খসড়া:এরডোস–স্ট্রাউস অনুমান

টেমপ্লেট:AFC submission এরডোস-স্ট্রাউস অনুমান হল সংখ্যা তত্ত্বের একটি অমীমাংসিত সমস্যা, যা প্রস্তাব করে যে প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা $n > 2$ এর জন্য, $\frac{4}{n}$ ভগ্নাংশটিকে তিনটি একক ভগ্নাংশের যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা সম্ভব। অর্থাৎ, $\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ যেখানে $x, y, z$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। এই অনুমানটি প্রস্তাব করেন গণিতবিদ পল এরডোস ও আর্নস্ট জি. স্ট্রাউস ১৯৪৮ সালে। এটি মিশরীয় ভগ্নাংশ বিষয়ক গবেষণার সাথে যুক্ত, যেখানে ভগ্নাংশগুলিকে স্বতন্ত্র একক ভগ্নাংশ (যেমন: $\frac{1}{x}$ )-এর সমষ্টি হিসাবে লেখা হয়।

ইতিহাস

এরডোস ও স্ট্রাউস ১৯৪৮ সালে তাদের গবেষণাপত্রে এই অনুমানটি উত্থাপন করেন। তারা দেখান যে $\frac{4}{n}$ -এর জন্য সম্ভাব্য সমাধান খুঁজে বের করা $\frac{5}{n}$ বা উচ্চতর অংকের ভগ্নাংশের তুলনায় জটিল হতে পারে। ১৯৫০-এর দশকে লুই জে. মর্ডেলের মতো গণিতবিদরা এ সম্পর্কিত আংশিক ফলাফল প্রকাশ করেন।

উদাহরণ

$n = 5$ -এর জন্য, $\frac{4}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{10}$ ।
$n = 6$ -এর জন্য, $\frac{4}{6} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6}$ ।
$n = 7$ -এর ক্ষেত্রে, $\frac{4}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{15} + \frac{1}{210}$ ।

$\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ সমীকরণের সমাধানসমূহ
n	(x,y,z)
5	(2,4,20); (2, 5, 10)
6	(2, 8, 24); (3, 4, 12), (3,6,6)
7	(2, 21, 42); (3, 6, 14); (2,15,210)
8	(3, 6, 42); (3, 8, 24); (4,5,20); (4, 6, 12)
9	(3, 12, 36); (4, 6, 36)
10	(3, 20, 60); (5, 6, 30); (4, 10, 20)
11	(3, 44, 132); (4, 11, 44); (4, 12, 33)
12	(4, 18, 36); (4, 16, 48); (6, 8, 24)
13	(4, 26, 52)
14	(4, 42, 84); (5, 70, 140); (6, 14, 21); (7, 8, 56); (6, 12, 28)
15	(4, 90, 180); (5, 18, 90); (6, 15, 30); (7, 10, 42)
16	(5, 30, 60); (6, 12, 84); (8, 12, 24); (6, 20, 30)
17	(5, 30, 510); (6, 17, 102)
18	(6, 24, 72); (8, 12, 72)
19	(6, 38, 57)
20	(7, 20, 140)

প্রমাণিত অংশ

অধিকাংশ $n$ -এর জন্য অনুমানটি সত্য। যেমন:

$\frac{4}{2 k} = \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{k (k + 1)}$
$\frac{4}{3 k} = \frac{1}{2 k} + \frac{1}{2 k} + \frac{1}{3 k}$
$\frac{4}{3 k + 2} = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{3 k + 2} + \frac{1}{(k + 1) (3 k + 2)}$
$\frac{4}{4 k - 1} = \frac{1}{k} + \frac{1}{2 k (4 k - 1)} + \frac{1}{2 k (4 k - 1)} = \frac{1}{k} + \frac{1}{(k + 1) (4 k - 1)} + \frac{1}{k (k + 1) (4 k - 1)}$
$\frac{4}{4 k + 3} = \frac{1}{k + 1} + \frac{1}{(2 k + 2) (4 k + 3)} + \frac{1}{(2 k + 2) (4 k + 3)}$
$\frac{4}{3 a k - 1} = \frac{1}{a k} + \frac{1}{3 a k - 1} + \frac{1}{a k (3 a k - 1)}$

\frac{4}{3 k - 1} = \frac{1}{k} + \frac{1}{3 k - 1} + \frac{1}{k (3 k - 1)}; a = 1

\frac{4}{6 k - 1} = \frac{1}{2 k} + \frac{1}{6 k - 1} + \frac{1}{2 k (6 k - 1)}; a = 2

