ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

সহজ ভাষায়, ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্যটি অন্তরকলন/অন্তরীকরণ এবং যোগজীকরণ/সমাকলনের প্রক্রিয়া দুটি বিপরীত এই (প্রমাণিত) দাবি। এটি এমনই এক উপপাদ্য যা কোন ফাংশনের অন্তরীকরণের ধারণা ও সমাকলনের ধারণার মধ্যে যোগসূত্র স্থাপন করে।

উপপাদ্যটির প্রথম অংশকে কখনো কখনো ক্যালকুলাসের প্রথম মৌলিক উপপাদ্য বলা হয়।

উপপাদ্য

কোন ফাংশন $f$ এর ডিফারেন্সিয়েশন যদি আরেকটি ফাংশন $f^{\prime }$ হয়, তবে,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{\prime }(u)du=f(a)-f(b)$

আবার, কোন ফাংশন $f$ এর জন্য

$\frac{d}{dx}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(u)du=f(x)$

উদাহরণ

ধরা যাক, নিচের রাশিটির গণনা করতে হবে:

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^{2}dx.$

এখানে, $f(x)=x^2$ এবং আমরা $F(x)=\frac{x^3}{3}$ কে অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ বা প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং:

$\underset{2}{\overset{5}{\int }}{x}^{2}dx=F(5)-F(2)=\frac{5^3}{3}-\frac{2^3}{3}=\frac{125}{3}-\frac{8}{3}=\frac{117}{3}=39.$

অথবা, আরও সাধারণভাবে, ধরা যাক,

$\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt$

কে গণনা করতে হবে। এখানে, $f(t)=t^3$ and $F(t)=\frac{t^4}{4}$ কে প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করা যায়। সুতরাং:

$\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt=\frac{d}{dx}F(x)-\frac{d}{dx}F(0)=\frac{d}{dx}\frac{x^4}{4}=x^3.$

অথবা, সমতুল্যভাবে,

$\frac{d}{dx}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{t}^{3}dt=f(x)\frac{dx}{dx}-f(0)\frac{d0}{dx}=x^3.$

তত্ত্বীয় উদাহরণ হিসেবে, আমরা উপপাদ্যটি প্রয়োগ করে প্রমাণ করতে পারি,

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx.$

যেখানে,

$\begin{array}{cc}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& =F(b)-F(a),\\ \underset{a}{\overset{c}{\int }}f(x)dx& =F(c)-F(a),\text{ and }\\ \underset{c}{\overset{b}{\int }}f(x)dx& =F(b)-F(c),\end{array}$

ফলাফল নির্ভর করবে

$F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).$ এর উপর।

বহুচলকবিশিষ্ট ফাংশনের জন্য

বহুচলকের জন্যও উপপাদ্যটি প্রযোজ্য, তবে এক্ষেত্রে উপপাদ্যটির অনেকগুলো রূপ রয়েছে।

গাউসের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো $\text{div}$, আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো আয়তন ইন্টিগ্রেশন।

$\underset{R}{\int }\text{div}𝐯dV=\underset{R}{\int }\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯dV=\underset{\partial R}{\int }𝐯\cdot d𝐀$

স্টোক্‌সের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি হলো $\text{curl}$, আর প্রযোজ্য ইন্টিগ্রেশন হলো ক্ষেত্র ইন্টিগ্রেশন।

$\underset{R}{\int }\text{curl}𝐯\cdot dA=\underset{R}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐯\cdot dA=\underset{\partial R}{\int }𝐯\cdot d𝐥$

ডিফারেন্সিয়াল ফর্মের সূত্র

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি এক্সটিরিওর ডেরিভেটিভ

$\underset{R}{\int }d\omega =\underset{\partial R}{\int }\omega$

গাউসের সূত্রটি আসলে এই সূত্রটিই, দ্বিতীয় মাত্রার ফর্মের ক্ষেত্রে, আর স্টোক্‌সের সূত্রটি প্রথম মাত্রার, তবে ভেক্টর ক্যালকুলাসের ভাষায়।

তথ্যসূত্র

• টেমপ্লেট:Citation.
• টেমপ্লেট:Citation.
• টেমপ্লেট:Citation.
• টেমপ্লেট:Citation