ধীর পরিবর্তনশীল ফাংশন

বাস্তব বিশ্লেষণে, গণিতের একটি শাখা, একটি ধীরে ধীরে পরিবর্তিত ফাংশন হল একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের একটি ফাংশন যার অসীমতার আচরণ কিছু অর্থে অসীমে রূপান্তরিত একটি ফাংশনের আচরণের মতো। একইভাবে, একটি নিয়মিত পরিবর্তিত ফাংশন হল একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের একটি ফাংশন যার অসীমতার আচরণ অসীমের কাছাকাছি একটি পাওয়ার ল ফাংশনের (যেমন একটি বহুপদী ) আচরণের অনুরূপ। এই শ্রেণীর ফাংশন উভয়ই জোভান কারামাটা দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল, এবং বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে, উদাহরণস্বরূপ সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ।

মৌলিক সংজ্ঞা

টেমপ্লেট:সমীকরণ সূত্র. একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন টেমপ্লেট:Math কে ধীর পরিবর্তনশীল বলা হবে (অসীমে) যদি সকল টেমপ্লেট:Math এর জন্য,

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{L(ax)}{L(x)}=1.$

টেমপ্লেট:সমীকরণ সূত্র.ধরি টেমপ্লেট:Math।তাহলে টেমপ্লেট:Math একটি ক্রমাগত পরিবর্তনশীল ফাংশন হবে যদি এবং কেবল যদি $\mathrm{\forall }a>0,g_L(a)=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\left|\frac{L(ax)}{L(x)}\right|\in {ℝ}^{+}$।সুনির্দিষ্টভাবে,সীমা টিকে নির্দিষ্ট হতে হবে।

এই সংজ্ঞা জোভান কারামাতার দেয়া।

বিঃদ্রঃ. নিয়মিত পরিবর্তিত ক্ষেত্রে, দুটি ধীরে ধীরে পরিবর্তিত ফাংশনের যোগফল আবার ধীরে ধীরে পরিবর্তিত ফাংশন।

মৌলিক বৈশিষ্ট্য

নিয়মিত পরিবর্তিত ফাংশনের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে: সেগুলির একটি আংশিক তালিকা নীচে রিপোর্ট করা হয়েছে। টেমপ্লেট:Harvard citation text দ্বারা মনোগ্রাফে নিয়মিত বৈচিত্র্যের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির আরও বিস্তৃত বিশ্লেষণ উপস্থাপন করা হয়েছে।

সীমাবদ্ধ আচরণের সুষমতা

টেমপ্লেট:সমীকরণ সূত্র.টেমপ্লেট:সমীকরণ নোট এবং টেমপ্লেট:সমীকরণ নোট এ বর্ণিত লিমিটদ্বয় সুষম যদি টেমপ্লেট:Mvar একটি দৃঢ় ব্যবধানএর মধ্যে সুনির্দিষ্ট।

কারামাটার চরিত্রায়ন উপপাদ্য

টেমপ্লেট:সমীকরণ সূত্র. প্রতিটি নিয়মিত পরিবর্তনশীল ফাংশন টেমপ্লেট:Math এই রুপে থাকে,

$f(x)=x^{\beta }L(x)$

যেখানে

• টেমপ্লেট:Mvar একটি বাস্তব সংখ্যা,
• টেমপ্লেট:Mvar একটি ধীর পরিবর্তনশীল ফাংশন।

নোট এটি বোঝায় যে টেমপ্লেট:সমীকরণ নোট -এ ফাংশন টেমপ্লেট:Math অবশ্যই নিম্নলিখিত ফর্মের হতে হবে

$g(a)=a^{\rho }$

যেখানে প্রকৃত সংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar কে নিয়মিত পরিবর্তনের সূচক বলা হয়।

কারামাটা প্রতিনিধিত্ব উপপাদ্য

একটি ফাংশন টেমপ্লেট:Mvar ধীর পরিবর্তনশীল হবে যদি এবং কেবল যদি টেমপ্লেট:Math যেন সকল টেমপ্লেট:Math এর জন্য ফাংশনটিকে এমনভাবে লেখা যায়

$L(x)=\exp (\eta (x)+\underset{B}{\overset{x}{\int }}\frac{\epsilon (t)}{t}dt)$

যেখানে

• টেমপ্লেট:Math একটি বাস্তব চলকের সীমাবদ্ধ পরিমাপযোগ্য ফাংশন যা একটি সসীম সংখ্যায় মিলিত হয় যখন টেমপ্লেট:Mvar অসীমে পৌঁছায়
• টেমপ্লেট:Math একটি বাস্তব চলকের সীমাবদ্ধ পরিমাপযোগ্য ফাংশন যা শূন্যে মিলিত হয় যখন অসীমে পৌঁছায়।

উদাহরণ

• যদি টেমপ্লেট:Mvar এর একটি সীমা থাকে

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }L(x)=b\in (0,\mathrm{\infty }),$

তাহলে টেমপ্লেট:Mvar একটি ধীর পরিবর্তনশীল ফাংশন।

• যে কোনো টেমপ্লেট:Math এর জন্য, ফাংশন টেমপ্লেট:Math ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয়।
• ফাংশন টেমপ্লেট:Math ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয় না, টেমপ্লেট:Math ও হয় না যেকোনো বাস্তব টেমপ্লেট:Math এর জন্য।তবে এই ফাংশন নিয়মিত পরিবর্তনশীল।

আরো দেখুন

• বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব
• হার্ডি-লিটলউড টবেরিয়ান উপপাদ্য এবং কারামাটা দ্বারা এর চিকিত্সা

তথ্যসূত্র

•  Bingham, N.H. (2001) [1994], "Karamata theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
•  Bingham, N. H.; Goldie, C. M.; Teugels, J. L. (1987), Regular Variation, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 27, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-30787-2, MR 0898871, Zbl 0617.26001
•  .টেমপ্লেট:Citation