গেলফোন্ডের ধ্রুবক-এর উৎস দেখুন

গণিতে, '''π-এর সূচক''' {{math|''e''{{sup|''π''}}}},<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি |শিরোনাম=A039661 - OEIS |ইউআরএল=https://oeis.org/A039661 |সংগ্রহের-তারিখ=2024-10-27 |ওয়েবসাইট=oeis.org}}</ref> এছাড়াও '''গেলফন্ডের ধ্রুবক''' নামে পরিচিত,<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Weisstein |প্রথমাংশ=Eric W. |শিরোনাম=Gelfond's Constant |ইউআরএল=https://mathworld.wolfram.com/GelfondsConstant.html |সংগ্রহের-তারিখ=2024-10-27 |ওয়েবসাইট=mathworld.wolfram.com |ভাষা=en}}</ref> হল প্রকৃত সংখ্যা {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}} উত্তোলিত থেকে [[Pi|{{pi}}]]।

এর দশমিক প্রসারণ দ্বারা দেওয়া হয়:

:''{{mvar|e{{sup|π}}}}'' = {{val|23.14069263277926900572}}... {{OEIS|A039661}}
{{mvar|e}} এবং {{pi}} উভয়ের মতোই, এই ধ্রুবকটি উভয়ই [[irrational number|অপরিমেয়]] এবং [[transcendental number|অতিক্রমী]]। এটি [[Gelfond–Schneider theorem|গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য]] থেকে অনুসরণ করে, যা প্রতিষ্ঠিত করে {{math|''a''{{sup|''b''}}}} অতিক্রমী হতে, দেওয়া যে {{math|''a''}} হল [[Algebraic number|বীজগাণিতিক]] এবং [[0|শূন্য]] বা [[1|এক]] নয় এবং {{math|''b''}} হল বীজগাণিতিক কিন্তু [[Rational number|পরিমেয়]] নয়। আমাদের আছে<math display="block"> e^\pi = (e^{i\pi})^{-i} = (-1)^{-i},</math>যেখানে {{mvar|i}} হল [[imaginary unit|কাল্পনিক একক]]। যেহেতু {{math|&minus;''i''}} হল বীজগাণিতিক কিন্তু পরিমেয় নয়, {{math|''e''{{sup|''π''}}}} অতিক্রমী। সংখ্যাগুলি {{pi}} এবং {{math|''e''{{sup|''π''}}}} এছাড়াও [[Algebraic independence|বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন]] হিসাবে পরিচিত [[Rational number|পরিমেয় সংখ্যাগুলির]] উপর, যেমন [[Yuri Nesterenko (mathematician)|ইউরি নেস্টেরেঙ্কো]] দ্বারা প্রদর্শিত।<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |লেখক=Nesterenko, Y |লেখক-সংযোগ=Yuri Valentinovich Nesterenko |বছর=1996 |শিরোনাম=Modular Functions and Transcendence Problems |সাময়িকী=[[Comptes rendus de l'Académie des sciences|Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I]] |খণ্ড=322 |সংখ্যা নং=10 |পাতাসমূহ=909–914 |zbl=0859.11047}}</ref> এটি জানা যায়নি যে {{math|''e''{{sup|''π''}}}} একটি লিউভিল সংখ্যা কিনা।<ref name=":7">{{cite arXiv |eprint=math/0312440 |first=Michel |last=Waldschmidt |title=Open Diophantine Problems |date=2004-01-24}}</ref> এই ধ্রুবকটি [[Hilbert's seventh problem|হিলবার্টের সপ্তম সমস্যায়]] উল্লেখিত হয়েছে [[Gelfond–Schneider constant|গেলফন্ড-স্নাইডার ধ্রুবক]] {{math|2{{sup|{{sqrt|2}}}}}} এর পাশাপাশি এবং নাম "গেলফন্ডের ধ্রুবক" সোভিয়েত গণিতবিদ [[Alexander Gelfond|আলেকজান্ডার গেলফন্ড]] থেকে উদ্ভূত হয়েছে।<ref name="tijdeman">{{বই উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Tijdeman |প্রথমাংশ=Robert |লেখক-সংযোগ=Robert Tijdeman |শিরোনাম=Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems |প্রকাশক=[[American Mathematical Society]] |বছর=1976 |আইএসবিএন=0-8218-1428-1 |সম্পাদক=Felix E. Browder |সম্পাদক-সংযোগ=Felix Browder |ধারাবাহিক=[[Proceedings of Symposia in Pure Mathematics]] |খণ্ড=XXVIII.1 |পাতাসমূহ=241–268 |অধ্যায়=On the Gel'fond–Baker method and its applications |zbl=0341.10026}}</ref>

==অভিযোগ==
ধ্রুবক {{math|''e''{{sup|''π''}}}} [[Volume|আয়তন]] এর সাথে সম্পর্কিত হিসাবে প্রদর্শিত হয় [[N-sphere|হাইপারস্পিয়ার]]:

[[File:hypersphere_volume_and_surface_area_graphs.svg|thumb|right|একক ত্রিমাত্রিক গোলকের আয়তন ({{tmath|V_n}}) এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ({{tmath|S_{n-1} }}) এর গ্রাফগুলি]]

একটি ''n-গোলকের'' [[radius|ত্রিজ্যা]] {{math|''R''}} সহ আয়তন দেওয়া হয়:<math display="block">V_n(R) = \frac{\pi^\frac{n}{2}R^n}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)},</math>যেখানে {{math|Γ}} হল [[gamma function|গামা ফাংশন]]। কেবলমাত্র একক গোলকগুলি ({{math|''R'' {{=}} 1}}) বিবেচনা করলে পাওয়া যায়:<math display="block">V_n(1) = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)},</math> যেকোনও সমমাত্রিক 2''n-গোলক'' এখন দেয়:<math display="block">V_{2n}(1) = \frac{\pi^n}{\Gamma(n+1)} = \frac{\pi^n}{n!}</math>সমস্ত সমমাত্রিক একক গোলকগুলির আয়তনগুলির যোগফল নিয়ে এবং [[series expansion|সিরিজ সম্প্রসারণ]] এর [[exponential function|সূচক ফাংশন]] ব্যবহার করে দেয়:<ref>{{ওয়েব উদ্ধৃতি |তারিখ=2019-05-26 |শিরোনাম=Sums of volumes of unit spheres |ইউআরএল=https://www.johndcook.com/blog/2019/05/26/sums-of-volumes-of-spheres/ |সংগ্রহের-তারিখ=2024-10-27 |ওয়েবসাইট=www.johndcook.com |ভাষা=en-US}}</ref><math display="block">\sum_{n=0}^\infty V_{2n} (1) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\pi^n}{n!} = \exp(\pi) = e^\pi.</math>এছাড়াও পাওয়া যায়:

যদি কেউ সংজ্ঞায়িত করে {{math|''k''{{sub|0}} {{=}} {{sfrac|1|{{sqrt|2}}}}}} এবং<math display="block">k_{n+1} = \frac{1 - \sqrt{1 - k_n^2}}{1 + \sqrt{1 - k_n^2}}</math>{{math|''n'' > 0}} এর জন্য, তাহলে ক্রম<math display="block">(4/k_{n+1})^{2^{-n}}</math>দ্রুতগতিতে অভিসারিত হয় {{math|''e''{{sup|''π''}}}} এর দিকে।<ref>{{বই উদ্ধৃতি |শেষাংশ১=Borwein |প্রথমাংশ১=J. |author1-link=Jonathan Borwein |ইউআরএল=https://archive.org/details/mathematicsbyexp00borw |শিরোনাম=Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century |শেষাংশ২=Bailey |প্রথমাংশ২=D. |প্রকাশক=A K Peters |বছর=2004 |আইএসবিএন=1-56881-211-6 |স্থান=Wellesley, MA |পাতা=[https://archive.org/details/mathematicsbyexp00borw/page/n150 137] |zbl=1083.00001 |ইউআরএল-সংগ্রহ=limited}}</ref>

==অনুরূপ বা সম্পর্কিত ধ্রুবকসমূহ==

=== রামানুজনের ধ্রুবক ===
সংখ্যাটি {{math|''e''{{sup|''π''{{sqrt|163}}}}}} [[Ramanujan's constant|রামানুজনের ধ্রুবক]] হিসাবে পরিচিত। এর দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়েছে:

:{{math|''e''{{sup|''π''{{sqrt|163}}}}}} = {{val|262537412640768743.99999999999925007259}}... {{OEIS|A060295}}

যা আশ্চর্যজনকভাবে সংখ্যা {{math|640320{{sup|3}} + 744}} এর খুব কাছাকাছি: এটি [[Heegner number|হিগনার সংখ্যা]]র একটি প্রয়োগ, যেখানে 163 হল প্রশ্নে উল্লিখিত হিগনার সংখ্যা। এই সংখ্যাটি ১৮৫৯ সালে গণিতবিদ [[Charles Hermite|চার্লস হারমাইট]] দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল।<ref>{{বই উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Barrow
  | প্রথমাংশ = John D
  | শিরোনাম = The Constants of Nature
  | ইউআরএল = https://archive.org/details/constantsofnatur0000barr_w2c7
  | প্রকাশক = Jonathan Cape
  | পাতা = [https://archive.org/details/constantsofnatur0000barr_w2c7/page/n91 72]
  | বছর = 2002
  | অবস্থান = London
  | আইএসবিএন = 0-224-06135-6 }}
</ref> ১৯৭৫ সালে [[April Fools' Day|এপ্রিল ফুল]] নিবন্ধে ''[[Scientific American|সায়েন্টিফিক আমেরিকান]]'' ম্যাগাজিনে,<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি
  | শেষাংশ = Gardner
  | প্রথমাংশ = Martin
  | শিরোনাম = Mathematical Games
  | সাময়িকী = Scientific American
  | খণ্ড = 232
  | সংখ্যা নং = 4
  | পাতা = 127
  | তারিখ = April 1975
  | প্রকাশক = Scientific American, Inc | ডিওআই = 10.1038/scientificamerican0575-102
 | বিবকোড = 1975SciAm.232e.102G
 }}
</ref> "ম্যাথেমেটিক্যাল গেমস" কলাম লেখক [[Martin Gardner|মার্টিন গার্ডনার]] মিথ্যা দাবি করেন যে সংখ্যাটি আসলে একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং ভারতীয় গণিত প্রতিভা [[Srinivasa Ramanujan|শ্রীনিবাস রামানুজন]] এটি পূর্বাভাস করেছিলেন—এই কারণে এর নাম। রামানুজনের ধ্রুবকটিও একটি অতিক্রম সংখ্যা।

অদ্ভুত সন্নিকটতা, যা সংখ্যার থেকে এক ট্রিলিয়নথের মধ্যে {{math|640320{{sup|3}} + 744}} ব্যাখ্যা করা হয় [[complex multiplication|জটিল গুণফল]] এবং [[Q-expansion|''q''-এক্সপ্যানশন]] দ্বারা [[j-invariant|জে-অপরিবর্তক]], বিশেষভাবে:<math display="block">j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640\,320)^3</math> এবং,<math display="block">(-640\,320)^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)</math> যেখানে {{math|''O''(''e''{{sup|-''π''{{sqrt|163}}}})}} হল ত্রুটি শব্দ,<math display="block">{\displaystyle O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right) = -196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75}</math> যা ব্যাখ্যা করে কেন {{math|''e''{{sup|''π''{{sqrt|163}}}}}} {{math|640320{{sup|3}} + 744}} এর থেকে 0.000 000 000 000 75 নিচে।

(এই প্রমাণের আরও বিস্তারিত জানার জন্য, [[Heegner number|হেগনার সংখ্যা]] নিবন্ধটি দেখুন।)

=== সংখ্যাটি {{math|''e''{{sup|''π''}} − ''π''}} ===
সংখ্যাটি {{math|''e''{{sup|''π''}} − ''π''}} খুব কাছাকাছি একটি পূর্ণ সংখ্যা, যার দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়:

:{{math|''e''{{sup|''π''}} − ''π''}} = {{val|19.99909997918947576726}}... {{OEIS|A018938}}

এই অদ্ভুত সন্নিকটতার ব্যাখ্যা ২০২৩ সালের সেপ্টেম্বরে এ. ডোমান দ্বারা দেওয়া হয়েছিল, এবং এটি একটি ফলাফল যা [[Jacobi theta functions|জ্যাকোবি থেটা ফাংশন]] এর সাথে সম্পর্কিত যেমন: <math display="block">\sum_{k=1}^{\infty}\left( 8\pi k^2 -2 \right) e^{-\pi k^2} = 1</math> প্রথম পদটি প্রাধান্য পায় যেহেতু <math>k\geq 2</math> এর জন্য পদগুলির সমষ্টি মোট <math>\sim 0.0003436</math> সমষ্টি তখন <math>\left( 8\pi -2\right) e^{-\pi}\approx 1,</math> এ সংকুচিত করা যায়, যেখানে <math>e^{\pi}</math> সমাধানের জন্য <math>e^{\pi} \approx 8\pi -2</math> <math>e^{\pi}</math> এর আনুমানিকটি পুনর্লিখন এবং <math>7\pi \approx 22</math> এর আনুমানিকটি ব্যবহার করে <math display="block"> e^{\pi} \approx \pi + 7\pi - 2 \approx \pi + 22-2 = \pi+20</math> সুতরাং, পদগুলি পুনর্বিন্যাস করে <math>e^{\pi} - \pi \approx 20</math> খেয়ালীভাবে, <math>7\pi</math> এর স্থূল আনুমানিকটি একটি অতিরিক্ত অর্ডার প্রদান করে।<ref name="MathWorld">[[Eric Weisstein]], [http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html "Almost Integer"] at [[MathWorld]]</ref>

