মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশন

প্রথম ষাটটি পূর্ণ সংখ্যার জন্য টেমপ্লেট:Math এর মান

গণিত শাস্ত্রে, মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশন হচ্ছে এমন এক ধরনের ফাংশন যা কোন একটি বাস্তব সংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar-এর সমান বা তার ছোট মোট কতটি মৌলিক সংখ্যা আছে তা গণনা করে । এটিকে টেমপ্লেট:Math দ্বারা প্রকাশ করা হয় (তবে এটি মোটেও সুপরিচিত বৃত্তসম্বন্ধীয় ধ্রুবক [[pi|টেমপ্লেট:Pi]]-এর সাথে সম্পর্কিত নয়)।

বৃদ্ধির হার

সংখ্যা তত্ত্বে মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশনের অনুমান নির্ভর বিশ্লেষণে বৃদ্ধির হার অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

গাউস এবং লেজঁন্দ্রে ১৮শ শতকের শেষে এটি অনুমান করেছিলেন, যা আনুমানিকভাবে $$\frac{x}{\log x}$$ যেখানে টেমপ্লেট:Math হল ন্যাচারাল লগারিদম। এর মানে হল: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{x/\log x}=1.$$ এটাই সেই মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য। সমতুল্য একটি বক্তব্য হল: $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\pi (x)}{\mathrm{li}(x)}=1$$ যেখানে টেমপ্লেট:Math হল লগারিদমিক ইন্টিগ্রাল ফাংশন।

মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্য প্রথম প্রমাণ করেছিলেন জ্যাক হাডামার্ড এবং চার্লস দে লা ভালে পুসিন স্বাধীনভাবে ১৮৯৬ সালে। তারা রিমানের জিটা ফাংশনের গুণাবলী ব্যবহার করেছিলেন, যা রিমান ১৮৫৯ সালে প্রবর্তন করেন। জিটা ফাংশন বা কমপ্লেক্স এনালাইসিস ব্যবহার না করে এই উপপাদ্যের প্রমাণ ১৯৪৮ সালের দিকে অ্যাটলে সেলবার্গ এবং পল এরডোস স্বাধীনভাবে আবিষ্কার করেন।

আরো নির্ভুল মান

১৮৯৯ সালে, চার্লস দে লা ভাল্লে পুসিন প্রমাণ করেন যে $$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O\left(x{e}^{-a\sqrt{\log x}}\right)\text{as }x\to \mathrm{\infty }$$ কোনও ধনাত্মক ধ্রুবক টেমপ্লেট:Mvar-এর জন্য। এখানে, টেমপ্লেট:Math [[big O notation|বিগ টেমপ্লেট:Mvar নোটেশন]]।

বর্তমানে টেমপ্লেট:Math-এর আরও নির্ভুল মান জানা যায়। উদাহরণস্বরূপ, ২০০২ সালে কেভিন ফোর্ড প্রমাণ করেন: $$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(x\exp (-0.2098(\log x{)}^{3/5}(\log \log x{)}^{-1/5})).$$

মসিংহফ এবং ট্রুডজিয়ান প্রমাণ করেন: $$|\pi (x)-\mathrm{li}(x)|\le 0.2593\frac{x}{(\log x{)}^{3/4}}\exp (-\sqrt{\frac{\log x}{6.315}})\text{for }x\ge 229.$$

সুনির্দিষ্ট রূপ

টেমপ্লেট:Math এর জন্য টেমপ্লেট:Math যখন টেমপ্লেট:Mvar একটি মৌলিক সংখ্যা, অন্যথায় টেমপ্লেট:Math। রিমান তার On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude গবেষণায় প্রমাণ করেন, $${\pi }_0(x)=\mathrm{R}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{R}(x^{\rho }),$$ যেখানে $$\mathrm{R}(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}\mathrm{li}\left(x^{1/n}\right),$$ যেখানে টেমপ্লেট:Math = মোবিয়াস ফাংশন, টেমপ্লেট:Math = লগারিদমিক ইন্টিগ্রাল ফাংশন, টেমপ্লেট:Mvar = রিমান জিটা ফাংশনের প্রতিটি শূন্যকে নির্দেশ করে এবং টেমপ্লেট:Math শাখা বিভাজন দ্বারা মূল্যায়িত নয়, বরং টেমপ্লেট:Math হিসাবে বিবেচিত যেখানে টেমপ্লেট:Math সূচক ইন্টিগ্রাল।

