রিম্যান হাইপোথিসিস

এই গ্রাফে রিমানের জিটা (ζ) ফাংশনের মান দেখা যাচ্ছে, যেখানে ট্রিভিয়াল শূন্যস্থান ζ(z) = 0, একটি পোল যেখানে ζ(z) = $\mathrm{\infty }$, এবং 'ক্রিটিকাল লাইন'-এ নন-ট্রিভিয়াল শূন্যস্থান রয়েছে জটিল সংখ্যার Re(z) = ১/২ অবস্থানে।

গণিতে, রিমান অনুমান একটি অনুমান যা বলে যে রিমান জিটা ফাংশনের শূন্যস্থান কেবল ঋণাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যা এবং বাস্তব অংশ টেমপ্লেট:Sfracযুক্ত জটিল সংখ্যাগুলিতে পাওয়া যায়। একে বিশুদ্ধ গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ অসমাধিত সমস্যা হিসেবে বিবেচনা করা হয়।টেমপ্লেট:Sfnp এটি সংখ্যাতত্ত্বে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি মৌলিক সংখ্যার বণ্টন সম্পর্কিত ধারণা প্রদান করে। এটি প্রথম প্রস্তাব করেছিলেন টেমপ্লেট:Harvs, যার নামে এটি পরিচিত।

রিমান অনুমান এবং এর কিছু সম্প্রসারণ, যেমন গোল্ডবাখ অনুমান এবং যুগ্ম মৌলিক অনুমান, ডেভিড হিলবার্ট-এর তেইশটি অসমাধিত সমস্যার মধ্যে অষ্টম সমস্যা হিসেবে অন্তর্ভুক্ত। এটি ক্লে ম্যাথমেটিক্স ইন্সটিটিউট-এর মিলেনিয়াম পুরস্কার সমস্যাগুলোর একটি, যার সমাধানের জন্য এক মিলিয়ন মার্কিন ডলার পুরস্কার ঘোষণা করা হয়েছে। এছাড়া, এর সাথে সম্পর্কিত আরও কিছু সাধারণ অনুমান রয়েছে, যেমন সসীম ক্ষেত্রের ওপর রিমান অনুমান।

রিমান জিটা ফাংশন, যাকে ζ(s) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এমন একটি ফাংশন, যার আর্গুমেন্ট s যেকোনো জটিল সংখ্যা হতে পারে (1 ব্যতীত), এবং এর মানও জটিল। এর শূন্যস্থান ঋণাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যায় পাওয়া যায়, অর্থাৎ ζ(s) = 0 যখন s হল −2, −4, −6, .... এদেরকে 'ট্রিভিয়াল শূন্যস্থান' বলা হয়।

তবে, জিটা ফাংশনের আরও কিছু শূন্যস্থান রয়েছে, যেগুলো 'নন-ট্রিভিয়াল শূন্যস্থান' নামে পরিচিত। রিমান অনুমান এই নন-ট্রিভিয়াল শূন্যস্থানগুলোর অবস্থান নিয়ে আগ্রহী এবং বলে:

এর ফলে, যদি অনুমানটি সঠিক হয়, তবে সব নন-ট্রিভিয়াল শূন্যস্থান ক্রিটিকাল লাইনে থাকবে, যা টেমপ্লেট:Nowrap দ্বারা সংজ্ঞায়িত, যেখানে t একটি বাস্তব সংখ্যা এবং i হলো কাল্পনিক একক।

রিমানের জিটা ফাংশন

রিমানের জিটা ফাংশন কমপ্লেক্স সংখ্যা s (যেখানে s-এর বাস্তব অংশ 1-এর চেয়ে বড়) এর জন্য সংজ্ঞায়িত, একটি পরম সঙ্গতিশীল অসীম ধারা হিসাবে:

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots$

লেওনার্ড অয়লার ১৭৩০-এর দশকে বাস্তব মানের s এর জন্য এই ধারাটি বিবেচনা করেন, যা বেসেল সমস্যা সমাধানের সাথে সম্পর্কিত। তিনি এটি অয়লার গুণনফল-এর সমান প্রমাণ করেন: $\zeta (s)=\prod _{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot \frac{1}{1-3^{-s}}\cdot \frac{1}{1-5^{-s}}\cdot \frac{1}{1-7^{-s}}\cdots$ যেখানে অসীম গুণফল সকল মৌলিক সংখ্যা p পর্যন্ত বিস্তৃত।

রিমান অনুমান এই ধারার এবং অয়লার গুণনফলের অভিসার অঞ্চলের বাইরের শূন্যস্থানগুলি নিয়ে আলোচনা করে। এই অনুমান বোঝার জন্য, বিশ্লেষণীভাবে সম্প্রসারণ করা আবশ্যক, যাতে ফাংশনটি সকল কমপ্লেক্স s এর জন্য সিদ্ধ হয়। যেহেতু জেটা ফাংশন মেরোমরফিক, বিশ্লেষণী সম্প্রসারণের পদ্ধতি যাই হোক না কেন, অভিন্নতা উপপাদ্য অনুসারে এটি একই ফলাফল প্রদান করবে।