=== সংখ্যাটি {{math|''π''{{sup|''e''}}}} ===
{{math|''π''{{sup|''e''}}}} এর দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়:

:<math>
\pi^{e} = </math> {{val|22.45915771836104547342}}... {{OEIS|A059850}}

এটি অজানা যে এই সংখ্যা সাংক্রমিক কিনা। লক্ষ করুন যে, [[Gelfond–Schneider theorem|গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য]] দ্বারা, আমরা শুধুমাত্র নিশ্চিতভাবে নির্ধারণ করতে পারি {{math|''a''{{sup|''b''}}}} সাংক্রমিক কিনা যদি {{mvar|a}} এবং {{mvar|b}} বীজগাণিতিক হয় ({{mvar|a}} এবং {{mvar|b}} উভয়ই [[complex number|জটিল সংখ্যা]] হিসেবে বিবেচিত হয়)।

{{math|''e''{{sup|''π''}}}} এর ক্ষেত্রে, আমরা শুধুমাত্র এই সংখ্যা সাংক্রমিক প্রমাণ করতে পারি জটিল সূচকীয় ফর্মের বৈশিষ্ট্য এবং উপরের সমতুল্য প্রদত্ত কারণ এটিকে {{math|(-1){{sup|-''i''}}}} তে রূপান্তর করতে দেয়, যা গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য প্রয়োগ করতে দেয়।

{{math|''π''{{sup|''e''}}}} এর কোনও সমতুল্য নেই, এবং তাই, যেহেতু উভয় {{pi}} এবং {{mvar|e}} সাংক্রমিক, আমরা {{math|''π''{{sup|''e''}}}} এর সাংক্রমিকতা সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি না। তবে বর্তমানে অপ্রমাণিত [[Schanuel's conjecture|সানুয়েলের অনুমান]] এর সাংক্রমিকতা নির্দেশ করবে।<ref name=":1">{{ওয়েব উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Waldschmidt |প্রথমাংশ=Michel |তারিখ=2021 |শিরোনাম=Schanuel’s Conjecture: algebraic independence of transcendental numbers |ইউআরএল=https://webusers.imj-prg.fr/~michel.waldschmidt/articles/pdf/SchanuelEn.pdf}}</ref>

=== সংখ্যাটি {{math|''i''{{sup|''i''}}}} ===
[[complex logarithm|জটিল লগারিদমের]] [[principal value|প্রধান মান]] ব্যবহার করে<math display="block">i^{i} = (e^{i\pi/2})^i = e^{-\pi/2} = (e^{\pi})^{-1/2}</math> এর দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়:

:<math>
i^{i} = </math> {{val|0.20787957635076190854}}... {{OEIS|A049006}}

এর সাংক্রমিকতা সরাসরি {{math|''e''{{sup|''π''}}}} এর সাংক্রমিকতা থেকে অনুসৃত হয়।

== এছাড়াও দেখুন ==
* [[Transcendental number|সাংক্রমিক সংখ্যা]]
* [[Transcendental number theory|সাংক্রমিক সংখ্যা তত্ত্ব]], সাংক্রমিক সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত প্রশ্নগুলির গবেষণা
* [[Euler's identity|অয়লার এর পরিচয়]]
* [[Gelfond–Schneider constant|গেলফন্ড-স্নাইডার ধ্রুবক]]

==তথ্যসূত্র==
{{সূত্র তালিকা}}

==অধিক পঠন==
* [[Alan Baker (mathematician)|অ্যালান বেকার]] এবং [[Gisbert Wüstholz|গিসবার্ট উস্টহোলজ]], ''Logarithmic Forms and Diophantine Geometry'', নিউ ম্যাথেমেটিকাল মনোগ্রাফস '''9''', ক্যামব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, ২০০৭, {{ISBN|978-0-521-88268-2}}

==বহিঃসংযোগ==
* [http://mathworld.wolfram.com/GelfondsConstant.html গেলফন্ডের ধ্রুবক ''ম্যাথওয়ার্ল্ড'' এ]
* [https://web.archive.org/web/20091027100754/http://www.geocities.com/timeparadox/Muntekim.htm  গেলফন্ডের ধ্রুবকের জন্য একটি নতুন জটিল শক্তি টাওয়ার পরিচয়]
* [http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html প্রায় পূর্ণসংখ্যা ''ম্যাথওয়ার্ল্ড'' এ]

[[বিষয়শ্রেণী:গণিত]]
[[বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধ্রুবক]]