ফার্মার ছোট উপপাদ্য

সংখ্যাতত্ত্বে, ফার্মার ছোট উপপাদ্য (En: Fermat's little theorem) বলে যে, যদি টেমপ্লেট:Mvar একটি মৌলিক সংখ্যা হয়, তবে যেকোনো পূর্ণসংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar-এর জন্য টেমপ্লেট:Math হলো টেমপ্লেট:Mvar-এর একটি গুণিতক। মডুলার পাটিগনিতে এটিকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়: $$a^p\equiv a(\mathrm{mod}p).$$

উদাহরণস্বরূপ, যদি টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math হয়, তবে টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math, যা টেমপ্লেট:Math-এর একটি গুণিতক।

যদি টেমপ্লেট:Mvar, টেমপ্লেট:Mvar দ্বারা বিভাজ্য না হয়, অর্থাৎ টেমপ্লেট:Mvar যদি টেমপ্লেট:Mvar-এর সহমৌলিক সংখ্যা হয়, তবে ফার্মার লিটল থিওরেম অনুযায়ী: টেমপ্লেট:Math হলো টেমপ্লেট:Mvar-এর একটি গুণিতক।

এটি প্রতীকীরূপে এভাবে প্রকাশ করা যায়: $$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$$

উদাহরণস্বরূপ, যদি টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math হয়, তবে টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math, যা টেমপ্লেট:Math-এর একটি গুণিতক।

ফার্মার লিটল থিওরেম ফার্মার মৌলিকতা পরীক্ষার ভিত্তি এবং প্রাথমিক সংখ্যাতত্ত্বের একটি মৌলিক ফলাফল। এই উপপাদ্যটি পিয়েরে দ্য ফার্মার নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি এটি ১৬৪০ সালে উপস্থাপন করেছিলেন। একে "লিটল থিওরেম" বলা হয় ফার্মার শেষ উপপাদ্য থেকে পার্থক্য করার জন্য।

ইতিহাস

পিয়েরে দ্য ফার্মা

পিয়েরে দ্য ফার্মা প্রথম এই উপপাদ্যটি তাঁর বন্ধু এবং আস্থাভাজন ফ্রেনিকল দ্য বেসিকে ১৮ অক্টোবর, ১৬৪০ তারিখের একটি চিঠিতে লিখে পাঠান। তাতে লিখা ছিল:

যদি টেমপ্লেট:Mvar একটি মৌলিক সংখ্যা হয় এবং টেমপ্লেট:Mvar কোনো পূর্ণসংখ্যা যা টেমপ্লেট:Mvar দ্বারা বিভাজ্য নয়, তবে টেমপ্লেট:Math সংখ্যাটি টেমপ্লেট:Mvar দ্বারা বিভাজ্য।

ফার্মার মূল বিবৃতিটি ছিল

প্রতিটি মৌলিক সংখ্যা [[[:টেমপ্লেট:Mvar]]] যেকোনো [জ্যামিতিক] ক্রমবৃদ্ধি [[[:টেমপ্লেট:Math]]] এর একটি ঘাতের একক বিয়োগ সংখ্যাকে অবশ্যই ভাগ করে [অর্থাৎ, এমন একটি টেমপ্লেট:Mvar আছে যেখানে টেমপ্লেট:Mvar, টেমপ্লেট:Math কে ভাগ করে], এবং এই ঘাতটি [[[:টেমপ্লেট:Mvar]]] মৌলিক সংখ্যা একক বিয়োগের [[[:টেমপ্লেট:Math]] এর] একটি ভাজক। প্রথম ঘাতটি [[[:টেমপ্লেট:Mvar]]] পাওয়ার পর, যে সকল ঘাতগুলি প্রথম ঘাতের গুণিতক, তারাও একইভাবে শর্তটি পূরণ করে [অর্থাৎ, প্রথম টেমপ্লেট:Mvar এর সকল গুণিতকের একই ধর্ম রয়েছে]।

ফার্মা টেমপ্লেট:Mvar যে টেমপ্লেট:Mvar এর গুণিতক হতে পারে সেই ক্ষেত্রটি বিবেচনা করেননি এবং তাঁর বক্তব্যের প্রমাণও দেননি, শুধুমাত্র উল্লেখ করেছিলেন:

(এবং এই প্রস্তাবনাটি সাধারণভাবে সকল ধারা [sic] এবং সকল মৌলিক সংখ্যার ক্ষেত্রে সত্য; আমি আপনাকে এর প্রমাণ পাঠাতাম, যদি না আমি এটি অত্যধিক দীর্ঘ হওয়ার আশঙ্কা করতাম।)

অয়লার ১৭৩৬ সালে প্রথম প্রকাশিত প্রমাণ দেন, সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমির প্রসিডিংস এ "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio" (ইংরেজিতে: "মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কিত কিছু উপপাদ্যের প্রমাণ") শীর্ষক একটি প্রবন্ধে, তবে লিবনিজ ১৬৮৩ সালের আগে কোনো এক সময়ে একটি অপ্রকাশিত পাণ্ডুলিপিতে প্রায় একই প্রমাণ দিয়েছিলেন।

"ফার্মার লিটল থিওরেম" শব্দবন্ধটি সম্ভবত প্রথম মুদ্রিত হয় কুর্ট হেনসেল এর Zahlentheorie-তে ১৯১৩ সালে:

(প্রতিটি সীমিত গ্রুপের জন্য একটি মৌলিক উপপাদ্য রয়েছে, যা সাধারণত ফার্মার লিটল থিওরেম নামে পরিচিত, কারণ ফার্মা এর একটি বিশেষ অংশের প্রথম প্রমাণ দিয়েছিলেন।)

ইংরেজিতে প্রথম ব্যবহারগুলির মধ্যে একটি হল আব্রাহাম আদ্রিয়ান আলবার্ট এর Modern Higher Algebra (১৯৩৭), যেখানে ২০৬ পৃষ্ঠায় "তথাকথিত 'লিটল' ফার্মা উপপাদ্য" উল্লেখ করা হয়েছে।

আরও ইতিহাস

টেমপ্লেট:মূল নিবন্ধ কিছু গণিতবিদ স্বাধীনভাবে এ সম্পর্কিত একটি অনুমান করেছিলেন (যা কখনও কখনও ভুলভাবে চাইনিজ হাইপোথেসিস নামে পরিচিত) যে, টেমপ্লেট:Math হবে যদি এবং কেবল যদি টেমপ্লেট:Mvar একটি মৌলিক সংখ্যা। প্রকৃতপক্ষে, "যদি" অংশটি সত্য, এবং এটি ফার্মার লিটল থিওরেমের একটি বিশেষ ক্ষেত্র। তবে, "কেবল যদি" অংশটি মিথ্যা: উদাহরণস্বরূপ, টেমপ্লেট:Math, কিন্তু 341 = 11 × 31 হল ভিত্তি 2 এর একটি সুডোপ্রাইম। নিচে দেখুন।