ফ্রানসেন–রবিনসন ধ্রুবক

ফ্রানসেন–রবিনসন ধ্রুবক, যেটি কখনও কখনও F দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, এমন একটি গাণিতিক ধ্রুবক যা রেসিপ্রোকাল গামা ফাংশন, টেমপ্লেট:Math, এবং ধনাত্মক x অক্ষের মাঝে অবস্থিত ক্ষেত্রফল নির্দেশ করে।

$F=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}dx=2.8077702420285...$

অন্যান্য প্রকাশ

ফ্রানসেন–রবিনসন ধ্রুবকের সংখ্যাবাচক মান হলো টেমপ্লেট:Nowrap টেমপ্লেট:OEIS, এবং অবিরত ভগ্নাংশ উপস্থাপনা [2; 1, 4, 4, 1, 18, 5, 1, 3, 4, 1, 5, 3, 6, ...] টেমপ্লেট:OEIS। ধ্রুবকটি কিছুটা অয়লার ধ্রুবক টেমপ্লেট:Nowrap এর কাছাকাছি। এই বিষয়টি একটি সমাকলনের সমষ্টি দ্বারা অনুমান করে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে:

$F=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(x)}dx\approx \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!},$

এবং এই সমষ্টি e এর জন্য একটি আদর্শ ধারা। পার্থক্য হলো-

$F-e=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-x}}{{\pi }^2+(\ln x{)}^2}dx$

অথবা একই ভাবে-

$F=e+\frac{1}{\pi }\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{\pi \tan \theta }{e}^{-e^{\pi \tan \theta }}d\theta .$

ফ্রানসেন–রবিনসন ধ্রুবকটিকে মিটাগ-লেফলার ফাংশন ব্যবহার করেও সীমা ব্যবহারের সাহায্যে (লিমিট) এটি প্রকাশ করা যেতে পারে।

$F=\underset{\alpha \to 0}{\lim }\alpha E_{\alpha ,0}(1).$

তবে অন্যান্য পরিচিত ধ্রুবকের সাপেক্ষে F কে বন্ধন-রূপে (ক্লোজ টার্ম) প্রকাশ করা যেতে পারে কিনা তা অজানা।

হিসাব ইতিহাস

ফ্রানসেন–রবিনসন ধ্রুবকের সাংখ্যিক মান সর্বোচ্চ নির্ভুলতার সাথে গণনা করতে যথেষ্ট পরিমাণ প্রচেষ্টা করা হয়েছে।

মূল্যটি ৩৬ দশমিক স্থানে হারম্যান পি. রবিনসন দ্বারা ১১ পয়েন্ট নিউটন-কোটেস কোয়াড্রেচার ব্যবহার করে গণনা করা হয়েছিল, ৬৫ ডিজিটে এ. ফ্রানসেন দ্বারা ইউলার-ম্যাকলরিন সমাবেশ ব্যবহার করে, এবং ৮০ ডিজিটে ফ্রানসেন এবং এস. রিগে দ্বারা টেলর ধারা এবং অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করে। উইলিয়াম এ. জনসন ৩০০ ডিজিট গণনা করেছিলেন, এবং পাস্কাল সেবাহ ক্লেনশো-কোর্টিস ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে ১০২৫ ডিজিট গণনা করতে সক্ষম হয়েছিল।

হারমান পি. রবিনসন ১১ পয়েন্ট নিউটন-কোটস চতুর্ভুজ ব্যবহার করে ৩৬ দশমিক স্থান পর্যন্ত, এ. ফ্রান্সেন ইউলার-ম্যাকলাউরিন যোগফল ব্যবহার করে ৬৫ দশমিক সংখ্যায় এবং ফ্রান্সেন ও এস. রিগ টেলর সিরিজ এবং অন্যান্য পদ্ধতি ব্যবহার করে ৮০ দশমিক সংখ্যা পর্যন্ত মান গণনা করতে সক্ষম হন। উইলিয়াম এ. জনসন ৩০০ সংখ্যা পর্যন্ত মান বের করতে সক্ষম হন এবং পাস্কাল সেবাহ ক্লেনশ-কার্টিস ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে ১০২৫টি সংখ্যা পর্যন্ত গণনা করতে পেরেছেন।

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:MathWorld
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি