ম্যাট্রিক্স-এর উৎস দেখুন

গণিতে '''ম্যাট্রিক্স''' বলতে মূলত দুপাশে [[বন্ধনী]] দ্বারা আবদ্ধ একাধিক সংখ্যার এক ধরনের আয়তাকার বিন্যাসকে বুঝায়।<ref>{{harvtxt|Anton|1987|p=23}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=56}}</ref> যা বিশেষ কিছু নিয়মের অধীনে পরিচালিত হয়।
তার মাঝে দুটি নিয়ম সর্বাধিক প্রয়োজনীয় :
# কিছু সমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির সহগ দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা
# কিছু অসমসত্ত্ব রৈখিক সমীকরণের সমষ্টির আর্গুমেন্ট দ্বারা নির্ণয়যোগ্যতা

[[চিত্র:Matrix.png|thumb|350px|right|একটি ম্যাট্রিক্সের গঠন]]

ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা হিসেবে বলা যায়: আয়তাকারে সারি ও স্তম্ভ–এ বা শুধু সারিতে বা শুধু স্তম্ভ–এ সাজানো ও বন্ধনী দ্বারা আবদ্ধ সংখ্যাগোষ্ঠী একটি ম্যাট্রিক্স গঠন করে।

একটি ম্যাট্রিক্সকে তার সারি (রো) এবং স্তম্ভ (কলাম) সংখ্যার মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। 
যেমন: <math>
A=  \begin{bmatrix}
   a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
   a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{1,n} \\
   \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
   a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} 
  \end{bmatrix}</math>

উপরিউক্ত ম্যাট্রিক্সে তার উপাদানগুলোকে (''a''<sub>1,1</sub>, ''a''<sub>1,2</sub> প্রভৃতি) ''m'' সংখ্যক সারি এবং ''n'' সংখ্যক স্তম্ভ দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। তাই একে ''m''×''n'' ম্যাট্রিক্স বলা হয়। সাধারণত এই ধরনের ম্যাট্রিক্সকে ''A''=[''a''<sub>''m'',''n''</sub>] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

== প্রকারভেদ ==

=== স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স (Column Matrix) ===
যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র কলাম বা স্তম্ভ থাকে তাকে স্তম্ভ ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন : <math>
 \begin{bmatrix}
 1 \\
 2 \\
 3
 \end{bmatrix}</math>

=== সারি ম্যাট্রিক্স (Row Matrix) ===
যে ম্যাট্রিক্সে একটি মাত্র সারি থাকে তাকে সারি ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন : <math>
 \begin{bmatrix}
 1 & 2 & 3
 \end{bmatrix}</math>

===  বর্গ (square) ম্যাট্রিক্স ===
{{মূল নিবন্ধ|বর্গ ম্যাট্রিক্স}}
যে ম্যাট্রিক্সে স্তম্ভ ও সারির সংখ্যা সমান তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে । অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [''a<sub>ij</sub>'']এর উপাদানগুলি এমন হয় যে ''i''=''j'' (স্তম্ভ সংখ্যা = সারি সংখ্যা) তবে তাকে বর্গ ম্যাট্রিক্স বলে।

যেমন : <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 5 & 2
  \end{bmatrix}</math>।

===  কর্ণ (diagonal) ম্যাট্রিক্স ===
যদি কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলোর মুখ্য কর্ণ (অর্থাৎ যে কর্ণে a<sub>11</sub> উপাদান রয়েছে) ব্যতীত সকল উপাদানের মান শূন্য (০) হয় তবে তাকে [[কর্ণ মেট্রিক্স|কর্ণ ম্যাট্রিক্স]] বলে। অর্থাৎ যদি ম্যাট্রিক্স [''a<sub>ij</sub>''] এর উপদানগুলি এমন হয় যে ''a<sub>ij</sub>''=0, যখন <math>i \neq \ j</math> তখন সেই ম্যাট্রিক্সকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলে।
<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 2 & 0 \\
    0 & 0 & 3
  \end{bmatrix}</math>

