ফিরোজবখতের অনুমান

ফিরোজবখতের অনুমান

সংখ্যাতত্ত্বে, ফিরোজবখতের অনুমান (বা ফিরোজবখত অনুমান) হলো প্রাইম সংখ্যাগুলোর বন্টন সম্পর্কিত একটি অনুমান। এটি ইরানের গণিতবিদ ফারিদেহ ফিরোজবখতের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এটি ১৯৮২ সালে প্রকাশ করেন।

এই অনুমানটি বলে যে, $p_n^{1/n}$ (যেখানে $p_n$ হলো n-তম মৌলিক সংখ্যা) একটি strictly হ্রাসমান ফাংশন, অর্থাৎ:

$\sqrt[n+1]{p_{n+1}}<\sqrt[n]{p_n}\text{for all }n\ge 1.$

একইভাবে বলা যায়:

$p_{n+1}<p_n^{1+\frac{1}{n}},$

$p_{n+1}^n<p_n^{n+1},\text{ or }$

${\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)}^n<p_n.$

দেখুন টেমপ্লেট:OEIS2C, টেমপ্লেট:OEIS2C।

ফারিদেহ ফিরোজবখত ৪.৪৪৪টেমপ্লেট:E পর্যন্ত তার অনুমান পরীক্ষা করেন সর্বাধিক ব্যবধানের টেবিল ব্যবহার করে। বর্তমানে আরও বিস্তৃত ব্যবধানের টেবিলের সাহায্যে এটি ২^৬৪ ≈ টেমপ্লেট:Val-এর নিচের সব প্রাইমের জন্য পরীক্ষা করা হয়েছে।

যদি এই অনুমানটি সত্য হয়, তবে প্রাইম ব্যবধান ফাংশন $g_n=p_{n+1}-p_n$ নিম্নলিখিত শর্ত পূরণ করবে:

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n\text{for all }n>4.$

আরও বলা যায়:

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n-1\text{for all }n>9,$

দেখুন টেমপ্লেট:OEIS2C।

অনুমানটির প্রভাব

এটি প্রাইম ব্যবধানের জন্য প্রস্তাবিত সর্বোচ্চ উর্ধ্বসীমা প্রদানকারী অন্যতম শক্তিশালী অনুমান, যা ক্র্যামার এবং শ্যাঙ্কসের অনুমানগুলোর চেয়েও কিছুটা শক্তিশালী। এই অনুমানটি ক্র্যামারের অনুমানের একটি শক্তিশালী রূপ এবং এটি গ্রানভিল এবং পিন্টজ এবং মায়ার এর হিউরিস্টিকের সঙ্গে অসঙ্গতিপূর্ণ, যা নির্দেশ করে যে:

$g_n>\frac{2-\epsilon }{e^{\gamma }}(\log p_n{)}^2\approx 1.1229(\log p_n{)}^2,$

যেখানে $\epsilon >0,$ এবং $\gamma$ হলো অয়লার-ম্যাশেরোনি ধ্রুবক।

সংশ্লিষ্ট অনুমানসমূহ

ফিরোজবখতের অনুমানের তিনটি সংশ্লিষ্ট সংস্করণ (টেমপ্লেট:OEIS2C-এ মন্তব্যগুলি দেখুন) কিছু ভিন্নতা ধারণ করে। ফোরগস প্রস্তাব করেন যে ফিরোজবখতের অনুমানটি এইভাবে প্রকাশ করা যায়:

${\left(\frac{\log p_{n+1}}{\log p_n}\right)}^n<{(1+\frac{1}{n})}^n,$

যেখানে ডান পাশের অংশটি একটি সুপরিচিত অভিব্যক্তি যা অয়লারের সংখ্যার মানের দিকে অগ্রসর হয় যখন $n\to \mathrm{\infty }$ হয়। একটি সামান্য দুর্বল অনুমান নির্দেশ করে:

${\left(\frac{\log p_{n+1}}{\log p_n}\right)}^n<e.$

নিকলসন এবং ফারহাদিয়ান ফিরোজবখতের অনুমানের দুটি শক্তিশালী রূপ প্রদান করেন, যা নিম্নরূপে সংক্ষেপ করা যায়:

${\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)}^n<\frac{p_n\log n}{\log p_n}<n\log n<p_n\text{for all }n>5,$

যেখানে ডান পাশের অসমতা ফিরোজবখতের, মাঝেরটি নিকলসনের (কারণ $n\log n<p_n$; টেমপ্লেট:Slink দেখুন), এবং বাম পাশেরটি ফারহাদিয়ানের (কারণ $\frac{p_n}{\log p_n}<n$; টেমপ্লেট:Slink দেখুন)।

এগুলোর সবই ২^৬৪ পর্যন্ত যাচাই করা হয়েছে।

আরো দেখুন

• Prime number theorem
• Andrica's conjecture
• Legendre's conjecture
• Oppermann's conjecture
• Cramér's conjecture