টানেলের উপপাদ্য

টানেলের উপপাদ্য সংখ্যা তত্ত্বের আলোচনাধীন একটি বিষয় যা কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যার সমস্যার একটি আংশিক সমাধান এবং বার্চ ও সুইনার্টন-ডায়ারের অনুমানের অধীনে এর একটি পূর্ণাঙ্গ সমাধান দেয়।

কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যার সমস্যা

টেমপ্লেট:মূল নিবন্ধ কোন ধনাত্মক পূর্ণ সংখ্যা তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্যই মূলদ সংখ্যা এমন কোন সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কিনা তা নির্ণয় করার ব্যাপারটিই কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যার সমস্যা নামে পরিচিত। টানেলের উপপাদ্য অতি সরল কয়েকটি ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণের পূর্ণাঙ্গ সমাধানের সংখ্যার সাথে এই সমস্যাটির সম্পর্ক স্থাপন করে।

উপপাদ্য

বর্গ নয় বা বর্গ মুক্ত এমন একটি পূর্ণ সংখ্যা n এর ক্ষেত্রে একে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা যাক

\begin{matrix} A_{n} & = # {(x, y, z) \in ℤ^{3} ∣ n = 2 x^{2} + y^{2} + 32 z^{2}}, \\ B_{n} & = # {(x, y, z) \in ℤ^{3} ∣ n = 2 x^{2} + y^{2} + 8 z^{2}}, \\ C_{n} & = # {(x, y, z) \in ℤ^{3} ∣ n = 8 x^{2} + 2 y^{2} + 64 z^{2}}, \\ D_{n} & = # {(x, y, z) \in ℤ^{3} ∣ n = 8 x^{2} + 2 y^{2} + 16 z^{2}} . \end{matrix}

n কে একটি কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যা বিবেচনা করা হলে টানেলের উপপাদ্যটি বলে যে, যদি n বিজোড় হয় তবে 2A_n = B_n এবং যদি n জোড় সংখ্যা হয় তবে 2C_n = D_n। এর বিপরীতে, $y^{2} = x^{3} - n^{2} x$ আকারের উপবৃত্তাকার বক্ররেখাসমূহের জন্য যদি বার্চ ও সুইনার্টন-ডায়ারের অনুমান সত্য হয় তাহলে n যে একটি কংগ্রুয়েন্ট সংখ্যা সেই উপসংহারে আসার জন্য এই সমতাগুলো যথেষ্ট।

ইতিহাস

এই উপপাদ্যটির নাম মার্কিন সংখ্যা তত্ত্ববিদ জেরোল্ড বেটস টানেলের নামানুসারে নামকরণ করা হয়েছে। জেরোল্ড টানেল ১৯৮৩ সালে এটি প্রমাণ করেন।

গুরুত্ব

টানেলের উপপাদ্যের গুরুত্ব এই যে, এই উপপাদ্যটি যে লক্ষণ বা ক্রাইটেরিয়া প্রদান করে তা একটি নির্দিষ্ট গণনার মাধ্যমে পরীক্ষণযোগ্য। উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা n এর জন্য A_n,B_n,C_n,D_n সংখ্যাগুলোকে $- \sqrt{n}, \dots, \sqrt{n}$ পাল্লার মধ্যে x,y,z এর সাহায্যে বিস্তারিতভাবে অনুসন্ধানের মাধ্যমে গণনা করা যেতে পারে।

তথ্যসূত্র

টেমপ্লেট:সূত্র তালিকা