রিম্যান হাইপোথিসিস ইঙ্গিত দেয় যে এই ধরনের প্রতিটি নন-ট্রিভিয়াল শূন্য $Re(s)$ = $\frac{1}{2}$ বরাবর অবস্থান করে।

টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math, এবং টেমপ্লেট:Math-এর টেবিল

নিচের টেবিলে টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math, এবং টেমপ্লেট:Math ফাংশনগুলোর তুলনা ১০-এর বিভিন্ন ঘাতের জন্য দেখানো হয়েছে। আরও দেখুন, এবং

টেমপ্লেট:Mvar	টেমপ্লেট:Math	টেমপ্লেট:Math	টেমপ্লেট:Math	টেমপ্লেট:Math	টেমপ্লেট:Math  % error
10	4	0	2	2.500	−8.57%
102	25	3	5	4.000	+13.14%
103	168	23	10	5.952	+13.83%
104	1,229	143	17	8.137	+11.66%
105	9,592	906	38	10.425	+9.45%
106	78,498	6,116	130	12.739	+7.79%
107	664,579	44,158	339	15.047	+6.64%
108	5,761,455	332,774	754	17.357	+5.78%
109	50,847,534	2,592,592	1,701	19.667	+5.10%
1010	455,052,511	20,758,029	3,104	21.975	+4.56%
1011	4,118,054,813	169,923,159	11,588	24.283	+4.13%
1012	37,607,912,018	1,416,705,193	38,263	26.590	+3.77%
1013	346,065,536,839	11,992,858,452	108,971	28.896	+3.47%
1014	3,204,941,750,802	102,838,308,636	314,890	31.202	+3.21%
1015	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1,052,619	33.507	+2.99%
1016	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	3,214,632	35.812	+2.79%
1017	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,928	7,956,589	38.116	+2.63%
1018	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	21,949,555	40.420	+2.48%
1019	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,961	99,877,775	42.725	+2.34%
1020	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,702	222,744,644	45.028	+2.22%
1021	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	597,394,254	47.332	+2.11%
1022	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1,932,355,208	49.636	+2.02%
1023	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	7,250,186,216	51.939	+1.93%
1024	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	17,146,907,278	54.243	+1.84%
1025	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	55,160,980,939	56.546	+1.77%
1026	1,699,246,750,872,437,141,327,603	28,883,358,936,853,188,823,261	155,891,678,121	58.850	+1.70%
1027	16,352,460,426,841,680,446,427,399	267,479,615,610,131,274,163,365	508,666,658,006	61.153	+1.64%
1028	157,589,269,275,973,410,412,739,598	2,484,097,167,669,186,251,622,127	1,427,745,660,374	63.456	+1.58%
1029	1,520,698,109,714,272,166,094,258,063	23,130,930,737,541,725,917,951,446	4,551,193,622,464	65.759	+1.52%

গ্রাফটি টেমপ্লেট:Math-এর সাথে টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math ফাংশনের অনুপাত দেখাচ্ছে। যেমন টেমপ্লেট:Mvar বৃদ্ধি পায় (লগারিদমিক স্কেলে টেমপ্লেট:Mvar-অক্ষ), উভয় অনুপাত ১-এর দিকে ধাবিত হয়। টেমপ্লেট:Math-এর অনুপাত উপরের দিক থেকে খুব ধীরে একত্রিত হয়, যেখানে টেমপ্লেট:Math-এর অনুপাত নিচ থেকে দ্রুত একত্রিত হয়।

টেমপ্লেট:Math কলামটি টেমপ্লেট:OEIS2C, টেমপ্লেট:Math টেমপ্লেট:OEIS2C এবং টেমপ্লেট:Math টেমপ্লেট:OEIS2C।

টেমপ্লেট:Math-এর মান প্রথমে জে. বুইথে, জেনস ফ্রাঙ্কে, এ. জস্ট এবং টি. ক্লেইনজুং দ্বারা রিম্যান হাইপোথিসিস ধরে গণনা করা হয়েছিল। পরে এটি ডি. জে. প্ল্যাট দ্বারা প্রমাণিত হয়।

টেমপ্লেট:Math-এর মান একই চারজন লেখকের দ্বারা গণনা করা হয়েছে। টেমপ্লেট:Math-এর মান ডি. বি. স্ট্যাপল দ্বারা গণনা করা হয়েছে।

টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math, এবং টেমপ্লেট:Math-এর মান যথাক্রমে ২০১৫, ২০২০, এবং ২০২২ সালে ডেভিড বাউ এবং কিম ওয়ালিশ দ্বারা ঘোষণা করা হয়েছে।

টেমপ্লেট:Math নির্ণয়ের জন্য অ্যালগরিদম

যদি টেমপ্লেট:Mvar খুব বড় না হয়, তবে টেমপ্লেট:Math নির্ণয়ের একটি সহজ উপায় হল এরাটোস্থিনিসের ছাকুনি ব্যবহার করা, যা টেমপ্লেট:Mvar-এর সমান বা ছোট মৌলিক সংখ্যা বের করে এবং তাদের সংখ্যা গণনা করে।

আরও উন্নত পদ্ধতি লেজঁন্দ্রে প্রস্তাব করেছিলেন, যেখানে অন্তর্ভুক্তি–বর্জন নীতি প্রয়োগ করা হয়: ধরা যাক টেমপ্লেট:Mvar একটি প্রদত্ত সংখ্যা এবং টেমপ্লেট:Math পৃথক পৃথক মৌলিক সংখ্যা। তখন টেমপ্লেট:Mvar-এর সমান বা ছোট এমন সংখ্যার সংখ্যা, যা কোনো টেমপ্লেট:Mvar দ্বারা বিভাজ্য নয়, তা হবে

$\lfloor x\rfloor -\sum _i\lfloor \frac{x}{p_i}\rfloor +\sum _{i<j}\lfloor \frac{x}{p_i{p}_j}\rfloor -\sum _{i<j<k}\lfloor \frac{x}{p_i{p}_j{p}_k}\rfloor +\cdots$

(যেখানে টেমপ্লেট:Math হলো ফ্লোর ফাংশন)। এই সংখ্যাটি সমান হবে

$\pi (x)-\pi \left(\sqrt{x}\right)+1$

যখন টেমপ্লেট:Math-গুলি টেমপ্লেট:Mvar-এর বর্গমূলের সমান বা ছোট মৌলিক সংখ্যা।

মাইসেল–লেমার অ্যালগরিদম

১৮৭০ থেকে ১৮৮৫ সালের মধ্যে আর্নস্ট মাইসেল টেমপ্লেট:Math নির্ণয়ের একটি বাস্তবিক কম্বিনেটরিয়াল পদ্ধতি বর্ণনা ও প্রয়োগ করেন। ধরা যাক টেমপ্লেট:Math প্রথম টেমপ্লেট:Mvar মৌলিক সংখ্যা এবং টেমপ্লেট:Math দ্বারা বোঝানো হয়েছে টেমপ্লেট:Mvar-এর সমান বা ছোট সংখ্যাগুলির সংখ্যা, যা টেমপ্লেট:Mvar দ্বারা বিভাজ্য নয়। তাহলে

$\mathrm{\Phi }(m,n)=\mathrm{\Phi }(m,n-1)-\mathrm{\Phi }(\frac{m}{p_n},n-1).$

একটি স্বাভাবিক সংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar-এর জন্য, যদি টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math, তাহলে

$\pi (m)=\mathrm{\Phi }(m,n)+n(\mu +1)+\frac{{\mu }^2-\mu }{2}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left(\frac{m}{p_{n+k}}\right).$

এই পদ্ধতি ব্যবহার করে মাইসেল টেমপ্লেট:Math-এর মান নির্ণয় করেন, যেখানে টেমপ্লেট:Mvar

টেমপ্লেট:Val, 106, 107, এবং 108।

১৯৫৯ সালে ডেরিক হেনরি লেমার এই পদ্ধতিটিকে আরও সরল ও কার্যকর করেন। একটি বাস্তব সংখ্যাটেমপ্লেট:Mvar এবং স্বাভাবিক সংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar ও টেমপ্লেট:Mvar-এর জন্য টেমপ্লেট:Math দ্বারা বোঝানো হয় টেমপ্লেট:Mvar-এর চেয়ে বড় নয় এমন সংখ্যাগুলির সংখ্যা, যেগুলিতে ঠিক টেমপ্লেট:Mvarটি মৌলিক গুণক থাকে, এবং এগুলো টেমপ্লেট:Mvar-এর চেয়ে বড়। টেমপ্লেট:Math তখন

$\mathrm{\Phi }(m,n)=\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{P}_k(m,n)$