প্রথম পদক্ষেপটি দেখায় যে জেটা ফাংশনের ধারাটি এবং ডিরিখলে ইটা ফাংশন সম্পর্কিত:

$(1-\frac{2}{2^s})\zeta (s)=\eta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n^s}=\frac{1}{1^s}-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\cdots ,$

এবং এই দুটি ধারার অভিসার অঞ্চলে প্রযোজ্য।

ইটা ফাংশনের ডান পাশের ধারাটি শুধু তখনই সঙ্গত হয় না যখন s-এর বাস্তব অংশ ১-এর বেশি, বরং আরও ব্যাপকভাবে যখন s-এর বাস্তব অংশ ধনাত্মক হয়। অতএব, জেটা ফাংশনটি $\eta (s)/(1-2/2^s)$ হিসাবে পুনঃসংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে, যা এটিকে টেমপ্লেট:Nowrap পর্যন্ত সম্প্রসারিত করে, তবে সেই পয়েন্টগুলো ছাড়া যেখানে $1-2/2^s$ শূন্য হয়।

টেমপ্লেট:Nowrap অঞ্চলে জেটা ফাংশন এই ফাংশনাল সমীকরণটি মেনে চলে:

$\zeta (s)=2^s{\pi }^{s-1}\sin \left(\frac{\pi s}{2}\right)\mathrm{\Gamma }(1-s)\zeta (1-s).$

এই সমীকরণটি ব্যবহার করে ζ(s) বাকি সকল কমপ্লেক্স সংখ্যা s (টেমপ্লেট:Nowrap এবং s ≠ 0)-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।

যদি s একটি ঋণাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে ζ(s) = 0, কারণ টেমপ্লেট:Pis/2 এর সাইন ফাংশনের গুণফল শূন্য হয়; এগুলোই জেটা ফাংশনের ট্রিভিয়াল শূন্যস্থান। সকল নন-ট্রিভিয়াল শূন্যস্থান ক্রিটিক্যাল স্ট্রিপে (যেখানে s-এর বাস্তব অংশ ০ এবং ১-এর মধ্যে) অবস্থিত।

• 
  রিমানের জেটা ফাংশন ক্রিটিক্যাল লাইনের সাথে Re(s) = 1/2। অনুভূমিক অক্ষে বাস্তব মান এবং উল্লম্ব অক্ষে কাল্পনিক মান দেখানো হয়েছে।
• 
  রিমানের জেটা ফাংশনের বাস্তব অংশ (লাল) এবং কাল্পনিক অংশ (নীল) ক্রিটিক্যাল লাইনের সাথে, যেখানে বাস্তব অংশ Re(s) = 1/2।

বিশেষ ফলাফল

১৯১৫ সালে, রামানুজন প্রমাণ করেন যে, রিম্যান অনুমানের প্রেক্ষিতে,

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n$

(যেখানে γ হলো অয়লার–ম্যাশেরোনি ধ্রুবক) সকল যথেষ্ট বৃহৎ n এর জন্য সত্য টেমপ্লেট:Harv। এই অসমতাকে লঙ্ঘন করে এমন সর্বোচ্চ পরিচিত মান n=5040। ১৯৮৪ সালে, রবিন প্রমাণ করেন যে, এই অসমতা সকল n > 5040 এর জন্য তখনই সত্য, যদি এবং শুধুমাত্র যদি রিম্যান হাইপোথিসিস সত্য হয় টেমপ্লেট:Harv। এই ফলাফলটি রবিনের অসমতা নামে পরিচিত।

রবিন আরও দেখিয়েছেন যে, যদি রিম্যান হাইপোথিসিস মিথ্যা হয়, তবে অসংখ্য এমন n রয়েছে যা অসমতাটিকে লঙ্ঘন করবে, এবং জানা গেছে যে, 5040-এর পরের ক্ষুদ্রতম এমন n অবশ্যই সুপার অ্যাবান্ড্যান্ট সংখ্যা হতে হবে টেমপ্লেট:Harv। এছাড়াও, এটি প্রমাণিত হয়েছে যে, বৃহৎ বিজোড় ও বর্গমুক্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য এই অসমতা সত্য এবং মৌলিক সংখ্যার পঞ্চম ঘন দ্বারা বিভাজ্য n-এর জন্য রিম্যান হাইপোথিসিস এই অসমতার সমতুল্য টেমপ্লেট:Harv।

রবিন, শর্তসাপেক্ষ ছাড়াও, প্রমাণ করেছেন যে নিম্নলিখিত অসমতা

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n+\frac{0.6483n}{\log \log n}$

সকল n ≥ 3 এর জন্য সত্য।

২০০২ সালে জেফ্রি লাগারিয়াস সংশ্লিষ্ট ঊর্ধ্বসীমা প্রদান করেন, যিনি প্রমাণ করেছেন যে রিম্যান হাইপোথিসিসটি নিম্নলিখিত বিবৃতির সমতুল্য:

$\sigma (n)<H_n+e^{H_n}\log (H_n)$

প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা n > 1 এর জন্য, যেখানে $H_n$ হলো n-তম হারমোনিক সংখ্যা টেমপ্লেট:Harv।