [[সমীকরণ]] হিসাবে প্রকাশ করা হয়ে থাকে।

== বীজগাণিতিক ক্রিয়াকলাপ ==
{{অনুচ্ছেদ উদ্ধৃতি|article=বীজগাণিতিক প্রক্রিয়া}}

== বীজগাণিতিক লিপি ==
বীজগাণিতিক স্বরলিপিতে গাণিতিক অভিব্যক্তি লেখার নিয়মাবলী বর্ণনা করা হয়, সেইসাথে অভিব্যক্তি প্রকাশের বিভিন্ন অংশগুলো নিয়েও আলোচনা করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, <math style="margin-bottom:8px">3x^2 - 2xy + c</math> অভিব্যক্তিটিতে নিম্নলিখিত উপাদান রয়েছে:
[[চিত্র:Algebraic_equation_notation.svg|কেন্দ্র|থাম্ব|256x256পিক্সেল|{{Ordered list|[[সূচকীকরণ]] (সূচক)|[[গুণাঙ্ক]]|[[যোজক|পদ]]|[[গাণিতিক প্রক্রিয়া|প্রক্রিয়া]]|[[ধ্রুবক (গণিত)|ধ্রুবক]],<br>{{mvar|x, y}}. [[চলক (গণিত)|চলক]]}}]]
''সহগ'' হল একটি সংখ্যাসূচক মান, বা অক্ষর যা একটি সংখ্যাসূচক ধ্রুবক প্রকাশ করে, যা একটি চলকের সাথে গুন করা হয় (অপারেটর ছাড়াই)। ''পদ'' হলো একটি [[যোগ|যোগ বা সমষ্টি]], সহগ, চলক, ধ্রুবক এবং সূচকগুলোর একটি গ্রুপ যা যোগ এবং বিয়োগ অপারেটর দিয়ে অন্যান্য পদ থেকে পৃথক রাখে।<ref>Richard N. Aufmann, Joanne Lockwood, ''Introductory Algebra: An Applied Approach'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{আইএসবিএন|1439046042}}, 9781439046043, [https://books.google.com/books?id=MPIWikTHVXQC&q=coefficient+&pg=PA78 page 78]</ref> অক্ষরগুলো চলক এবং ধ্রুবক প্রকাশ করে। নিয়ম অনুসারে, বর্ণমালার শুরুর অক্ষর (যেমন <math>a, b, c</math> ) সাধারণত [[গাণিতিক ধ্রুবক|ধ্রুবক]], এবং বর্ণমালার শেষের দিকের অক্ষর (যেমন <math>x, y</math> এবং {{Mvar|z}} ) [[চলক (গণিত)|চলকের]] প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহৃত হয়।<ref>William L. Hosch (editor), ''The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry'', Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, {{আইএসবিএন|1615302190}}, 9781615302192, [https://books.google.com/books?id=ad0P0elU1_0C&q=letters&pg=PA71 page 71]</ref> এগুলো সাধারণত তির্যকভাবে মুদ্রিত হয়.<ref>James E. Gentle, ''Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics'', Publisher: Springer, 1998, {{আইএসবিএন|0387985425}}, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 184]</ref>

বীজগণিতের ক্রিয়াকলাপগুলি [[পাটিগণিত|পাটিগণিতের ক্রিয়াকলাপগুলির]] মতো একইভাবে কাজ করে,<ref>Horatio Nelson Robinson, ''New elementary algebra: containing the rudiments of science for schools and academies'', Ivison, Phinney, Blakeman, & Co., 1866, [https://books.google.com/books?id=dKZXAAAAYAAJ&dq=Elementary+algebra+notation&pg=PA7 page 7]</ref> যেমন [[যোগ]], [[বিয়োগ]], [[গুণ (গণিত)|গুণ]], [[ভাগ]] এবং [[সূচকীকরণ|সূচক]] ।<ref>Ron Larson, Robert Hostetler, Bruce H. Edwards, ''Algebra And Trigonometry: A Graphing Approach'', Publisher: Cengage Learning, 2007, {{আইএসবিএন|061885195X}}, 9780618851959, 1114 pages, [https://books.google.com/books?id=5iXVZHhkjAgC&dq=operations+addition%2C+subtraction%2C+multiplication%2C+division+exponentiation.&pg=PA6 page 6]</ref> এবং এগুলো বীজগাণিতিক চলক এবং পদগুলোতে ব্যবহার করা হয়। গুণন চিহ্নগুলো সাধারণত বাদ দেওয়া হয়, এবং যখন দুটি চলক বা পদের মধ্যে কোনও ফাঁকাস্থান না থাকে, বা যখন একটি [[সহগ]] ব্যবহার করা হয় তখন এটিকে উহ্য রাখা হয়। উদাহরণ স্বরূপ, <math style="margin-bottom:8px">3 \times x^2</math> কে <math style="margin-bottom:8px">3x^2</math> হিসেবে লেখা হয়, এবং <math>2 \times x \times y</math> কে <math>2xy</math> হিসেবে লেখা যেতে পারে।<ref>Sin Kwai Meng, Chip Wai Lung, Ng Song Beng, "Algebraic notation", in ''Mathematics Matters Secondary 1 Express Textbook'', Publisher Panpac Education Pte Ltd, {{আইএসবিএন|9812738827}}, 9789812738820, [https://books.google.com/books?id=nL5ObMmDvPEC&dq=%22Algebraic+notation%22+multiplication+omitted&pg=PR9-IA8 page 68]</ref>

সাধারণত সর্বোচ্চ শক্তি ( [[সূচকীকরণ|সূচক]] ) নির্দেশক পদগুলো বাম দিকে লেখা হয়, উদাহরণস্বরূপ, <math style="margin-bottom:8px">x^2</math>-এ সূচককে {{Mvar|x}} এর বাম দিকে লেখা হয়। যখন একটি সহগের মান এক হয়, তখন এটিকে সাধারণত বাদ দেওয়া হয় (যেমন <math style="margin-bottom:8px">1x^2</math> কে <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> হিসেবে লেখা হয় )<ref>David Alan Herzog, ''Teach Yourself Visually Algebra'', Publisher John Wiley & Sons, 2008, {{আইএসবিএন|0470185597}}, 9780470185599, 304 pages, [https://books.google.com/books?id=Igs6t_clf0oC&q=coefficient+of+1&pg=PA72 page 72]</ref> একইভাবে যখন সূচকের (শক্তি) মান এক হয়, (যেমন <math style="margin-bottom:8px">3x^1</math> কে <math style="margin-bottom:8px">3x</math> হিসেবে লেখা হয়)<ref>John C. Peterson, ''Technical Mathematics With Calculus'', Publisher Cengage Learning, 2003, {{আইএসবিএন|0766861899}}, 9780766861893, 1613 pages, [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&dq=%22when+the+exponent+is+1%22&pg=PA32 page 31]</ref> যখন সূচক শূন্য হয়, ফলাফল সর্বদা 1 হয় (যেমন <math style="margin-bottom:8px">x^0</math> কে সর্বদা {{Mvar|1}} হিসেবে লেখা হয়)।<ref>Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, ''Algebra for College Students'', Publisher Cengage Learning, 2010, {{আইএসবিএন|0538733543}}, 9780538733540, 803 pages, [https://books.google.com/books?id=-AHtC0IYMhYC&q=exponents+&pg=PA222 page 222]</ref> যাহোক <math>0^0</math>, অসংজ্ঞায়িত হওয়ায়, কোন অভিব্যক্তিতে এটি ব্যবহার করা উচিত নয়, এবং অভিব্যক্তিকে সরলীকরণ করার ক্ষেত্রে খেয়াল করা উচিত যেখানে চলকগুলো সূচকগুলোর মাধ্যমে প্রদর্শিত হতে পারে।

