গেলফোন্ডের ধ্রুবক

গণিতে, π-এর সূচক টেমপ্লেট:Math, এছাড়াও গেলফন্ডের ধ্রুবক নামে পরিচিত, হল প্রকৃত সংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar উত্তোলিত থেকে [[Pi|টেমপ্লেট:Pi]]।

এর দশমিক প্রসারণ দ্বারা দেওয়া হয়:

টেমপ্লেট:Mvar = টেমপ্লেট:Val... টেমপ্লেট:OEIS

টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Pi উভয়ের মতোই, এই ধ্রুবকটি উভয়ই অপরিমেয় এবং অতিক্রমী। এটি গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে, যা প্রতিষ্ঠিত করে টেমপ্লেট:Math অতিক্রমী হতে, দেওয়া যে টেমপ্লেট:Math হল বীজগাণিতিক এবং শূন্য বা এক নয় এবং টেমপ্লেট:Math হল বীজগাণিতিক কিন্তু পরিমেয় নয়। আমাদের আছে$$e^{\pi }=(e^{i\pi }{)}^{-i}=(-1{)}^{-i},$$যেখানে টেমপ্লেট:Mvar হল কাল্পনিক একক। যেহেতু টেমপ্লেট:Math হল বীজগাণিতিক কিন্তু পরিমেয় নয়, টেমপ্লেট:Math অতিক্রমী। সংখ্যাগুলি টেমপ্লেট:Pi এবং টেমপ্লেট:Math এছাড়াও বীজগাণিতিকভাবে স্বাধীন হিসাবে পরিচিত পরিমেয় সংখ্যাগুলির উপর, যেমন ইউরি নেস্টেরেঙ্কো দ্বারা প্রদর্শিত। এটি জানা যায়নি যে টেমপ্লেট:Math একটি লিউভিল সংখ্যা কিনা। এই ধ্রুবকটি হিলবার্টের সপ্তম সমস্যায় উল্লেখিত হয়েছে গেলফন্ড-স্নাইডার ধ্রুবক টেমপ্লেট:Math এর পাশাপাশি এবং নাম "গেলফন্ডের ধ্রুবক" সোভিয়েত গণিতবিদ আলেকজান্ডার গেলফন্ড থেকে উদ্ভূত হয়েছে।

অভিযোগ

ধ্রুবক টেমপ্লেট:Math আয়তন এর সাথে সম্পর্কিত হিসাবে প্রদর্শিত হয় হাইপারস্পিয়ার:

একক ত্রিমাত্রিক গোলকের আয়তন (টেমপ্লেট:Tmath) এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল (টেমপ্লেট:Tmath) এর গ্রাফগুলি

একটি n-গোলকের ত্রিজ্যা টেমপ্লেট:Math সহ আয়তন দেওয়া হয়:$$V_n(R)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}{R}^n}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)},$$যেখানে টেমপ্লেট:Math হল গামা ফাংশন। কেবলমাত্র একক গোলকগুলি (টেমপ্লেট:Math) বিবেচনা করলে পাওয়া যায়:$$V_n(1)=\frac{{\pi }^{\frac{n}{2}}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)},$$ যেকোনও সমমাত্রিক 2n-গোলক এখন দেয়:$$V_{2n}(1)=\frac{{\pi }^n}{\mathrm{\Gamma }(n+1)}=\frac{{\pi }^n}{n!}$$সমস্ত সমমাত্রিক একক গোলকগুলির আয়তনগুলির যোগফল নিয়ে এবং সিরিজ সম্প্রসারণ এর সূচক ফাংশন ব্যবহার করে দেয়:$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{V}_{2n}(1)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\pi }^n}{n!}=\exp (\pi )=e^{\pi }.$$এছাড়াও পাওয়া যায়:

যদি কেউ সংজ্ঞায়িত করে টেমপ্লেট:Math এবং$$k_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}$$টেমপ্লেট:Math এর জন্য, তাহলে ক্রম$$(4/k_{n+1}{)}^{2^{-n}}$$দ্রুতগতিতে অভিসারিত হয় টেমপ্লেট:Math এর দিকে।

অনুরূপ বা সম্পর্কিত ধ্রুবকসমূহ

রামানুজনের ধ্রুবক

সংখ্যাটি টেমপ্লেট:Math রামানুজনের ধ্রুবক হিসাবে পরিচিত। এর দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়েছে:

টেমপ্লেট:Math = টেমপ্লেট:Val... টেমপ্লেট:OEIS

যা আশ্চর্যজনকভাবে সংখ্যা টেমপ্লেট:Math এর খুব কাছাকাছি: এটি হিগনার সংখ্যার একটি প্রয়োগ, যেখানে 163 হল প্রশ্নে উল্লিখিত হিগনার সংখ্যা। এই সংখ্যাটি ১৮৫৯ সালে গণিতবিদ চার্লস হারমাইট দ্বারা আবিষ্কৃত হয়েছিল। ১৯৭৫ সালে এপ্রিল ফুল নিবন্ধে সায়েন্টিফিক আমেরিকান ম্যাগাজিনে, "ম্যাথেমেটিক্যাল গেমস" কলাম লেখক মার্টিন গার্ডনার মিথ্যা দাবি করেন যে সংখ্যাটি আসলে একটি পূর্ণসংখ্যা, এবং ভারতীয় গণিত প্রতিভা শ্রীনিবাস রামানুজন এটি পূর্বাভাস করেছিলেন—এই কারণে এর নাম। রামানুজনের ধ্রুবকটিও একটি অতিক্রম সংখ্যা।

অদ্ভুত সন্নিকটতা, যা সংখ্যার থেকে এক ট্রিলিয়নথের মধ্যে টেমপ্লেট:Math ব্যাখ্যা করা হয় জটিল গুণফল এবং q-এক্সপ্যানশন দ্বারা জে-অপরিবর্তক, বিশেষভাবে:$$j((1+\sqrt{-163})/2)=(-640320{)}^3$$ এবং,$$(-640320{)}^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)$$ যেখানে টেমপ্লেট:Math হল ত্রুটি শব্দ,$$O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)=-196884/e^{\pi \sqrt{163}}\approx -196884/(640320^3+744)\approx -0.00000000000075$$ যা ব্যাখ্যা করে কেন টেমপ্লেট:Math টেমপ্লেট:Math এর থেকে 0.000 000 000 000 75 নিচে।

(এই প্রমাণের আরও বিস্তারিত জানার জন্য, হেগনার সংখ্যা নিবন্ধটি দেখুন।)

সংখ্যাটি টেমপ্লেট:Math

সংখ্যাটি টেমপ্লেট:Math খুব কাছাকাছি একটি পূর্ণ সংখ্যা, যার দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়:

টেমপ্লেট:Math = টেমপ্লেট:Val... টেমপ্লেট:OEIS

এই অদ্ভুত সন্নিকটতার ব্যাখ্যা ২০২৩ সালের সেপ্টেম্বরে এ. ডোমান দ্বারা দেওয়া হয়েছিল, এবং এটি একটি ফলাফল যা জ্যাকোবি থেটা ফাংশন এর সাথে সম্পর্কিত যেমন: $$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(8\pi k^2-2)e^{-\pi k^2}=1$$ প্রথম পদটি প্রাধান্য পায় যেহেতু $k\ge 2$ এর জন্য পদগুলির সমষ্টি মোট $\sim 0.0003436$ সমষ্টি তখন $(8\pi -2)e^{-\pi }\approx 1,$ এ সংকুচিত করা যায়, যেখানে $e^{\pi }$ সমাধানের জন্য $e^{\pi }\approx 8\pi -2$ $e^{\pi }$ এর আনুমানিকটি পুনর্লিখন এবং $7\pi \approx 22$ এর আনুমানিকটি ব্যবহার করে $$e^{\pi }\approx \pi +7\pi -2\approx \pi +22-2=\pi +20$$ সুতরাং, পদগুলি পুনর্বিন্যাস করে $e^{\pi }-\pi \approx 20$ খেয়ালীভাবে, $7\pi$ এর স্থূল আনুমানিকটি একটি অতিরিক্ত অর্ডার প্রদান করে।

সংখ্যাটি টেমপ্লেট:Math

টেমপ্লেট:Math এর দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়:

${\pi }^e=$ টেমপ্লেট:Val... টেমপ্লেট:OEIS

এটি অজানা যে এই সংখ্যা সাংক্রমিক কিনা। লক্ষ করুন যে, গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য দ্বারা, আমরা শুধুমাত্র নিশ্চিতভাবে নির্ধারণ করতে পারি টেমপ্লেট:Math সাংক্রমিক কিনা যদি টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar বীজগাণিতিক হয় (টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar উভয়ই জটিল সংখ্যা হিসেবে বিবেচিত হয়)।

টেমপ্লেট:Math এর ক্ষেত্রে, আমরা শুধুমাত্র এই সংখ্যা সাংক্রমিক প্রমাণ করতে পারি জটিল সূচকীয় ফর্মের বৈশিষ্ট্য এবং উপরের সমতুল্য প্রদত্ত কারণ এটিকে টেমপ্লেট:Math তে রূপান্তর করতে দেয়, যা গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য প্রয়োগ করতে দেয়।

টেমপ্লেট:Math এর কোনও সমতুল্য নেই, এবং তাই, যেহেতু উভয় টেমপ্লেট:Pi এবং টেমপ্লেট:Mvar সাংক্রমিক, আমরা টেমপ্লেট:Math এর সাংক্রমিকতা সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নিতে গেলফন্ড-স্নাইডার উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি না। তবে বর্তমানে অপ্রমাণিত সানুয়েলের অনুমান এর সাংক্রমিকতা নির্দেশ করবে।

সংখ্যাটি টেমপ্লেট:Math

জটিল লগারিদমের প্রধান মান ব্যবহার করে$$i^i=(e^{i\pi /2}{)}^i=e^{-\pi /2}=(e^{\pi }{)}^{-1/2}$$ এর দশমিক সম্প্রসারণ দেওয়া হয়:

$i^i=$ টেমপ্লেট:Val... টেমপ্লেট:OEIS

এর সাংক্রমিকতা সরাসরি টেমপ্লেট:Math এর সাংক্রমিকতা থেকে অনুসৃত হয়।

এছাড়াও দেখুন

• সাংক্রমিক সংখ্যা
• সাংক্রমিক সংখ্যা তত্ত্ব, সাংক্রমিক সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত প্রশ্নগুলির গবেষণা
• অয়লার এর পরিচয়
• গেলফন্ড-স্নাইডার ধ্রুবক

অধিক পঠন

• অ্যালান বেকার এবং গিসবার্ট উস্টহোলজ, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, নিউ ম্যাথেমেটিকাল মনোগ্রাফস 9, ক্যামব্রিজ ইউনিভার্সিটি প্রেস, ২০০৭, টেমপ্লেট:ISBN

বহিঃসংযোগ

• গেলফন্ডের ধ্রুবক ম্যাথওয়ার্ল্ড এ
• গেলফন্ডের ধ্রুবকের জন্য একটি নতুন জটিল শক্তি টাওয়ার পরিচয়
• প্রায় পূর্ণসংখ্যা ম্যাথওয়ার্ল্ড এ