সিলভেস্টারের ক্রম-এর উৎস দেখুন

[[চিত্র:Sylvester-square.svg|থাম্ব|1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + ... এর 1 এর দিকে অভিসৃতির গ্রাফিকাল ডেমো। 1/k দৈর্ঘের k সংখ্যক বর্গবিশিষ্ট প্রত্যেকটি সারির ক্ষেত্রফল 1/k এবং সবগুলা বর্গ মিলে সম্পূর্ণরূপে 1 ক্ষেত্রফলের একটি বড় বর্গ দখল করে। 1/1807 দৈর্ঘ্যের বাহুবিশিষ্ট বর্গগুলো ছবিতে দেখার জন্য খুবই ছোট এবং দেখানো হল না।]]

[[সংখ্যাতত্ত্ব|সংখ্যাতত্ত্বে]] '''সিলভেস্টারের ক্রম''' হচ্ছে [[পূর্ণ সংখ্যা|পূর্ণসংখ্যার]] একটি ক্রম যেখানে ক্রমের অন্তর্গত প্রত্যেকটি সংখ্যা ক্রমের আগের সবগুলি সংখ্যার গুণফলের সাথে এক যোগ করে পাওয়া যায়। এই ক্রমের প্রথম কিছু সংখ্যা হলঃ
:2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443 ( [[:en:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]] এর [[oeis:A000058|A000058]] ক্রম )

সিলভেস্টারের ক্রমের নামকরণ করা হয়েছে জেমস জোসেফ সিলভেস্টার ( ''ইংরেজিঃ'' [[:en:James Joseph Sylvester|James Joseph Sylvester]] ) এর নামানুসারে যে এই ক্রমটি উদ্ভাবন করে ১৮৮০ সালে। এই ক্রমের মান বাড়তে থাকে [[:en:Double exponential function|ডাবল এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনের]] মত করে এবং এই সংখ্যাক্রমের বিপ্রতীপ মানগুলো [[:en:Unit fraction|একক ভগ্নাংশের]] ধারা গঠন করে যার একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ সংখ্যার যোগফল অন্য যেকোন ধারার চেয়ে দ্রুত ১ এর দিকে আগাতে থাকে। এই ক্রমের যেকোন সংখ্যা দ্রুত উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় এই ক্রমটি যে রিকারেন্স দিয়ে নির্ধারিত সেজন্য। কিন্তু এই ক্রমের সংখ্যাগুলোর মান খুব দ্রুত বৃদ্ধি পাওয়ায় খুব কম সংখ্যাকেই সম্পূর্ণরূপে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষিত করা গেছে। এই ক্রমের সংখ্যাগুলো ১ এর সসীম [[:en:Egyptian fraction|মিশরীয় ভগ্নাংশ]] তৈরি করা, [[:en:Sasakian manifold|সাসাকিয়ান]] [[:en:Einstein manifold|আইনস্টাইন ম্যানিফোল্ড]] এবং [[:en:Online algorithm|অনলাইন এলগোরিদম]] এর কঠিন নমুনার ক্ষেত্রেও ব্যবহৃত হয়।

== আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা ==
সিলভেস্টারের ক্রমকে সংজ্ঞায়িত করা যায় এই ফর্মূলা দিয়েঃ
:<math>s_n = 1 + \prod_{i = 0}^{n - 1} s_i.</math>
যেহেতু শূন্য সংখ্যক সংখ্যার গুণফলের মান 1 সেহেতু
''s''<sub>0</sub> = 2.
এই ক্রমকে এই রিকারেন্স দিয়ে অন্যভাবেও সংজ্ঞায়িত করা যায়ঃ
:<math>\displaystyle s_i = s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,</math> যেখানে ''s''<sub>0</sub> = 2.
গাণিতিক আরোহ দিয়ে সহজেই দেখানো যায় যে দুইটি সংজ্ঞার একটা অন্যটার সমতুল্য।