=== বিকল্প লিপি ===
অন্যান্য ধরনের লিপি বীজগাণিতিক রাশিতে ব্যবহার করা হয় যখন প্রয়োজনীয় বিন্যাস পাওয়া যায় না, বা উহ্য করাও যায়না, যেমন যেসব ক্ষেত্রে শুধুমাত্র অক্ষর এবং প্রতীক পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, যখন সূচকগুলিকে সুপারস্ক্রিপ্ট ব্যবহার করে ফর্ম্যাট করা হয়, যেমন, <math style="margin-bottom:8px">x^2</math>, [[প্লেইন টেক্সটে]], এবং [[টেক্স|TeX]] মার্ক-আপ ল্যাঙ্গুয়েজে, [[ক্যারেট]] চিহ্ন {{Char|^}} দিয়ে সূচক প্রকাশ করা হয়, তাই <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> কে "x^2" হিসাবে লেখা হয়।<ref>Ramesh Bangia, ''Dictionary of Information Technology'', Publisher Laxmi Publications, Ltd., 2010, {{আইএসবিএন|9380298153}}, 9789380298153, [https://books.google.com/books?id=zQa5I2sHPKEC&q=exponentiation+caret&pg=PA212 page 212]</ref><ref>George Grätzer, ''First Steps in LaTeX'', Publisher Springer, 1999, {{আইএসবিএন|0817641327}}, 9780817641320, [https://books.google.com/books?id=mLdg5ZdDKToC&q=subscripts+and+superscripts+caret&pg=PA17 page 17]</ref> এটি লুয়ার মতো কিছু প্রোগ্রামিং ভাষার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। [[অ্যাডা]],<ref>S. Tucker Taft, Robert A. Duff, Randall L. Brukardt, Erhard Ploedereder, Pascal Leroy, ''Ada 2005 Reference Manual'', Volume 4348 of Lecture Notes in Computer Science, Publisher Springer, 2007, {{আইএসবিএন|3540693351}}, 9783540693352, [https://books.google.com/books?id=694P3YtXh-0C&q=double+star+exponentiate&pg=PA12 page 13]</ref> [[ফরট্রান]],<ref>C. Xavier, ''Fortran 77 And Numerical Methods'', Publisher New Age International, 1994, {{আইএসবিএন|812240670X}}, 9788122406702, [https://books.google.com/books?id=WYMgF9WFty0C&dq=fortran+asterisk+exponentiation&pg=PA20 page 20]</ref> [[পার্ল (প্রোগ্রামিং ভাষা)|পার্ল]],<ref>Randal Schwartz, Brian Foy, Tom Phoenix, ''Learning Perl'', Publisher O'Reilly Media, Inc., 2011, {{আইএসবিএন|1449313140}}, 9781449313142, [https://books.google.com/books?id=l2IwEuRjeNwC&q=double+asterisk+exponentiation&pg=PA24 page 24]</ref> [[পাইথন (প্রোগ্রামিং ভাষা)|পাইথন]]<ref>Matthew A. Telles, ''Python Power!: The Comprehensive Guide'', Publisher Course Technology PTR, 2008, {{আইএসবিএন|1598631586}}, 9781598631586, [https://books.google.com/books?id=754knV_fyf8C&q=double+asterisk+exponentiation&pg=PA46 page 46]</ref> এবং [[রুবি (প্রোগ্রামিং ভাষা)|রুবি]]<ref>Kevin C. Baird, ''Ruby by Example: Concepts and Code'', Publisher No Starch Press, 2007, {{আইএসবিএন|1593271484}}, 9781593271480, [https://books.google.com/books?id=kq2dBNdAl3IC&q=double+asterisk+exponentiation&pg=PA72 page 72]</ref> এর মতো প্রোগ্রামিং ভাষায় এক্ষেত্রে দুটি তারকাচিহ্ন ব্যবহার করা হয়, তাই <math style="margin-bottom:8px">x^2</math> কে "x**2" হিসাবে লেখা হয়। অনেক প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজ এবং ক্যালকুলেটর গুণন চিহ্ন প্রকাশ করতে একটি তারকাচিহ্ন ব্যবহার করে,<ref>William P. Berlinghoff, Fernando Q. Gouvêa, ''Math through the Ages: A Gentle History for Teachers and Others'', Publisher MAA, 2004, {{আইএসবিএন|0883857367}}, 9780883857366, [https://books.google.com/books?id=JAXNVaPt7uQC&dq=calculator+asterisk+multiplication&pg=PA75 page 75]</ref> এটি অবশ্যই স্পষ্টভাবে ব্যবহার করা উচিত, উদাহরণস্বরূপ, <math style="margin-bottom:8px">3x</math> কে "3*x" হিসেবে লেখা হয়ে থাকে।

== বীজগণিতের ধারণাসমূহ ==

=== চলক ===
{{Main|চলক (গণিত)}}[[চিত্র:Pi-equals-circumference-over-diametre.svg|ডান|থাম্ব| একটি বৃত্তের ব্যাস এবং পরিধির মধ্যে সম্পর্ক দেখানো চলকের উদাহরণ। যেকোনো [[বৃত্ত|বৃত্তের]] জন্য, এর [[পরিধি]] {{Mvar|c}} কে [[ব্যাস]] {{Mvar|d}} দ্বারা ভাগ করলে ধ্রুবক [[পাই]], <math>\pi</math> এর সমান হয় (প্রায় ৩.১৪)]]প্রাথমিক বীজগণিত মূলত পাটিগণিতের<ref>Thomas Sonnabend, ''Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K-8'', Publisher: Cengage Learning, 2009, {{আইএসবিএন|0495561665}}, 9780495561668, 759 pages, [https://books.google.com/books?id=gBa2GzyXCF8C&q=extends+arithmetic&pg=PR17 page xvii]</ref> ধারণার উপর ভিত্তি করেই গড়ে উঠেছে। বীজগণিতে সাধারণ (অ-নির্দিষ্ট) সংখ্যা প্রকাশ করার জন্য চলক নামক অক্ষর প্রবর্তন করা হয়েছে এবং পাটিগণিতের ধারণাকে প্রসারিত করা হয়েছে। এটি বিভিন্ন কারণে প্রয়োজনীয়।

# '''চলক এমন সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করতে পারে যার মান এখনও অজানা''' । উদাহরণস্বরূপ, যদি আজকের তাপমাত্রা, C, গতকালকের তাপমাত্রার, P এর তুলনায় ২০ ডিগ্রি বেশি হয়, তাহলে সমস্যাটিকে বীজগণিতে বর্ণনা করা যেতে পারে এভাবে <math>C = P + 20</math> .<ref>Lewis Hirsch, Arthur Goodman, ''Understanding Elementary Algebra With Geometry: A Course for College Students'', Publisher: Cengage Learning, 2005, {{আইএসবিএন|0534999727}}, 9780534999728, 654 pages, [https://books.google.com/books?id=jsT7kqZubvIC&dq=%22elementary+algebra%22+variables+unknown&pg=PA48 page 48]</ref>
# '''চলক পরিমাণ উল্লেখ না করে ''সাধারণ'' সমস্যাগুলো বর্ণনা করার সুযোগ করে দেয়,<ref name="leff"/>।''' উদাহরণস্বরূপ, এটি নির্দিষ্টভাবে বলা যেতে পারে যে <math>60 \times 5 = 300</math> সেকেন্ড ৫ মিনিটের সমতুল্য। এটিকে আরও সাধারণ (বীজগণিত) ভাবে বলা যেতে পারে যে সেকেন্ড, <math>s = 60 \times m</math>, যেখানে m হল মিনিট।
# '''চলক পরিবর্তনশীল পরিমাপের সাথে গাণিতিক সম্পর্ক প্রকাশের সুযোগ করে দেয়।'''<ref>Ron Larson, Kimberly Nolting, ''Elementary Algebra'', Publisher: Cengage Learning, 2009, {{আইএসবিএন|0547102275}}, 9780547102276, 622 pages, [https://books.google.com/books?id=U6v78M5nYKAC&q=relationships&pg=PA210 page 210]</ref> উদাহরণস্বরূপ, একটি বৃত্তের পরিধি, ''c'' এবং ব্যাস, ''d'' এর মধ্যে সম্পর্ক বর্ণনা করা হয়েছে <math>\pi = c /d</math> এর মাধ্যমে।
# '''চলকের মাধ্যমে গাণিতিক বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করা যায়।''' উদাহরণ স্বরূপ, যোগের একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য হল [[বিনিময় বৈশিষ্ট্য|কম্যুটেটিভিটি]] যেখানে বলা হয় যে সংখ্যার ক্রম একসাথে যোগ করা কোন ব্যাপার না। কম্যুটেটিভিটি কে বীজগণিতে <math>(a + b) = (b + a)</math> হিসাবে বলা হয়ে থাকে।<ref>Charles P. McKeague, ''Elementary Algebra'', Publisher: Cengage Learning, 2011, {{আইএসবিএন|0840064217}}, 9780840064219, 571 pages, [https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&dq=%22elementary+algebra%22+commutative&pg=PA49 page 49]</ref>

=== অভিব্যক্তি সরলীকরণ ===
{{Main|অভিব্যক্তি (গণিত)|কম্পিউটার বীজগণিত#সরলীকরণ}}বীজগাণিতিক রাশি মূল্যায়ন এবং সরলীকরণের ক্ষেত্রে, পাটিগণিতের মূল কিছু প্রক্রিয়া ([[যোগ]], [[বিয়োগ|বিয়োগ]], [[গুণ (গণিত)|গুণ]], [[ভাগ]] এবং [[সূচকীকরণ]]) ব্যবহৃত হয়ে থাকে। উদাহরণস্বরূপ,
* যোগ করা পদগুলোকে সহগ ব্যবহার করে সরলীকরণ করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ, <math>x + x + x</math> কে সরলীকৃত করা যেতে পারে <math>3x</math> (যেখানে 3 একটি সংখ্যাগত সহগ) হিসেবে।
* সূচক ব্যবহার করে গুণিত পদগুলোকে সরলীকৃত করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ, <math>x \times x \times x</math> কে <math>x^3</math>হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে।
* একরকম পদ্গুলোকে একসাথে প্রকাশ করা হয়,<ref>Andrew Marx, ''Shortcut Algebra I: A Quick and Easy Way to Increase Your Algebra I Knowledge and Test Scores'', Publisher Kaplan Publishing, 2007, {{আইএসবিএন|1419552880}}, 9781419552885, 288 pages, [https://books.google.com/books?id=o9GYQjZ7ZwUC&q=like+terms&pg=PA51 page 51]{{অকার্যকর সংযোগ|তারিখ=মার্চ ২০২৪ |bot=InternetArchiveBot |ঠিক করার প্রচেষ্টা=yes }}</ref> উদাহরণস্বরূপ, <math>2x^2 + 3ab - x^2 + ab</math> কে  <math>x^2 + 4ab</math> হিসেবে লেখা হয়, কারণ <math>x^2</math> সম্বলিত পদ্গুলোকে একসাথে যোগ করা হয়, এবং, <math>ab</math> সংবলিত পদ একসাথে যোগ করা হয়।
* [[ডিস্ট্রিবিউটিভ প্রোপার্টি]] ব্যবহার করে বন্ধনীগুলোকে "গুণ করা" করা যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, <math>x (2x + 3)</math> কে <math>(x \times 2x) + (x \times 3)</math> হিসেবে লেখা যেতে পারে, আবার সেটিকে <math>2x^2 + 3x</math> হিসাবে লেখা যেতে পারে।
* অভিব্যক্তিগুলোকে ফ্যাক্টর করা যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, <math>6x^5 + 3x^2</math>এর উভয় পদকে <math>3x^2</math>দ্বারা ভাগ করে <math>3x^2 (2x^3 + 1)</math> হিসাবে লেখা যেতে পারে।

=== সমীকরণ ===
{{Main|সমীকরণ}}[[চিত্র:Pythagorean_theorem_-_Ani.gif|থাম্ব| একটি সমকোণী ত্রিভুজের জন্য [[পিথাগোরাসের উপপাদ্য|পিথাগোরাসের নিয়মকে]] অ্যানিমেশন এর মাধ্যমে চিত্রিত করা হয়েছে, যা ত্রিভুজের কর্ণ এবং অন্য দুটি বাহুর মধ্যে বীজগাণিতিক সম্পর্ক প্রকাশ করে।]]
সমতার প্রতীক ব্যবহার করে একটি সমীকরণ বলে যে দুটি রাশির মান সমান, = ( [[সমান চিহ্ন]] )।<ref>Mark Clark, Cynthia Anfinson, ''Beginning Algebra: Connecting Concepts Through Applications'', Publisher Cengage Learning, 2011, {{আইএসবিএন|0534419380}}, 9780534419387, 793 pages, [https://books.google.com/books?id=wCzuRMC5048C&q=equation&pg=PA134 page 134]</ref> পিথাগোরাসের সূত্র একটি সুপরিচিত সমীকরণ যা একটি [[সমকোণ|সমকোণী]] ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের সম্পর্ক বর্ণনা করে:<ref>Alan S. Tussy, R. David Gustafson, ''Elementary and Intermediate Algebra'', Publisher Cengage Learning, 2012, {{আইএসবিএন|1111567689}}, 9781111567682, 1163 pages, [https://books.google.com/books?id=xqio_Xn4t7oC&dq=algebra+Pythagoras+hypotenuse&pg=PA493 page 493]</ref>

: <math>c^2 = a^2 + b^2</math>

এই সমীকরণ বলে যে <math>c^2</math>, বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গকে প্রকাশ করে যেটি ডান কোণের বিপরীত দিকের কর্ণের, অন্য দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির (যোগ) সমান যার দৈর্ঘ্যকে {{Mvar|a}} এবং {{Mvar|b}} দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

একটি সমীকরণ দাবি করে যে এটির দুইপাশের অভিব্যক্তির মান একই এবং সমান। কিছু সমীকরণ এর মধ্যে উল্লিখিত চলকের সকল মানের জন্য সত্য (যেমন <math>a + b = b + a</math> ); এই ধরনের সমীকরণগুলিকে [[অভেদ|পরিচয়]] বলা হয়। শর্তসাপেক্ষ সমীকরণ শুধুমাত্র উল্লিখিত চলকের কিছু মানের জন্য সত্য, যেমন <math>x^2 - 1 = 8</math> সত্য শুধুমাত্র <math>x = 3</math> এবং <math>x = -3</math> হলে।  [[সমীকরণ সমাধান|সমীকরণ সমাধানের]] মাধ্যমে চলকের মানগুলো পাওয়া যায় যা সমীকরণটিকে সত্য হিসেবে প্রমাণ করে।

আরেক ধরনের সমীকরণ হল অসমতা। অসমতাগুলো প্রকাশ করে যে সমীকরণের একটি দিক অন্যটির চেয়ে বেশি বা কম। এর জন্য ব্যবহৃত চিহ্নগুলো হল: <math> a > b </math> যেখানে <math> > </math> বুঝায় 'এর চেয়ে বড়', পড়া হয় b এর চেয়ে a বড় এবং <math> a < b </math> যেখানে <math> < </math> বুঝায় 'এর চেয়ে কম', পড়া হয় b এর চেয়ে a কম। সাধারণ সমতা সমীকরণের মতো এখানেও, সংখ্যাগুলো যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগ করা যায়। একমাত্র ব্যতিক্রম হল যে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করার সময়, অসমতা প্রতীকটি উল্টে যাবে।

==== সমতার বৈশিষ্ট্য ====
সংজ্ঞা অনুসারে, সমতা হলো একটি [[সমতুল্যতার অন্বয়|সমতা সম্পর্ক]], যার অর্থ এটি [[প্রতিফলিত]] (যেমন <math>b = b</math> ), [[প্রতিসাম্য|প্রতিসম]] (যেমন যদি <math>a = b</math> তারপর <math>b = a</math> ), এবং [[ট্রানজিটিভ]] (যেমন যদি <math>a = b</math> এবং <math>b = c</math> হয় তবে <math>a = c</math> )<ref>Douglas Downing, ''Algebra the Easy Way'', Publisher Barron's Educational Series, 2003, {{আইএসবিএন|0764119729}}, 9780764119729, 392 pages, [https://books.google.com/books?id=RiX-TJLiQv0C&dq=algebra+equality+++reflexive++symmetric++transitive&pg=PA20 page 20]</ref> এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যটিকেও প্রকাশ করে যেখানে যদি দুটি প্রতীক সমান জিনিসের জন্য ব্যবহার করা হয়, তবে যে কোনও সত্য বিবৃতিতে একটি প্রতীক অন্যটি দ্বারা প্রতিস্থাপিত হতে পারে এবং তারপরও বিবৃতিটি সত্যই থাকবে। এটি নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলো বোঝায়:

* যদি <math>a = b</math> এবং <math>c = d</math> হয় তবে <math>a + c = b + d</math> এবং <math>ac = bd</math> ;
* যদি <math>a = b</math> হয় তবে <math>a + c = b + c</math> এবং <math>ac = bc</math> ;
* আরো সাধারণভাবে, যে কোনো ফাংশন {{Mvar|f}}, যদি <math>a=b</math> হয় তবে <math>f(a) = f(b)</math> .