$\frac{4}{8 k - 3} = \frac{1}{3 k - 1} + \frac{1}{2 (3 k - 1)} + \frac{1}{2 (3 k - 1) (8 k - 3)}$
$\frac{4}{8 k + 2} = \frac{1}{4 k + 1} + \frac{1}{4 k + 2} + \frac{1}{(4 k + 1) (4 k + 2)}$
$\frac{4}{8 k + 3} = \frac{1}{2 k + 2} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 2)} + \frac{1}{(2 k + 1) (8 k + 3)}$
$\frac{4}{8 k + 4} = \frac{1}{2 k + 3} + \frac{1}{(2 k + 2) (2 k + 3)} + \frac{1}{(2 k + 1) (2 k + 2)}$
$\frac{4}{8 k + 5} = \frac{1}{2 k + 2} + \frac{1}{(2 k + 2) (8 k + 5)} + \frac{1}{(k + 1) (8 k + 5)}$
$\frac{4}{8 k + 6} = \frac{1}{4 k + 3} + \frac{1}{4 k + 4} + \frac{1}{(4 k + 3) (4 k + 4)}$
$\frac{4}{8 k + 7} = \frac{1}{2 k + 3} + \frac{1}{(2 k + 2) (2 k + 3)} + \frac{1}{(2 k + 2) (8 k + 7)}$
$\frac{4}{8 k + 8} = \frac{1}{2 k + 4} + \frac{1}{(2 k + 2) (2 k + 3)} + \frac{1}{(2 k + 3) (2 k + 4)}$
$\frac{4}{(8 a - 1) k + 4 a - 1} = \frac{1}{a (2 k + 1)} + \frac{1}{2 a {(8 a - 1) k + 4 a - 1}} + \frac{1}{2 a (2 k + 1) {(8 a - 1) k + 4 a - 1}}$
$\frac{4}{4 k^{2} - k - 1} = \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{k (4 k^{2} - k - 1)} + \frac{1}{k^{2} (4 k^{2} - k - 1)}$
$\frac{4}{12 k - 3} = \frac{1}{3 k} + \frac{1}{(k + 1) (12 k - 3)} + \frac{1}{3 k (k + 1) (4 k - 1)}$
$\frac{4}{12 k - 7} = \frac{1}{3 k - 1} + \frac{1}{k (12 k - 7)} + \frac{1}{k (3 k - 1) (12 k - 7)}$
$\frac{4}{24 k - 11} = \frac{1}{6 k - 2} + \frac{1}{2 k (24 k - 11)} + \frac{1}{k (6 k - 2) (24 k - 11)}$
$\frac{4}{60 k - 35} = \frac{1}{24 k - 14} + \frac{1}{60 k - 35} + \frac{1}{2 (60 k - 35)}$

অপ্রমাণিত অংশ

মর্ডেল দেখিয়েছেন যে, কেবল মাত্র $n \equiv 1, 1 1^{2}, 1 3^{2}, 1 7^{2}, 1 9^{2}, 2 3^{2} (\mod 840)$ অর্থাৎ সহজ ভাষায়: $840 k + 1, 840 k + 1 1^{2}, 840 k + 1 3^{2}, 840 k + 1 7^{2}, 840 k + 1 9^{2}, 840 k + 2 3^{2}$ আকৃতির মৌলিক সংখ্যাসমূহের জন্য অপ্রমানিত রয়েছে।

গণনা যাচাই

গাণিতিক অ্যালগরিদম ব্যবহার করে $n$ -এর বিশাল মানের জন্য অনুমানটি পরীক্ষা করা হয়েছে:

১৯৯৯ সালে $n \leq 1 0^{8}$ এর জন্য অনুমানটির সত্যতা যাচাই সম্পন্ন হয়।
২০১৪ সাল নাগাদ $n \leq 1 0^{17}$ এর জন্য কোনো প্রতিউদাহরণ (counterexample) পাওয়া যায়নি।

তথ্যসূত্র

1. Erdős, P., & Straus, E. G. (1948). "On the Representation of Fractions." *Journal of Number Theory*. 2. Mordell, L. J. (1967). *Diophantine Equations*. Academic Press. 3. Swett, A. (1999). "The Erdős–Straus Conjecture: Computational Verification." *Mathematics of Computation*.

খসড়া:এরডোস–স্ট্রাউস অনুমান

পরিচ্ছেদসমূহ

ইতিহাস

উদাহরণ

প্রমাণিত অংশ

অপ্রমাণিত অংশ

গণনা যাচাই

তথ্যসূত্র

পরিভ্রমণ বাছাইতালিকা

খসড়া:এরডোস–স্ট্রাউস অনুমান

ইতিহাস

উদাহরণ

প্রমাণিত অংশ

অপ্রমাণিত অংশ

গণনা যাচাই

তথ্যসূত্র

পরিভ্রমণ বাছাইতালিকা

অনুসন্ধান