উন্মোচিত বিন্দু

উন্মোচিত নয় এমন উত্তল সেটের চরম বিন্দুর দুটি উদাহরণ

গণিতে, একটি উত্তল সেট $C$-এর একটি উন্মোচিত বিন্দু বলতে এমন একটি বিন্দু $x\in C$-কে বোঝানো হয়, যেখানে কোনো একটি সুনির্দিষ্ট অবিচ্ছিন্ন রৈখিক অপেক্ষক f সেট $C$-এর উপরে তার সর্বোচ্চ মান অর্জন করে। মনে করা হয় যে, এই ধরনের অপেক্ষক $x$-কে "উন্মোচিত" করে। একাধিক অপেক্ষক $x$-কে উন্মোচিত করতে পারে। উত্তল সেট $C$-এর সকল উন্মোচিত বিন্দুর সমষ্টি $\exp (C)$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

একটি আরও শক্তিশালী ধারণা হল শক্তিশালীভাবে উন্মোচিত বিন্দু। এটি এমন একটি উন্মোচিত বিন্দু $x\in C$, যেখানে কোনো একটি অপেক্ষক $f$, যা $x$-কে উন্মোচিত করে, সেট $C$-এর উপর তার সর্বোচ্চ মান অর্জন করে। সর্বোচ্চ মানের অর্থ হলো, যদি $(x_n)\subset C$ একটি ক্রম হয় এবং $f(x_n)\to \max f(C)$, তবে এই ক্রম $x$-এর দিকে সঙ্কুচিত হবে। গাণিতিকভাবে:

$f(x_n)\to \max f(C)⟹\Vert x_n-x\Vert \to 0$

C-এর সকল শক্তিশালীভাবে উন্মোচিত বিন্দুর সমষ্টি $\mathrm{str}\exp (C)$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

এছাড়াও, উন্মোচিত বিন্দুর দুটি দুর্বলতর ধারণা বিদ্যমান, যথা চরম বিন্দু এবং সমর্থন বিন্দু।

ব্যবহার ও প্রয়োগ

উন্মোচিত বিন্দুর ধারণা কার্যকরী বিশ্লেষণ, গাণিতিক কাম্যতমকরণ, এবং জ্যামিতিক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ। এটি উত্তল সেটের সীমারেখার প্রকৃতি বোঝার জন্য ব্যবহৃত হয়। শক্তিশালীভাবে উন্মোচিত বিন্দুগুলি বিশেষত গাণিতিক প্রমাণ এবং কাম্যতমকরণের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

উন্মোচিত এবং শক্তিশালীভাবে উন্মোচিত বিন্দু উত্তল সেটের বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য অনুধাবন করতে সাহায্য করে। উদাহরণস্বরূপ, প্রকৌশল কাম্যতমকরণে, উন্মোচিত বিন্দু এবং শক্তিশালীভাবে উন্মোচিত বিন্দুর ব্যবহার কার্যকর ফলাফল পেতে সাহায্য করে।