গোল্ডবাখের ধূমকেতু

টেমপ্লেট:উৎসহীন গোল্ডবাখের ধূমকেতু সাধারণত $g(E)$ ফাংশনের একটি চিত্র যা গোল্ডবাখ ফাংশন টেমপ্লেট:OEIS নামে পরিচিত । গোল্ডবাখের অনুমানের সাথে সম্পর্কিত এই ফাংশনটি সমস্ত জোড় সংখ্যা $E>2$ এর জন্য প্রযোজ্য এবং ফাংশনটি দ্বারা $E$ কে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে ঠিক যতটি ভিন্ন উপায় প্রকাশ করা যায় তার সংখ্যা নির্দেশ করে। যেমন, $g(22)=3$ , যেহেতু $22$ কে তিনটি ভিন্ন উপায়ে দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যায় $22=11+11=5+17=3+19$

উপরের চিত্রের বিন্দুগুলির রঙ E modulo 3 এর মানের উপর ভিত্তি করে দেখানো হয়েছে । এখানে 0 mod 3 এর সাথে সম্পর্কিত বিন্দুসমূহকে লাল , 1 mod 3 এর সাথে সম্পর্কিত বিন্দুগুলোকে নীল এবং 2 mod 3 এর সাথে সম্পর্কিত বিন্দুগুলিকে সবুজ রং দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে । অন্য কথায়, লাল বিন্দুগুলি হলো 6 এর গুণিতক, নীল বিন্দুগুলি 6 এর গুণিতক যোগ 2 এবং সবুজ বিন্দুগুলি হচ্ছে 6 এর গুণিতক যোগ 4 ।

গোল্ডবাখ ধূমকেতুর অ্যানাটমি

ধূমকেতুর তথ্য উপস্থাপনের একটি উল্লেখযোগ্য উপায় হল হিস্টোগ্রাম । $g(E)$ফাংশন কে স্বাভাবিকীকরণ (normalize) করা যায় $g$-এর স্থানীয় গড় মান $g_{av}$ দ্বারা ভাগ করে। এখানে $g_{av}$ হলো $E$-এর প্রায় ১০০০ নিকটবর্তী জোড় সংখ্যার উপর গড় মান। এরপর একটি হিস্টোগ্রাম সংগৃহীত করা যেতে পারে, যা কেন্দ্রীয় $E$-এর প্রায় ১০% উপরে-নিচে পরিসীমার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়।

তেমন একটি হিস্টোগ্রাম প্রদর্শিত হলো। সুস্পষ্ট সর্বোচ্চ বিন্দুর একটি ধারা পরিলক্ষিত হচ্ছে। এই সর্বোচ্চ বিন্দুগুলির প্রতিটিকে $E/2$ এর মানের একটি সেট দ্বারা চিহ্নিত করা হয়েছে যেখানে $E/2$ এর কিছু নির্দিষ্ট ক্ষুদ্রতম গুণনীয়ক রয়েছে । সর্বোচ্চ বিন্দুগুলি 3, 5, 7... এর সর্বনিম্ন গুণনীয়কের সাথে মিলে যায় । (যেভাবে দেখানো হয়েছে)

প্রকৃতপক্ষে সর্বোচ্চ বিন্দুগুলির একটি শ্রেণীবদ্ধ কাঠামো রয়েছে; প্রধান চূড়া বিন্দুগুলি উপচূড়া বিন্দু দ্বারা গঠিত, যেগুলি $E/2$ এর দ্বিতীয় সর্বনিম্ন গুণাঙ্কগুলির ধারাবাহিকতা অনুসরণ করে। এই শ্রেণীবদ্ধ কাঠামোটি অব্যাহত থাকে যতক্ষণ না সব গুণাঙ্ক নিঃশেষ হয়ে যায়।

বিবর্ধিত অংশটি উপচূড়া বিন্দুর ধারাবাহিকতা আরও বিস্তারিতভাবে প্রদর্শন করে।

চূড়া বিন্দুগুলির আপেক্ষিক অবস্থান হার্ডি এবং লিটলউডের তৈরি ফর্মটি অনুসরণ করে:

$\frac{g(E)}{g_{av}}={\mathrm{\Pi }}_2\prod \frac{(p-1)}{(p-2)},(1)$

যেখানে গুণফলটিতে সমস্ত মৌলিক সংখ্যা $p$-কে নেওয়া হয়, যেগুলি $E/2$ এর গুণনীয়ক । ডানদিকের ফ্যাক্টরটি হার্ডি-লিটলউডের যমজ মৌলিক ধ্রুবক

${\mathrm{\Pi }}_2=\prod _{p>2}(1-\frac{1}{(p-1{)}^2})=0.6601618...$

এখানে প্রোডাক্টটিতে সকল $p>2$কে নেওয়া হয় ।

বিশেষ আগ্রহের বিষয় হলো সেই চূড়া বিন্দুটি, যা শুধুমাত্র $E/2$-এর মৌলিক মানগুলো নির্বাচন করে গঠিত। তাহলে সমীকরণ (1)-এ প্রোডাক্ট ফ্যাক্টরটি প্রায় 1 এর কাছাকাছি হয় । চূড়া বিন্দুটি গাউসিয়ান ফর্মের খুব কাছাকাছি (ধূসর রঙে দেখানো হয়েছে)। E মানের এই পরিসরের জন্য, সর্বোচ্চ অবস্থানটি আদর্শ ${\mathrm{\Pi }}_2$ এর 0.03% এর মধ্যে থাকে ।

যখন E এর বিভিন্ন গড় মানের জন্য হিস্টোগ্রাম তৈরি করা হয়, তখন এই চূড়ার প্রস্থ (শুধুমাত্র প্রাইম) হয় $1/\sqrt{g_{pav}(E)}$ এর সমানুপাতিক । তবে, এটি প্রায় 1.85 গুণ কম একটি মান, যা $\sqrt{2/g_{pav}(E)}$ -এর সমান হওয়া উচিত ছিল, যদি সম্পূর্ণ এলোমেলো মৌলিক-যুগল উপস্থিতির একটি হাইপোথিসিস থেকে এটি প্রত্যাশিত হত ।এটি প্রত্যাশিত হতে পারে, যেহেতু এমন পারস্পরিক সম্পর্ক রয়েছে যা সম্পূর্ণ হিস্টোগ্রামে বিচ্ছিন্ন চূড়া বিন্দুর জন্ম দেয়।

পুরো $E/2$ পরিসরে ফিরে এসে, শুধুমাত্র মৌলিক সংখ্যাগুলির পরিবর্তে, দেখা যায় যে $E/2$-এর নির্দিষ্ট সর্বনিম্ন গুণাঙ্কগুলির সাথে সম্পর্কিত অন্যান্য চূড়াও একটি গাউসিয়ান দ্বারা ফিট করা যেতে পারে, কিন্তু শুধুমাত্র তাদের নিম্ন প্রান্তে। উচ্চ প্রান্ত, সহায়ক চূড়াগুলির সমষ্টি দ্বারা গঠিত, সরল গাউসিয়ান ফর্মের উপরে অবস্থিত।

সম্পূর্ণ হিস্টোগ্রামে চূড়াগুলির আপেক্ষিক উচ্চতা বিভিন্ন ধরণের সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে, যাদের $E/2$ এর বিভিন্ন গুণাঙ্ক আছে ।উচ্চতাগুলি প্রায় বিপরীতভাবে $\mathrm{\Pi }p$ (ক্ষুদ্রতম গুণাঙ্কসমূহের গুণফল) এর সমানুপাতিক । . এভাবে সামগ্রিক হিস্টোগ্রামে চিহ্নিত চূড়ার উচ্চতা (3,5) যা প্রধান শিখরের প্রায় 1/15। উচ্চতা এটি থেকে প্রায় 20% পরিবর্তিত হতে পারে; ত সঠিক মান হল একটি জটিল ফাংশন যেখানে চূড়া বিন্দুগুলি তাদের component এবং তাদের বিভিন্ন প্রস্থ অনুযায়ী গঠিত হয়।

এই গাউসিয়ান ফর্মগুলিকে সম্ভাব্যতা হিসাবে গ্রহণ করে এবং শূন্য-জোড়া বিন্দুতে এক্সট্রাপোলেট করা সত্য বলে ধরে নেওয়া যেকোন সংখ্যা E-তে শূন্যটি মৌলিক জোড়া থাকার সম্ভাবনা সম্পর্কে অনুমান করা একটি আকর্ষণীয় বিষয় । যদি এটি করা হয় তবে যে কোনো একটি E এর জন্য শূন্য জোড়ার সম্ভাবনা, এখানে বিবেচিত পরিসরে, 10 ⁻³⁷⁰⁰ এর সমান হবে । সমস্ত E থেকে অসীম পর্যন্ত সমন্বিত সম্ভাবনা, চূড়া প্রস্থের সংকীর্ণতা বিবেচনায় নিলে গোল্ডবাখ অনুমান লঙ্ঘনের জন্য যেকোনো অনুসন্ধান, যুক্তিসংগতভাবে আশা করা যেতে পারে, এই সম্ভাবনাগুলির সঙ্গে মোকাবিলা করার জন্যে।