শেষ সম্প্রসারণ

মডেল তত্ত্ব এবং সেট তত্ত্ব, গণিতের দুটি শাখা, এই ধারণাগুলির মধ্যে শেষ সম্প্রসারণ একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। যদি কোনো মডেল $𝔅=⟨B,F⟩$ সেট তত্ত্বের কোনো স্বতঃসিদ্ধ সিস্টেম $T$-এর ভাষায় মডেল $𝔄=⟨A,E⟩$-এর শেষ সম্প্রসারণ হয়, তাহলে প্রতীকীভাবে একে $𝔄{\subseteq }_{\text{end}}𝔅$ হিসাবে প্রকাশ করা হয়। এটি তখনই প্রযোজ্য হবে যখন:

1. $𝔄$, $𝔅$-এর একটি অবকাঠামো হয়। (অর্থাৎ, $A\subseteq B$ এবং $E=F{|}_A$ )​, এবং
2. মডেল $𝔅$, $A$-এর উপাদানগুলির কোনো নতুন সম্পর্ক তৈরি না করে। অর্থাৎ, যদি $a\in A$ এবং $bFa$ হয়, তবে অবশ্যই $b\in A$ হতে হবে।

উপরোক্ত দ্বিতীয় শর্তটি সমতুল্যভাবে নিম্নরূপে লেখা যায়:$\{b\in A:bEa\}=\{b\in B:bFa\}$সবক্ষেত্রে $a\in A$ .

উদাহরণস্বরূপ, $A$ এবং $B$ উভয়ই ট্রানজিটিভ সেট হয় এবং $A\subseteq B$ হয়, তবে $⟨B,\in ⟩$ হলো $⟨A,\in ⟩$-এর একটি শেষ সম্প্রসারণ।

শীর্ষ সম্প্রসারণ (যাকে র‌্যাঙ্ক সম্প্রসারণও বলা হয়) হল একটি সম্পর্কিত ধারণা। একটি মডেল $𝔅=⟨B,F⟩$ তখনই $𝔄=⟨A,E⟩$-এর শীর্ষ সম্প্রসারণ হবে, যদি $𝔄{\subseteq }_{\text{end}}𝔅$ হয় (অর্থাৎ, $A$ হল $𝔅$-এর শেষ সম্প্রসারণ), এবং $a\in A$ এবং $b\in B\setminus A$ হলে, আমাদের আছে $rank(b)>rank(a)$ হবে, যেখানে $rank(\cdot )$ একটি সেটের ক্রম নির্দেশ করে।

অস্তিত্ব

কেইসলার এবং মর্লে প্রমাণ করেছিলেন যে ZF (জার্মেলো-ফ্রাঙ্কেল সেট তত্ত্ব)-এর প্রতিটি গণনাযোগ্য মডেলের একটি শেষ সম্প্রসারণ রয়েছে, যা একইসঙ্গে একটি প্রাথমিক সম্প্রসারণ। যদি প্রাথমিকতার শর্তটি কিছুটা শিথিল করে শুধুমাত্র লেভি শ্রেণিবিন্যাস-এর Σn​-সূত্রগুলোর জন্য প্রযোজ্য করা হয়, তবে Σn​-সংগ্রহ যেখানে প্রযোজ্য, এমন প্রতিটি গণনাযোগ্য গঠন একটি Σn​-প্রাথমিক শেষ সম্প্রসারণ ধারণ করতে পারে।

এই Σn​-সংগ্রহ লেভি শ্রেণিবিন্যাসের একটি নির্দিষ্ট স্তরে প্রযোজ্য সূত্রগুলোর জন্য গঠনকে নির্দেশ করে। এর ফলে, ধারণাটি মডেল তত্ত্বে এবং সেট তত্ত্বে গঠনের সম্প্রসারণ নিয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিশ্লেষণ প্রদান করে।