সমক বিচ্যুতি

সাধারণ বন্টন লেখচিত্র (বা ঘন্টাকৃতি লেখচিত্র), যেখানে প্রতিটি ব্যান্ডের বেধ ১ সমক বিচ্যুতির।

একটি সাধারণ বন্টনের কিউমুলেটিভ সম্ভাবনা, যাতে প্রত্যাশিত মান ০ ও সমক বিচ্যুতি ১

পরিসংখ্যানে, সমক বিচ্যুতি (টেমপ্লেট:Lang-en) হল একটি দৈব চলকের (Random variable) গড় থেকে বিচ্যুতির পরিমাণের পরিমাপ। সমক বিচ্যুতির নিম্ন মান নির্দেশ করে যে সমষ্টির মানগুলি সমষ্টির গড়ের (এটিকে প্রত্যাশিত মানও বলা হয়) কাছাকাছি থাকে, যখন একটি উচ্চ মান বিচ্যুতি নির্দেশ করে যে সমষ্টির মানগুলি একটি বিস্তৃত পরিসরে বিস্তৃত।

সমক বিচ্যুতিকে সংক্ষেপে SD বলা যেতে পারে এবং সাধারণভাবে গণিত সম্বন্ধীয় লেখনী এবং সমীকরণে পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যার সম্যক বিচ্যুতিকে ছোট হাতের গ্রিক অক্ষর σ (সিগমা), নমুনার সমক বিচ্যুতিকে লাতিন অক্ষর s দ্বারা উপস্থাপিত হয়।

কোনো দৈব চলক, নমুনা, পরিসংখ্যানগত জনসংখ্যা, ডেটা সেট বা সম্ভাব্যতা বন্টনের আদর্শ বিচ্যুতি হল এর ভেদাঙ্কের বর্গমূল। এটি নির্ণয় করা বীজগাণিতিকভাবে সহজ, যদিও ব্যবহারের দিক থেকে গড় পরম বিচ্যুতির তুলনায় কম কার্যকারী । সম্যক বিচ্যুতির একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল যে, এটি রাশি হিসাবে তথ্যের এককেই প্রকাশ করা হয়, যা ভেদাঙ্কের ক্ষেত্রে সম্ভব নয়।

সমক বিচ্যুতিকে পরিমিত ব্যবধানও বলা হয়। এটি উপাত্তের গড় থেকে চলকের অন্যান্য মানের ভেদাঙ্ক বা বিচ্যুতির বর্গের গড়ের পরিমাণ। এটি এক ধরনের বিস্তার পরিমাপক।

সূত্র

ধরি, μ হল কোনো দৈব চলক X এর প্রত্যাশিত মান। তাহলে, $$\mu \equiv \mathrm{E}[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)\mathrm{d}x$$ টেমপ্লেট:Mvar এর সমক বিচ্যুতি টেমপ্লেট:Mvar হবে $$\sigma \equiv \sqrt{\mathrm{E}[(X-\mu {)}^2]}=\sqrt{\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{2}f(x)\mathrm{d}x},$$ বা $\sqrt{\mathrm{E}\left[X^2\right]-(\mathrm{E}[X]{)}^2}.$

---

ভগ্ন দৈব চলকের ক্ষেত্রে (ধরি টেমপ্লেট:Math), $$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}[(x_1-\mu {)}^2+(x_2-\mu {)}^2+\cdots +(x_N-\mu {)}^2]},\text{ where }\mu =\frac{1}{N}(x_1+\cdots +x_N),$$

বা, একত্রিত সমষ্টি হিসাবে, $$\sigma =\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2},\text{ where }\mu =\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x}_i.$$

---

চলমান দৈব চলকের ক্ষেত্রে, $$\sigma =\sqrt{\underset{𝐗}{\int }(x-\mu {)}^{2}p(x)\mathrm{d}x},\text{ where }\mu =\underset{𝐗}{\int }xp(x)\mathrm{d}x,$$

