খসড়া:এরডোস–স্ট্রাউস অনুমান-এর উৎস দেখুন

{{AFC submission|t||ts=20250314031712|u=Arijit Kisku|ns=118}}
[[:en:Erdős–Straus conjecture|এরডোস-স্ট্রাউস অনুমান]] হল সংখ্যা তত্ত্বের একটি অমীমাংসিত সমস্যা, যা প্রস্তাব করে যে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা <math>n > 2</math> এর জন্য,  <math>\frac{4}{n}</math> ভগ্নাংশটিকে তিনটি একক ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা সম্ভব। অর্থাৎ,  
<math>
\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}
</math>  
যেখানে <math>x, y, z</math> ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এই অনুমানটি প্রস্তাব করেন গণিতবিদ [[পল এরডোস]] ও [[আর্নস্ট জি. স্ট্রাউস]] ১৯৪৮ সালে। এটি [[মিশরীয় ভগ্নাংশ]] বিষয়ক গবেষণার সাথে যুক্ত, যেখানে ভগ্নাংশগুলিকে স্বতন্ত্র একক ভগ্নাংশ (যেমন: <math>\frac{1}{x}</math>)-এর সমষ্টি হিসাবে লেখা হয়।

==ইতিহাস==
এরডোস ও স্ট্রাউস ১৯৪৮ সালে তাদের গবেষণাপত্রে এই অনুমানটি উত্থাপন করেন। তারা দেখান যে <math>\frac{4}{n}</math>-এর জন্য সম্ভাব্য সমাধান খুঁজে বের করা <math>\frac{5}{n}</math> বা উচ্চতর অংকের ভগ্নাংশের তুলনায় জটিল হতে পারে। ১৯৫০-এর দশকে [[লুই জে. মর্ডেলের]] মতো গণিতবিদরা এ সম্পর্কিত আংশিক ফলাফল প্রকাশ করেন।

==উদাহরণ==

*<math>n = 5</math>-এর জন্য, <math>\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}</math>।  
*<math>n = 6</math>-এর জন্য, <math>\frac{4}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}</math>।
*<math>n = 7</math>-এর ক্ষেত্রে, <math>\frac{4}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{15} + \frac{1}{210}</math>।

{| class="wikitable"
|+ <math>
\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}
</math> সমীকরণের সমাধানসমূহ
|-
! n
! (x,y,z)
|-
| 5 
|(2,4,20); (2, 5, 10)
|-
| 6 
| (2, 8, 24); (3, 4, 12), (3,6,6)
|-
| 7 
| (2, 21, 42); (3, 6, 14); (2,15,210)
|-
| 8 
| (3, 6, 42); (3, 8, 24); (4,5,20); (4, 6, 12)
|-
| 9 
| (3, 12, 36); (4, 6, 36)
|-
| 10 
| (3, 20, 60); (5, 6, 30); (4, 10, 20)
|-
| 11 
| (3, 44, 132); (4, 11, 44); (4, 12, 33)
|-
| 12 
| (4, 18, 36); (4, 16, 48); (6, 8, 24)
|-
| 13 
| (4, 26, 52)
|-
| 14 
| (4, 42, 84); (5, 70, 140); (6, 14, 21); (7, 8, 56); (6, 12, 28)
|-
| 15 
| (4, 90, 180); (5, 18, 90); (6, 15, 30); (7, 10, 42)
|-
| 16 
| (5, 30, 60); (6, 12, 84); (8, 12, 24); (6, 20, 30)
|-
| 17 
| (5, 30, 510); (6, 17, 102)
|-
| 18 
| (6, 24, 72); (8, 12, 72)
|-
| 19 
| (6, 38, 57)
|-
| 20 
| (7, 20, 140)
|}

==প্রমাণিত অংশ==
অধিকাংশ <math>n</math>-এর জন্য অনুমানটি সত্য। যেমন:

*<math>\frac{4}{2k} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}+\frac{1}{k(k+1)}</math>
*<math>\frac{4}{3k} = \frac{1}{2k}+\frac{1}{2k} + \frac{1}{3k}</math>
*<math>\frac{4}{3k+2} = \frac{1}{k+1} +\frac{1}{3k+2}+ \frac{1}{(k+1)(3k+2)}</math>
*<math>\frac{4}{4k-1} = \frac{1}{k} +\frac{1}{2k(4k-1)}+ \frac{1}{2k(4k-1)}=\frac{1}{k} +\frac{1}{(k+1)(4k-1)}+\frac{1}{k(k+1)(4k-1)}</math>
*<math>\frac{4}{4k+3} = \frac{1}{k+1} +\frac{1}{(2k+2)(4k+3)}+ \frac{1}{(2k+2)(4k+3)}</math>
*<math>\frac{ 4 }{ 3ak - 1 } = \frac{ 1 }{ ak } + \frac{ 1 }{ 3ak - 1 } + \frac{ 1 }{ ak ( 3ak - 1 )  }</math>

