আবেলের উপপাদ্য

অ্যাবেলের উপপাদ্য (Abel's theorem) গণিতে একটি পাওয়ার সিরিজের সীমাকে তার গুণকগুলোর যোগফলের সাথে সম্পর্কিত করে। এটি নরওয়েজীয় গণিতবিদ নিলস হেনরিক অ্যাবেলের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এটি ১৮২৬ সালে প্রমাণ করেছিলেন।

উপপাদ্য

ধরা যাক টেইলর শ্রেণি $$G(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$$ একটি ঘাত শ্রেণি, যার বাস্তব সহগ $a_k$ এবং অভিসারিত ব্যাসার্ধ পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle 1।} ধরে নেওয়া হয়েছে। ধরা যাক যে শ্রেণি $$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$$ অভিসারিত। তাহলে $G(x)$ বামদিক থেকে অবিচ্ছিন্ন $x=1$-এ, অর্থাৎ পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \lim_{x\to 1^-} G(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k।}

একই উপপাদ্য জটিল ঘাত শ্রেণির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, $$G(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k,$$ যদি $z\to 1$ সম্পূর্ণরূপে একক স্টল্ৎস সেক্টর এর মধ্যে থাকে, যা হলো উন্মুক্ত একক বৃত্তের এমন একটি অঞ্চল যেখানে $$|1-z|\le M(1-|z|)$$ একটি স্থির এবং সীমিত $M>1$ এর জন্য। এই শর্ত ব্যতীত সীমা বিদ্যমান নাও থাকতে পারে: উদাহরণস্বরূপ, ঘাত শ্রেণি $$\sum _{n>0}\frac{z^{3^n}-z^{2\cdot 3^n}}{n}$$ $z=1$-এ $0$-এ অভিসারিত হয়, কিন্তু $e^{\pi i/3^n}$ আকারের যেকোনো বিন্দুর কাছে এটি সীমাবদ্ধ নয়। ফলে, $z$ একক বৃত্তে ১-এর দিকে ধাবিত হলে এই মান সীমা হিসেবে গণ্য হয় না।

উল্লেখ্য, $G(z)$ বন্ধ অন্তর $[0,t]$-এ অবিচ্ছিন্ন, যেখানে $t<1$, কারণ এই শ্রেণিটি সমজাত অভিসারণ এর মাধ্যমে সংযোজিত বৃত্তের সঙ্কুচিত উপসেটগুলিতে অভিসারিত হয়। তবে, অ্যাবেলের উপপাদ্য অনুযায়ী $G(z)$ এর $[0,1]$ এর উপর সংযোজনটি অবিচ্ছিন্ন।

স্টল্ৎস সেক্টর

20 স্টল্ৎস সেক্টর, যেখানে $M$ এর মান ১.০১ থেকে ১০ পর্যন্ত পরিবর্তিত। লাল রেখাগুলি শঙ্কুর ডান প্রান্তের স্পর্শক।

স্টল্ৎস সেক্টর $|1-z|\le M(1-|z|)$ এর নির্দিষ্ট সমীকরণ হলো $$y^2=-\frac{M^4(x^2-1)-2M^2((x-1)x+1)+2\sqrt{M^4(-2M^2(x-1)+2x-1)}+(x-1{)}^2}{(M^2-1{)}^2}$$ এবং এটি ডানদিকে বিভিন্ন মানের জন্য চিত্রিত করা হয়েছে।

সেক্টরের বাম প্রান্ত হলো $x=\frac{1-M}{1+M}$, এবং ডান প্রান্ত হলো $x=1$। ডান প্রান্তে এটি একটি শঙ্কুতে পরিণত হয়, যার কোণ $2\theta$, যেখানে $\cos \theta =\frac{1}{M}$।

মন্তব্য

এই উপপাদ্যের সরাসরি একটি ফলাফল হল, যদি $z$ কোনও অশূন্য জটিল সংখ্যা হয়, যার জন্য ধারাটি $$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$$ অবসিত হয়, তবে এটি প্রমাণ করে যে: $$\underset{t\to 1^{-}}{\lim }G(tz)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$$ যেখানে সীমাটি নিচ থেকে নেওয়া হয়।

এই উপপাদ্যটি এমন ধারাগুলোর জন্যও সাধারণীকৃত হতে পারে, যেগুলো অসীমে অভিসারিত হয়।টেমপ্লেট:Citation needed যদি $$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=\mathrm{\infty }$$ তবে $$\underset{z\to 1^{-}}{\lim }G(z)\to \mathrm{\infty }.$$

তবে, যদি ধারা কেবলমাত্র অসংগতি প্রমাণিত হয়, কিন্তু অন্য কোনও কারণে অসীমে না পৌঁছায়, তাহলে উপপাদ্যের দাবি ব্যর্থ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, নিচের ধারাটি দেখুন: $$\frac{1}{1+z}.$$

যেখানে $z=1$, ধারাটি হয় $1-1+1-1+\cdots ,$ কিন্তু $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.$

