ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স

ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স

একটি ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্স বা ক্রমবর্তী n-সিমপ্লেক্স এর ধারণা বোঝা যায় যদি আমরা ত্রিমাত্রিক ${ℝ}^3$ ইউক্লিডিয়ান জগতে এর উদারণ দেখি। ত্রিমাত্রিক জগতে n এর মান 0, 1, 2 বা 3 হতে পারে। এখানে একটা ক্রমবর্তী 0-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা বিন্দু P. ক্রমবর্তী 1-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা দিগবর্তী বা সদিক রেখাংশ $P_1{P}_2$ . অর্থাৎ $P_1$ এর সাথে $P_2$ এর সংযোগ কারে রেখা যেটাকে $P_1$ থেকে $P_2$ এর দিকে বিবেচনা করা হবে। দিগবর্তী হবার কারণে $P_1{P}_2=P_2{P}_1$. যদিও ধরা হবে $P_1{P}_2=-P_2{P}_1$ একটা ক্রমবর্তী 2-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটি ত্রিকোনাকার ক্ষেত্র $P_1{P}_2{P}_3$ যেখানে এই ত্রিভুজের শীর্ষগুলো একটা নির্দিষ্ট ক্রমে অনুসরণ(ট্রাভারস) করা হয়। একারণে $P_1{P}_2{P}_3$এবং $P_2{P}_3{P}_1$ বা $P_3{P}_1{P}_2$ এর ক্রম একই ধরা হয়। এবং $P_3{P}_2{P}_1$ বা $P_1{P}_3{P}_2$ এদেরকে ধরা হয় বিপরীত ক্রমে। অর্থাৎ, আমরা লিখতে পারি,

$P_1{P}_2{P}_3=P_2{P}_3{P}_1=P_3{P}_1{P}_2=-P_3{P}_2{P}_1=-P_1{P}_3{P}_2=-P_2{P}_1{P}_3$

খেয়াল করুন যে, $P_i{P}_j{P}_k$ এবং $P_1{P}_2{P}_3$ সমান হবে যদি

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ i& j& k\end{array}\right)$

একটি জোড় বিন্যাস বা ইভেন পারমুটেশন হয়। এবং $-P_1{P}_3{P}_2$ এর সমান হবে যদি বেজোড় বিন্যাস বা অড পারমুটেশন হয়। এই একই যুক্তিতে একটা ক্রমবর্তী 1-সিমপ্লেক্স $P_1{P}_2$ এর চিহ্ন (ধনাত্বক/ঋনাত্বক) বের করা সম্ভব। লক্ষ্যণীয় যে n = 0, 1, 2... এর জন্য একটা ক্রমবর্তী n-সিমপ্লেক্স হচ্ছে একটা n-মাত্রিক বস্তু (বা n - ডাইমেনশনাল অবজেক্ট)

এখান থেকে আমরা ক্রমবর্তী 3-সিমপ্লেক্সের ধারণা পেতে পারি। একটি ক্রমবর্তী 3-সিমপ্লেক্স হচ্ছে চারটি ভার্টেক্সের একটা অরডার্ড সিকুয়েন্স বা (ক্রমাত্বক ধারা) $P_1{P}_2{P}_3{P}_4$ যারা একটা টেট্রাহেড্রন এর চারটি শীর্ষ যেখানে $P_1{P}_2{P}_3{P}_4=\pm P_i{P}_j{P}_k{P}_l$। এখানে চিহ্ন নির্ধারণ হয়,

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ i& j& k& l\end{array}\right)$

বিন্যাসটি জোড় না বেজোড় তার উপর ভিত্তি করে।

একই পদ্ধতিতে ক্রমবর্তী সিমপ্লেক্সের ধারণা $n>3$ মাত্রায় উন্নিত হয়। যেখানে ভার্টেক্স গুলো n-মাত্রিক জগতে একেকটি বিন্দু নির্দেশ করে। এবং তাদের ক্রমের দিক চিহ্ন পূর্বে বর্ণিত বিন্যাস মেট্রিক্স পদ্ধতিতে নির্ধারিত হয়।