==== অসমতার বৈশিষ্ট্য ====
অসম সম্পর্কে ''কম'' <math> < </math> এবং এর চেয়ে বড় <math> > </math> এর মধ্যে ট্রানজিটিভিটির বৈশিষ্ট্য আছে:<ref>Ron Larson, Robert Hostetler, ''Intermediate Algebra'', Publisher Cengage Learning, 2008, {{আইএসবিএন|0618753524}}, 9780618753529, 857 pages, [https://books.google.com/books?id=b3vqad8tbiAC&dq=algebra+inequality+properties&pg=PA96 page 96]</ref>

* যদি&nbsp;<math>a < b</math>&nbsp;এবং&nbsp;<math>b < c</math>&nbsp; হয় তবে &nbsp;<math>a < c</math> ;
* যদি&nbsp;<math>a < b</math>&nbsp;এবং&nbsp;<math>c < d</math>&nbsp; হয় তবে &nbsp;<math>a + c < b + d</math> ;<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|তারিখ=November 29, 2014|শিরোনাম=What is the following property of inequality called?|ইউআরএল=https://math.stackexchange.com/q/1043755|সংগ্রহের-তারিখ=4 May 2018|ওয়েবসাইট=[[Stack Exchange]]}}</ref>
* যদি&nbsp;<math>a < b</math>&nbsp;এবং&nbsp;<math>c > 0</math>&nbsp; হয় তবে &nbsp;<math>ac < bc</math> ;
* যদি&nbsp;<math>a < b</math>&nbsp;এবং&nbsp;<math>c < 0</math>&nbsp; হয় তবে &nbsp;<math>bc < ac</math> .

অসম সমীকরণটি উল্টে দিলে, <math> < </math> এবং <math> > </math> অদলবদল করা যেতে পারে,<ref>Chris Carter, ''Physics: Facts and Practice for A Level'', Publisher Oxford University Press, 2001, {{আইএসবিএন|019914768X}}, 9780199147687, 144 pages, [https://books.google.com/books?id=Ff9gxZPYafcC&q=turned+around&pg=PA50 page 50]</ref> উদাহরণস্বরূপ:

* <math>a < b</math>, <math>b > a</math> এর সমতুল্য

=== প্রতিস্থাপন ===
{{main|প্রতিস্থাপন (বীজগণিত)}}{{see also|প্রতিস্থাপন (যুক্তি)}}

প্রতিস্থাপন একটি নতুন অভিব্যক্তি তৈরি করার জন্য অভিব্যক্তির পদগুলো প্রতিস্থাপিত করাকে বুঝায়। {{Math|''a''×5}} অভিব্যক্তিটিতে {{Mvar|a}} এর বদলে 3 ব্যবহার করলে একটি নতুন রাশি {{Math|3×5}} তৈরি হয় যেখানে এর মান {{Math|15}}। একটি বিবৃতির পদ্গুলো প্রতিস্থাপন করলে একটি নতুন বিবৃতি তৈরি হয়। যখন মূল বিবৃতিটি সত্য হয় এবং পদের মানগুলোর উপর নির্ভরশীল হয়না, তখন প্রতিস্থাপিত বিবৃতিটিও সত্য হয়। সুতরাং, সংজ্ঞাগুলো প্রতীকী পদের মাধ্যমে তৈরি করা যেতে পারে এবং প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে: যদি <math>a^2:=a\times a</math> কে <math>a^2,</math> দ্বারা নিজের সাথে {{Mvar|a}} এর গুণফল হিসাবে বোঝানো হয়, এবং {{Mvar|a}} কে {{Math|3}} দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয় তবে পুরো বিবৃতিটি পাঠককে অবহিত করে যে <math>3^2</math> মানে {{Math|1=3 × 3 = 9}} । প্রায়ই এটা জানা যায় না যে বিবৃতিটি পদের মানগুলোর থেকে স্বাধীনভাবে সত্য কিনা। এবং, প্রতিস্থাপন একজনকে সম্ভাব্য মানগুলোর উপর বিধিনিষেধ আনতে বা বিবৃতিটি কোন শর্তের অধীনে রয়েছে তা দেখাতে সাহায্য করে। উদাহরণ স্বরূপ, {{Math|1=''x'' + 1 = 0}} বিবৃতিটি বিবেচনা করলে, {{Mvar|x}} যদি {{Math|1}} দিয়ে প্রতিস্থাপিত হয়, তাহলে এটি বোঝায় {{Math|1=1 + 1 = 2 = 0}}, যা মিথ্যা, এটি বোঝায় যে {{Math|1=''x'' + 1 = 0}} হলে {{Mvar|x}} {{Math|1}} হতে পারে না।

{{Math|''x''}} এবং {{Math|''y''}} যদি [[পূর্ণ সংখ্যা|পূর্ণসংখ্যা]], [[মূলদ সংখ্যা|মূলদ]] বা [[বাস্তব সংখ্যা]] হয়, তাহলে {{Math|1=''xy'' = 0}} বোঝায় {{Math|1=''x'' = 0}} অথবা {{Math|1=''y'' = 0}} । {{Math|1=''abc'' = 0}} বিবেচনা করুন। তারপর, {{Math|''x''}} এর বদলে {{Math|''a''}} এবং {{Math|''y''}} এর বদলে {{Math|''bc''}} প্রতিস্থাপন করলে, আমরা {{Math|1=''a'' = 0}} বা {{Math|1=''bc'' = 0}} পাবো। তারপর আমরা, {{Math|1=''x'' = ''b''}} এবং {{Math|1=''y'' = ''c''}} প্রতিস্থাপন করে দেখাতে পারি যে {{Math|1=''bc'' = 0}} হলে {{Math|1=''b'' = 0}} বা {{Math|1=''c'' = 0}} । অতএব, {{Math|1=''abc'' = 0}} হলে, {{Math|1=''a'' = 0}} বা ( {{Math|1=''b'' = 0}} বা {{Math|1=''c'' = 0}} ), সুতরাং {{Math|1=''abc'' = 0}} দ্বারা বোঝায় {{Math|1=''a'' = 0}} বা {{Math|1=''b'' = 0}} বা {{Math|1=''c'' = 0}} ।

যদি " {{Math|1=''ab'' = 0}} বোঝায় {{Math|1=''a'' = 0}} বা {{Math|1=''b'' = 0}} " হিসাবে বলা হয়, তাহলে " {{Math|1=''abc'' = 0}} বিবেচনা করুন " বলার ক্ষেত্রে প্রতিস্থাপন করার সময় পদের দ্বন্দ্ব তৈরি হবে। তবুও উপরের যুক্তিটি এখনও বৈধ যে যদি {{Math|1=''abc'' = 0}} হয় তবে {{Math|1=''a'' = 0}} বা {{Math|1=''b'' = 0}} বা {{Math|1=''c'' = 0}} হলে, {{Math|1=''a'' = ''a''}} এবং {{Math|1=''b'' = ''bc''}} এর পরিবর্তে, একটি {{Math|''a''}} এর পরিবর্তে {{Math|''a''}} এবং {{Math|''bc''}} এর জন্য {{Math|''b''}} (এবং) {{Math|1=''bc'' = 0}} এর সাথে, {{Math|''b''}} এর জন্য {{Math|''a''}} এবং {{Math|''c''}} এর জন্য {{Math|''b''}} )। এ থেকে বুঝা যায় যে একটি বিবৃতিতে পদ্গুলো প্রতিস্থাপন করার মানে এই না যে বিবৃতির পদগুলো সর্বদা প্রতিস্থাপিত পদগুলোর সমান হবে৷ এক্ষেত্রে এটা স্পষ্ট যে আমরা যদি মূল সমীকরণের {{Math|''a''}} পদকে {{Math|''a''}} অভিব্যক্তি দ্বারা প্রতিস্থাপন করি, তাহলে "{{Math|1=''ab'' = 0}} মানে {{Math|1=''a'' = 0}} বা {{Math|1=''b'' = 0}} " বিবৃতিতে a-কে নির্দেশ করবেনা।

