প্রত্যক্ষ প্রমাণ

গণিত এবং যুক্তিবিদ্যায়, প্রত্যক্ষ প্রমাণ হলো একটি প্রদত্ত বিবৃতির সত্য বা মিথ্যা দেখানোর একটি উপায় যা স্বতঃসিদ্ধ, বিদ্যমান লেমা, উপপাদ্যগুলির একটি সরল সংমিশ্রণ দ্বারা এবং কোনো অনুমান না করেই করা হয়। "যদি p, তারপর q " ফর্মের একটি শর্তসাপেক্ষ বিবৃতি সরাসরি প্রমাণ করার জন্য, p বিবৃতিটি সত্য তা বিবেচনা করাই যথেষ্ট। অনুমান থেকে উপসংহারে যুক্তির জন্য যুক্তিগত অবরোহ ব্যবহার করা হয়। প্রদত্ত যুক্তির ধরনটি প্রায় সর্বদাই প্রথম ক্রমিক যুক্তি, যা সকলের জন্য কোয়ান্টিফায়ার নিয়োগ করে এবং বিদ্যমান। ব্যবহৃত সাধারণ প্রমাণ নিয়ম হল মোডাস পোনেন্স এবং সার্বজনীন ইনস্ট্যান্টিয়েশন। বিপরীতে, একটি পরোক্ষ প্রমাণ কিছু কাল্পনিক পরিস্থিতি দিয়ে শুরু হতে পারে এবং তারপরে একটি অনিবার্য উপসংহার বাধ্য না হওয়া পর্যন্ত এই প্রতিটি পরিস্থিতিতে অনিশ্চয়তা দূর করতে এগিয়ে যেতে পারে। উদাহরণ স্বরূপ, সরাসরি p ⇒ q দেখানোর পরিবর্তে, কেউ তার বিরোধী ~ q ⇒ ~ p প্রমাণ করে (একটি ~ q ধরে নেয় এবং দেখায় যে এটি ~ p এর দিকে নিয়ে যায়)। যেহেতু p ⇒ q এবং ~ q ⇒ ~ p স্থানান্তরের নীতির দ্বারা সমতুল্য (বাদিত মধ্যম আইন দেখুন), p ⇒ q পরোক্ষভাবে প্রমাণিত। প্রুফ পদ্ধতি যা সরাসরি নয় দ্বন্দ্ব দ্বারা প্রমাণ অন্তর্ভুক্ত, অসীম বংশধর দ্বারা প্রমাণ সহ। প্রত্যক্ষ প্রমাণ পদ্ধতির মধ্যে রয়েছে ক্লান্তি দ্বারা প্রমাণ এবং আরোহ বিধি দ্বারা প্রমাণ।

ইতিহাস এবং ব্যুৎপত্তি

প্রত্যক্ষ প্রমাণ হলো প্রমাণের সহজতম রূপ। ইংরেজি 'Prove' (যার বাংলা প্রতিশব্দ 'প্রমাণ') শব্দটি এসেছে লাতিন শব্দ প্রোবার থেকে, যার অর্থ "পরীক্ষা করা"। প্রমাণের প্রথম ব্যবহার আইনি প্রক্রিয়ায় বিশিষ্ট ছিল। কর্তৃত্বসম্পন্ন একজন ব্যক্তি, যেমন একজন সম্ভ্রান্ত ব্যক্তিকে বলা হয় প্রবিটি, যার মানে প্রমাণ ছিল তার আপেক্ষিক কর্তৃত্ব দ্বারা, যা অভিজ্ঞতামূলক সাক্ষ্যকে ছাড়িয়ে যায়। গণিত এবং প্রমাণ প্রায়শই ব্যবহারিক প্রশ্নগুলোর সাথে জড়িত ছিল। উদাহরণস্বরূপ প্রাচীন মিশরীয় এবং গ্রীকরা ভূমি জরিপের কাজে আগ্রহী ছিল। এই আগ্রহ জ্যামিতি এবং ত্রিকোণমিতির বিষয়ে একটি স্বাভাবিক কৌতূহলের দিকে অগ্রসর হয় – বিশেষ করে ত্রিভুজ এবং আয়তক্ষেত্র। এই আকারগুলি ছিল যা ব্যবহারিক জিনিসগুলির ক্ষেত্রে সর্বাধিক প্রশ্ন প্রদান করে, তাই প্রাথমিক জ্যামিতিক ধারণাগুলি এই আকারগুলির উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা হয়েছিল, উদাহরণস্বরূপ, ভবন এবং পিরামিডগুলির পছন্দগুলি এই আকারগুলি প্রচুর পরিমাণে ব্যবহার করেছিল। আরেকটি আকৃতি যা প্রত্যক্ষ প্রমাণের ইতিহাসে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ তা হল বৃত্ত, যা অ্যারেনা এবং জলের ট্যাঙ্কগুলির নকশার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ছিল। এর অর্থ হল প্রাচীন জ্যামিতি (এবং ইউক্লিডীয় জ্যামিতি) চেনাশোনা নিয়ে আলোচনা করত। গণিতের প্রাচীনতম রূপটি ছিল রূপতত্ত্ব । উদাহরণস্বরূপ, যদি কেউ একটি যুক্তিসঙ্গত ছবি আঁকতে পারে, বা একটি বিশ্বাসযোগ্য বর্ণনা দিতে পারে, তবে এটি একটি গাণিতিক "তথ্য" হিসাবে বর্ণনা করার জন্য সমস্ত মানদণ্ড পূরণ করে। কখনও কখনও, সাদৃশ্যমূলক যুক্তি সংঘটিত হয়, এমনকি "দেবতাদের আহ্বান" দ্বারা। গাণিতিক বিবৃতি প্রমাণিত হতে পারে এমন ধারণা এখনও বিকশিত হয়নি, তাই বাস্তব প্রমাণ না হওয়া সত্ত্বেও এগুলি প্রমাণের ধারণার প্রাথমিক রূপ ছিল।

