ফেলার-এর মুদ্রা নিক্ষেপ ধ্রুবক

ফেলার-এর মুদ্রা নিক্ষেপ ধ্রুবক এমন কিছু সংখ্যাসূচক ধ্রুবকের একটি সেট যা একটি ন্যায্য মুদ্রার n বার স্বাধীন নিক্ষেপের ক্ষেত্রে এই সম্ভাবনা বর্ণনা করে যে k ধারাবাহিক হেড (অথবা একইভাবে, টেইল) পড়বে না।

উইলিয়াম ফেলার প্রমাণ করেছিলেন যে, যদি এই সম্ভাবনাটি

p ( n, k ) হিসেবে প্রকাশ করা হয়, তাহলে

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }p(n,k){\alpha }_k^{n+1}={\beta }_k$

এখানে α _k হলো নিম্নলিখিত সমীকরণের সবচেয়ে ছোট ধনাত্মক বাস্তবমূল:

$x^{k+1}=2^{k+1}(x-1)$

এবং

${\beta }_k=\frac{2-{\alpha }_k}{k+1-k{\alpha }_k}.$

ধ্রুবকের মান

k	${\alpha }_k$	${\beta }_k$
১	২	২
2	১.২৩৬০৬৭৯৭...	১.৪৪৭২১৩৫৯...
৩	১.০৮৭৩৭৮০২...	১.২৩৬৮৩৯৮৩...
4	১.০৩৭৫৮০১২...	১.১৩২৬৮৫৭৭...

জন্য $k=2$ ধ্রুবকগুলি সোনালী অনুপাত $\phi$ এবং ফিবোনাচ্চি সংখ্যার সাথে সম্পর্কযুক্ত। ধ্রুবকগুলি হল:

$\sqrt{5}-1=2\phi -2=2/\phi$

এবং

$1+1/\sqrt{5}$ .

সুনির্দিষ্ট সম্ভাবনা p (n,2) গণনা করা যায় ফিবোনাচ্চি সংখ্যা ব্যবহার করে:

p (n,2) = $\frac{F_{n+2}}{2^n}$

অথবা, একই ফলাফলে পৌঁছাতে সরাসরি পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক ব্যবহার করে। উচ্চতর $k$-এর ক্ষেত্রে, ধ্রুবকগুলি ফিবোনাচ্চি সংখ্যার সাধারণীকরণের (যেমন, ট্রাইবোনাচ্চি এবং টেট্রানাচ্চি সংখ্যা) সাথে সম্পর্কযুক্ত। এক্ষেত্রে সুনির্দিষ্ট সম্ভাবনা গণনা করা যায়: p (n,k) = $\frac{F_{n+2}^{(k)}}{2^n}$

উদাহরণ

যদি একটি ন্যায্য মুদ্রা ১০ বার ছোঁড়া হয়, তাহলে কোনো দুটি হেডের ধারাবাহিকভাবে না আসার সুনির্দিষ্ট সম্ভাবনা (অর্থাৎ n = 10 এবং k = 2) হবে:

p (10,2) = $\frac{9}{64}$ = 0.140625

আনুমানিক গণনার সূত্র:

$p(n,k)\approx {\beta }_k/{\alpha }_k^{n+1}$ দেয় 1.44721356... × 1.23606797... ^{− 11} = 0.1406263...

বহিঃসংযোগ

• Mathsoft এ স্টিভ ফিঞ্চের ধ্রুবক