অয়লারের সূত্র

অয়লারের সূত্র জটিল বিশ্লেষণের একটি গাণিতিক সূত্র যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং জটিল সূচকীয় ফাংশনগুলির মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক স্থাপন করে। এ সূত্রটির নামকরণ করা হয় বিখ্যাত গণিতবিদ লিওনার্দ অয়লারের নামানুসারে। এ সূত্রানুসারে যে কোন বাস্তব সংখ্যা $x$ এর জন্য,

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

যেখানে $e$ হল প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি, $i$ কাল্পনিক সংখ্যার একক, $cos,sin$ হল ত্রিকোণমিতিক কোসাইন ও সাইন ফাংশন এবং $x$ রেডিয়ানে প্রকাশিত। এই জটিল সূচকীয় ফাংশনটি কখনও কখনও $\cos (x)$ ("cosine plus i sine") দ্বারাও চিহ্নিত করা হয়। $x$ যদি জটিল সংখ্যা হয় তাহলেও সূত্রটি বৈধ এবং তাই কিছু লেখক অয়লারের সূত্র হিসাবে এই সাধারণ জটিল সংস্করণটি বোঝায়।

অয়লারে সূত্রে $x=\pi$ বসিয়ে পাই, $e^{i\pi }+1=0$, যা অয়লারের অভেদ নামে পরিচিত।

অয়লারের সূত্র।

প্রমাণ

অয়লারের সূত্র।

টেইলরের ধারার সাহায্যে

$\begin{array}{cc}{e}^{ix}& =1+ix+\frac{{(ix)}^2}{2!}+\frac{{(ix)}^3}{3!}+\frac{{(ix)}^4}{4!}+\frac{{(ix)}^5}{5!}+\frac{{(ix)}^6}{6!}+\frac{{(ix)}^7}{7!}+\frac{{(ix)}^8}{8!}+\cdots \\ & =1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{{ix}^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{{ix}^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}-\frac{{ix}^7}{7!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots \\ & =(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots )+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots )\\ & =\cos x+i\sin x\\ \end{array}$

ক্যালকুলাসের সাহায্যে

প্রমাণ ১ঃ

ধরা যাক,

$f(x)=e^{-ix}(\cos x+i\sin x)$

$f(x)$ কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে, $f^{\prime }(x)=e^{-ix}(-\sin x+i\cos x)-i{e}^{-ix}(\cos x+i\sin x)=0$

যেহেতু ফাংশন $f$ এর অন্তরীকরণ শূন্য সেহেতু এটি একটি ধ্রুব ফাংশন। অর্থাৎ, $f(x)=e^{-x}(\cos x+i\sin x)=c$, যেখানে $c$ একটি ধ্রুবক।

$x=0$ বসিয়ে, $f(0)=1=c$

সুতরাং, $f(x)=e^{-x}(\cos x+i\sin x)=1$

অর্থাৎ $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ (প্রমাণিত)

প্রমাণ ২ঃ

ধরা যাক,

$\begin{array}{cc}z& =\cos x+i\sin x\\ \therefore dz& =(-\sin x+i\cos x)dx\\ dz& =(i^2\sin x+i\cos x)dx\\ dz& =i(\cos x+i\sin x)dx\\ dz& =izdx\\ \frac{dz}{z}& =idx\\ \int \frac{dz}{z}& =i\int dx\\ \ln z& =ix+c\\ \end{array}$

যেখানে $c$ সমাকলন ধ্রুবক। প্রথম লাইনের সমীকরণে $x=0$ বসালে $z=1$ হয়। শেষ সমীকরণে $x=0$ এবং $z=1$ বসিয়ে $c=0$ পাওয়া যায়।

সুতরাং,

$\ln z=ix$

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$ (প্রমাণিত)