===  অভেদক (identity) বা একক ম্যাট্রিক্স (unit) ===
একটি [[বর্গ মেট্রিক্স|বর্গ ম্যাট্রিক্সের]] কর্ণ বরাবর উপাদানের মান ব্যতীত সকল উপাদান যদি শূন্য (০) হয় এবং কর্ণ বরাবর উপাদানের মান যদি এক (১) হয় তবে তাকে [[অভেদক মেট্রিক্স|অভেদক ম্যাট্রিক্স]] বা একক ম্যাট্রিক্স বলে। সকল অভেদক ম্যাট্রিক্সই [[কর্ণ মেট্রিক্স|কর্ণ ম্যাট্রিক্স]]। অর্থাৎ যদি কোনো ম্যাট্রিক্স [a<sub>ij</sub>]-এর উপাদান এমন হয় যে a<sub>ij</sub>=0 যখন <math>i \neq \ j</math> এবং ''a<sub>ij</sub>''=1 যখন ''i''=''j'' তখন তাকে অভেদক ম্যাট্রিক্স বলে।

<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1
  \end{bmatrix}</math>
একক ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রকাশ করা হয় ''I'' দিয়ে। একক ম্যাট্রিক্স (''I'') সাথে একক ম্যাট্রিক্স (''I'') কে যতবার গুন করা হোক না কেন আমারা একক ম্যাট্রিক্স পাবো‌ । ''I'' × ''I''=''I'' । একক ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা (= স্তম্ভ সংখ্যা) ''I'' -এর নিচে সাবস্ক্রিপ্টের দ্বারা নির্দেশ করা হয়, যেমন ''I''<sub>''n''</sub> '', n'' সংখ্যাক সারি এবং স্তম্ভ বিশিষ্ট একটি ম্যাট্রিক্সকে নির্দেশ করে ।<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি|ভাষা=en|শিরোনাম=Khan Academy|ইউআরএল=https://www.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices/x9e81a4f98389efdf:properties-of-matrix-multiplication/a/intro-to-identity-matrices|সংগ্রহের-তারিখ=2024-12-30|ওয়েবসাইট=www.khanacademy.org}}</ref>

===  শূন্য ম্যাট্রিক্স (Zero Matrices) ===
যখন কোনো ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদানের মান শূন্য হয় তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলে। অর্থাৎ [''a<sub>ij</sub>''] একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স যখন ''a<sub>ij</sub>''=0।

যেমন:
<math>
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0  \\
    0 & 0 
  \end{bmatrix}</math>
এটিকে 0<sub>3×2</sub> চিহ্ন দিয়েও অনেক সময় প্রকাশ করা হয়, যেখান 3 সারিসংখ্যা এবং 2 স্তম্ভসংখ্যা ।

===  প্রতিসম (Symmetric) ম্যাট্রিক্স ===
যে অশূন্য বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) স্তম্ভ অথবা স্তম্ভ(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে একই ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে [[প্রতিসম মেট্রিক্স|প্রতিসম ম্যাট্রিক্স]] বলে। অর্থাৎ [''a<sub>ij</sub>''] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স যখন ''a<sub>ij</sub>''=''a<sub>ji</sub>''।
যেমন:
<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    3 & 0 & 6 \\
    2 & 6 & 2
  \end{bmatrix}</math>

===  বিপ্রতিসম (skew symmetric) ম্যাট্রিক্স ===
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের সারি(গুলোকে) স্তম্ভ অথবা স্তম্ভ(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত করলে ঐ ম্যাট্রিক্সের উপাদানের বিপরীত মান সংবলিত ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে [[বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের|বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স]] বলে। অর্থাৎ [''a<sub>ij</sub>''] একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যখন ''a<sub>ij</sub>''= −''a<sub>ji</sub>''।

উদাহরণ:<math>
  \begin{bmatrix}
    0 & -3 & 2 \\
    3 & 0 & -6 \\
    -2 & 6 & 0
  \end{bmatrix}</math>

===  হার্মেশিয়ান (Hermitian) ম্যাট্রিক্স ===
কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো উপাদানের জটিল মান হলে এর জটিল মানকে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ করলে আবার সেই ম্যাট্রিক্স ফিরে আসলে তাকে হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে।

<math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3+2i & 2 \\
    3-2i & 0 & -6 \\
    2 & -6 & 2
  \end{bmatrix}</math>

===  বিপ্রতিসম হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স ===
কোনো ম্যাট্রিক্সের কোনো উপাদানের জটিল মান হলে এর জটিল মানকে অনুবন্ধী করে ট্রান্সপোজ (সারি(গুলোকে) স্তম্ভ অথবা স্তম্ভ(গুলোকে) সারিতে রূপান্তরিত) করলে আবার ঋণাত্মক মানের সেই ম্যাট্রিক্স  ফিরে আসলে, তাকে বিপ্রতিসম হার্মেশিয়ান ম্যাট্রিক্স বলে।

<math>\begin{bmatrix}
    1 & 3+2i & 2 \\
    -3+2i & 0 & -6+i\\
    -2 & 6+i & 2
  \end{bmatrix}</math>

==  ম্যাট্রিক্সের বীজগণিত ==
=== যোগ ===
দুইটি ''m''×''n'' ম্যাট্রিক্স ''A'' এবং ''B''-এর যোগফল ''A''+''B'' একটি ''m''×''n'' ম্যাট্রিক্স হবে যার উপাদানগুলি হবে ''A'' এবং ''B'' সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলির যোগফল (অর্থাৎ, (''A'' + ''B'')<sub>''i'', ''j''</sub> = ''A''<sub>''i'', ''j''</sub> + ''B''<sub>''i'', ''j''</sub>)। উদাহরণঃ

: <math>
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 0 & 0 \\
    1 & 2 & 2
  \end{bmatrix}
+
  \begin{bmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    7 & 5 & 0 \\
    2 & 1 & 1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+7 & 0+5 & 0+0 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{bmatrix}
=
  \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    8 & 5 & 0 \\
    3 & 3 & 3
  \end{bmatrix}
</math>

==== গুণন ====
ম্যাট্রিক্স গুনন বলতে মুলত দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণনকে বুঝায়। এক্ষেত্রে প্রথম ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেকটি [[সারি]] দিয়ে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সংশ্লিষ্ট [[কলাম|স্তম্ভকে]] গুণ করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ বলা যায় যদি-
:<math>A = \begin{bmatrix}
a & b & c
\end{bmatrix}, \quad B= \begin{bmatrix}
p \\
q \\ 
r
\end{bmatrix}\,,</math> যদি দুটি ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে এদের গুনফল ম্যাট্রিক্স ''AB'' হবে ''A'' ম্যট্রিক্সের সারি এবং ''B'' ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভের [[ডট গুণন|ডট গুনফলের]] সমান অর্থাৎ <math>
AB=(a,  b,  c) \cdot (p,  q,  r)= ap+bq+cr</math>

'''গুণ করার নিয়ম'''

ধরা যাক ''A'' এবং ''B'' দুইটি ম্যাট্রিক্স। এদের মান যথাক্রমে-

<math>
A= \begin{bmatrix}
6 & 4 \\
2 & 5 
\end{bmatrix}
, \;
B= \begin{bmatrix}
4 & 8  \\
2 & 7  
\end{bmatrix}
</math>

১ম ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির ভুক্তিসমূহ দিয়ে ২য় ম্যাট্রিক্সের ১ম স্তম্ভের অনুরুপ ভুক্তিসমূহকে গুণ করতে হবে এবং গুণফলগুলোকে সমষ্টিবদ্ধ আকারে লিখতে হবে। গুণফলগুলোর সমষ্টি হলো ''AB'' ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির ১ম ভুক্তি। 
:<math>(AB)_{1,1} = 32</math>
এভাবে ১ম ম্যাট্রিক্সের ২য় ৩য় সারির ভুক্তিসমূহ দিয়ে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের ১ম স্তম্ভের ভুক্তিসমূহকে গুণ করতে হবে। গুনফলগুলো হবে ''AB'' ম্যাট্রিক্সের ১ম সারির যথাক্রমে ২য় ও ৩য় ভুক্তি।

====গুনন যোগ্যতা====
যদি  ''A''<sub>''m''×''n''</sub> একটি ''m'' সংখ্যাক সারি এবং ''n'' সংখ্যাক স্তম্ভবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স  হয় এবং ''B''<sub>''p''×''q''</sub> একটি ''p'' সংখ্যাক সারি এবং ''q'' সংখ্যাক স্তম্ভবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে ''A'' এবং ''B'' ম্যাট্রিক্স দুটি গুননের যোগ্য হবে যদি এবং কেবল যদি ''n''=''p'' হয়। অর্থাৎ দুটি ম্যাট্রিক্স গুননের যোগ্যতা তখনই অর্জন করে যখন প্রথম ম্যাট্রিক্স এর স্তম্ভ সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হয়।