যোগফলটি আসলে সীমিত সংখ্যক অমৌলিক পদে শেষ হয়। টেমপ্লেট:Mvar একটি পূর্ণসংখ্যা যেখানে টেমপ্লেট:Math, এবং টেমপ্লেট:Math। তখন

$\pi (m)=\mathrm{\Phi }(m,n)+n-1-P_2(m,n).$

টেমপ্লেট:Math নির্ণয়ের সূত্র:

$P_2(m,n)=\sum _{y<p\le \sqrt{m}}(\pi \left(\frac{m}{p}\right)-\pi (p)+1),$

যেখানে যোগফলটি মৌলিক সংখ্যার উপর সীমাবদ্ধ।

অন্যদিকে, টেমপ্লেট:Math নির্ণয়ের জন্য নিয়ম:

1. $\mathrm{\Phi }(m,0)=\lfloor m\rfloor$

2. $\mathrm{\Phi }(m,b)=\mathrm{\Phi }(m,b-1)-\mathrm{\Phi }(\frac{m}{p_b},b-1).$

এই পদ্ধতি ব্যবহার করে লেমার টেমপ্লেট:Math-এর সঠিক মান নির্ণয় করেন, তবে টেমপ্লেট:Math-এর ক্ষেত্রে ১-এর পার্থক্য থাকে।

লেগারিয়াস, মিলার, ওডলিজকো, ডেলেগ্লিজ এবং রিভাত এই পদ্ধতির আরও উন্নতি করেন।

অন্যান্য মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশন

রিমানের মৌলিক ঘাত গণনাকারী ফাংশন

রিমানের মৌলিক ঘাত গণনাকারী ফাংশন সাধারণত টেমপ্লেট:Math বা টেমপ্লেট:Math দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

গাণিতিকভাবে, টেমপ্লেট:Math-এর সংজ্ঞা হল:

${\mathrm{\Pi }}_0(x)=\frac{1}{2}(\sum _{p^n<x}\frac{1}{n}+\sum _{p^n\le x}\frac{1}{n})$

যেখানে টেমপ্লেট:Mvar হল মৌলিক সংখ্যা ।

আবার, ${\mathrm{\Pi }}_0(x)=\sum _{n=2}^x\frac{\mathrm{\Lambda }(n)}{\log n}-\frac{\mathrm{\Lambda }(x)}{2\log x}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}{\pi }_0\left(x^{1/n}\right)$ এখানে টেমপ্লেট:Math ভন মাঙ্গোল্ড ফাংশন এবং

${\pi }_0(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\pi (x-\epsilon )+\pi (x+\epsilon )}{2}.$

তারপর ম্যোবিয়াস ইনভার্শন সূত্র থেকে পাই: ${\pi }_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}{\mathrm{\Pi }}_0\left(x^{1/n}\right),$ যেখানে টেমপ্লেট:Math ম্যোবিয়াস ফাংশন।

রিমান জিটা ফাংশন এবং ভন মাঙ্গোল্ড ফাংশন টেমপ্লেট:Math-এর লগারিদমের সম্পর্ক জানার পর এবং পেরন সূত্র ব্যবহার করে পাই: $\log \zeta (s)=s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{\Pi }}_0(x)x^{-s-1},\mathrm{d}x$

চেবিশেভ ফাংশন

চেবিশেভ ফাংশন মৌলিক সংখ্যা বা মৌলিক ঘাত টেমপ্লেট:Mvar-কে টেমপ্লেট:Math দ্বারা সম্পর্কিত করে:

$\begin{array}{ccc}\vartheta (x)& =\sum _{p\le x}\log p\psi (x)& =\sum _{p^n\le x}\log p=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\vartheta \left(x^{1/n}\right)=\sum _{n\le x}\mathrm{\Lambda }(n).\end{array}$

যেখানে টেমপ্লেট:Math,

$\vartheta (x)=\pi (x)\log x-\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\pi (t)}{t},\mathrm{d}t$

এবং

$\pi (x)=\frac{\vartheta (x)}{\log x}+\underset{2}{\overset{x}{\int }}\frac{\vartheta (t)}{t{\log }^2(t)}\mathrm{d}t.$

মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী সূত্রসমূহ

মৌলিক সংখ্যা গণনাকারী ফাংশনের জন্য ব্যবহৃত সূত্র সাধারণত দুই ধরণের হয়—গাণিতিক সূত্র এবং বিশ্লেষণাত্মক সূত্র। বিশ্লেষণাত্মক সূত্রগুলোর উদ্ভব রীমান এবং ভন মাঙ্গোল্ডের কাজ থেকে, যা পরে মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য প্রমাণের ভিত্তি হিসেবে ব্যবহৃত হয়। এই সূত্রগুলো স্পষ্ট সূত্র নামে পরিচিত।

