ফেলার–টর্নিয়ার ধ্রুবক

গণিতে, ফেলার–টর্নিয়ার ধ্রুবক (C_FT) হলো সেই সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ঘনত্ব যা একটি জোড় সংখ্যক ভিন্ন মৌলিক গুণকের সমন্বয়ে গঠিত, যেখানে প্রতিটি মৌলিক গুণক একাধিকবার ঘাত হিসেবে উপস্থিত থাকে (যে গুণকগুলো শুধুমাত্র প্রথম ঘাতে থাকে, সেগুলো উপেক্ষা করা হয়)।

এই ধ্রুবকটি উইলিয়াম ফেলার (১৯০৬–১৯৭০) এবং এহার্ড টর্নিয়ার (১৮৯৪–১৯৮২)-এর নামে নামকরণ করা হয়েছে।

$\begin{array}{cc}{C}_{\text{FT}}& =\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{2}{p_n^2})\right)\\ & =\frac{1}{2}(1+\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{2}{p_n^2}))\\ & =\frac{1}{2}(1+\frac{1}{\zeta (2)}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p_n^2-1}))\\ & =\frac{1}{2}+\frac{3}{{\pi }^2}\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{p_n^2-1})=0.66131704946\dots \end{array}$

ওমেগা ফাংশন

মৌলিক সংখ্যাতত্ত্ব সংজ্ঞায়িত করা হয় নিম্নরূপ:

$\mathrm{\Omega }(x)=\text{the number of prime factors of }x\text{ counted by multiplicities}$

আইভারসন বন্ধনী হলো:

$[P]=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }P\text{ is true,}\\ 0& \text{if }P\text{ is false.}\end{array}$

এই নোটেশন ব্যবহার করে, ফেলার–টর্নিয়ার ধ্রুবক প্রকাশ করা যায়:

$C_{\text{FT}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sum _{k=1}^n([\mathrm{\Omega }(k)\equiv 0mod2])}{n}$

মৌলিক জিটা ফাংশন

প্রাইম জিটা ফাংশন P নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত:

$P(s)=\sum _{p\text{ is prime}}\frac{1}{p^s}.$

ফেলার–টর্নিয়ার ধ্রুবক এর সাথে সম্পর্কযুক্ত:

$C_{\text{FT}}=\frac{1}{2}(1+\exp (-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{n}P(2n)}{n})).$

আরও দেখুন

• যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা
• অয়লার গুণজ
• জেটা ফাংশন