====গুননে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের আকার====
যদি  ''A''<sub>(''m''×''n'')</sub> একটি ''m'' সংখ্যাক সারি এবং ''n'' সংখ্যাক স্তম্ভ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় এবং ''B''<sub>(''p''×''q'')</sub> একটি ''p'' সংখ্যাক সারি এবং ''q'' সংখ্যাক স্তম্ভ বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে ''A'' এবং ''B'' ম্যাট্রিক্সটি গুনন যোগ্য হবে যদি যদি ''n=p'' হয় এবং গুনের পর ম্যাট্রিক্স ''AB'' পাওয়া গেলে এতে ''m'' সংখ্যাক সারি এবং q সংখ্যাক স্তম্ভ থাকবে। অর্থাৎ দুটি ম্যাট্রিক্সের গুনফল ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা হবে  প্রথম ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান এবং গুনফল ম্যট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যা হবে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ সংখ্যার সমান। ''AB'' ম্যাট্রিক্সের আকার হবে (''m''×''q'') অর্থাৎ এতে ''m'' সংখ্যাক সারি এবং ''q'' সংখ্যাক স্তম্ভ থাকবে।<ref name="mathwarehouse.com">http://www.mathwarehouse.com/algebra/matrix/multiply-matrix.php</ref>
:<math>A = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{bmatrix}\,,</math>

ম্যাট্রিক্স দুটির গুনফল

:<math>AB = \begin{bmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}
a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau \\
p\alpha + q\lambda + r\rho & p\beta + q\mu + r\sigma & p\gamma + q\nu + r\tau \\
u\alpha + v\lambda + w\rho & u\beta + v\mu + w\sigma & u\gamma + v\nu + w\tau
\end{bmatrix}\,,
</math>

এবং

:<math>BA = \begin{bmatrix}
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\alpha a + \beta p + \gamma u & \alpha b + \beta q + \gamma v & \alpha c + \beta r + \gamma w \\
\lambda a + \mu p + \nu u & \lambda b + \mu q + \nu v & \lambda c + \mu r + \nu w \\
\rho a + \sigma p + \tau u & \rho b + \sigma q + \tau v & \rho c + \sigma r + \tau w
\end{bmatrix}\,.
</math>

====ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুনন====
দুটি ম্যাট্রিক্সের গুন করার পাশাপাশি ম্যাট্রিক্সের সাথে অন্য কোন স্কেলার রাশিকেও গুন করা যায়। কোন ম্যাট্রিক্সকে যদি একটি স্কেলার রাশি দিয়ে গুন করা হয় তবে তা ম্যাট্রিক্সের সকল উপাদানের সাথে গুন হয়ে যাবে। অর্থাৎ একটি ৩ টি সারি এবং ৩টি স্তম্ভ বিশিষ্ট ''A'' ম্যাট্রিক্স কে যদি <math>x</math> দ্বারা গুন করা হয় তবে তা ''A'' ম্যাট্রিক্সের ৯ টি উপাদান বা ভুক্তির(উল্লেখ্য আধুনিক গণিতে উপাদানগুলোকে ভুক্তি নামে নামকরণ করা হয়েছে) সবার সাথে আলাদা আলাদা ভাবে গুন হয়ে যাবে।<ref name="mathwarehouse.com"/>
:<math> 2 A = 2 \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2 \cdot a & 2 \cdot b \\
2 \cdot c & 2 \cdot d \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
a \cdot 2 & b \cdot 2 \\
c \cdot 2 & d \cdot 2 \\
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{bmatrix}2
= A2.</math>