দ্বিতীয় চেবিশেভ ফাংশন টেমপ্লেট:Mvar-এর জন্য নিম্নলিখিত সূত্র পাওয়া যায়:

${\psi }_0(x)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }-\log 2\pi -\frac{1}{2}\log (1-x^{-2}),$

এখানে,

${\psi }_0(x)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{\psi (x-\epsilon )+\psi (x+\epsilon )}{2}.$

এক্ষেত্রে টেমপ্লেট:Mvar হল রীমান জিটা ফাংশনের শূন্য বিন্দু, যা ক্রিটিক্যাল অঞ্চলে শূন্য এবং একের মধ্যে থাকে। সূত্রটি টেমপ্লেট:Mvar-এর জন্য কার্যকর, কারণ এই পরিসীমাই গবেষণার ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ।

এছাড়া টেমপ্লেট:Math-এর জন্য একটি জটিলতর সূত্র রয়েছে:

${\mathrm{\Pi }}_0(x)=\mathrm{li}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{li}\left(x^{\rho }\right)-\log 2+\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t(t^2-1)\log t}.$

এখানে টেমপ্লেট:Mvar জিটা ফাংশনের non-trivial শূন্য বিন্দু এবং টেমপ্লেট:Math। এই সূত্রের প্রথম অংশ টেমপ্লেট:Math লগারিদমিক ইন্ট্রিগাল ফাংশন বোঝায়। দ্বিতীয় অংশে টেমপ্লেট:Math আসলে টেমপ্লেট:Math নির্দেশ করে, যা ঘাতীয় ইন্ট্রিগ্রাল ফাংশনের এক প্রকার সম্প্রসারণ।

তৃতীয় অংশটি টেমপ্লেট:Math-এর trivial শূন্যগুলির উপর ক্রম হিসেবে লেখা যায়:

$\underset{x}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{t(t^2-1)\log t}=-\sum _m\mathrm{li}\left(x^{-2m}\right).$

ম্যোবিয়াস ইনভার্শন সূত্র থেকে পাই:

${\pi }_0(x)=\mathrm{R}(x)-\sum _{\rho }\mathrm{R}\left(x^{\rho }\right)-\sum _m\mathrm{R}\left(x^{-2m}\right)$

এখানে টেমপ্লেট:Math হল রীমানের R-ফাংশন:

$\mathrm{R}(x)=1+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(\log x)}^k}{k!k\zeta (k+1)}.$

এই ক্রমটি সব ধরণের ধনাত্মক টেমপ্লেট:Math-এর জন্য অভিসারিত। গ্রাম ক্রম ব্যবহার করে টেমপ্লেট:Math আনুমানিকভাবে নির্ধারণ করা যায়।

সবশেষে, এই সূত্র নির্দেশ করে যে টেমপ্লেট:Math-এর বিভাজন এবং বণ্টন বুঝতে টেমপ্লেট:Math খুব কার্যকর একটি অনুমান। এই অনুমান টেমপ্লেট:Math-এর সুনির্দিষ্ট প্রবণতা এবং বিচ্যুতি স্পষ্টভাবে তুলে ধরে।

অসমতাসমূহ

রামানুজন প্রমাণ করেছিলেন যে, নিম্নোক্ত অসমতাটি সকল টেমপ্লেট:Mvar এর যথেষ্ট বৃহৎ মানের জন্য সত্য

$\pi (x{)}^2<\frac{ex}{\log x}\pi \left(\frac{x}{e}\right)$

টেমপ্লেট:Math এর কিছু দরকারি অসমতাসমূহ উল্লেখ করা হলো:

$\frac{x}{\log x}<\pi (x)<1.25506\frac{x}{\log x}\text{for }x\ge 17.$

বাম অসমতাটি সত্য যখন টেমপ্লেট:Math এবং ডান অসমতাটি সত্য যখন টেমপ্লেট:Math. The constant 1.25506 is টেমপ্লেট:Math to 5 decimal places, as টেমপ্লেট:Math has its maximum value at টেমপ্লেট:Math.