== ক্লোজড-ফর্ম ফর্মূলা এবং অসীমতট ==
সিলভেস্টারের সংখ্যাগুলো ''n'' এর একটা ডাবল এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশন অনুসারে বৃদ্ধি পায়। নির্দিষ্টভাবে এটা দেখানো যায় যেঃ
:<math>s_n = \left\lfloor E^{2^{n+1}}+\frac12 \right\rfloor,</math>
আনুমানিক 1.264084735305302 মানের একটা সংখ্যা ''E'' এর জন্য। <ref>{{harvtxt|Graham|Knuth|Patashnik|১৯৮৯}} একটা অনুশীলনী হিসেবে দিয়েছিলেন; এটিও দেখুন {{harvtxt|Golomb|১৯৬৩}}.</ref> নিম্নবর্ণিত অ্যালগোরিদমটি উপরের ফর্মূলাকে প্রভাবিত করেঃ
:s<sub>0</sub>, E<sup>2</sup> এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণসংখ্যা; s<sub>1</sub>, E<sup>4</sup> এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণসংখ্যা; s<sub>2</sub>, E<sup>8</sup> এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণসংখ্যা; s<sub>''n''</sub> হবে E<sup>2</sup> কে ''n'' বার বর্গ করে সবচেয়ে কাছের সংখ্যাটা।
এটা কাজে লাগানোর মত একটা অ্যালগোরিদম তখনই হবে যখন আমরা s<sub>''n''</sub> এর মান বের করে বারবার তার [[বর্গমূল]] নেয়ার চেয়ে ভালভাবে প্রয়োজনীয় সংখ্যক বার E এর মান বের করতে পারব।

সিলভেস্টার ক্রমের ডাবল-এক্সপোনেনশিয়াল বৃদ্ধি [[ফার্মা সংখ্যা]] ''F''<sub>''n''</sub> এর সাথে তুলনা করা বিস্ময়কর নয়; ফার্মা সংখ্যাগুলো সাধারণত একটা ডাবল-এক্সপোনেনশিয়াল ফর্মূলা <math>2^{2^n}+1</math> দিয়ে সংজ্ঞায়িত করা হয়। কিন্তু ফার্মা সংখ্যাকে সিলভেস্টার ক্রমের মতই একটা প্রোডাক্ট ফর্মূলা দিয়ে প্রকাশ করা যায়ঃ
:<math>F_n = 2 + \prod_{i = 0}^{n - 1} F_i.</math>

== মিশরীয় ভগ্নাংশের সাথে সম্পর্ক ==
সিলভেস্টার ক্রমের বিপ্রতীপ মানগুলোর দ্বারা গঠিত একক ভগ্নাংশগুলো একটা অসীম ধারা গঠন করেঃ
:<math>\sum_{i=0}^{\infty} \frac1{s_i} = \frac12 + \frac13 + \frac17 + \frac1{43} + \frac1{1807} + \cdots.</math>
এই ধারার আংশিক ভগ্নাংশকে খুব সহজেই লেখা যায়,
:<math>\sum_{i=0}^{j-1} \frac1{s_i} = 1 - \frac{1}{s_j-1} = \frac{s_j-2}{s_j-1}.</math>
গাণিতিক আরোহ দিয়ে এটা প্রমাণ করা যেতে পারে অথবা সরাসরি একটা রিকার্শন খেয়াল করে যে,
:<math>\frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1}=\frac{1}{s_i},</math>
[[:en:Telescoping series|টেলিস্কোপ সিরিজ]] অনুসারে, যোগফল
:<math>\sum_{i=0}^{j-1} \frac{1}{s_i} = \sum_{i=0}^{j-1} \left( \frac{1}{s_i-1}-\frac{1}{s_{i+1}-1} \right) = \frac{1}{s_0-1} - \frac{1}{s_j-1} = 1 - \frac{1}{s_j-1}.</math>
যেহেতু (''s''<sub>''j''</sub>-2)/(''s''<sub>''j''</sub>-1) আংশিক ভগ্নাংশের এই ক্রমটি এক এর দিকে অভিসৃত হয়, সম্পূর্ণ সিরিজটি এক এর একটি অসীম মিশরীয় ভগ্নাংশের রিপ্রেজেন্টেশন গঠন করে।
:<math>1 = \frac12 + \frac13 + \frac17 + \frac1{43} + \frac1{1807} + \cdots.</math>
এক এর মিশরীয় ভগ্নাংশ রিপ্রেজেন্টেশন যেকোন দৈর্ঘ্যের করা সম্ভব। উপরের সিরিজকে কেটে এবং শেষের হর থেকে এক বিয়োগ করেঃ
:<math>1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac16, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{42}, \quad 1 = \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac17 + \tfrac1{43} + \tfrac1{1806},\quad \dots.</math>
''k'' পদের মিশরীয় ভগ্নাংশের এক এর রিপ্রেজেন্টেশনের সবচেয়ে কাছাকাছি কিন্তু ছোট মান দেয় অসীম সিরিজটির প্রথম ''k'' টি পদের যোগফল।<ref>সাধারণত {{harvtxt|Curtiss|১৯২২}} এর আরোপিত দাবী, কিন্তু দেখা যায় যে {{harvtxt|Miller|১৯১৯}} আগের দিককার একটা পেপারে একই বিবৃতি দেন. এগুলোও দেখুন {{harvtxt|Rosenman|Underwood|১৯৩৩}}, {{harvtxt|Salzer|‍‍১৯৪৭}}, এবং {{harvtxt|Soundararajan|২০০৫}}.</ref> উদাহরণস্বরূপ, প্রথম চারটি পদ যোগ করলে 1805/1806 হয় এবং সেজন্য (1805/1806,1) খোলা ব্যবধিতে যেকোন সংখ্যার মিশরীয় ভগ্নাংশের জন্য অন্তত পাঁচটি পদ দরকার।

সিলভেস্টার ক্রমকে মিশরীয় ভগ্নাংশের একটা গ্রিডি অ্যালগোরিদম হিসেবে কল্পনা করা যেতে পারে যেটা প্রত্যেকটি স্টেপে সবচে ছোট হরকে নেয় যাতে আংশিক ভগ্নাংশ এক এর চেয়ে কম থাকে। অন্যভাবে, এই ক্রমের প্রথমটির পরের সবগুলো পদকে 1/2 এর [[:en:Odd greedy expansion|অড-গ্রিডি এক্সপানশন]] এর হর হিসেবে দেখা যেতে পারে।

== মূলদ যোগফল বিশিষ্ট দ্রুত বৃদ্ধি পাওয়া ধারার অনন্যতা ==
সিলভেস্টার নিজেই খেয়াল করেন যে দ্রুত বৃদ্ধি পাওয়া মানের দিক থেকে সিলভেস্টার ক্রম অনন্য যেখানে একইসাথে এই ক্রমের মানগুলোর বিপ্রতীপ গুলো একটি ধারা গঠন করে যা একটি মূলদ সংখ্যায় অভিসৃত হয়। ডাবল এক্সপোনেনশিয়াল ই যথেষ্ট নয় একটি পূর্ণসংখ্যার ধারাকে অমূলদ হতে - এই ক্রম তার একটি উদাহরণ।{{sfnp|Guy|২০০৪}}
একে আরও যথাযথ ভাবে বলতে গেলে, {{harvtxt|Badea|১৯৯৩}} এর উত্তরগুলো থেকে দেখা যায় যে, যদি একটি পূর্ণসংখ্যার ক্রম <math>a_n</math> দ্রুত বৃদ্ধি পায় যাতে 
:<math>a_n\ge a_{n-1}^2-a_{n-1}+1,</math>
এবং যদি ধারা
:<math>A=\sum\frac1{a_i}</math>
একটি মূলদ সংখ্যা ''A'' এর দিকে অভিসৃত হয়, তাহলে সব ''n'' এর জন্য, এই ক্রমটি এভাবেই সংজ্ঞায়িত করতে হবে
:<math>a_n= a_{n-1}^2-a_{n-1}+1</math>
যেটা দিয়ে সিলভেস্টার ক্রমকে সংজ্ঞায়িত করা যায়।

{{harvtxt|Erdős|Graham|১৯৮০}} [[:en:Erdős conjecture|অনুমান]] করেছিলেন যে, এধরনের উত্তরে, ক্রমের বৃদ্ধিহারের অসমতাকে একটা দুর্বল শর্ত দিয়ে প্রতিস্থাপন করা যায়,
:<math>\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{a_n}{a_{n-1}^2}=1.</math>
{{harvtxt|Badea|১৯৯৫}} এই অনুমানের অগ্রগতি নিয়ে জরিপ করেছিলেন; এটিও দেখুনঃ {{harvtxt|Brown|১৯৭৯}}.

== বিভাজ্যতা ও উৎপাদকে বিশ্লেষণ ==
যদি ''i'' < ''j'' হয় তবে সংজ্ঞা থেকে দেখা যায় ''s''<sub>''j''</sub> ≡ 1 (mod ''s''<sub>''i''</sub>). সুতরাং সিলভেস্টার ক্রমের যেকোন দুইটি সংখ্যা [[সহ-মৌলিক]]। এই ক্রম দিয়ে প্রমাণ করা যায় যে অসীম সংখ্যক [[মৌলিক সংখ্যা]]<nowiki/>র অস্তিত্ব আছে যেহেতু একটা মৌলিক সংখ্যা এই ধারার সর্বোচ্চ একটি সংখ্যাকে নিঃশেষে ভাগ করতে পারে। আরও জোর দিয়ে বলা যায়, এই ধারার কোন মৌলিক উৎপাদকই 5 (mod 6) এর সর্বসম হতে পারবে না। এবং এই ধারা দিয়ে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব প্রমাণ করা যেতে পারে যারা 7 (mod 12) এর সর্বসম। {{sfnp|Guy|Nowakowski|১৯৭৫}}

{{অসমাধিত|গণিত|সিলভেস্টার ক্রমের প্রত্যেকটি সংখ্যাই কি বর্গমুক্ত?}}
সিলভেস্টার ক্রমের সংখ্যাগুলোর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিয়ে অনেক কিছুই অজানা। উদহরণস্বরূপ, এটা এখনো জানা যায় নি সিলভেস্টার ক্রমের প্রত্যেকটি সংখ্যাই বর্গমুক্ত কি না যদিও জানা সংখ্যাগুলো বর্গমুক্ত।

{{harvtxt|Vardi|১৯৯১}} এর বর্ণনানুসারে, একটা মৌলিক সংখ্যা ''p'' কোন সিলভেস্টার সংখ্যাকে ভাগ করবে ( যদি আদৌ করে ) তা খুব সহজেই জানা সম্ভব: সংখ্যাগুলোকে মডুলো ''p'' দিয়ে ডিফাইন করে রিকারেন্স চালাতে হবে যতক্ষণ পর্যন্ত না আরেকটা সংখ্যা পাওয়া যায় যা 0 (mod ''p'') এর সর্বসম অথবা একই মডুলো পাওয়া যায়। এই উপায় অবলম্বন করে তিনি দেখতে পেলেন যে প্রথম তিন মিলিয়ন মৌলিক সংখ্যার ১১৬৬ টি সিলভেস্টার সংখ্যার উৎপাদক,<ref>সম্ভবত টাইপিং ভুল, যেহেতু Andersen 1167 টি মৌলিক উৎপাদক খুঁজে পান ঐ পরিসরে.</ref> এবং এই মৌলিক সংখ্যাগুলোর কোনটারই বর্গ সিলভেস্টার সংখ্যাকে ভাগ করে না।
সিলভেস্টার সংখ্যাকে ভাগ করে এমন মৌলিক সংখ্যার সেট, সবগুলো মৌলিক সংখ্যার সেটে শূন্য ঘনত্বের:{{sfnp|Jones|২০০৬}} আসলেই, ''x'' এর চেয়ে ছোট এমন মৌলিক সংখ্যার সংখ্যাঃ <math>O(\pi(x) / \log\log\log x)</math>.{{sfnp|Odoni|১৯৮৫}}

এই সংখ্যাগুলোর জানা উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের টেবিলে দেখান হল, (প্রথম চারটি বাদে যারা নিজেরাই মৌলিক সংখ্যা):
<ref>সিলভেস্টার সংখ্যা ''s''<sub>''n''</sub> এর প্রত্যেকটি মৌলিক উৎপাদক ''p'' যেখানে ''p'' &lt; 5{{e|7}} এবং ''n'' ≤ 200, Vardi এর লিস্ট করা। Ken Takusagawa ''s''<sub>9</sub> পর্যন্ত উৎপাদকে বিশ্লেষণ এবং ''s''<sub>10</sub> এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ লিস্ট করেন। বাকিগুলো নেয়া হয়েছে Jens Kruse Andersen এর রাখা [http://primerecords.dk/sylvester-factors.htm a list of factorizations of Sylvester's sequence]। নেয়া 2014-06-13.</ref>

{| class="wikitable"
|-
! ''n''
! ''s''<sub>''n''</sub> এর উৎপাদকসমূহ
|-
|4
|13 × 139
|-
|5
|3263443, যেটা মৌলিক
|-
|6
|547 × 607 × 1033 × 31051
|-
|7
|29881 × 67003 × 9119521 × 6212157481
|-
|8
|5295435634831 × 31401519357481261 × 77366930214021991992277
|-
|9
|181 × 1987 × 112374829138729 × 114152531605972711 × 35874380272246624152764569191134894955972560447869169859142453622851
|-
|10
|2287 × 2271427 × 21430986826194127130578627950810640891005487 × P156
|-
|11
|73 × C416
|-
|12
|2589377038614498251653 × 2872413602289671035947763837 × C785
|-
|13
|52387 × 5020387 × 5783021473 × 401472621488821859737 × 287001545675964617409598279 × C1600
|-
|14
|13999 × 74203 × 9638659 × 57218683 × 10861631274478494529 × C3293
|-
|15
|17881 × 97822786011310111 × 54062008753544850522999875710411 × C6618
|-
|16
|128551 × C13335
|-
|17
|635263 × 1286773 × 21269959 × C26661
|-
|18
|50201023123 × 139263586549 × 60466397701555612333765567 × C53313 
|-
|19
|775608719589345260583891023073879169 × C106685
|-
|20
|352867 × 6210298470888313 × C213419
|-
|21
|387347773 × 1620516511 × C426863
|-
|22
|91798039513 × C853750
|}
P''n'' এবং C''n'' দিয়ে ''n'' অঙ্কের মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা বোঝানো হয়েছে।

== প্রয়োগ ==
বিজোড় মাত্রার [[:en:hypersphere|গোলক]] বা [[:en:exotic sphere|এক্সোটিক গোলক]] এর [[:en:differential topology|অন্তরীকরণযোগ্য টপোলজি]] বিশিষ্ট [[:en:Sasakian manifold|সাসাকিয়ান]] [[:en:Einstein manifold|আইনস্টাইন ম্যানিফোল্ড]] এর বড় বড় সংখ্যার সংজ্ঞা দিতে {{harvtxt|Boyer|Galicki|Kollár|২০০৫}} সিলভেস্টার ক্রমের গুণাবলী ব্যবহার করেন। তারা দেখান‌ যে 2''n'' &minus; 1 মাত্রার একটা [[:en:topological sphere|টপোলজিকাল গোলক]] এর উপর ভিন্ন ভিন্ন সাসাকিয়ান আইনস্টাইন [[:en:Riemannian metric|মেট্রিকস]] অন্তত ''s''<sub>''n''</sub> এর সমানুপাতিক এবং তাই ''n'' এর সাথে ডাবল এক্সপোনেনশিয়ালি বৃদ্ধি পায়।

{{harvtxt|Galambos|Woeginger|১৯৯৫}} বলেন যে, {{harvtxt|Brown|১৯৭৯}} এবং {{harvtxt|Liang|১৯৮০}} সিলভেস্টারের ক্রম থেকে উদ্ভূত মান ব্যবহার করে [[:en:online algorithm|অনলাইন]] [[:en:bin packing|বিন প্যাকিং]] [[অ্যালগোরিদম]] এর জন্য লোয়ার-বাউন্ড উদাহরণ গঠন করেন।
{{harvtxt|Seiden|Woeginger|২০০৫}} একইভাবে এই ক্রম ব্যবহার করে দুই-মাত্রার কাটিং স্টক অ্যালগোরিদমের লোয়ার-বাউন্ড বের করেন।<ref>Seiden এবং Woeginger তাদের কাজে সিলভেস্টার ক্রমকে "Salzer's sequence" বলে উল্লেখ করেন, {{harvtxt|Salzer|১৯৪৭}} এর নামানুসারে, ক্লোজেস্ট অ্যাপ্রোক্সিমেশনের উপর তার কাজের জন্য.</ref>

[[:en:Znám's problem|নাম-এর সমস্যা]] এমন সংখ্যার সেট নিয়ে আলোচনা করে যে সেটের প্রত্যেকটা সংখ্যাই অন্য সব সংখ্যাকে ভাগ করে কিন্তু অন্য সব সংখ্যার গুণফল + ১ এর সমান নয়। অসমতার বাধ্যবাধকতা ছাড়া, সিলভেস্টার ক্রমের সংখ্যাগুলো এই সমস্যা সমাধান করে দিত; বাধ্যবাধকতা সহ, সিলভেস্টার ক্রমের সংজ্ঞাদায়ী রিকারেন্সের মতই অন্য রিকারেন্স থেকে উদ্ভূত আরও সমাধান আছে এটার। Znám এর সমস্যা সমাধানের প্রয়োগ দেখা যায় সারফেস সিঙ্গুলারিটির ক্লাসিফিকেশনে (Brenton and Hill 1988) এবং [[:en:nondeterministic finite automata|নন-ডিটারমিনিস্টিক ফিনিট অটোমাটা]] এর তত্ত্বে।
{{sfnp|Domaratzki|Ellul|Shallit|Wang|২০০৫}}

{{harvs|first=ডক্টর|last=কার্টিস|authorlink=David Raymond Curtiss|year=১৯২২|txt}} এক এর জন্য একক ভগ্নাংশের ''k''-পদের যোগফলের আসন্নতার একটি প্রয়োগ বর্ণনা করেন, [[নিখুঁত সংখ্যা]]র উৎপাদকগুলোর লোয়ার-বাউন্ডিং এর ক্ষেত্রে। এবং {{harvtxt|Miller|১৯১৯}} একই ধর্ম ব্যবহার করেন [[গ্রুপ (গণিত)|গ্রুপ]] এর আকারের [[:en:upper bound|আপার বাউন্ডে]]।

== আরও দেখুন ==
* [[:en:Cahen's constant|Cahen's constant]]
* [[:en:Primary pseudoperfect number|Primary pseudoperfect number]]

== টীকা ==
{{সূত্র তালিকা|30em}}

== তথ্যসূত্র ==
{{refbegin|30em}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Badea | প্রথমাংশ = Catalin
  | শিরোনাম = A theorem on irrationality of infinite series and applications
  | বছর = 1993
  | সাময়িকী = [[Acta Arithmetica]]
  | খণ্ড = 63
  | পাতাসমূহ = 313–323
  | mr = 1218459
  | সূত্র = harv}}
* {{ওয়েব উদ্ধৃতি
 |শেষাংশ                                           = Badea
 |প্রথমাংশ                                          = Catalin
 |শিরোনাম                                          = On some criteria for irrationality for series of positive rationals: a survey
 |বছর                                           = 1995
 |ইউআরএল                                            = http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/OEIS/citations/caen.pdf
 |সূত্র                                            = harv
 |সংগ্রহের-তারিখ       = ১ মার্চ ২০১৮
 |আর্কাইভের-ইউআরএল = https://web.archive.org/web/20080911223925/http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/OEIS/citations/caen.pdf
 |আর্কাইভের-তারিখ    = ১১ সেপ্টেম্বর ২০০৮
 |অকার্যকর-ইউআরএল    = হ্যাঁ
}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ১ = Boyer | প্রথমাংশ১ = Charles P.
  | শেষাংশ২ = Galicki | প্রথমাংশ২ = Krzysztof
  | শেষাংশ৩ = Kollár | প্রথমাংশ৩ = János
  | শিরোনাম = Einstein metrics on spheres
  | ইউআরএল = https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_2005-07_162_1/page/557 | সাময়িকী = [[Annals of Mathematics]]
  | খণ্ড = 162
  | সংখ্যা নং = 1
  | বছর = 2005
  | পাতাসমূহ = 557–580
  | arxiv = math.DG/0309408 | mr = 2178969
  | ডিওআই = 10.4007/annals.2005.162.557
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ১ = Brenton | প্রথমাংশ১ = Lawrence | শেষাংশ২ = Hill | প্রথমাংশ২ = Richard
  | শিরোনাম = On the Diophantine equation 1=&Sigma;1/''n''<sub>''i''</sub> + 1/&Pi;''n''<sub>''i''</sub> and a class of homologically trivial complex surface singularities
  | সাময়িকী = [[Pacific Journal of Mathematics]]
  | ইউআরএল = http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102689567
  | খণ্ড = 133
  | সংখ্যা নং = 1
  | বছর = 1988
  | পাতাসমূহ = 41–67
  | mr = 0936356 | ডিওআই=10.2140/pjm.1988.133.41
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Brown | প্রথমাংশ = D. J.
  | শিরোনাম = A lower bound for on-line one-dimensional bin packing algorithms
  | version = Tech. Rep. R-864
  | বছর = 1979
  | প্রকাশক = Coordinated Science Lab., Univ. of Illinois, Urbana-Champaign
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Curtiss | প্রথমাংশ = D. R. | লেখক-সংযোগ = David Raymond Curtiss| শিরোনাম = On Kellogg's diophantine problem
  | সাময়িকী = [[American Mathematical Monthly]]
  | jstor = 2299023
  | খণ্ড = 29
  | বছর = 1922
  | সংখ্যা নং = 10
  | পাতাসমূহ = 380–387
  | ডিওআই = 10.2307/2299023
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ১ = Domaratzki | প্রথমাংশ১ = Michael
  | শেষাংশ২ = Ellul | প্রথমাংশ২ = Keith
  | author3-link = Jeffrey Shallit | শেষাংশ৩ = Shallit | প্রথমাংশ৩ = Jeffrey
  | শেষাংশ৪ = Wang | প্রথমাংশ৪ = Ming-Wei
  | শিরোনাম = Non-uniqueness and radius of cyclic unary NFAs
  | সাময়িকী = International Journal of Foundations of Computer Science
  | খণ্ড = 16
  | সংখ্যা নং = 5
  | পাতাসমূহ = 883–896
  | বছর = 2005
  | ইউআরএল = http://www.cs.umanitoba.ca/~mdomarat/pubs/DESW_dcfs.ps 
  | mr = 2174328
  | ডিওআই = 10.1142/S0129054105003352
  | সূত্র = harv}}
* {{বই উদ্ধৃতি
  | author1-link = Paul Erdős | শেষাংশ১ = Erdős | প্রথমাংশ১ = Paul
  | author2-link = Ronald Graham | শেষাংশ২ = Graham | প্রথমাংশ২ = Ronald L.
  | বছর = 1980
  | শিরোনাম = Old and new problems and results in combinatorial number theory
  | প্রকাশক = Monographies de L'Enseignement Mathématique, No. 28, Univ. de Genève
  | mr = 0592420
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ১ = Galambos | প্রথমাংশ১ = Gábor | শেষাংশ২ = Woeginger | প্রথমাংশ২ = Gerhard J. | author2-link = Gerhard J. Woeginger
  | শিরোনাম = On-line bin packing — A restricted survey
  | সাময়িকী = Mathematical Methods of Operations Research
  | খণ্ড = 42
  | সংখ্যা নং = 1
  | বছর = 1995
  | ডিওআই = 10.1007/BF01415672
  | mr = 1346486
  | পাতাসমূহ = 25
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ১ = Golomb | প্রথমাংশ১ = Solomon W.
  | লেখক-সংযোগ = Solomon Golomb
  | শিরোনাম = On certain nonlinear recurring sequences
  | ইউআরএল = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1963-04_70_4/page/403 | বছর = 1963
  | সাময়িকী = American Mathematical Monthly
  | খণ্ড = 70
  | সংখ্যা নং = 4
  | পাতাসমূহ = 403–405
  | jstor = 2311857
  | mr = 0148605
  | ডিওআই = 10.2307/2311857
  | সূত্র = harv}}
* {{বই উদ্ধৃতি
  | author1-link = Ronald Graham| শেষাংশ১ = Graham | প্রথমাংশ১ = R.
  | author2-link = Donald Knuth | শেষাংশ২ = Knuth | প্রথমাংশ২ = D. E.
  | শেষাংশ৩ = Patashnik | প্রথমাংশ৩ = O.
  | শিরোনাম = Concrete Mathematics
  | সংস্করণ = 2nd
  | বছর = 1989
  | প্রকাশক = Addison-Wesley
  | at = Exercise 4.37
  | আইএসবিএন = 0-201-55802-5
  | সূত্র = harv}}
*{{বই উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Guy | প্রথমাংশ=Richard K. | লেখক-সংযোগ=Richard K. Guy | শিরোনাম=Unsolved Problems in Number Theory | প্রকাশক=[[Springer-Verlag]] |সংস্করণ=3rd | বছর=2004 |আইএসবিএন=0-387-20860-7 | zbl=1058.11001 | অবদান=E24 Irrationality sequences|পাতা=346|ইউআরএল=https://books.google.com/books?id=1AP2CEGxTkgC&pg=PA346 |সূত্র=harv}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
 | শেষাংশ১ = Guy | প্রথমাংশ১ = Richard
 | শেষাংশ২ = Nowakowski | প্রথমাংশ২ = Richard
 | সংখ্যা নং = 2
 | সাময়িকী = Delta (Waukesha)
 | mr = 0384675
 | পাতাসমূহ = 49–63
 | শিরোনাম = Discovering primes with Euclid
 | খণ্ড = 5
 | বছর = 1975
  | সূত্র = harv}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি  | শেষাংশ = Jones | প্রথমাংশ = Rafe  | শিরোনাম = The density of prime divisors in the arithmetic dynamics of quadratic polynomials
  | বছর = 2006
  | arxiv = math.NT/0612415|সূত্র=harv | ডিওআই=10.1112/jlms/jdn034 | খণ্ড=78 | সাময়িকী=Journal of the London Mathematical Society | পাতাসমূহ=523–544}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Liang | প্রথমাংশ = Frank M.
  | শিরোনাম = A lower bound for on-line bin packing
  | বছর = 1980
  | সাময়িকী = Information Processing Letters
  | খণ্ড = 10
  | সংখ্যা নং = 2
  | পাতাসমূহ = 76–79
  | mr = 0564503
  | ডিওআই = 10.1016/S0020-0190(80)90077-0
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Miller | প্রথমাংশ = G. A.
  | শিরোনাম = Groups possessing a small number of sets of conjugate operators
  | সাময়িকী = [[Transactions of the American Mathematical Society]]
  | বছর = 1919
  | খণ্ড = 20
  | সংখ্যা নং = 3
  | পাতাসমূহ = 260–270
  | jstor = 1988867
  | ডিওআই = 10.2307/1988867
  | সূত্র = harv}}
*{{সাময়িকী উদ্ধৃতি | শেষাংশ=Odoni | প্রথমাংশ=R. W. K. | শিরোনাম=On the prime divisors of the sequence w<sub>n+1</sub> =1+w<sub>1</sub>⋯w<sub>n</sub> | zbl=0574.10020 | সাময়িকী=J. Lond. Math. Soc., II. Ser. | খণ্ড=32 | পাতাসমূহ=1–11 | বছর=1985|সূত্র=harv }}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Rosenman | প্রথমাংশ = Martin
  | শেষাংশ২ = Underwood | প্রথমাংশ২ = F.
  | শিরোনাম = Problem 3536
  | সাময়িকী = American Mathematical Monthly
  | খণ্ড = 40
  | সংখ্যা নং = 3
  | বছর = 1933
  | jstor = 2301036
  | পাতাসমূহ = 180–181
  | ডিওআই = 10.2307/2301036
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Salzer | প্রথমাংশ = H. E.
  | সাময়িকী = American Mathematical Monthly
  | বছর = 1947
  | শিরোনাম = The approximation of numbers as sums of reciprocals
  | ইউআরএল = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1947-03_54_3/page/135 | খণ্ড = 54
  | সংখ্যা নং = 3
  | পাতাসমূহ = 135–142
  | jstor = 2305906
  | mr = 0020339
  | ডিওআই = 10.2307/2305906
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ১ = Seiden | প্রথমাংশ১ = Steven S. | শেষাংশ২ = Woeginger | প্রথমাংশ২ = Gerhard J. | author2-link = Gerhard J. Woeginger
  | শিরোনাম = The two-dimensional cutting stock problem revisited
  | সাময়িকী = Mathematical Programming
  | খণ্ড = 102
  | সংখ্যা নং = 3
  | বছর = 2005
  | পাতাসমূহ = 519–530
  | ডিওআই = 10.1007/s10107-004-0548-1
  | mr = 2136225
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Soundararajan | প্রথমাংশ = K.
  | বছর = 2005
  | শিরোনাম = Approximating 1 from below using ''n'' Egyptian fractions
  | ইউআরএল = https://archive.org/details/arxiv-math0502247 | arxiv = math.CA/0502247
  | সূত্র = harv}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Sylvester | প্রথমাংশ = J. J.
  | লেখক-সংযোগ = J. J. Sylvester
  | শিরোনাম = On a point in the theory of vulgar fractions
  | jstor = 2369261
  | সাময়িকী = [[American Journal of Mathematics]]
  | খণ্ড = 3
  | সংখ্যা নং = 4
  | বছর = 1880
  | পাতাসমূহ = 332–335
  | ডিওআই = 10.2307/2369261
  | সূত্র = harv}}
* {{বই উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Vardi | প্রথমাংশ = Ilan
  | শিরোনাম = Computational Recreations in Mathematica
  | বছর = 1991
  | প্রকাশক = Addison-Wesley
  | পাতাসমূহ = 82–89
  | আইএসবিএন = 0-201-52989-0
  | সূত্র = harv}}
{{refend}}

== বহিঃসংযোগ ==
* [https://web.archive.org/web/20000516205029/http://mathpages.com/home/kmath455.htm Irrationality of Quadratic Sums], K. S. Brown এর MathPages থেকে।
* {{mathworld | title = Sylvester's Sequence | urlname = SylvestersSequence}}

[[বিষয়শ্রেণী:মিশরীয় ভগ্নাংশ]]
[[বিষয়শ্রেণী:পূর্ণসংখ্যার ক্রম]]
[[বিষয়শ্রেণী:গণিতের ধারা]]
[[বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্ব]]
[[বিষয়শ্রেণী:রিকারেন্স সম্পর্ক]]
[[বিষয়শ্রেণী:পূর্ণ সংখ্যার ধারা]]
[[বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধারা]]