:<math>\frac{4}{3k-1} = \frac{1}{k} +\frac{1}{3k-1}+ \frac{1}{k(3k-1)};a=1</math>
:<math>\frac{4}{6k-1} = \frac{1}{2k} +\frac{1}{6k-1}+ \frac{1}{2k(6k-1)};a=2</math>

*<math>\frac{ 4 }{ 8k - 3 } = \frac{ 1 }{ 3k - 1 } + \frac{ 1 }{ 2 ( 3k - 1 )  } + \frac{ 1 }{ 2 ( 3k - 1 )  ( 8k- 3 )}</math>
*<math>\frac{4}{8k+2} = \frac{1}{4k+1} + \frac{1}{4k+2} + \frac{1}{(4k+1)(4k+2)}</math>
*<math>\frac{4}{8k+3} = \frac{1}{2k+2} + \frac{1}{(2k+1)(2k+2)} + \frac{1}{(2k+1)(8k+3)}</math>
*<math>\frac{4}{8k+4} = \frac{1}{2k+3} + \frac{1}{(2k+2)(2k+3)} + \frac{1}{(2k+1)(2k+2)}</math>
*<math>\frac{4}{8k+5} = \frac{1}{2k+2} + \frac{1}{(2k+2)(8k+5)} + \frac{1}{(k+1)(8k+5)}</math>
*<math>\frac{4}{8k+6} = \frac{1}{4k+3} + \frac{1}{4k+4} + \frac{1}{(4k+3)(4k+4)}</math>
*<math>\frac{4}{8k+7} = \frac{1}{2k+3} + \frac{1}{(2k+2)(2k+3)} + \frac{1}{(2k+2)(8k+7)}</math>
*<math>\frac{4}{8k+8} = \frac{1}{2k+4} + \frac{1}{(2k+2)(2k+3)} + \frac{1}{(2k+3)(2k+4)}</math>
*<math>\frac{ 4 }{  ( 8a - 1 ) k + 4a - 1 } = \frac{ 1 }{ a ( 2k + 1 )  } + \frac{ 1 }{ 2a \{  ( 8a - 1 ) k + 4a - 1 \}  } + \frac{ 1 }{ 2a ( 2k + 1 )  \{  ( 8a - 1 ) k + 4a - 1 \}  }</math>
*<math> \frac{ 4 }{  4k^{ 2 } - k - 1   } =\frac{ 1 }{ k^{ 2 } } + \frac{ 1 }{ k( 4k^{ 2 } - k - 1 )  } + \frac{ 1 }{ k^{ 2 } ( 4k^{ 2 } - k - 1 )  }</math>
*<math>\frac{ 4 }{ 12k - 3 } = \frac{ 1 }{ 3k } + \frac{ 1 }{  ( k + 1 )  ( 12k - 3 )  } + \frac{ 1 }{ 3k ( k + 1 )  ( 4k - 1 )  }</math>
*<math>\frac{ 4 }{ 12k - 7} = \frac{ 1 }{ 3k-1} + \frac{ 1 }{ k   ( 12k - 7 )  } + \frac{ 1 }{ k ( 3k - 1 )  ( 12k - 7 )  }</math>
*<math>\frac{ 4 }{ 24k - 11} = \frac{ 1 }{ 6k-2} + \frac{ 1 }{ 2k   ( 24k - 11 )  } + \frac{ 1 }{ k ( 6k - 2 )  ( 24k - 11 )  }</math>
*<math>\frac{ 4 }{ 60k - 35} = \frac{ 1 }{ 24k-14} + \frac{ 1 }{  60k - 35 } + \frac{ 1 }{ 2( 60k - 35 )}</math>

==অপ্রমাণিত অংশ==
[[মর্ডেল]] দেখিয়েছেন যে, কেবল মাত্র 
<math>n \equiv 1, 11^2, 13^2, 17^2, 19^2, 23^2 \pmod{840}</math> অর্থাৎ সহজ ভাষায়:<math>840k+1, 840k+11^2, 840k+13^2, 840k+17^2, 840k+19^2, 840k+23^2</math>
আকৃতির [[মৌলিক সংখ্যা]]সমূহের জন্য অপ্রমানিত রয়েছে।

==গণনা যাচাই  ==
গাণিতিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করে <math>n</math>-এর বিশাল মানের জন্য অনুমানটি পরীক্ষা করা হয়েছে:  
*১৯৯৯ সালে <math>n \le 10^8</math> এর জন্য অনুমানটির সত্যতা যাচাই সম্পন্ন হয়।  
*২০১৪ সাল নাগাদ <math>n \le 10^{17}</math> এর জন্য কোনো প্রতিউদাহরণ (counterexample) পাওয়া যায়নি।

==তথ্যসূত্র ==
1. Erdős, P., & Straus, E. G. (1948). "On the Representation of Fractions." *Journal of Number Theory*.  
2. Mordell, L. J. (1967). *Diophantine Equations*. Academic Press.  
3. Swett, A. (1999). "The Erdős–Straus Conjecture: Computational Verification." *Mathematics of Computation*.