অ্যাপেল ধারা

গণিতে অ্যাপেল ধারা হল চারটি হাইপারজ্যামিতিক সিরিজ F ₁, F ₂, F ₃, F ₄ দুটি চলকের একটি সেট যা টেমপ্লেট:Harvard citations দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল এবং এটি একটি চলকের গাউসের হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ ₂ F ₁ কে সাধারণীকরণ করে। অ্যাপেল আংশিক ব্যবকলনীয় সমীকরণের সেট প্রতিষ্ঠা করেছে যার এই অপেক্ষকগুলি সমাধান, এবং একটি পরিবর্তনশীলের হাইপারজ্যামিতিক ধারার পরিপ্রেক্ষিতে এই ধারাগুলির বিভিন্ন হ্রাস সূত্র এবং অভিব্যক্তি খুঁজে পেয়েছে।

সংজ্ঞা

অ্যাপেল সিরিজ F ₁ এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে | x | < 1, | y | ডাবল সিরিজ দ্বারা < 1

$F_1(a,b_1,b_2;c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{m+n}(b_1{)}_m(b_2{)}_n}{(c{)}_{m+n}m!n!}{x}^m{y}^n,$

যেখানে $(q{)}_n$ পোচহ্যামার প্রতীক। x এবং y এর অন্যান্য মানের জন্য F ₁ ফাংশন বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। দেখানো যেতে পারে যে

$F_1(a,b_1,b_2;c;x,y)=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_r(b_1{)}_r(b_2{)}_r(c-a{)}_r}{(c+r-1{)}_r(c{)}_{2r}r!}{x}^r{y}^r{}_2{F}_1(a+r,b_1+r;c+2r;x){}_2{F}_1(a+r,b_2+r;c+2r;y).$

একইভাবে, ফাংশন F ₂ এর জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে | x | + | y | < 1 সিরিজ দ্বারা

$F_2(a,b_1,b_2;c_1,c_2;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{m+n}(b_1{)}_m(b_2{)}_n}{(c_1{)}_m(c_2{)}_{n}m!n!}{x}^m{y}^n$

এবং এটি দেখানো যেতে পারে

$F_2(a,b_1,b_2;c_1,c_2;x,y)=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_r(b_1{)}_r(b_2{)}_r}{(c_1{)}_r(c_2{)}_{r}r!}{x}^r{y}^r{}_2{F}_1(a+r,b_1+r;c_1+r;x){}_2{F}_1(a+r,b_2+r;c_2+r;y).$

এছাড়াও | এর জন্য F ₃ ফাংশন x | < 1, | y | < 1 সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

$F_3(a_1,a_2,b_1,b_2;c;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a_1{)}_m(a_2{)}_n(b_1{)}_m(b_2{)}_n}{(c{)}_{m+n}m!n!}{x}^m{y}^n,$

এবং ফাংশন F ₄ এর জন্য | x |^{টেমপ্লেট:ভগ্নাংশ} + | y |^{টেমপ্লেট:ভগ্নাংশ}সিরিজ দ্বারা < 1

$F_4(a,b;c_1,c_2;x,y)=\sum _{m,n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_{m+n}(b{)}_{m+n}}{(c_1{)}_m(c_2{)}_{n}m!n!}{x}^m{y}^n.$

পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক

গাউস হাইপারজিওমেট্রিক সিরিজ ₂ F _{1 এর} মতো, অ্যাপেল ডাবল সিরিজটি সংলগ্ন ফাংশনগুলির মধ্যে পুনরাবৃত্তি সম্পর্ককে অন্তর্ভুক্ত করে। উদাহরণস্বরূপ, অ্যাপেলের F _1- এর জন্য এই ধরনের সম্পর্কের একটি মৌলিক সেট দেওয়া হয়েছে:

$(a-b_1-b_2)F_1(a,b_1,b_2,c;x,y)-a{F}_1(a+1,b_1,b_2,c;x,y)+b_1{F}_1(a,b_1+1,b_2,c;x,y)+b_2{F}_1(a,b_1,b_2+1,c;x,y)=0,$