প্রমাণ যেমন আমরা জানি এটি একটি নির্দিষ্ট প্রশ্নের সাথে এসেছে: "প্রমাণ কী?" ঐতিহ্যগতভাবে, একটি প্রমাণ একটি প্ল্যাটফর্ম যা যুক্তিসঙ্গত সন্দেহের বাইরে কাউকে বিশ্বাস করে যে একটি বিবৃতি গাণিতিকভাবে সত্য। স্বাভাবিকভাবেই, কেউ ধরে নেবে যে এইরকম কিছুর সত্যতা প্রমাণ করার সর্বোত্তম উপায় হবে পুরানো কিছু (A) এর সাথে তুলনা করা যা ইতিমধ্যেই সত্য হিসাবে প্রমাণিত হয়েছে। এইভাবে একটি পুরানো ফলাফল থেকে একটি নতুন ফলাফল আহরণের ধারণা তৈরি করা হয়েছিল।

উদাহরণ

দুটি জোড় পূর্ণসংখ্যার যোগফল একটি জোড় পূর্ণসংখ্যার সমান

দুটি জোড় পূর্ণসংখ্যা টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math বিবেচনা করুন। যেহেতু তারা জোড়, তাদের হিসাবে লেখা যেতে পারে

$x=2a$

$y=2b$

যথাক্রমে টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math পূর্ণসংখ্যার জন্য। তাহলে যোগফল হিসেবে লেখা যাবে

$x+y=2a+2b=2(a+b)=2p$ যেখানে $p=a+b$, টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar সব পূর্ণসংখ্যা।

এটি অনুসরণ করে যে টেমপ্লেট:Math একটি গুণনীয়ক হিসাবে 2 আছে এবং তাই জোড়, তাই যেকোনো দুটি জোড় পূর্ণসংখ্যার যোগফল জোড়।

পিথাগোরাসের উপপাদ্য

পিথাগোরাস থিওরেমের চিত্র

লক্ষ্য করুন যে আমাদের চারটি সমকোণী ত্রিভুজ এবং একটি বর্গক্ষেত্র একটি বড় বর্গক্ষেত্রে প্যাক করা আছে। প্রতিটি ত্রিভুজের একটি বাহু এবং b এবং কর্ণ c রয়েছে। একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল তার বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। এই ক্ষেত্রে, বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল (a + b) ²। যাইহোক, বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে এর উপাদানগুলির ক্ষেত্রফলের যোগফল হিসাবেও প্রকাশ করা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, সেটি হবে চারটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল এবং মাঝখানের ছোট বর্গক্ষেত্রের সমষ্টি।

আমরা জানি যে বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল (a + b) ² এর সমান।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সমান $\frac{1}{2}ab.$

আমরা জানি যে বৃহৎ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলও ত্রিভুজগুলির ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান এবং ছোট বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমান এবং এইভাবে বড় বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমান $4(\frac{1}{2}ab)+c^2.$

এই সমান, এবং তাই

$(a+b{)}^2=4(\frac{1}{2}ab)+c^2.$

কিছু সরলীকরণের পর,

$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2.$

উভয় পাশে প্রদর্শিত 2ab অপসারণ দেয়

$a^2+b^2=c^2,$

যা পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রমাণ করে। ∎

বিজোড় সংখ্যার বর্গও বিজোড়

সংজ্ঞা অনুসারে, যদি n একটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে এটিকে প্রকাশ করা যেতে পারে

$n=2k+1$

কিছু পূর্ণসংখ্যা k জন্য। এভাবে

$\begin{array}{cc}{n}^2& =(2k+1{)}^2\\ & =(2k+1)(2k+1)\\ & =4k^2+2k+2k+1\\ & =4k^2+4k+1\\ & =2(2k^2+2k)+1.\end{array}$

যেহেতু 2 k ² + 2 k একটি পূর্ণসংখ্যা, n ² ও বিজোড়। ∎

সূত্র

• টেমপ্লেট:বই উদ্ধৃতি (Ch. 1.)

বহিঃসংযোগ

• ল্যারি ডব্লিউ কুসিকের কাছ থেকে সরাসরি প্রমাণ কিভাবে প্রুফ লিখতে হয় ।
• প্যাট্রিক কিফ এবং ডেভিড গুইচার্ডের উচ্চতর গণিতের ভূমিকা থেকে সরাসরি প্রমাণ ।
• রিচার্ড হ্যাম্যাকের বুক অফ প্রুফের সরাসরি প্রমাণ বিভাগ।