অ্যাগনিউয়ের উপপাদ্য

অ্যাগনিউয়ের উপপাদ্য হলো মার্কিন গণিতবিদ রাল্ফ পামার অ্যাগনিউ প্রস্তাবিত একটি উপপাদ্য। এটি অসীম ধারার পদগুলির পুনর্বিন্যাসকে বৈশিষ্ট্যযুক্ত করে যা সমস্ত ধারার জন্য সন্নিবেশ সংরক্ষণ করে।

বিবৃতি

চলুন দেখি একটি বিন্যাস $p:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ একটি অ্যাগনিউ বিন্যাসটেমপ্লেট:ইএফএন যদি $K\in \mathbb{N}$ হয় যেমন 1 দিয়ে শুরু এমন যেকোনো ব্যবধি টেমপ্লেট:Math দ্বারা সর্বাধিক টেমপ্লেট:Math ব্যবধির একটি সংযোগ চিহ্নিত করা হয়, অর্থাৎ, $\mathrm{\exists }K\in \mathbb{N}:\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}{\mathrm{\#}}_{[]}(p([1,n]))\le K$, যেখানে ${\mathrm{\#}}_{[]}$ ব্যবধানের সংখ্যা গণনা করে।

অ্যাগনিউয়ের উপপাদ্য.  $p$ একটি অ্যাগনিউ বিন্যাস $⟺$ বাস্তব বা জটিল পদের সমস্ত সন্নিবেশ ধারার জন্য ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$, ধারাটি ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{p(i)}$ একই সমষ্টিতে সন্নিবেশিত হয়।

অনুসিদ্ধান্ত ১.  $p^{-1}$ ($p$ এর বিপরীত রাশি) একটি অ্যাগনিউ বিন্যাস $⟹$ বাস্তব বা জটিল পদের সমস্ত সন্নিবেশ নয় এমন ধারার জন্য ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$, ধারাটি ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{p(i)}$ সন্নিবেশিত হবে না।টেমপ্লেট:ইএফএন

অনুসিদ্ধান্ত ২.  $p$ ও $p^{-1}$ হলো অ্যাগনিউ বিন্যাস $⟹$ বাস্তব বা জটিল পদের সকল ধারার জন্য ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$, ধারাটির সন্নিবেশিত হওয়ার ধরন ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{p(i)}$ একই।টেমপ্লেট:ইএফএন

ব্যবহার

অ্যাগনিউয়ের উপপাদ্য দরকার তখন হয় যখন এর সন্নিবেশ ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ ইতিমধ্যেই প্রতিষ্ঠিত হয়েছে: যেকোন অ্যাগনিউ বিন্যাস একই যোগফলের সাথে অভিন্নতা রক্ষা করার সময় এর পদগুলিকে পুনর্বিন্যাস করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

অনুসিদ্ধান্ত ২ উপযোগী হয় যখন সন্নিবেশ ধরন ${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i$ অজানা: সন্নিবেশ ধরন${\sum }_{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{p(i)}$ মূল ধারার মতোই।

উদাহরণ

বিন্যাসের একটি গুরুত্বপূর্ণ শ্রেণী হল অসীমতক অনুচ্ছেদ বিন্যাস$p=\cdots \circ p_k\circ \cdots \circ p_1$ যার মধ্যে প্রতিটি উপাদানের বিন্যাস $p_k$ শুধুমাত্র তার সংশ্লিষ্ট ব্যবধি $[g_k+1,g_{k+1}]$ ( $g_1=0$ সহ ) তে কাজ করে। $p([1,n])=[1,g_k]\cup p_k([g_k+1,n])$ জন্য $g_k+1\le n<g_{k+1}$, যেখানে শুধুমাত্র $p_k$ এর প্রকৃতি বিবেচিত হবে, যদি $n$ বৃদ্ধি পায়।

পরপর পদের সীমাবদ্ধ শ্রেণী

যখন ক্রমাগত পদের সমস্ত শ্রেণীর আকার একটি ধ্রুবকে উপনীত হয়, অর্থাৎ $g_{k+1}-g_k\le L$, $p$ এবং এর বিপরীত রাশি অ্যাগনিউ বিন্যাস ( $K=\lfloor \frac{L}{2}\rfloor$ সহ ), অর্থাৎ সংরক্ষিত সন্নিবেশ ধরন সহ গ্রুপগুলির মধ্যে নির্বিচারে পুনর্বিন্যাস প্রয়োগ করা যেতে পারে।

পরপর পদের সীমাহীন শ্রেণী

যখন পরপর পদের শ্রেণীর আকার সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়, তখন $p_k$ এর প্রকৃতির দিকে নজর দিতে হবে।

প্রতিচ্ছবি বিন্যাস এবং চক্রাকার পরিবর্তন বিন্যাস, সেইসাথে তাদের বিপরীত, প্রধান ব্যবধানে সর্বাধিক 1 ব্যবধান যোগ করে $[1,g_k]$, তাই $p$ এবং এর বিপরীত হল অ্যাগনিউ বিন্যাস ($K=2$ সহ ), অর্থাৎ, প্রতিচ্ছবি এবং চক্রাকার পরিবর্তন সংরক্ষিত সন্নিবেশ ধরন সহ শ্রেণী গুলোর মধ্যে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

টেমপ্লেট:Math এর সাথে একটি ব্লক পুনর্ক্রমানুবর্তন > 1টি ব্লক টেমপ্লেট:ইএফএন এবং এর বিপরীত সর্বাধিক যোগ করুন $\lceil \frac{B}{2}\rceil$ ব্যবধি (যখন $g_{k+1}-g_k$ বড়) প্রধান ব্যবধানে $[1,g_k]$, তাই $p$ এবং এর বিপরীত হল অ্যাগনিউ বিন্যাস, অর্থাৎ, সংরক্ষিত সন্নিবেশ ধরনসহ শ্রেণীগুলোর মধ্যে ব্লক পুনঃক্রম প্রয়োগ করা যেতে পারে।

• 
  একটি $p_k$ বিন্যাস যা $[g_k+1,g_{k+1}]$ ব্যবধির উপাদানের প্রতিচ্ছবি
• 
  একটি $p_k$ বিন্যাসের চক্রাকারে ডানে $[g_k+1,g_{k+1}]$ ব্যবধির ২টা অবস্থানের দ্বারা পরিবর্তন
• 
  একটি $p_k$ বিন্যাসের তিন ব্লক হিসেবে $[g_k+1,g_{k+1}]$ ব্যবধির উপাদানের পুনর্বিন্যাস