==পাদটীকা==
{{সূত্র তালিকা|colwidth=30em}}
{{সূত্র তালিকা|group=nb|3}}

==তথ্যসূত্র==
* {{citation | first1 = Howard | last1 = Anton | year = 1987 | isbn = 0-471-84819-0 | title = Elementary Linear Algebra | edition = 5th | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York }}
* {{Citation |last1=Arnold |first1=Vladimir I. |author1-link=Vladimir Arnold |last2=Cooke |first2=Roger |author2-link=Roger Cooke |title=Ordinary differential equations |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-3-540-54813-3 |year=1992 }}
* {{Citation |last1=Artin |first1=Michael |author1-link=Michael Artin |title=Algebra |publisher=[[Prentice Hall]] |isbn=978-0-89871-510-1 |year=1991 }}
* {{Citation |last1=Association for Computing Machinery |title=Computer Graphics |publisher=Tata McGraw–Hill |isbn=978-0-07-059376-3 |year=1979 }}
* {{Citation |last1=Baker |first1=Andrew J. |title=Matrix Groups: An Introduction to Lie Group Theory |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-1-85233-470-3 |year=2003 }}
* {{Citation |last1=Bau III |first1=David |last2=Trefethen |first2=Lloyd N. |author2-link=Lloyd N. Trefethen |title=Numerical linear algebra |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |location=Philadelphia, PA |isbn=978-0-89871-361-9 |year=1997 }}
* {{citation | first1 = Raymond A. | last1 = Beauregard | first2 = John B. | last2 = Fraleigh | year = 1973 | isbn = 0-395-14017-X | title = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields | publisher = [[Houghton Mifflin Co.]] | location = Boston }}
* {{Citation |last1=Bretscher |first1=Otto |title=Linear Algebra with Applications |publisher=Prentice Hall |edition=3rd |year=2005 }}
* {{Citation |last1=Bronson |first1=Richard |title=Schaum's outline of theory and problems of matrix operations |publisher=[[McGraw–Hill]] |location=New York |isbn=978-0-07-007978-6 |year=1989 }}
* {{Citation |last1=Brown |first1=William C. |title=Matrices and vector spaces |publisher=[[Marcel Dekker]] |location=New York, NY |isbn=978-0-8247-8419-5 |year=1991}}
* {{Citation |last1=Coburn |first1=Nathaniel |title=Vector and tensor analysis |publisher=Macmillan |location=New York, NY |oclc=1029828 |year=1955 }}
* {{Citation |last1=Conrey |first1=J. Brian |title=Ranks of elliptic curves and random matrix theory |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-0-521-69964-8 |year=2007 }}
* {{citation | first1 = John B. | last1 = Fraleigh | year = 1976 | isbn = 0-201-01984-1 | title = A First Course In Abstract Algebra | edition = 2nd | publisher = [[Addison-Wesley]] | location = Reading }}
* {{Citation |last1=Fudenberg |first1=Drew |last2=Tirole |first2=Jean |author2-link=Jean Tirole |title=Game Theory |publisher=[[MIT Press]] |year=1983 }}
* {{Citation |last1=Gilbarg |first1=David |last2=Trudinger |first2=Neil S. |author2-link=Neil Trudinger |title=Elliptic partial differential equations of second order |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=2nd |isbn=978-3-540-41160-4 |year=2001 }}
* {{Citation |first1=Chris |last1=Godsil |authorlink1=Chris Godsil |first2=Gordon |last2=Royle |authorlink2=Gordon Royle |title=Algebraic Graph Theory |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=978-0-387-95220-8 |year=2004 |volume=207 }}
* {{Citation |last1=Golub |first1=Gene H. |author1-link=Gene H. Golub |last2=Van Loan |first2=Charles F. |author2-link=Charles F. Van Loan |title=Matrix Computations |publisher=Johns Hopkins |edition=3rd |isbn=978-0-8018-5414-9 |year=1996 }}
* {{Citation |last1=Greub |first1=Werner Hildbert |title=Linear algebra |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=978-0-387-90110-7 |year=1975 }}
* {{Citation |last1=Halmos |first1=Paul Richard |title=A Hilbert space problem book |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=2nd |series=Graduate Texts in Mathematics |isbn=978-0-387-90685-0 |mr=675952 |year=1982 |volume=19 }}
* {{Citation |last1=Horn |first1=Roger A. |last2=Johnson |first2=Charles R. |title=Matrix Analysis |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-38632-6 |year=1985 }}
* {{Citation |last1=Householder |first1=Alston S. |title=The theory of matrices in numerical analysis |publisher=[[Dover Publications]] |location=New York, NY |mr=0378371 |year=1975 }}
* {{Citation |last1=Krzanowski |first1=Wojtek J. | title=Principles of multivariate analysis |publisher=The Clarendon Press Oxford University Press |series=Oxford Statistical Science Series |isbn=978-0-19-852211-9 |mr=969370 |year=1988 |volume=3 }}
* {{Citation |editor1-last=Itõ |editor1-first=Kiyosi |title=Encyclopedic dictionary of mathematics. Vol. I-IV |publisher=MIT Press |edition=2nd |isbn=978-0-262-09026-1 |mr=901762 |year=1987 }}
* {{Citation |last1=Lang |first1=Serge |author1-link=Serge Lang |title=Analysis II |publisher=[[Addison-Wesley]] |year=1969 }}
* {{Citation |last1=Lang |first1=Serge |title=Calculus of several variables |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=3rd |isbn=978-0-387-96405-8 |year=1987a }}
* {{Citation |last1=Lang |first1=Serge |title=Linear algebra |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-0-387-96412-6 |year=1987b }}
* {{Lang Algebra}}
* {{Citation |last1=Latouche |first1=Guy |last2=Ramaswami |first2=Vaidyanathan |title=Introduction to matrix analytic methods in stochastic modeling |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |location=Philadelphia, PA |edition=1st |isbn=978-0-89871-425-8 |year=1999 }}
* {{Citation |last1=Manning |first1=Christopher D. |last2=Schütze |first2=Hinrich |title=Foundations of statistical natural language processing |publisher=MIT Press |isbn=978-0-262-13360-9 |year=1999 }}
* {{Citation |last1=Mehata |first1=K. M. |last2=Srinivasan |first2=S. K. |title=Stochastic processes |publisher=McGraw–Hill |location=New York, NY |isbn=978-0-07-096612-3 |year=1978 }}
* {{Citation |last1=Mirsky |first1=Leonid |authorlink=Leon Mirsky |title=An Introduction to Linear Algebra |url=http://books.google.com/?id=ULMmheb26ZcC&pg=PA1&dq=linear+algebra+determinant |publisher=Courier Dover Publications |isbn=978-0-486-66434-7 |year=1990 }}
* {{citation | first1 = Evar D. | last1 = Nering | year = 1970 | title = Linear Algebra and Matrix Theory | edition = 2nd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | lccn = 76-91646 }}
* {{Citation |last1=Nocedal |first1=Jorge |last2=Wright |first2=Stephen J. |title=Numerical Optimization |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=2nd |isbn=978-0-387-30303-1 |year=2006 |page=449 }}
* {{Citation |last1=Oualline |first1=Steve |title=Practical C++ programming |publisher=[[O'Reilly Media|O'Reilly]] |isbn=978-0-596-00419-4 |year=2003 }}
* {{Citation |last1=Press |first1=William H. |last2=Flannery |first2=Brian P. |last3=Teukolsky |first3=Saul A. |author3-link=Saul Teukolsky |last4=Vetterling |first4=William T. |title=Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing |url=http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf |publisher=Cambridge University Press |edition=2nd |year=1992 |chapter=LU Decomposition and Its Applications |pages=34–42 |সংগ্রহের-তারিখ=১০ অক্টোবর ২০১৪ |আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20090906113144/http://www.mpi-hd.mpg.de/astrophysik/HEA/internal/Numerical_Recipes/f2-3.pdf |আর্কাইভের-তারিখ=৬ সেপ্টেম্বর ২০০৯ |অকার্যকর-ইউআরএল=হ্যাঁ }}
* {{Citation |last1=Punnen |first1=Abraham P. |last2=Gutin |first2=Gregory |title=The traveling salesman problem and its variations |publisher=Kluwer Academic Publishers |location=Boston, MA |isbn=978-1-4020-0664-7 |year=2002 }}
* {{Citation |last1=Reichl |first1=Linda E. |title=The transition to chaos: conservative classical systems and quantum manifestations |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-0-387-98788-0 |year=2004 }}
* {{Citation |last1=Rowen |first1=Louis Halle |title=Graduate Algebra: noncommutative view |publisher=[[American Mathematical Society]] |location=Providence, RI |isbn=978-0-8218-4153-2 |year=2008 }}
* {{Citation |last1=Šolin |first1=Pavel |title=Partial Differential Equations and the Finite Element Method |publisher=[[Wiley-Interscience]] |isbn=978-0-471-76409-0 |year=2005 }}
* {{Citation |last1=Stinson |first1=Douglas R. |title=Cryptography |publisher=Chapman & Hall/CRC |series=Discrete Mathematics and its Applications |isbn=978-1-58488-508-5 |year=2005 }}
* {{Citation |last1=Stoer |first1=Josef |last2=Bulirsch |first2=Roland |title=Introduction to Numerical Analysis |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=3rd |isbn=978-0-387-95452-3 |year=2002 }}
* {{Citation |last1=Ward |first1=J. P. |title=Quaternions and Cayley numbers |publisher=Kluwer Academic Publishers Group |location=Dordrecht, NL |series=Mathematics and its Applications |isbn=978-0-7923-4513-8 |mr=1458894 |year=1997 |volume=403 }}
* {{Citation |last1=Wolfram |first1=Stephen |author1-link=Stephen Wolfram |title=The Mathematica Book |publisher=Wolfram Media |location=Champaign, IL |edition=5th |isbn=978-1-57955-022-6 |year=2003 }}
* {{Citation |last=Bohm |first=Arno |title=Quantum Mechanics: Foundations and Applications |publisher=Springer |year=2001 |isbn=0-387-95330-2 }}
* {{Citation |last=Burgess |first=Cliff |last2=Moore |first2=Guy |title=The Standard Model. A Primer |publisher=Cambridge University Press |year=2007 |isbn=0-521-86036-9 }}
* {{Citation |last=Guenther |first=Robert D. |title=Modern Optics |publisher=John Wiley |year=1990 |isbn=0-471-60538-7 }}
* {{Citation |last=Itzykson |first=Claude |last2=Zuber |first2=Jean-Bernard |title=Quantum Field Theory |publisher=McGraw–Hill |year=1980 |isbn=0-07-032071-3 }}
* {{Citation |last=Riley |first=Kenneth F. |last2=Hobson |first2=Michael P. |last3=Bence |first3=Stephen J. |title=Mathematical methods for physics and engineering |publisher=Cambridge University Press |year=1997 |isbn=0-521-55506-X }}
* {{Citation |last=Schiff |first=Leonard I. |title=Quantum Mechanics |edition=3rd |publisher=McGraw–Hill |year=1968 }}
* {{Citation |last=Weinberg |first=Steven |title=The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations |publisher=Cambridge University Press |year=1995 |isbn=0-521-55001-7 }}
* {{Citation |last=Wherrett |first=Brian S. |year=1987 |title=Group Theory for Atoms, Molecules and Solids |publisher=Prentice–Hall International |isbn=0-13-365461-3 }}
* {{Citation |last1=Zabrodin |first1=Anton |last2=Brezin |first2=Édouard |last3=Kazakov |first3=Vladimir |last4=Serban |first4=Didina |last5=Wiegmann |first5=Paul |title=Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry) |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin, DE; New York, NY |isbn=978-1-4020-4530-1 |year=2006}}
* A. Cayley  ''A memoir on the theory of matrices''. Phil. Trans. 148 1858 17-37; Math. Papers II 475-496
* {{Citation |last1=Bôcher |first1=Maxime |author1-link=Maxime Bôcher |title=Introduction to higher algebra |publisher=[[Dover Publications]] |location=New York, NY |isbn=978-0-486-49570-5 |year=2004 }}, reprint of the 1907 original edition
* {{Citation |last1=Cayley |first1=Arthur |author1-link=Arthur Cayley |title=The collected mathematical papers of Arthur Cayley |url=http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ABS3153.0001.001;didno=ABS3153.0001.001;view=image;seq=00000140 |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1889 |volume=I (1841–1853) |pages=123–126 }}
* {{Citation |editor1-last=Dieudonné |editor1-first=Jean |editor1-link=Jean Dieudonné |title=Abrégé d'histoire des mathématiques 1700-1900 |publisher=Hermann |location=Paris, FR |year=1978 }}
* {{Citation |last1=Hawkins |first1=Thomas |title=Cauchy and the spectral theory of matrices |mr=0469635 |year=1975 |journal=[[Historia Mathematica]] |issn=0315-0860 |volume=2 |pages=1–29 |doi=10.1016/0315-0860(75)90032-4 }}
* {{Citation |last1=Knobloch |first1=Eberhard |title=The intersection of history and mathematics |publisher=Birkhäuser |location=Basel, Boston, Berlin |series=Science Networks Historical Studies |mr=1308079 |year=1994 |volume=15 |chapter=From Gauss to Weierstrass: determinant theory and its historical evaluations |pages=51–66 }}
* {{Citation |last1=Kronecker |first1=Leopold |author1-link=Leopold Kronecker |editor1-last=Hensel |editor1-first=Kurt |editor1-link=Kurt Hensel |title=Leopold Kronecker's Werke |url=http://name.umdl.umich.edu/AAS8260.0002.001 |publisher=Teubner |year=1897 }}
* {{Citation |last1=Mehra |first1=Jagdish |last2=Rechenberg |first2=Helmut |title=The Historical Development of Quantum Theory |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin, DE; New York, NY |edition=1st |isbn=978-0-387-96284-9 |year=1987 }}
* {{Citation |last1=Shen |first1=Kangshen |last2=Crossley |first2=John N. |last3=Lun |first3=Anthony Wah-Cheung |title=Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary |publisher=[[Oxford University Press]] |edition=2nd |isbn=978-0-19-853936-0 |year=1999 }}
* {{Citation |last1=Weierstrass |first1=Karl |author1-link=Karl Weierstrass |title=Collected works |url=http://name.umdl.umich.edu/AAN8481.0003.001 |year=1915 |volume=3 }}

