ফেইগেনবাউম ধ্রুবকসমূহ-এর উৎস দেখুন

{{তথ্যছক অ-পূর্ণ সংখ্যা
| চিত্র = Feigenbaum.png
| চিত্রের_বিবরণ = ফেইগেনবাউম ধ্রুবক {{mvar|δ}} expresses the [[limit of a sequence|limit]] of the [[ratio]] of distances between consecutive bifurcation diagram on {{math|''L<sub>i</sub>''&thinsp;/''L''<sub>''i'' + 1</sub>}}.
| মূলদীয়তা = অজানা
| প্রতীক = δ এবং α
| দ্বিমিক = ৪.৬৬৯২... এবং ২.৫০২৯...
}}
[[গণিত|গণিতে]], বিশেষত দ্বিখণ্ডন তত্ত্ব, '''ফেইগেনবাউম ধ্রুবক''' {{IPAc-en|ˈ|f|aɪ|ɡ|ə|n|ˌ|b|aʊ|m}} <ref>{{উদ্ধৃতি |শিরোনাম=The Feigenbaum Constant (4.669) – Numberphile |তারিখ=16 January 2017 |ইউআরএল=https://www.youtube.com/watch?v=ETrYE4MdoLQ |সংগ্রহের-তারিখ=2023-02-07 |ভাষা=en}}</ref> হলো {{Mvar|δ}} এবং {{Mvar|α}} দুটি [[গাণিতিক ধ্রুবক]], যা উভয়ই একটি অ-রৈখিক মানচিত্রের জন্য একটি দ্বিবিভাজন চিত্রে অনুপাত প্রকাশ করে।  পদার্থবিজ্ঞানী মিচেল জে. ফেইগেনবাউমের নামে নামকরণ করা হয়েছে।

== ইতিহাস ==
ফেইগেনবাউম মূলত লজিস্টিক মানচিত্রে পিরিয়ড- দ্বিখণ্ডনের সাথে সম্পর্কিত প্রথম ধ্রুবক। তবে এটিকে একক দ্বিগুণ সর্বোচ্চ এক-মাত্রিক মানচিত্রের জন্যও ধরা যায়।  সাধারণ ফলস্বরূপ হলো এই বর্ণনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রতিটি [[বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব|বিশৃঙ্খল সিস্টেম]] একই হারে বিভাজিত হয়। ফেইগেনবাউম ১৯৭৫ সালে এটি আবিষ্কার করেন। <ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Feigenbaum|প্রথমাংশ=M. J.|বছর=1976|শিরোনাম=Universality in complex discrete dynamics|ইউআরএল=http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf}}</ref><ref>{{বই উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Chaos: An Introduction to Dynamical Systems|ইউআরএল=https://archive.org/details/chaosintroductio0000alli|শেষাংশ=Alligood|প্রথমাংশ=K. T.|শেষাংশ২=Sauer|প্রথমাংশ২=T. D.|বছর=1996|প্রকাশক=Springer|আইএসবিএন=0-387-94677-2}}</ref> ১৯৭৮ সালে তিনি আনুষ্ঠানিকভাবে এটি প্রকাশ করেন। <ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Feigenbaum|প্রথমাংশ=Mitchell J.|তারিখ=1978|শিরোনাম=Quantitative universality for a class of nonlinear transformations|পাতাসমূহ=25–52|ডিওআই=10.1007/BF01020332}}</ref>

== প্রথম ধ্রুবক ==
'''প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবক''' বা সহজভাবে '''ফেইগেনবাউম''' '''ধ্রুবক''' <ref name=":0">{{ওয়েব উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Weisstein|প্রথমাংশ=Eric W.|ভাষা=en|শিরোনাম=Feigenbaum Constant|ইউআরএল=https://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html|সংগ্রহের-তারিখ=2024-10-06|ওয়েবসাইট=mathworld.wolfram.com}}</ref> {{Mvar|δ}} হল প্রতিটি বিভাজন ব্যবধানের সীমিত অনুপাতকে প্রতিটি পিরিয়ড দ্বিগুণ করার মধ্য থেকে পরের একটি এক- [[প্রচল|প্যারামিটার]] মানচিত্রকে নির্দেশ করে। যেমন-