== বীজগাণিতিক সমীকরণ সমাধান করা ==
{{see also|সমীকরণ সমাধান}}[[চিত্র:Algebraproblem.jpg|থাম্ব| একটি সাধারণ বীজগাণিতিক সমস্যা।]]
নীচে আলোচ্য অনুচ্ছেদ্গুলোতে সচরাচর ব্যবহৃত কিছু বীজগাণিতিক সমীকরণের উদাহরণ দেয়া হয়েছে।

=== একটি সহগের রৈখিক সমীকরণ ===
{{মূল নিবন্ধ|রৈখিক সমীকরণ}}
রৈখিক সমীকরণগুলো এদের নামের মতোই, কারণ যখন এদেরকে প্লট করা হয়, তারা একটি সরল রেখাকেই বর্ণনা করে। সমাধান করার জন্য সবচেয়ে সহজ সমীকরণ হল [[রৈখিক সমীকরণ]] যার শুধুমাত্র একটি চলক রয়েছে। তারা শুধুমাত্র ধ্রুবক সংখ্যা এবং সূচক ছাড়া একটি একক চলক নিয়ে গঠিত। উদাহরণ হিসাবে, বিবেচনা করুন:

: সমস্যা: যদি একটি শিশুর বয়স দ্বিগুণ করা হয় এবং ৪ যোগ করা হয়, তাহলে ফলাফল হবে ১২। শিশু বয়স কত হল?
: সমতুল্য সমীকরণ: <math>2x + 4 = 12</math> যেখানে শিশুর বয়স ''{{mvar|x}}''

এধরনের সমীকরণ সমাধানের জন্য, সমীকরণের উভয়পক্ষকে একই সংখ্যা দিয়ে যোগ, বিয়োগ, গুন বা ভাগ করে চলককে সমীকরণের একপাশে পাঠাতে হয়। চলক একপাশে চলে গেলে, সমীকরণের অপর পক্ষই হচ্ছে চলকের মান। সমস্যা এবং এর সমাধান এভাবে করা হয়ঃ
[[চিত্র:Divide_large.gif|alt=|থাম্ব| x এর জন্য সমাধান করা হচ্ছে]]
{|
|1. সমাধানের সমীকরণ:
| <math>2x + 4 = 12</math>
|-
| 2. উভয় দিক থেকে ৪ বিয়োগ করুন:
| <math>2x + 4 - 4 = 12 - 4</math>
|-
| 3. সহজ করে দেখালে:
| <math>2x = 8</math>
|-
| 4. উভয় পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করুন:
| <math>\frac{2x}{2} = \frac{8}{2}</math>
|-
| 5. সমাধানটি দাড়ায়:
| <math>x = 4</math>
|}
কথায়: শিশুটির বয়স ৪ বছর।

একটি চলক সহ রৈখিক সমীকরণের সাধারণ রূপটি এভাবে লেখা যেতে পারে: <math>ax+b=c</math>

একই পদ্ধতি অনুসরণ করে (যেমন, সমীকরণের উভয় পক্ষ থেকে ''{{mvar|b}}'' বিয়োগ করে এবং ''{{mvar|a}}'' দ্বারা ভাগ করে), সাধারণ সমাধানকে এভাবে দেখানো যায়, <math>x=\frac{c-b}{a}</math>

=== দুটি চলক সহ রৈখিক সমীকরণ ===
[[চিত্র:Linear-equations-two-unknowns.svg|ডান|থাম্ব| যে বিন্দুতে রেখা দুটি ছেদ করে সেখানে দুটি সমীকরণের একটি একক সমাধান পাওয়া যায়]]
দুটি চলক সহ একটি রৈখিক সমীকরণের অনেকগুলি (অর্থাৎ অসীম সংখ্যক) সমাধান রয়েছে।<ref>Sinha, ''The Pearson Guide to Quantitative Aptitude for CAT 2/e''Publisher: Pearson Education India, 2010, {{আইএসবিএন|8131723666}}, 9788131723661, 599 pages, [https://books.google.com/books?id=eOnaFSKRSR0C&q=many+solutions&pg=PA195 page 195]</ref> উদাহরণ স্বরূপ:

: সমস্যা: একজন বাবা তার ছেলের চেয়ে ২২ বছরের বড়। তাদের বয়স কত?
: সমতুল্য সমীকরণ: <math>y = x + 22</math> যেখানে {{Mvar|y}} পিতার বয়স, {{Mvar|x}} পুত্রের বয়স।

এটা নিজে থেকে সমাধান করা যাবে না. যদি ছেলের বয়স জানা যেতো, তবে দুটি অজানা (চলক) থাকত না। সমস্যাটি তখন শুধুমাত্র একটি চলকের রৈখিক সমীকরণে পরিণত হতো, যা উপরে বর্ণিত পদ্ধতিতে সমাধান করা যেতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, যদি:

; সমস্যা
: ১০ বছর পরেরে, বাবা তার ছেলের চেয়ে দ্বিগুণ বয়সী হবেন।
; সমতুল্য সমীকরণ
: <math>\begin{align}
y + 10 &= 2 \times (x + 10)\\
y &= 2 \times (x + 10) - 10 && \text{Subtract 10 from both sides}\\
y &= 2x + 20 - 10 && \text{Multiple out brackets}\\
y &= 2x + 10 && \text{Simplify}
\end{align}</math>

এখন দুটি সম্পর্কিত রৈখিক সমীকরণ রয়েছে, প্রতিটিতে দুটি অজানা চলক রয়েছে, যা একটি রৈখিক সমীকরণকে অন্যটি থেকে বিয়োগ করে শুধুমাত্র একটি চলকের রৈখিক সমীকরণে পরিণত করতে সাহায্য করে (এটিকে নির্মূল পদ্ধতি বলা হয়): 

: <math>\begin{cases}
y = x + 22 & \text{First equation}\\
y = 2x + 10 & \text{Second equation}
\end{cases}</math>
: <math>\begin{align}
&&&\text{Subtract the first equation from}\\
(y - y) &= (2x - x) +10 - 22 && \text{the second in order to remove } y\\
0 &= x - 12 && \text{Simplify}\\
12 &= x && \text{Add 12 to both sides}\\
x &= 12 && \text{Rearrange}
\end{align}</math>

অন্য কথায়, ছেলের বয়স ১২, এবং যেহেতু বাবা ২২ বছরের বড়, তার বয়স অবশ্যই ৩৪ হবে। ১০ বছর পরে, ছেলের বয়স হবে ২২, এবং বাবার বয়স তার দ্বিগুণ হবে, অর্থাৎ ৪৪। এই সমস্যাটি সমীকরণের সংশ্লিষ্ট প্লটে চিত্রিত করা হয়েছে।

এই ধরণের সমীকরণগুলো সমাধান করার অন্যান্য উপায়গুলোর জন্য, নীচে দেখুন, '''রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম''' ।

=== দ্বিঘাত সমীকরণ ===
{{Main|দ্বিঘাত সমীকরণ}}[[চিত্র:Quadratic-equation.svg|ডান|থাম্ব| <math>y = x^2 + 3x - 10</math> এর দ্বিঘাত সমীকরণের প্লটটি দেখাচ্ছে মূল <math>x = -5</math> এবং <math>x = 2</math> এ, এবং এই দ্বিঘাতকে এভাবে লেখা যেতে পারে <math>y = (x + 5)(x - 2)</math>]]
দ্বিঘাত সমীকরণ হল সেই সমীকরণ যা ২ এর সূচক সহ একটি পদকে অন্তর্ভুক্ত করে, উদাহরণস্বরূপ, <math>x^2</math>,<ref>Mary Jane Sterling, ''Algebra II For Dummies'', Publisher: John Wiley & Sons, 2006, {{আইএসবিএন|0471775819}}, 9780471775812, 384 pages, [https://books.google.com/books?id=_0rTMuSpTY0C&dq=quadratic+equations&pg=PA37 page 37]</ref> এবং উচ্চতর সূচক সহ কোন পদ সেখানে থাকবেনা। নামটি ল্যাটিন ''কোয়াড্রাস'' থেকে এসেছে, যার অর্থ বর্গক্ষেত্র।<ref>John T. Irwin, ''The Mystery to a Solution: Poe, Borges, and the Analytic Detective Story'', Publisher JHU Press, 1996, {{আইএসবিএন|0801854660}}, 9780801854668, 512 pages, [https://books.google.com/books?id=jsxTenuOQKgC&dq=quadratic+quadrus&pg=PA372 page 372]</ref> সাধারণভাবে, একটি দ্বিঘাত সমীকরণকে <math>ax^2 + bx + c = 0</math> আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে,<ref>Sharma/khattar, ''The Pearson Guide To Objective Mathematics For Engineering Entrance Examinations, 3/E'', Publisher Pearson Education India, 2010, {{আইএসবিএন|8131723631}}, 9788131723630, 1248 pages, [https://books.google.com/books?id=2v-f9x7-FlsC&dq=quadratic%20equations%20%20ax2%20%2B%20bx%20%2B%20c%20%3D%200&pg=RA13-PA33 page 621]</ref> যেখানে {{Mvar|a}} শূন্য নয় (যদি এটি শূন্য হতো, তাহলে সমীকরণটি দ্বিঘাত এর পরিবর্তে রৈখিক হতো)। এই কারণে একটি দ্বিঘাত সমীকরণে অবশ্যই <math>ax^2</math> থাকতে হবে, যা দ্বিঘাত শব্দ হিসাবে পরিচিত। তাই <math>a \neq 0</math>, হওয়ার ফলে এটিকে আমরা {{Mvar|a}} দ্বারা ভাগ করতে পারি এবং সমীকরণটিকে আদর্শ আকারে পুনর্বিন্যাস করতে পারি

: <math>x^2 + px + q = 0 </math>

যেখানে <math>p = \frac{b}{a}</math> এবং <math>q = \frac{c}{a}</math> . [[বর্গাকার সমাপ্তি]] নামে পরিচিত একটি প্রক্রিয়ায় এটি সমাধান করলে এটিকে এই [[দ্বিঘাত সূত্র|দ্বিঘাত সূত্রে]] রূপান্তরিত করা যায়

: <math>x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},</math>

যেখানে [[যোগ-বিয়োগ চিহ্ন|"±" প্রতীকটি]] নির্দেশ করে

: <math> x=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{and}\quad x=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}</math>

উভয়েই দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান।

দ্বিঘাত সমীকরণগুলোকে [[উৎপাদকে বিশ্লেষণ|ফ্যাক্টরাইজেশন]] ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে (যার বিপরীত প্রক্রিয়াটি [[সম্প্রসারণ]], তবে দুটি [[রৈখিক পদের]] জন্য কখনও কখনও [[ফয়েলিং]] বোঝানো হয়)। ফ্যাক্টরিংয়ের উদাহরণ হিসাবে:

: <math>x^{2} + 3x - 10 = 0, </math>

যা নিচের সমীকরণের মতোই

: <math>(x + 5)(x - 2) = 0. </math>

এটি [[শূন্য-গুণন বৈশিষ্ট্য]] অনুসরণ করে যেখানে, হয় <math>x = 2</math> অথবা <math>x = -5</math> হল সমাধান, যেহেতু সুনির্দিষ্টভাবে একটি ফ্যাক্টর অবশ্যই [[০ (সংখ্যা)|শূন্যের]] সমান হতে হবে। [[জটিল সংখ্যা]] পদ্ধতিতে সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি সমাধান থাকবে, কিন্তু [[বাস্তব সংখ্যা]] পদ্ধতিতে কোনো সমাধানের প্রয়োজন নেই। উদাহরণ স্বরূপ,

: <math>x^{2} + 1 = 0 </math>

এক্ষেত্রে কোনো বাস্তব সংখ্যার সমাধান নেই কারণ কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ −1 এর সমান নয়। কখনও কখনও একটি দ্বিঘাত সমীকরণের ২ [[বহুগুণের]] একটি মূল থাকে, যেমন:

: <math>(x + 1)^2 = 0. </math>

এই সমীকরণের জন্য, −1 হল 2 গুণের মূল। এর মানে হল −1 দুবার দেখা যাচ্ছে, যেহেতু সমীকরণটিকে ফ্যাক্টর আকারে এভাবে লেখা যেতে পারে

: <math>[x-(-1)][x-(-1)]=0.</math>

==== জটিল সংখ্যা ====
সমস্ত দ্বিঘাত সমীকরণের [[জটিল সংখ্যা|জটিল সংখ্যায়]] ঠিক দুটি সমাধান থাকে (তবে তারা একে অপরের সমানও হতে পারে), এই বিভাগে [[বাস্তব সংখ্যা]], [[অবাস্তব সংখ্যা|কাল্পনিক সংখ্যা]] এবং বাস্তব ও কাল্পনিক সংখ্যার যোগফল অন্তর্ভুক্ত থাকে। জটিল সংখ্যাগুলো প্রথমে দ্বিঘাত সমীকরণ এবং দ্বিঘাত সূত্র শেখানোর সময় উদ্ভূত হয়। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিঘাত সমীকরণটি

: <math>x^2+x+1=0</math>

যার সমাধান

: <math>x=\frac{-1 + \sqrt{-3}}{2}  \quad \quad \text{and} \quad \quad x=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}.</math>

থেকে <math>\sqrt{-3}</math> কোনো বাস্তব সংখ্যা নয়, ''x'' এর জন্য এই দুটি সমাধানই জটিল সংখ্যা।

=== সূচকীয় এবং লগারিদমিক সমীকরণ ===
{{Main|লগারিদম}}
[[File:Binary logarithm plot with ticks.svg|right|thumb|upright=1.35|alt=গ্রাফটিতে লগারিদমিক বক্ররেখা দেখানো হয়েছে, যেটি ''x''-অক্ষকে ছেদ করে যেখানে ''x'' ''y''-অক্ষ বরাবর 1 থেকে ঋণাত্মক অসীম পর্যন্ত বিস্তৃত।| লগারিদম থেকে বেস 2 এর [[গ্রাফ|গ্রাফটি]] [[কার্তেসীয় স্থানাংক ব্যবস্থা|''x'' অক্ষ]] (অনুভূমিক অক্ষ) কে 1 এ অতিক্রম করে এবং [[স্থানাংক ব্যবস্থা|স্থানাংক]] {{nowrap|(2, 1)}}, {{nowrap|(4, 2)}}, এবং {{nowrap|(8, 3)}} বিন্দুগুলোর মধ্য দিয়ে যায়। উদাহরণস্বরূপ, {{nowrap|log<sub>2</sub>(8) {{=}} 3}}, কারণ {{nowrap|2<sup>3</sup> {{=}} 8.}}। গ্রাফটি যথেচ্ছভাবে y অক্ষের কাছাকাছি চলে যায়, [[অ্যাসিম্পটোট|কিন্তু এটিতে মিলিত বা ছেদ করে না]]।]]

একটি সূচকীয় সমীকরণ হল একটি ফর্ম যা <math>a > 0</math> এর জন্য <math>a^x = b</math>,<ref>Aven Choo, ''LMAN OL Additional Maths Revision Guide 3'', Publisher Pearson Education South Asia, 2007, {{আইএসবিএন|9810600011}}, 9789810600013, [https://books.google.com/books?id=NsBXDMrzcJIC&dq=%22+exponential+equation+%22+aX+%3D+b&pg=RA2-PA29 page 105]</ref> যার সমাধান হচ্ছে

: <math>X = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}</math>

যেখানে <math>b > 0</math> . প্রাথমিক বীজগাণিতিক কৌশলগুলো সমীকরণের সমাধানে পৌঁছানোর আগে উপরে উল্লিখিত উপায়ে একটি প্রদত্ত সমীকরণ পুনরায় লিখতে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি

: <math>3 \cdot 2^{x - 1} + 1 = 10</math>

হয় তাহলে, সমীকরণের উভয় দিক থেকে 1 বিয়োগ করে, এবং তারপর উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই

: <math>2^{x - 1} = 3</math>

যেখানে

: <math>x - 1 = \log_2 3</math>
বা

: <math>x = \log_2 3 + 1.</math>

লগারিদমিক সমীকরণ হল <math>a > 0</math> এর জন্য <math>log_a(x) = b</math> ফর্মের একটি সমীকরণ, যার সমাধান

: <math>X = a^b.</math>উদাহরণস্বরূপ, যদি

: <math>4\log_5(x - 3) - 2 = 6</math>

হয়, সমীকরণের দুই পক্ষে ২ যোগ করে ৪ দ্বারা ভাগ করলে আমরা পাই

: <math>\log_5(x - 3) = 2</math>

সেখান থেকে

: <math>x - 3 = 5^2 = 25</math>

যা থেকে আমরা পাই

: <math>x = 28.</math>

=== আমূল সমীকরণ ===
{{Image frame|align=right|width=150|caption=আমূল সমীকরণের মাধ্যমে দেখানো হয়েছে একই সমীকরণ দুইভাবে প্রকাশ করার উপায়। তিনটি বারের মাধ্যমে বুঝানো হয়েছে ''x'' এর সকল মানের জন্য সমীকরণটি সত্য।|content=<math>\overset{}{\underset{}{\sqrt[2]{x^3} \equiv x^{\frac 3 2} } }</math>}}একটি আমূল সমীকরণ হল এমন একটি সমীকরণ যা একটি মৌলিক চিহ্ন অন্তর্ভুক্ত করে, যার মধ্যে [[বর্গমূল]] রয়েছে, <math>\sqrt{x},</math> ঘন মূল, <math>\sqrt[3]{x}</math>, এবং [[N-তম মূল|''n'' তম শিকড়]], <math>\sqrt[n]{x}</math> . মনে রাখবেন যে একটি ''n'' তম মূল সূচক বিন্যাসে পুনরায় লেখা যেতে পারে, যেখানে <math>\sqrt[n]{x}</math> এর সমতুল্য হলো <math>x^{\frac{1}{n}}</math> . সাধারণ সূচক (শক্তি) এর সাথে মিলিত, তারপর <math>\sqrt[2]{x^3}</math> ( {{Mvar|x}} এর ঘন এর বর্গমূল), হিসাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে <math>x^{\frac{3}{2}}</math> .<ref>John C. Peterson, ''Technical Mathematics With Calculus'', Publisher Cengage Learning, 2003, {{আইএসবিএন|0766861899}}, 9780766861893, 1613 pages, [https://books.google.com/books?id=PGuSDjHvircC&dq=%22+radical+equation%22&pg=PA525 page 525]</ref> তাই আমূল সমীকরণের একটি সাধারণ রূপ <math> \sqrt[n]{x^m}=a</math> (<math> x^\frac{m}{n}=a</math> এর সমতুল্য) যেখানে {{Mvar|m}} এবং {{Mvar|n}} [[পূর্ণ সংখ্যা|পূর্ণসংখ্যা]] । এটির [[বাস্তব সংখ্যা|বাস্তব]] সমাধান রয়েছে:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
!{{Mvar|n}} বিজোড় সংখ্যা
!{{Mvar|n}} জোড় সংখ্যা<br /><br />এবং <math>a \ge 0</math>
!{{Mvar|n}} '''এবং''' {{Mvar|m}} '''জোড় সংখ্যা'''<br /><br />'''এবং''' <math>a<0</math>
!{{Mvar|n}} '''জোড় সংখ্যা,''' {{Mvar|m}} '''বিজোড় সংখ্যা''', '''এবং''' <math>a<0</math>
|-
|<math>x = \sqrt[n]{a^m}</math>

একইভবে

: <math>x = \left(\sqrt[n]a\right)^m</math>
|<math>x = \pm \sqrt[n]{a^m}</math>

একইভাবে

: <math>x = \pm \left(\sqrt[n]a\right)^m</math>
|<math>x=\pm \sqrt[n]{a^m}</math>
|কোন বাস্তব সমাধান নেই
|}
উদাহরণস্বরূপ, যদি

: <math>(x + 5)^{2/3} = 4</math>

যেহেতু জানা যায় যে <math>x = 2</math> সত্য, তাহলে মূল দুটি সমীকরণের যেকোনো একটি দ্বারা ( {{Mvar|x}} এর পরিবর্তে ''2'' ব্যবহার করে) নির্ণয় করা সম্ভব যে <math>y = 3</math>  তাহলে এই সমস্যার সম্পূর্ণ সমাধান

: <math>\begin{align}
x + 5 & = \pm (\sqrt{4})^3,\\
x + 5 & = \pm 8,\\
x & = -5 \pm 8,
\end{align}</math>

এবং এর ফলে

: <math>x = 3 \quad \text{or}\quad x = -13</math>

=== রৈখিক সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি ===
{{Main|রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমসমূহ}}

দুটি চলক সহ রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে।

==== নির্মূল পদ্ধতি ====
[[চিত্র:Intersecting_Lines.svg|ডান|থাম্ব| সমীকরণের জন্য করা সমাধান সেট <math>x - y = -1</math> এবং <math>3x + y = 9</math> এর একক বিন্দু (2,&nbsp;3)।]]
রৈখিক সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধানে নির্মূল পদ্ধতি ব্যবহারের উদাহরণ:

: <math>\begin{cases}4x + 2y&= 14 \\
2x - y&= 1.\end{cases} </math>

দ্বিতীয় সমীকরণের পদগুলিকে 2 দ্বারা গুণ করে:

: <math>4x + 2y = 14 </math>
: <math>4x - 2y = 2. </math>

দুটি সমীকরণ একসাথে যোগ করলে পাওয়া যায়:

: <math>8x = 16 </math>

যা সহজ করে

: <math>x = 2. </math>

যেহেতু আমরা জানি যে x<math>x = 2</math>, তাহলে আমরা আসল দুটি সমিকরং থেকে (''{{mvar|x}}'' এর বদলে ''২'' ব্যবহার করে) নির্ণয় করতে পারি যে y

<math>y = 3</math>, সমস্যাটির পূর্ণ সমাধান দাড়ায়

: <math>\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}</math>

এটিই সমাধানের একমাত্র উপায় নয়; চাইলে ''{{mvar|y}}'' এর সমাধান ''{{mvar|x}}'' এর আগে করা যেতো।

==== প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ====
রৈখিক সমীকরণের একই সিস্টেম সমাধান করার আরেকটি উপায় হল প্রতিস্থাপন পদ্ধতি।

: <math>\begin{cases}4x + 2y &= 14
\\ 2x - y &= 1.\end{cases} </math>

দুটি সমীকরণের একটি ব্যবহার করে {{Mvar|y}} এর সমতুল্য নির্ণয় করা যেতে পারে। দ্বিতীয় সমীকরণ ব্যবহার করে:

: <math>2x - y = 1 </math>

সমীকরণের প্রতিটি দিক থেকে <math>2x</math> বিয়োগ করে:

: <math>\begin{align}2x - 2x - y & = 1 - 2x  \\
- y & = 1 - 2x
\end{align}</math>

এবং −1 দ্বারা গুণ করে:

: <math> y = 2x - 1. </math>

মূল সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে এ {{Mvar|y}} এর মান ব্যবহার করে:

: <math>\begin{align}4x + 2(2x - 1) &= 14\\
4x + 4x - 2 &= 14 \\
8x - 2 &= 14 \end{align}</math>

সমীকরণের প্রতিটি পাশে ''2'' যোগ করে:

: <math>\begin{align}8x - 2 + 2 &= 14 + 2 \\
8x &= 16 \end{align}</math>

সহজ করে লিখলে

: <math>x = 2 </math>

যেকোন একটি সমীকরণে এই মানটি ব্যবহার করলে, আগের পদ্ধতির মতো একই সমাধান পাওয়া যায়।