পিয়েরে ডুজার্ট ২০১০ এ প্রমাণ করেন:

$\frac{x}{\log x-1}<\pi (x)<\frac{x}{\log x-1.1}\text{for }x\ge 5393\text{ and }x\ge 60184,\text{ respectively.}$

সম্প্রতি তিনি আরো প্রমাণ করেছেন (Theorem 5.1) যে

$\frac{x}{\log x}(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2}{{\log }^{2}x})\le \pi (x)\le \frac{x}{\log x}(1+\frac{1}{\log x}+\frac{2}{{\log }^{2}x}+\frac{7.59}{{\log }^{3}x}),$

for টেমপ্লেট:Math and টেমপ্লেট:Math, respectively.

টেমপ্লেট:Mvar-তম মৌলিক সংখ্যা, টেমপ্লেট:Mvar এর approximation ফর্মুলা

$p_n=n(\log n+\log \log n-1+\frac{\log \log n-2}{\log n}+O\left(\frac{(\log \log n{)}^2}{(\log n{)}^2}\right)).$

এখানে টেমপ্লেট:Mvar-তম মৌলিক সংখ্যার জন্য আরো কিছু অসমতা দেওয়া হল । এই lower বাউন্ডটি ডুজার্ট প্রদত্ত (১৯৯৯) and the upper bound to Rosser (1941).

$n(\log n+\log \log n-1)<p_n<n(\log n+\log \log n)\text{for }n\ge 6.$

বাম অসমতাটি টেমপ্লেট:Math এবং ডান অসমতাটি টেমপ্লেট:Math এর জন্য সত্য । আবার $\log n+\log \log n=\log (n\log n).$ An even simpler lower bound is

$n\log n<p_n,$

যেটি সকল টেমপ্লেট:Math এর ক্ষেত্রে সত্য, তবে উপরোক্ত lower বাউন্ডটি আরো বেশি শক্তিশালী হয় যখন টেমপ্লেট:Math.

২০১০ এ ডুজার্ট প্রমাণ করেন (Propositions 6.7 and 6.6) that

$n(\log n+\log \log n-1+\frac{\log \log n-2.1}{\log n})\le p_n\le n(\log n+\log \log n-1+\frac{\log \log n-2}{\log n}),$

যখন টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math, একই সাথে ।

২০২৪ সালে, এক্সলার আরো বেশি শক্তিশালী করে (সমীকরণ 1.12 ও 1.13)

$f(n,g(w))=n(\log n+\log \log n-1+\frac{\log \log n-2}{\log n}-\frac{g(\log \log n)}{2{\log }^{2}n})$ এই আকারের bound ব্যবহার করে ।

যা প্রমান করে

$f(n,w^2-6w+11.321)\le p_n\le f(n,w^2-6w)$

যখন টেমপ্লেট:Math এবং টেমপ্লেট:Math, একই সাথে । এখানে lower বাউন্ডটি হয়তো আরো বেশি সরলকৃত করা সম্ভব এভাবে: টেমপ্লেট:Math কোন রূপ validity পরিবর্তন না করে । উপরের সীমাটি আরো বেশি সংকুচিত করা যেতে পারে এভাবে টেমপ্লেট:Math যদি টেমপ্লেট:Math.

বিভিন্ন জটিলতার প্রেক্ষিতে অতিরিক্ত বেশ কিছু bounds রয়েছে।

রিমানের অনুমান

রিমানের অনুমান টেমপ্লেট:Math-এর সন্নিকট মানের ত্রুটির জন্য অনেক শক্তিশালী সীমা প্রদান করে এবং মৌলিক সংখ্যার আরও নিয়মিত বণ্টন নির্দেশ করে,

$\pi (x)=\mathrm{li}(x)+O(\sqrt{x}\log x).$

বিশেষত,

$|\pi (x)-\mathrm{li}(x)|<\frac{\sqrt{x}}{8\pi }\log x,\text{for all }x\ge 2657.$

টেমপ্লেট:Harvtxt প্রমাণ করেছেন যে রিমানের অনুমান থেকে প্রমাণিত হয় যে টেমপ্লেট:Math এর জন্য সর্বদা একটি মৌলিক সংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar পাওয়া যায় যা :

$x-\frac{4}{\pi }\sqrt{x}\log x<p\le x$ অসমতাটি মেনে চলে ।

আরো দেখুন

মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য

বাহ্যিক লিংকসমূহ

• Chris Caldwell, The Nth Prime Page at The Prime Pages.
• Tomás Oliveira e Silva, Tables of prime-counting functions.
• টেমপ্লেট:Citation

টেমপ্লেট:গণিত-অসম্পূর্ণ