$c{F}_1(a,b_1,b_2,c;x,y)-(c-a)F_1(a,b_1,b_2,c+1;x,y)-a{F}_1(a+1,b_1,b_2,c+1;x,y)=0,$

$c{F}_1(a,b_1,b_2,c;x,y)+c(x-1)F_1(a,b_1+1,b_2,c;x,y)-(c-a)x{F}_1(a,b_1+1,b_2,c+1;x,y)=0,$

$c{F}_1(a,b_1,b_2,c;x,y)+c(y-1)F_1(a,b_1,b_2+1,c;x,y)-(c-a)y{F}_1(a,b_1,b_2+1,c+1;x,y)=0.$

F _{1 এর} জন্য বৈধ অন্য কোন সম্পর্ক এই চারটি থেকে উদ্ভূত হতে পারে।

একইভাবে, অ্যাপেলের F _{3 এর} জন্য সমস্ত পুনরাবৃত্তি সম্পর্ক এই পাঁচটি সেট থেকে অনুসরণ করে:

$c{F}_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c;x,y)+(a_1+a_2-c)F_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c+1;x,y)-a_1{F}_3(a_1+1,a_2,b_1,b_2,c+1;x,y)-a_2{F}_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2,c+1;x,y)=0,$

$c{F}_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c;x,y)-c{F}_3(a_1+1,a_2,b_1,b_2,c;x,y)+b_{1}x{F}_3(a_1+1,a_2,b_1+1,b_2,c+1;x,y)=0,$

$c{F}_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c;x,y)-c{F}_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2,c;x,y)+b_{2}y{F}_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2+1,c+1;x,y)=0,$

$c{F}_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c;x,y)-c{F}_3(a_1,a_2,b_1+1,b_2,c;x,y)+a_{1}x{F}_3(a_1+1,a_2,b_1+1,b_2,c+1;x,y)=0,$

$c{F}_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c;x,y)-c{F}_3(a_1,a_2,b_1,b_2+1,c;x,y)+a_{2}y{F}_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2+1,c+1;x,y)=0.$

অন্তরজ এবং ব্যবকলনীয় সমীকরণ

অ্যাপেলের F ₁ এর জন্য, নিম্নলিখিত অন্তরজগুলি একটি দ্বিগুণ ধারা দ্বারা সংজ্ঞা থেকে পাওয়া যায়:

$\frac{{\partial }^n}{\partial x^n}{F}_1(a,b_1,b_2,c;x,y)=\frac{{\left(a\right)}_n{\left(b_1\right)}_n}{{\left(c\right)}_n}{F}_1(a+n,b_1+n,b_2,c+n;x,y)$

$\frac{{\partial }^n}{\partial y^n}{F}_1(a,b_1,b_2,c;x,y)=\frac{{\left(a\right)}_n{\left(b_2\right)}_n}{{\left(c\right)}_n}{F}_1(a+n,b_1,b_2+n,c+n;x,y)$

এর সংজ্ঞা থেকে, অ্যাপেলের F ₁ দ্বিতীয়-ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের নিম্নলিখিত সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করতে আরও পাওয়া যায়:

$x(1-x)\frac{{\partial }^2{F}_1(x,y)}{\partial x^2}+y(1-x)\frac{{\partial }^2{F}_1(x,y)}{\partial x\partial y}+[c-(a+b_1+1)x]\frac{\partial F_1(x,y)}{\partial x}-b_{1}y\frac{\partial F_1(x,y)}{\partial y}-a{b}_1{F}_1(x,y)=0$

$y(1-y)\frac{{\partial }^2{F}_1(x,y)}{\partial y^2}+x(1-y)\frac{{\partial }^2{F}_1(x,y)}{\partial x\partial y}+[c-(a+b_2+1)y]\frac{\partial F_1(x,y)}{\partial y}-b_{2}x\frac{\partial F_1(x,y)}{\partial x}-a{b}_2{F}_1(x,y)=0$

F ₂ এর জন্য একটি সিস্টেম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

$x(1-x)\frac{{\partial }^2{F}_2(x,y)}{\partial x^2}-xy\frac{{\partial }^2{F}_2(x,y)}{\partial x\partial y}+[c_1-(a+b_1+1)x]\frac{\partial F_2(x,y)}{\partial x}-b_{1}y\frac{\partial F_2(x,y)}{\partial y}-a{b}_1{F}_2(x,y)=0$

$y(1-y)\frac{{\partial }^2{F}_2(x,y)}{\partial y^2}-xy\frac{{\partial }^2{F}_2(x,y)}{\partial x\partial y}+[c_2-(a+b_2+1)y]\frac{\partial F_2(x,y)}{\partial y}-b_{2}x\frac{\partial F_2(x,y)}{\partial x}-a{b}_2{F}_2(x,y)=0$

সিস্টেমের সমাধান আছে

$F_2(x,y)=C_1{F}_2(a,b_1,b_2,c_1,c_2;x,y)+C_2{x}^{1-c_1}{F}_2(a-c_1+1,b_1-c_1+1,b_2,2-c_1,c_2;x,y)+C_3{y}^{1-c_2}{F}_2(a-c_2+1,b_1,b_2-c_2+1,c_1,2-c_2;x,y)+C_4{x}^{1-c_1}{y}^{1-c_2}{F}_2(a-c_1-c_2+2,b_1-c_1+1,b_2-c_2+1,2-c_1,2-c_2;x,y)$

একইভাবে, F _{3 এর} জন্য নিম্নলিখিত ডেরিভেটিভগুলি সংজ্ঞা থেকে পাওয়া যায়:

$\frac{\partial }{\partial x}{F}_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c;x,y)=\frac{a_1{b}_1}{c}{F}_3(a_1+1,a_2,b_1+1,b_2,c+1;x,y)$

$\frac{\partial }{\partial y}{F}_3(a_1,a_2,b_1,b_2,c;x,y)=\frac{a_2{b}_2}{c}{F}_3(a_1,a_2+1,b_1,b_2+1,c+1;x,y)$

এবং F ₃ এর জন্য নিম্নলিখিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সিস্টেম পাওয়া যায়:

$x(1-x)\frac{{\partial }^2{F}_3(x,y)}{\partial x^2}+y\frac{{\partial }^2{F}_3(x,y)}{\partial x\partial y}+[c-(a_1+b_1+1)x]\frac{\partial F_3(x,y)}{\partial x}-a_1{b}_1{F}_3(x,y)=0$

$y(1-y)\frac{{\partial }^2{F}_3(x,y)}{\partial y^2}+x\frac{{\partial }^2{F}_3(x,y)}{\partial x\partial y}+[c-(a_2+b_2+1)y]\frac{\partial F_3(x,y)}{\partial y}-a_2{b}_2{F}_3(x,y)=0$

F ₄ এর জন্য একটি সিস্টেম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ

$x(1-x)\frac{{\partial }^2{F}_4(x,y)}{\partial x^2}-y^2\frac{{\partial }^2{F}_4(x,y)}{\partial y^2}-2xy\frac{{\partial }^2{F}_4(x,y)}{\partial x\partial y}+[c_1-(a+b+1)x]\frac{\partial F_4(x,y)}{\partial x}-(a+b+1)y\frac{\partial F_4(x,y)}{\partial y}-ab{F}_4(x,y)=0$

$y(1-y)\frac{{\partial }^2{F}_4(x,y)}{\partial y^2}-x^2\frac{{\partial }^2{F}_4(x,y)}{\partial x^2}-2xy\frac{{\partial }^2{F}_4(x,y)}{\partial x\partial y}+[c_2-(a+b+1)y]\frac{\partial F_4(x,y)}{\partial y}-(a+b+1)x\frac{\partial F_4(x,y)}{\partial x}-ab{F}_4(x,y)=0$

সিস্টেমের সমাধান আছে

$F_4(x,y)=C_1{F}_4(a,b,c_1,c_2;x,y)+C_2{x}^{1-c_1}{F}_4(a-c_1+1,b-c_1+1,2-c_1,c_2;x,y)+C_3{y}^{1-c_2}{F}_4(a-c_2+1,b-c_2+1,c_1,2-c_2;x,y)+C_4{x}^{1-c_1}{y}^{1-c_2}{F}_4(2+a-c_1-c_2,2+b-c_1-c_2,2-c_1,2-c_2;x,y)$

অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা

অ্যাপেলের ডাবল সিরিজ দ্বারা সংজ্ঞায়িত চারটি ফাংশন শুধুমাত্র প্রাথমিক ফাংশন জড়িত ডবল ইন্টিগ্রেলের পরিপ্রেক্ষিতে উপস্থাপন করা যেতে পারে টেমপ্লেট:হার্ভার্ড উদ্ধৃতি। যাইহোক, টেমপ্লেট:Harvard citations আবিষ্কার করেছেন যে অ্যাপেলের F ₁ একটি এক-মাত্রিক অয়লার -টাইপ ইন্টিগ্রাল হিসাবেও লেখা যেতে পারে:

$F_1(a,b_1,b_2,c;x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(c-a)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{c-a-1}(1-xt{)}^{-b_1}(1-yt{)}^{-b_2}\mathrm{d}t,\mathrm{\Re }c>\mathrm{\Re }a>0.$

এই উপস্থাপনাটি ইন্টিগ্র্যান্ডের টেলর সম্প্রসারণের মাধ্যমে যাচাই করা যেতে পারে, তারপরে টার্মওয়াইজ ইন্টিগ্রেশন।

বিশেষ ক্ষেত্রে

পিকার্ডের অবিচ্ছেদ্য উপস্থাপনা বোঝায় যে অসম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড F এবং E পাশাপাশি সম্পূর্ণ উপবৃত্তাকার অখণ্ড Π অ্যাপেলের F ₁ এর বিশেষ ক্ষেত্রে :

$F(\varphi ,k)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}=\sin (\varphi )F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2};{\sin }^2\varphi ,k^2{\sin }^2\varphi ),|\mathrm{\Re }\varphi |<\frac{\pi }{2},$

$E(\varphi ,k)=\underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d}\theta =\sin (\varphi )F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{3}{2};{\sin }^2\varphi ,k^2{\sin }^2\varphi ),|\mathrm{\Re }\varphi |<\frac{\pi }{2},$

$\mathrm{\Pi }(n,k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1-n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}=\frac{\pi }{2}{F}_1(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},1;n,k^2).$

সম্পর্কিত ধারা

• দুটি চলকের সাতটি সম্পর্কিত সিরিজ রয়েছে, Φ ₁, Φ ₂, Φ ₃, Ψ ₁, Ψ ₂, Ξ ₁, এবং Ξ ₂, যা কুমারের সঙ্গম হাইপারজ্যাম্যাট্রিক ফাংশন ₁ F ₁ একটি চলকের এবং সঙ্গম হাইপারজ্যামেট্রিক সীমা ₀ কে সাধারণীকরণ করে একই পদ্ধতিতে একটি চলকের F ₁ । এর মধ্যে প্রথমটি [[#টেমপ্লেট:Harvid|১৯২০]] সালে পিয়েরে হামবার্ট প্রবর্তন করেছিলেন।
• টেমপ্লেট:Harvard citations অ্যাপেল সিরিজের অনুরূপ চারটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করেছে, তবে শুধুমাত্র দুটি চলক x এবং y এর পরিবর্তে অনেকগুলি চলকের উপর নির্ভর করে। এই সিরিজগুলিও অ্যাপেল দ্বারা অধ্যয়ন করা হয়েছিল। তারা নির্দিষ্ট আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলিকে সন্তুষ্ট করে এবং অয়লার-টাইপ ইন্টিগ্রেল এবং কনট্যুর ইন্টিগ্রেলের ক্ষেত্রেও দেওয়া যেতে পারে।

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি (see also "Sur la série F₃(α,α',β,β',γ; x,y)" in C. R. Acad. Sci. 90, pp. 977–980)
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি (see p. 14)
• টেমপ্লেট:Dlmf
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি (see p. 224)
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি (see also C. R. Acad. Sci. 90 (1880), pp. 1119–1121 and 1267–1269)
• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি (there is a 2008 paperback with টেমপ্লেট:ISBN)

বহিঃসংযোগ

• টেমপ্লেট:Mathworld
• টেমপ্লেট:Mathworld