সমক বিচ্যুতির উদাহরণ

জনসংখ্যা সমক বিচ্যুতি	$\sigma =\sqrt{\frac{\sum (x_i-\mu {)}^2}{N}}$	$\mu$ = জনসংখ্যার গড়, $x_i$ = জনসংখ্যার তথ্য বিন্দু (ডেটা পয়েন্ট বা নম্বর), $N$ = জনসংখ্যার মোট ডেটা পয়েন্ট
নমুনা সমক বিচ্যুতি	$s=\sqrt{\frac{\sum (x_i-\overline{x}{)}^2}{n-1}}$	$\overline{x}$ = নমুনার গড়, $x_i$ = নমুনার তথ্য বিন্দু (ডেটা পয়েন্ট বা নম্বর), $n$ = নমুনার মোট ডেটা পয়েন্টের সংখ্যা

জনসংখ্যার সমক বিচ্যুতির গণনা:

ধরি, ৮ জন ছাত্রছাত্রীর পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর নিম্নরূপ (তথ্যবিন্দু):

$$2,4,4,4,5,5,7,9.$$

এই আটটা তথ্য বিন্দুর গড় ৫: $$\mu =\frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8}=\frac{40}{8}=5.$$ প্ৰথমে গড়ের থেকে প্রতিটি তথ্য বিন্দুর বিচ্যুতি গণনার পর তাদের বর্গ করা হল: $$\begin{array}{ccc}(2-5{)}^2=(-3{)}^2=9& & (5-5{)}^2=0^2=0\\ (4-5{)}^2=(-1{)}^2=1& & (5-5{)}^2=0^2=0\\ (4-5{)}^2=(-1{)}^2=1& & (7-5{)}^2=2^2=4\\ (4-5{)}^2=(-1{)}^2=1& & (9-5{)}^2=4^2=16.\end{array}$$

এই মানগুলির গড় ই হল ভেদাঙ্ক বা বিচলন:

$${\sigma }^2=\frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8}=\frac{32}{8}=4.$$

জনসংখ্যা সমক বিচ্যুতি হল এদের বর্গমূল: $$\sigma =\sqrt{4}=2.$$ [সমক বিচ্যুতি = √(ভেদাঙ্ক)]

সুতরাং, উপরের উদাহরণটি দেখায় যে জনসংখ্যার মান বিচ্যুতি হল ২। উপরের উদাহরণটি ধরে নেয় আটজন ছাত্রের একটি দল হল পুরো জনসংখ্যা। যদি একটি মূল জনসংখ্যা থেকে আটজন শিক্ষার্থীর একটি নমুনা এলোমেলোভাবে তোলা হয়, তাহলে গণনার ক্ষেত্রে নমুনা-এর আদর্শ বিচ্যুতি ৭ দ্বারা ভাগ করা হবে, অর্থাৎ (৮-১), ৮ এর পরিবর্তে। নমুনা এর আদর্শ বিচ্যুতি এখানে n এর পরিবর্তে (n-1) দ্বারা বিভাজিত হবে তার কারণ কোনো জনসমষ্টি থেকে নমুনা তোলার সময় আমরা সাধারনত জনসমষ্টি এর গড় কে নমুনা থেকে প্রাপ্ত গড় দিয়ে প্রতিস্থাপিত করি , ফলস্বরূপ নির্বাচনের স্বাধীনতা মাত্রা (n-1) হয় , n এর পরিবর্তে।

বাস্তব উদাহরণ

• পরিমিত ব্যবধান বা সমক বিচ্যুতি দিয়ে হিসাব করা হয় বাজেটের বরাদ্দের চেয়ে বেশি বা কম ব্যয় করা হচ্ছে কিনা।
• শিল্পকারখানায় সমজাতীয় পণ্যের উৎকর্ষতা যাচাই সম্পর্কিত তথ্য বিশ্লেষণে এর ব্যবহার হয়।
• ব্যবসায়িকগণ সিদ্ধান্ত গ্রহণে এবং ঝুঁকি ব্যবস্থাপনায় সমক বিচ্যুতি ব্যবহার করেন।
• একটি ওষুধের কার্যকারিতা বিশ্লেষণে এটির ব্যবহার হয়। রোগ নিরাময়ের গড়ের হারে ওষুধটির প্রভাব কেমন তা জানা যায়।

ইতিহাস

"Standard deviation" শব্দটি প্রথম ব্যবহার করেন কার্ল পিয়ারসন (১৮৯৪)। পূর্বে কার্ল ফ্রিড‌রিশ গাউস একই পদের নাম দিয়েছিলেন mean error।

বহিঃসংযোগ

• টেমপ্লেট:Springer
• "Standard Deviation Calculator"