গুরমাঘটিগ অনুমান

গণিতে, গুরমাঘটিগ অনুমান (En: Goormaghtigh Conjecture) হল সংখ্যা তত্ত্বের একটি অনুমান যা বেলজিয়ান গণিতবিদ রেনে গুরমাঘটিগের নামে নামকরণ করা হয়েছে। অনুমানটি বলে যে, $\frac{x^m-1}{x-1}=\frac{y^n-1}{y-1}$ সূচকীয় ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণটির কেবল মাত্র দুটি পূর্ণসংখ্যা সমাধান রয়েছে, যেখানে $x>y>1$ এবং $n,m>2$ । যথা:

$\frac{5^3-1}{5-1}=\frac{2^5-1}{2-1}=31$

এবং

$\frac{90^3-1}{90-1}=\frac{2^{13}-1}{2-1}=8191.$

রিপিউনিটের প্রয়োগ

গুরমাঘটিগ অনুমানকে আরেকভাবে ব্যাখ্যা করা যায়: ৩১ (বেস ৫-এ "১১১" এবং বেস ২-এ "১১১১১") এবং ৮১৯১ (বেস ৯০-এ "১১১" এবং বেস ২-এ "১১১১১১১১১১১১১") হল একমাত্র দুটি সংখ্যা, যেগুলো দুইটি ভিন্ন বেসে অন্তত ৩ অঙ্কবিশিষ্ট রিপিউনিট (Repunit) হিসেবে বিদ্যমান।

ব্যাখ্যা

রিপিউনিট বলতে বোঝায় এমন সংখ্যা যা কোনো নির্দিষ্ট বেসে কেবলমাত্র ১ দ্বারা গঠিত হয়। যেমন, বেস ১০-এ "১১১" হলো: $111_{10}=1\times 10^2+1\times 10+1$

উদাহরণ

৩১

• বেস ৫:

$111_5=1\times 5^2+1\times 5+1=31_{10}$

• বেস ২:

$11111_2=1\times 2^4+1\times 2^3+1\times 2^2+1\times 2+1=31_{10}$

৮১৯১

• বেস ৯০:

$111_{90}=1\times 90^2+1\times 90+1=8191_{10}$

• বেস ২:

$1111111111111_2=1\times 2^{12}+1\times 2^{11}+\dots +1\times 2^0=8191_{10}$

আংশিক ফলাফল

• ডেভেনপোর্ট, লুইস ও শিনজেল (১৯৬১):

নির্দিষ্ট সূচক $m$ ও $n$-এর জন্য সমীকরণটির সীমিত সংখ্যক সমাধান রয়েছে। তবে তাদের প্রমাণ "সিগেলের সসীমতা তত্ত্ব"-এর উপর নির্ভরশীল, যা কার্যকরভাবে গণনা করা যায় না।

• নেস্টেরেঙ্কো ও শোরি (১৯৯৮):

যদি $m-1=dr$ ও $n-1=ds$ হয় (যেখানে $d\ge 2$), তবে $\max (x,y,m,n)$-এর মান $r$ ও $s$-এর উপর নির্ভর করে একটি গণনাযোগ্য সীমার মধ্যে আবদ্ধ।

• ইউয়ান (২০০৫):

$m=3$ এবং বিজোড় $n$-এর ক্ষেত্রে, পূর্বে আবিষ্কৃত দুটি সমাধান ছাড়া অন্য কোনো সমাধান নেই।

• বালাসুব্রামানিয়ান ও শোরি (১৯৮০):

$x$ ও $y$-এর মৌলিক উৎপাদকগুলো যদি একটি সসীম সেটে থাকে, তবে সমাধানের সংখ্যাও সসীম এবং সেগুলো কার্যকরভাবে গণনা করা যায়।

• হে ও টোগবে (২০০৮):

নির্দিষ্ট $x$ ও $y$-এর জন্য সর্বাধিক একটি সমাধান থাকতে পারে। আর $x$ যদি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা বা ২-এর ঘাত হয়, তবে সর্বাধিক ৩টি সমাধান সম্ভব।

• সমাধানের সংখ্যার সীমা:

$x$ যদি ২-এর ঘাত হয় (যেমন $2^k$), তবে $x=2$ ব্যতীত সর্বাধিক একটি সমাধান থাকতে পারে। প্রকৃতপক্ষে $\max (m,n)<4^x$ এবং $y<2^{2^x}$।

তথ্যসূত্র

• Goormaghtigh, Rene. L’Intermédiaire des Mathématiciens 24 (1917), 88
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি