যোগ সংক্রান্ত বিন্যাসতত্ত্ব

যোগ সংক্রান্ত বিন্যাসতত্ত্ব হল গণিতের গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্বের একটি ক্ষেত্র। সংযোজক সংমিশ্রণে অধ্যয়নের একটি প্রধান ক্ষেত্র হল বিপরীত সমস্যা : সমসেট টেমপ্লেট:Math এর আকার ছোট হলে, টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar এর গঠন সম্পর্কে আমরা কী বলতে পারি? পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রে, ক্লাসিক্যাল ফ্রিম্যানের উপপাদ্য বহু-মাত্রিক গাণিতিক অগ্রগতির পরিপ্রেক্ষিতে এই প্রশ্নের একটি আংশিক উত্তর প্রদান করে।

আরেকটি সাধারণ সমস্যা হল টেমপ্লেট:Math এর জন্য একটি নিম্ন সীমা খুঁজে পাওয়া টেমপ্লেট:Math পরিপ্রেক্ষিতে টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math . এটি প্রদত্ত তথ্যের সাথে একটি বিপরীত সমস্যা হিসাবে দেখা যেতে পারে যে টেমপ্লেট:Math পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট এবং কাঠামোগত উপসংহারটি এমন হয় যে হয় টেমপ্লেট:Mvar বা টেমপ্লেট:Mvar খালি সেট; যাইহোক, সাহিত্যে, এই জাতীয় সমস্যাগুলিকে কখনও কখনও সরাসরি সমস্যা হিসাবেও বিবেচনা করা হয়। এই ধরনের উদাহরণের মধ্যে রয়েছে এর্দোস–হেইলব্রন অনুমান (একটি সীমাবদ্ধ সমসেটের জন্য) এবং কচি-ডেভেনপোর্ট উপপাদ্য। এই ধরনের প্রশ্ন মোকাবেলার জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলি প্রায়শই গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্র থেকে আসে, যার মধ্যে রয়েছে গুচ্ছ-বিন্যাসতত্ত্ব, এরগোডিক তত্ত্ব, বিশ্লেষণ, গ্রাফ তত্ত্ব, গোষ্ঠী তত্ত্ব এবং রৈখিক বীজগণিত এবং বহুপদী পদ্ধতি।

যোগ সংক্রান্ত বিন্যাসতত্ত্বের ইতিহাস

যদিও যোগ সংক্রান্ত বিন্যাসতত্ত্ব বিন্যাসতত্ত্বের একটি মোটামুটি নতুন শাখা (আসলে ২০১২ সালে টেরেন্স টাও এবং ভ্যান এইচ. ভু তাদের বইতে যোগ সংক্রান্ত বিন্যাসতত্ত্ব শব্দটি তৈরি করেছিলেন), একটি অনেক পুরোনো সমস্যা, কাউচি-ডেভেনপোর্ট উপপাদ্য, সবচেয়ে বেশি একটি। এই ক্ষেত্রে মৌলিক ফলাফল.

কচি-ডেভেনপোর্ট উপপাদ্য

ধরুন যে টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar একটি মৌলিক টেমপ্লেট:Mvar এর জন্য চক্রীয় গ্রুপ টেমপ্লেট:Math এর সসীম উপসেট, তাহলে নিম্নলিখিত অসমতা ধারণ করে।

$|A+B|\ge \min (|A|+|B|-1,p)$

ভসপারের উপপাদ্য

এখন আমাদের সমষ্টি টেমপ্লেট:Math এর মূলত্বের জন্য অসমতা রয়েছে, বিপরীত সমস্যাটি জিজ্ঞাসা করা স্বাভাবিক, যেমন টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar এর সমতা কোন অবস্থায় থাকে? ভসপারের তত্ত্ব এই প্রশ্নের উত্তর দেয়। ধরুন যে টেমপ্লেট:Math (অর্থাৎ, প্রান্তের ক্ষেত্রে ছাড়া) এবং