: <math>\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}</math>

এটিই সমীকরণগুলো সমাধানের একমাত্র উপায় নয়; এই ক্ষেত্রেও, {{Mvar|x}} এর আগে {{Mvar|y}} এর সমাধান করা যেত।

=== রৈখিক সমীকরণের অন্যান্য ধরনসমূহ ===

==== অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম ====
[[চিত্র:Parallel_Lines.svg|ডান|থাম্ব| সমীকরণ <math>3x + 2y = 6</math> এবং <math>3x + 2y = 12</math> একে অপরের সমান্তরাল এবং একে অপরকে ছেদ করতে পারে না, ফলে এরা অমীমাংসিত।]]
[[চিত্র:Quadratic-linear-equations.svg|ডান|থাম্ব| একটি দ্বিঘাত সমীকরণের প্লট (লাল) এবং একটি রৈখিক সমীকরণ (নীল) যা একে অপরকে ছেদ করে না, এবং ফলস্বরূপ এদের কোন সাধারণ সমাধান নেই।]]
উপরের উদাহরণে, একটি সমাধান বিদ্যমান। কিন্তু, সমীকরণের এমন সিস্টেমও রয়েছে যার কোন সমাধান নেই। এই ধরনের ব্যবস্থাকে বলা হয় অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম। এটির একটি উদাহরণ হল

: <math>\begin{cases}\begin{align} x + y &= 1 \\
0x + 0y &= 2\,. \end{align} \end{cases}</math>

0≠2 হিসাবে, সিস্টেমের দ্বিতীয় সমীকরণের কোন সমাধান নেই। অতএব, এই সিস্টেমের কোন সমাধান নেই। যাইহোক, সমস্ত অসামঞ্জস্যপূর্ণ সিস্টেম প্রথমবার দেখলেই বোঝা যায়না। একটি উদাহরণ হিসাবে, এই সিস্টেমটি বিবেচনা করুন

: <math>\begin{cases}\begin{align}4x + 2y &= 12 \\
-2x - y &= -4\,. \end{align}\end{cases}</math>

দ্বিতীয় সমীকরণের উভয় পাশে 2 দ্বারা গুণ করলে এবং প্রথমটির সাথে যোগ করলে ফলাফল পাওয়া যায়

: <math>0x+0y = 4 \,,</math>

যার আসলেই কোন সমাধান নেই।

==== অনির্ধারিত সিস্টেম ====
এমন সিস্টেমও রয়েছে যার অসীম অনেকগুলি সমাধান রয়েছে, একটি অনন্য সমাধান সহ একটি সিস্টেমের বিপরীতে (অর্থাৎ, {{Mvar|x}} এবং {{Mvar|y}} এর মানগুলির একটি অনন্য জোড়া) উদাহরণস্বরূপ:

: <math>\begin{cases}\begin{align}4x + 2y & = 12 \\
-2x - y & = -6 \end{align}\end{cases}</math>

দ্বিতীয় সমীকরণে {{Mvar|y}} বিচ্ছিন্ন করা:

: <math>y = -2x + 6 </math>

এবং সিস্টেমের প্রথম সমীকরণে এই মানটি ব্যবহার করলে:

: <math>\begin{align}4x + 2(-2x + 6) = 12 \\
4x - 4x + 12 = 12 \\
12 = 12 \end{align}</math>

সমতাটি সত্য হলেও, এটি {{Mvar|x}} এর জন্য কোন মান প্রদান করে না। প্রকৃতপক্ষে, কেউ সহজেই যাচাই করতে পারে (শুধুমাত্র {{Mvar|x}} এর কিছু মান পূরণ করে) যে {{Mvar|x}} এর যেকোনো মানের জন্য একটি সমাধান আছে যতক্ষণ না <math>y = -2x + 6</math> . এই সিস্টেমের জন্য অসীম সংখ্যক সমাধান রয়েছে।

==== ওভার- এবং আন্ডারডেটারমিনড সিস্টেম ====
রৈখিক সমীকরণের সংখ্যার চেয়ে বেশি চলক উপস্থিত এমন সিস্টেমগুলোকে বলা হয় আন্ডারডেটারমিনড । এই ধরনের কোন সিস্টেমে, যদি কোন সমাধান থেকেও থাকে, সেটি অনন্য হয় না বরং তাদের অসীম সংখ্যক সমাধান সম্ভব। এই ধরনের ব্যবস্থার একটি উদাহরণ

: <math>\begin{cases}\begin{align}x + 2y & = 10\\
y - z & = 2 .\end{align}\end{cases}</math>

এটি সমাধান করার সময়, কিছু চলককে অন্য চলকের ফাংশন হিসাবে প্রকাশ করার প্রয়োজন পরে, যদি কোনো সমাধানও বিদ্যমান থাকে তবে ''সমস্ত'' সমাধানকে [[সংখ্যা|সংখ্যাগতভাবে]] প্রকাশ করতে পারে না কারণ সেক্ষেত্রে সমাধানের সংখ্যা অসীম সংখ্যক হয়ে থাকে।

চলকের চেয়ে বেশি সংখ্যক সমীকরণ যেই সিস্টেমে থাকে তাকে [[ওভারডিটারমিনড সিস্টেম]] বলা হয়। যদি একটি ওভারডিটারমিনড সিস্টেমের কোনো সমাধান থাকে, সেগুলো কিছু সমীকরণের [[রৈখিক সমন্বয়]] হয়ে থাকে।

== আরো দেখুন ==

* [[বীজগণিতের ইতিহাস]]
* [[অপারেশন (গণিত)|বাইনারি অপারেশন]]
* [[গাউসিয়ান নির্মূল]]
* [[গণিত শিক্ষা]]
* [[সংখ্যারেখা|নম্বর লাইন]]
* [[বহুপদী|বহুপদ]]
* [[বাতিলকরণ]]
* [[তারস্কির উচ্চ বিদ্যালয় বীজগণিত সমস্যা]]

== তথ্যসূত্র ==

* [[লেওনার্ড অয়লার|লিওনহার্ড অয়লার]], ''বীজগণিতের উপাদান'', 1770। ইংরেজি অনুবাদ [[Tarquin Press|তারকুইন প্রেস]], 2007,{{আইএসবিএন|978-1-899618-79-8}}, এছাড়াও অনলাইন ডিজিটাইজড সংস্করণ<ref>[http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Euler's Elements of Algebra] {{ওয়েব আর্কাইভ|ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/|তারিখ=2011-04-13}}</ref> 2006,<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Euler|প্রথমাংশ=Leonhard|শেষাংশ২=Hewlett|প্রথমাংশ২=John|তারিখ=4 May 2018|প্রকাশক=Longman, Orme|via=Google Books|শিরোনাম=Elements of Algebra|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=X8yv0sj4_1YC&q=euler+elements|সংগ্রহের-তারিখ=4 May 2018}}</ref> 1822।
* চার্লস স্মিথ, [http://historical.library.cornell.edu/math কর্নেল ইউনিভার্সিটি লাইব্রেরি হিস্টোরিক্যাল ম্যাথ মনোগ্রাফে] ''[http://digital.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;idno=smit025 বীজগণিতের উপর একটি গ্রন্থ]'' ।
* রেডেন, জন।  [http://catalog.flatworldknowledge.com/bookhub/reader/128?e=fwk-redden-ch01 ''প্রাথমিক বীজগণিত''] {{ওয়েব আর্কাইভ|ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20160610165651/http://catalog.flatworldknowledge.com/bookhub/reader/128?e=fwk-redden-ch01|তারিখ=2016-06-10}} </link> . ফ্ল্যাট ওয়ার্ল্ড নলেজ, 2011
{{সূত্র তালিকা}}

== বহিঃসংযোগ ==

* {{কমন্স বিষয়শ্রেণী-একই সরলরেখা}}
{{Algebra}}{{গণিতের ক্ষেত্রসমূহ}}{{কর্তৃপক্ষ নিয়ন্ত্রণ}}
[[বিষয়শ্রেণী:বীজগণিত]]
[[বিষয়শ্রেণী:প্রাথমিক বীজগণিত]]
[[বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা]]