==বহিঃসংযোগ==
{{Wikibooks|Linear Algebra|মেট্রিক্স}}
{{Wikiversity|at=Linear algebra#Matrices|ম্যাট্রিক্স}}
* {{springer|title=Matrix|id=p/m062780}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html MacTutor: Matrices and determinants] {{ওয়েব আর্কাইভ|ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20150308120526/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html |তারিখ=৮ মার্চ ২০১৫ }}
* [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/matrices.htm Matrices and Linear Algebra on the Earliest Uses Pages]
* [http://jeff560.tripod.com/matrices.html Earliest Uses of Symbols for Matrices and Vectors]
* {{Citation |last1=Kaw |first1=Autar K. |title=Introduction to Matrix Algebra |url=http://autarkaw.com/books/matrixalgebra/index.html |isbn=978-0-615-25126-4 }}
* {{Citation |title=The Matrix Cookbook |url=http://orion.uwaterloo.ca/~hwolkowi/matrixcookbook.pdf |accessdate=24 March 2014 |format=PDF }}
* {{Citation |last1=Brookes |first1=Mike |title=The Matrix Reference Manual |url=http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/intro.html |publisher=[[Imperial College]] |location=London |year=2005 |accessdate=10 Dec 2008 }}
* {{Citation |title=SimplyMath (Matrix Calculator) |url=http://www.webalice.it/simoalessia/SimplyMath/matrix.html }}
* {{Citation |title=Matrix Calculator (DotNumerics) |url=http://www.dotnumerics.com/MatrixCalculator/ |সংগ্রহের-তারিখ=১০ অক্টোবর ২০১৪ |আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20140904030009/http://www.dotnumerics.com/MatrixCalculator/ |আর্কাইভের-তারিখ=৪ সেপ্টেম্বর ২০১৪ |অকার্যকর-ইউআরএল=হ্যাঁ }}
* {{Citation |last1=Xiao |first1=Gang |title=Matrix calculator |url=http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/linear/matrix.en |accessdate=10 Dec 2008 }}
* {{Citation |title=Online matrix calculator |url=http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ |accessdate=10 Dec 2008 |আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20081212221215/http://www.bluebit.gr/matrix-calculator/ |আর্কাইভের-তারিখ=১২ ডিসেম্বর ২০০৮ |অকার্যকর-ইউআরএল=হ্যাঁ }}
* {{Citation |title=Online matrix calculator (ZK framework) |url=http://matrixcalc.info/MatrixZK/ |accessdate=26 Nov 2009 |আর্কাইভের-ইউআরএল=https://web.archive.org/web/20130512101418/http://matrixcalc.info/MatrixZK/ |আর্কাইভের-তারিখ=১২ মে ২০১৩ |অকার্যকর-ইউআরএল=হ্যাঁ }}
* {{Citation |title=MacAnova |url=http://www.stat.umn.edu/macanova/macanova.home.html |last1=Oehlert |first1=Gary W. |last2=Bingham |first2=Christopher |publisher=[[University of Minnesota]], School of Statistics |accessdate=10 Dec 2008 }}, a freeware package for matrix algebra and statistics
* {{Citation |title=Online matrix calculator |url=http://www.idomaths.com/matrix.php |accessdate=14 Dec 2009 }}
*[http://www.elektro-energetika.cz/calculations/matreg.php?language=english Operation with matrices in R (determinant, track, inverse, adjoint, transpose)]

{{linear algebra}}

[[বিষয়শ্রেণী:ম্যাট্রিক্স]]
[[বিষয়শ্রেণী:বীজগণিত]]