অয়লার যোগফল

সংকোচনশীল ধারা এবং অপসারণশীল ধারার গাণিতিক প্রক্রিয়ায় অয়লার যোগফল একটি যোগ করার পদ্ধতি। অর্থাৎ, এটি ধারার মান নির্ধারণের একটি পদ্ধতি, যা আংশিক যোগফলের ক্ষেত্রে সীমা নেওয়ার প্রচলিত পদ্ধতি থেকে আলাদা। একটি সিরিজ Σ a _n দেওয়া হলে, যদি এর অয়লার রূপান্তর একটি যোগফলকে নির্দিষ্ট করে তাহলে সেই যোগফলটিকে মূল ধারার অয়লার যোগফল বলা হয়। অপসারণশীল ধারার মান নির্ধারণের জন্য ব্যবহার হওয়ার পাশাপাশি অয়লার যোগফল সংকোচনশীল ধারার যোগফল দ্রুত নির্ধারণে ব্যবহৃত হয়।

অয়লার যোগফলকে (E, q ) দ্বারা প্রকাশ করা হয় যেখানে q ≥ 0। (E, 1) যোগফল হল সাধারণ অয়লার যোগফল। অয়লার যোগফলের এই সমস্ত পদ্ধতি বোরেল যোগফলের তুলনায় দুর্বল; q > 0 এর জন্য অয়লার যোগফল আবেল যোগফল থেকে ভিন্ন হয়ে থাকে।

সংজ্ঞা

কিছু মান y এর জন্য আমরা অয়লার যোগফলকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি (যদি এটি y এর সেই মানের জন্য সংকোচনশীল হয়) একটি নির্দিষ্ট সাধারণ যোগফলের সাথে মিল রেখে এইভাবে:

${}_{E_y}\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_j:=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{a}_j.$

সমস্ত সাধারণ যোগফল সত্যিই সংকোচনশীল হলে, অয়লার যোগফল বাম দিকের সমান হবে। যাইহোক, অয়লার যোগফলের ব্যবহার সংকোচনকে ত্বরাণ্বিত পারে (এটি বিশেষ করে বিকল্প ধারা তৈরির জন্য উপযোগী); কখনও কখনও এটি অপসারণশীল ধারার যোগফলের বিশেষভাবে দরকারী হয়ে থাকে।

বিনিময়কৃত যোগফলের শুদ্ধি পরীক্ষার জন্য, অয়লারের যোগফল প্রাথমিক ধারায় রূপান্তরিত করে, কারণ

$y^{j+1}\sum _{i=j}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}=1.$

এই পদ্ধতি পুনরাবৃত্তি করে সঠিক করা যাবে না, কারণ

${}_{E_{y_1}}{}_{E_{y_2}}\sum ={}_{E_{\frac{y_1{y}_2}{1+y_1+y_2}}}\sum .$

উদাহরণ

• সাধারণ যোগফলের জন্য y = 1 ব্যবহার করা হলে$$\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^j{P}_k(j)$$ আমরা পাই $$\sum _{i=0}^k\frac{1}{2^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^j{P}_k(j),$$ যদি P _k k ডিগ্রি এর বহুপদী হয়। মনে রাখবেন যে ভিতরের যোগফল টেমপ্লেট:Math এর জন্য শূন্য হবে, তাই এই ক্ষেত্রে অয়লার যোগফল একটি অসীম ধারাকে একটি সসীম ধারার যোগফলে রূপান্তরিত করে।
• বিশেষ ক্ষেত্র:$$P_k(j):=(j+1{)}^k$$ বার্নোলি সংখ্যার একটি সুস্পষ্ট উপস্থাপনা প্রদান করে, যেহেতু $$\frac{B_{k+1}}{k+1}=-\zeta (-k)$$ ( রিম্যান জেটা ফাংশন )। প্রকৃতপক্ষে, এই ক্ষেত্রে সাধারণ যোগফল ভিন্ন হয়ে যায় যেহেতু k ধনাত্মক, কিন্তু অয়লার যোগফলকে জেটা ফাংশনে (অথবা ডিরিচলেট ইটা ফাংশনে ) প্রয়োগ করলে (cf. বিশ্বব্যাপী অভিসারী সিরিজ ) পাওয়া যায়।$$\frac{1}{1-2^{k+1}}\sum _{i=0}^k\frac{1}{2^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})(-1{)}^j(j+1{)}^k$$ যা বন্ধ আকারের ।
• $\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}{z}^j=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(1+y{)}^{i+1}}\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})y^{j+1}{z}^j=\frac{y}{1+y}\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1+yz}{1+y}\right)}^i$

y এর একটি উপযুক্ত মানের সাথে (অর্থাৎ −টেমপ্লেট:ভগ্নাংশ ২ এর সমান বা কাছাকাছি) ধারাটির সমষ্টি হয় টেমপ্লেট:ভগ্নাংশ ২ ।

আরও দেখুন

• দ্বিপদী রূপান্তর
• বোরেল যোগফল
• সেসারো যোগফল
• ল্যাম্বার্ট যোগফল
• পেরনের সূত্র
• আবেলিয়ান এবং টবেরিয়ান উপপাদ্য
• আবেল-প্লানা সূত্র
• আবেলের যোগফল সূত্র
• ভ্যান উইজগার্ডেন রূপান্তর
• অয়লার-বুল যোগফল

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি