ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ টেমপ্লেট:Math.

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ (টেমপ্লেট:Lang-en) হল একধরনের অনির্দিষ্ট বহুপদী সমীকরণ যার চলরাশি কেবলমাত্র পূর্ণ সংখ্যা হতে পারে। ডায়োফ্যান্টাইন সমস্যায় সমীকরণের সংখ্যা অজানা চলকের চেয়ে কম থাকে। ডায়োফ্যান্টাইন শব্দটি প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদ ডায়োফ্যান্টাস-এর নাম থেকে এসেছে। ডায়োফ্যান্টাস কর্তৃক সূচিত ডায়োফ্যান্টাইন সমস্যার গাণিতিক পর্যালোচনা এখন ডায়োফ্যান্টাইন বিশ্লেষণ নামে পরিচিত। রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণে, শূন্য অথবা এক মাত্রার দুইটি একপদীর সমষ্টি থাকে।

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের উদাহরণ

ax + by = 1: এটি বিজোড় অভেদ এবং একটি রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ।

xn + yn = zn: n = 2 এর জন্য অগুনতি সমাধান (x,y,z) রয়েছে, যারা পিথাগোরীয় ত্রয়ী নামে পরিচিত। n এর উচ্চতর মানের জন্য, ফের্মার শেষ উপপাদ্য অনুসারে, কোনো ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বিশিষ্ট সমাধান পাওয়া সম্ভব নয়।

x2 - ny2 = 1: পেল সমীকরণ

$\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i{y}^{n-i}=c$, যেখানে, $n\ge 3$ এবং $c=0$: এরা হল থ্যু সমীকরণ এবং সাধারণত সমাধানযোগ্য।

রৈখিক ডায়োফন্টাইন সমীকরণ

$ax+my=b$ ......................(1)

আকারের সমীকরণকে রৈখিক ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ বলে। এখানে a,b,m∈ℕ. এই সমীকরণের পূর্ণ সংখ্যায় সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি

$d|b$ হয়। যেখানে, $d=gcd(a,m)$।

এবং এক্ষেত্রে সকল সমাধানের সাধারণ রূপ মূলত দুই ধরনের হয়ে থাকেঃ

$x=x_0+\frac{m}{d}n$,

$y=y_0-\frac{a}{d}n$

এবং $x_0,y_0$ হল যেকোনো দুটি সংখ্যা যারা সমীকরণ (1) কে সিদ্ধ করে; যেখানে n∈I।

$x=x_0-mt$,

$y=y_0-at$

এবং $x_0,y_0$ হল যেকোনো দুটি সংখ্যা যারা সমীকরণ (1) কে সিদ্ধ করে; যেখানে $t$ যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।

আবার, $x=x_0,ax+m{y}_0=b$ ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণকে সিদ্ধ করে এবং (a,m)=1 হয়, তবে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা

$y_0$ এর জন্য এটি নিচের অনুসমতাকেও সিদ্ধ করে,

$ax\equiv b(\mathrm{mod}m),$, (a,m)=1