উল্লেখযোগ্য বিষয় হল, এই উপপাদ্যটি $R=1$ ব্যতিরেকে অন্যান্য অভিসারণ ব্যাসার্ধের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। ধরা যাক, $$G(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{x}^k$$ একটি শক্তি ধারা যার অভিসারণ ব্যাসার্ধ $R,$ এবং ধরে নেওয়া হয় যে ধারা $x=R$-এ অভিসারিত হয়। তাহলে $G(x)$ $x=R$-এ বামে থেকে ক্রমাগত, অর্থাৎ: $$\underset{x\to R^{-}}{\lim }G(x)=G(R).$$

প্রয়োগ

অ্যাবেলের উপপাদ্যের প্রয়োগ হল, এটি আমাদের একটি শক্তি ধারার সীমা নির্ণয় করতে সহায়তা করে যখন তার আর্গুমেন্ট ($z$) $1$-এর কাছাকাছি নিচ থেকে পৌঁছায়, এমন ক্ষেত্রেও যেখানে শক্তি ধারার অভিসারণ ব্যাসার্ধ, $R,$ সমান $1$ এবং সীমাটি সসীম কিনা তা নিশ্চিত হওয়া যায় না। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিপদ ধারার ক্ষেত্রে এটি দেখুন। অ্যাবেলের উপপাদ্য আমাদের অনেক ধারার সুনির্দিষ্ট মান নির্ণয়ে সাহায্য করে। উদাহরণস্বরূপ, যখন $$a_k=\frac{(-1{)}^k}{k+1},$$ তখন আমরা পাই: $$G_a(z)=\frac{\ln (1+z)}{z},0<z<1,$$ যেখানে জ্যামিতিক শক্তি ধারাটি সমজাতীয়ভাবে অভিসারিত। এইভাবে, $$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k+1}$$ অ্যাবেলের উপপাদ্য দ্বারা $\ln 2$-এ অভিসারিত হয়। অনুরূপভাবে, $$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}$$ অভিসারিত হয় $\arctan 1=\frac{\pi }{4}.$

$G_a(z)$ কে উৎপাদক ফাংশন বলা হয়, যা $a$ ক্রমের জন্য উৎপাদক। অ্যাবেলের উপপাদ্য প্রায়োগিক সম্ভাবনার গ্যালটন-ওয়াটসন প্রক্রিয়ার মতো বিভিন্ন বাস্তব সংখ্যিক ও অঋণাত্মক ক্রমের উৎপাদক ফাংশন নিয়ন্ত্রণে সহায়ক।

প্রমাণের সংক্ষিপ্তসার

যখন $a_0$-এর থেকে একটি ধ্রুবক বিয়োগ করা হয়, তখন আমরা ধরে নিতে পারি যে পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \sum_{k=0}^\infty a_k=0।} এখন $s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$ হিসেবে ধরা যাক। তারপর, $a_k=s_k-s_{k-1}$ ধরে এবং ধারাটির সরল রূপান্তর (summation by parts) করলে পাই: পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle G_a(z) = (1-z)\sum_{k=0}^{\infty} s_k z^k।}

যদি $\epsilon >0$ হয়, তবে এমন একটি $n$ নির্বাচন করা সম্ভব যাতে $|s_k|<\epsilon$ হয় সব $k\ge n$ জন্য এবং দেখা যায় যে: $$|(1-z)\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}{s}_k{z}^k|\le \epsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}|z{|}^k=\epsilon |1-z|\frac{|z{|}^n}{1-|z|}<\epsilon M$$ যখন $z$ নির্দিষ্ট স্টলজ কোণের মধ্যে থাকে। যথেষ্ট ছোট $z$ যখন $1$-এর নিকটবর্তী হয়, তখন পাই: $$|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}{s}_k{z}^k|<\epsilon ,$$ ফলে $|G_a(z)|<(M+1)\epsilon$ হয় যখন $z$ যথেষ্টভাবে $1$-এর নিকটবর্তী এবং স্টলজ কোণের মধ্যে থাকে।

সংশ্লিষ্ট ধারণা

অ্যাবেলের উপপাদ্যের বিপরীত গুলিকে টবারীয় উপপাদ্য বলা হয়: কোনও সুনির্দিষ্ট বিপরীত নেই, তবে কিছু শর্তাধীন অনুমানের উপর ভিত্তি করে ফলাফল পাওয়া যায়। অসংগতি ধারা এবং এর যোগফল পদ্ধতি নিয়ে গবেষণার ক্ষেত্রটিতে অনেক উপপাদ্য অ্যাবেলীয় এবং টবারীয় ধরণের।

আরও দেখুন

• টেমপ্লেট:Annotated link
• টেমপ্লেট:Annotated link
• টেমপ্লেট:Annotated link

আরও পড়ুন

• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি - আহলফোর্স এটিকে অ্যাবেলের সীমা উপপাদ্য বলেছেন।

বহিঃসংযোগ

• টেমপ্লেট:PlanetMath (এই ধরণের আরও সাধারণ অ্যাবেলীয় উপপাদ্যের আলোচনা)
• টেমপ্লেট:SpringerEOM
• টেমপ্লেট:MathWorld