ফিউটার–পোলিয়া উপপাদ্য

ফুয়েটার-পলিয়া উপপাদ্য বলে যে, ক্যান্টর বহুপদীগুলিই একমাত্র দ্বিঘাত বহুপদী জোড়া ফাংশন। এটি রুডলফ ফুয়েটার এবং জর্জ পলিয়া দ্বারা প্রথম প্রমাণিত হয়।

ভূমিকা

১৮৭৩ সালে গেয়র্গ ক্যান্টর দেখিয়েছিলেন যে তথাকথিত ক্যান্টর বহুপদী হলো

$P(x,y):=\frac{1}{2}((x+y{)}^2+3x+y)=\frac{x^2+2xy+3x+y^2+y}{2}=x+\frac{(x+y)(x+y+1)}{2}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{x+y+1}{2})$

এটি ${\mathbb{N}}^2$ থেকে $\mathbb{N}$ পর্যন্ত একটি বাইজেক্টিভ ম্যাপিং। ভেরিয়েবলগুলি অদলবদল করে দেওয়া পলিনোমিয়ালটিও একটি পেয়ারিং ফাংশন।

ফুয়েটার এই বৈশিষ্ট্যের সাথে অন্যান্য দ্বিঘাত বহুপদী আছে কিনা তা তদন্ত করছিলেন এবং এই সিদ্ধান্তে পৌঁছেছিলেন যে $P(0,0)=0$ ধরে নেওয়া হলে এটি হয় না। এরপর তিনি পোলিয়াকে চিঠি লেখেন, যিনি দেখিয়েছিলেন যে উপপাদ্যটির জন্য এই শর্তের প্রয়োজন নেই।

বিবৃতি

যদি $P$ দুটি চলকের মধ্যে একটি চতুর্মাত্রিক বাস্তব বহুপদী হয় যার ${\mathbb{N}}^2$ এর সীমাবদ্ধতা ${\mathbb{N}}^2$ থেকে $\mathbb{N}$ পর্যন্ত একটি বাইজেকশন হয় তবে এটি হবে-

$P(x,y):=\frac{1}{2}((x+y{)}^2+3x+y)$

অথবা

$P(x,y):=\frac{1}{2}((y+x{)}^2+3y+x)$

প্রমাণ

$e^a$ এর একটি অপ্রমাণিত বীজগাণিতিক সংখ্যা $a$ এর জন্য লিন্ডেমান-ওয়েয়ারস্ট্রাস উপপাদ্য ব্যবহার করলে এর মূল প্রমাণটি, আশ্চর্যজনকভাবে, কঠিন হয়ে দাঁড়ায়। ২০০২ সালে এম. এ. ভসমিরনভ এই ফলাফলের একটি প্রাথমিক প্রমাণ প্রকাশ করেছিলেন।

ফুয়েটার–পোল্যা অনুমান

উপপাদ্যের মতে ক্যান্টর বহুপদী হলো ${\mathbb{N}}^2$ এবং $\mathbb{N}$ এর একমাত্র চতুর্মাত্রিক জোড়া বহুপদী। অনুমান করা হয় যে, এই ধরনের যে কোনও মাত্রার জন্য একমাত্র জোড়া বহুপদ।

উচ্চতর মাত্রা

উচ্চতর মাত্রায় ক্যান্টর বহুপদের একটি সাধারণীকরণ নিম্নরূপ:

$P_n(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{k=1}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1+\sum _{j=1}^k{x}_j}{k})=x_1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1+x_2+1}{2})+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{x_1+\cdots +x_n+n-1}{n})$

এই দ্বিপদী সহগের সমষ্টি $n$ চলকের মধ্যে $n$ মাত্রার একটি বহুপদী উৎপন্ন করে। এটির অন্তত একটি $(n-1)!$, $n$ মাত্রার জন্য অসম প্যাকিং বহুপদী।