$|A+B|\le |A|+|B|-1\le p-2,$

তারপর টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar একই পার্থক্য সহ গাণিতিক অগ্রগতি। এটি সেই কাঠামোগুলিকে চিত্রিত করে যা প্রায়শই সংযোজন সংযোজনবিদ্যায় অধ্যয়ন করা হয়: পাটিগণিত অগ্রগতির বীজগাণিতিক কাঠামোর তুলনায় টেমপ্লেট:Math এর সম্মিলিত কাঠামো।

প্ল্যুনেক-রুজসা অসমতা

সংযোজক সংমিশ্রণে একটি দরকারী উপপাদ্য হল প্ল্যুনেক-রুজসা অসমতা। এই উপপাদ্যটি টেমপ্লেট:Math টেমপ্লেট:Mvar এর দ্বিগুণ ধ্রুবকের পরিপ্রেক্ষিতে। উদাহরণস্বরূপ প্ল্যুনেক–রুজসা অসমতা ব্যবহার করে, আমরা সীমিত ক্ষেত্রে ফ্রেইম্যানের উপপাদ্যের একটি সংস্করণ প্রমাণ করতে সক্ষম হয়েছি।

মৌলিক ধারণা

সেটে অপারেশন

ধরা যাক টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar একটি আবেলিয়ান গ্রুপের সসীম উপসেট; তারপর সমষ্টি সেট হতে সংজ্ঞায়িত করা হয়

$A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.$

উদাহরণস্বরূপ, আমরা লিখতে পারি টেমপ্লেট:Math । একইভাবে, আমরা টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar এর পার্থক্য সেট সংজ্ঞায়িত করতে পারি

$A-B=\{a-b:a\in A,b\in B\}.$

সেট টেমপ্লেট:Mvar এর টেমপ্লেট:Mvar -fold sumset কে নিজেই দ্বারা চিহ্নিত করা হয়

$kA=\underset{k\text{ terms }}{\underbrace{A+A+\cdots +A}}=\{a_1+\cdots +a_k:a_1\in A,\dots ,a_k\in A\},$

যার সাথে বিভ্রান্ত হওয়া উচিত নয়

$k\cdot A=\{ka:a\in A\}.$

দ্বিগুণ ধ্রুবক

ধরা যাক টেমপ্লেট:Mvar একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠীর একটি উপসেট। দ্বিগুণ ধ্রুবক পরিমাপ কত বড় যোগফল সেট $|A+A|$ এর আসল আকারের সাথে তুলনা করা হয় টেমপ্লেট:Math . আমরা টেমপ্লেট:Mvar এর দ্বিগুণ ধ্রুবককে সংজ্ঞায়িত করি

$K=\frac{|A+A|}{|A|}.$

রুজসা দূরত্ব

ধরা যাক টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar একটি আবেলিয়ান গ্রুপের দুটি উপসেট। আমরা এই দুটি সেটের মধ্যে রুজসা দূরত্বকে পরিমাণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি

$d(A,B)=\log \frac{|A-B|}{\sqrt{|A||B|}}.$

রুজসা ত্রিভুজ অসমতা দাবি করে যে রুজসা দূরত্ব ত্রিভুজ অসমতা মেনে চলে:

$d(B,C)\le d(A,B)+d(A,C).$

যাইহোক, যেহেতু টেমপ্লেট:Math শূন্য হতে পারে না, তাই রুজসা দূরত্ব আসলে একটি মেট্রিক নয়।

তথ্যসূত্র

উদ্ধৃতি

• Tao, T., & Vu, V. (2012). Additive combinatorics. Cambridge: Cambridge University Press.
• Green, B. (2009, January 15). Additive Combinatorics Book Review. Retrieved from https://www.ams.org/journals/bull/2009-46-03/S0273-0979-09-01231-2/S0273-0979-09-01231-2.pdf.