লুকাস ধারা

লুকাস ধারা হলো ফিবোনাচ্চি রাশিমালা ও লুকাস রাশিমালার সাধারণ রূপ। ফরাসি গণিতবিদ এদুয়ার লুকার নামানুসারে এই ধারার নামকরণ করা হয়েছে।

পৌনপুনিক সম্পর্ক (Recurrence relations)

দুইটি পূর্ণ সংখ্যা P and Q এর মধ্যে যদি নিম্নের সম্পর্কটি বিদ্যমান থাকে,

P^{2} - 4 Q \neq 0

তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) - এই দুইটি লুকাস ধারা নিম্নের পৌনপুনিক সম্পর্ক (recurrence relation) দ্বারা প্রকাশ করা যায়,

U_{0} (P, Q) = 0

U_{1} (P, Q) = 1

U_{n} (P, Q) = P U_{n - 1} (P, Q) - Q U_{n - 2} (P, Q) for n > 1

এবং

V_{0} (P, Q) = 2

V_{1} (P, Q) = P

V_{n} (P, Q) = P V_{n - 1} (P, Q) - Q V_{n - 2} (P, Q) for n > 1

যদি দ্বিঘাত সমীকরণ

x^{2} - P x + Q = 0

এর সমাধান হয় a এবং b , তাহলে U(P,Q) এবং V(P,Q) -কেও a ও b এর মাধ্যমে নিম্নের সূত্র দিয়ে প্রকাশ করা যায় -

U_{n} (P, Q) = \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b} = \frac{a^{n} - b^{n}}{\sqrt{P^{2} - 4 Q}}

V_{n} (P, Q) = a^{n} + b^{n}

এ থেকে নিম্নের সমীকরণ বের করা যায় -

a^{n} = \frac{V_{n} + U_{n} \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2}

b^{n} = \frac{V_{n} - U_{n} \sqrt{P^{2} - 4 Q}}{2} .

এখানে ধরা হয়েছে, a এবং b হলো আলাদা, যাতে $P^{2} - 4 Q$ এর মান ০ না।.

লুকাস ধারার সংখ্যাগুলি ফিবোনাচ্চি বা লুকাস রাশিমালার সংখ্যাগুলির সকল সম্পর্ক মেনে চলে, যেমন:-

U_{n} = \frac{V_{n + 1} - Q V_{n - 1}}{P^{2} - 4 Q}

V_{n} = U_{n + 1} - Q U_{n - 1}

U_{2 n} = U_{n} V_{n}

V_{2 n} = V_{n}^{2} - 2 Q^{n}

U_{n + m} = U_{n} U_{m + 1} - Q U_{m} U_{n - 1}

V_{n + m} = V_{n} V_{m} - Q^{m} V_{n - m}

.

P এবং Q এর কিছু বিশেষ মানের দ্বারা তৈরি লুকাস ধারার বিশেষ কিছু নাম রয়েছে, যেমন:-

এলইউসি ক্রিপ্টোসিস্টেম হলো লুকাস ধারাকে ব্যবহার করে তৈরি করা এক প্রকারের ক্রিপ্টোসিস্টেম।