: <math>f(x) = a-x^2.</math>

যেখানে {{Math|''f''&thinsp;(''x'')}} হল একটি ফাংশন, যা বিভাজন পরামিতি {{Mvar|'''a'''}} দ্বারা পরিমাপিত।

এটি একটি [[ক্রম সীমা|সীমা]] দ্বারা দেওয়া হয়:<ref>{{বই উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers|শেষাংশ=Jordan|প্রথমাংশ=D. W.|শেষাংশ২=Smith|প্রথমাংশ২=P.|বছর=2007|প্রকাশক=Oxford University Press|আইএসবিএন=978-0-19-920825-8|সংস্করণ=4th}}</ref>

: <math>\delta = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n-1} - a_{n-2}}{a_n - a_{n-1}}</math>

যেখানে ''{{mvar|a<sub>n</sub>}}'' হল  ''{{mvar|n}}''তম সময়ের দ্বিগুণে {{Mvar|'''a'''}} এর বিচ্ছিন্ন মান।

এর সংখ্যাসূচক মান : {{OEIS|id=A006890}}

<math>\delta = 4.669\,201\,609\,102\,990\,671\,853\,203\,820\,466...,</math>

* একটি সহজ [[মূলদ সংখ্যা|যুক্তিসঙ্গত]] অনুমান হল:{{ভগ্নাংশ ২|621|133}} যা ৫টি উল্লেখযোগ্য মানের জন্য সঠিক (যখন তা ঘুরানো হয়)। আরো নির্ভুল ব্যবহারের জন্য{{ভগ্নাংশ ২|1228|263}}, যা ৭টি উল্লেখযোগ্য মানের জন্য সঠিক।
* {{math|{{sfrac|10|π − 1}}}} প্রায় সমান ০.০০৪৭% এর ত্রুটি।

=== ব্যাখ্যা ===

==== অ-রৈখিক মানচিত্র ====
এই সংখ্যাটি কীভাবে উত্থিত হয় তা দেখতে, [[বাস্তব সংখ্যা|বাস্তব]] এক-প্যারামিটার মানচিত্রটি বিবেচনা করা দরকার:

: <math>f(x) = ax(1-x)</math>

এখানে {{Mvar|a}} হল দ্বিখণ্ডন প্যারামিটার, {{Mvar|x}} হল ভেরিয়েবল। {{Mvar|a}} এর মান যার জন্য পিরিয়ড দ্বিগুণ হয় (যেমন পিরিয়ড-২ কক্ষপথবিহীন {{Mvar|a}} এর সবচেয়ে বড় মান, বা পিরিয়ড-৪, কক্ষপথ ছাড়াই বৃহত্তম {{Mvar|a}} ), {{Math|''a''<sub>1</sub>}}, {{Math|''a''<sub>2</sub>}} ইত্যাদি। এগুলোকে নীচে সারণীতে দেয়া হলো: 
:{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|n}}
! পিরিয়ড
! Bifurcation প্যারামিটার ({{mvar|a<sub>n</sub>}})
! অনুপাত {{math|{{sfrac|''a''{{sub|''n''−1}} − ''a''{{sub|''n''−2}}|''a''{{sub|''n''}} − ''a''{{sub|''n''−1}}}}}}
|-
| ১
|| ২
|| ০.৭৫
|| —
|-
| ২
|| ৪
|| ১.২৫
|| —
|-
| ৩
|| ৮
|| {{val|1.3680989}}
|| ৪.২৩৩৭
|-
| ৪
|| ১৬
|| {{val|1.3940462}}
|| ৪.৫৫১৫
|-
| ৫
|| ৩২
|| {{val|1.3996312}}
|| ৪.৬৪৫৮
|-
| ৬
|| ৬৪
|| {{val|1.4008286}}
|| ৪.৬৬৩৯
|-
| ৭
|| ১২৮
|| {{val|1.4010853}}
|| ৪.৬৬৮২
|-
| ৮
|| ২৫৬
|| {{val|1.4011402}}
|| ৪.৬৬৮৯
|-
|}

শেষ কলামের অনুপাতটি প্রথম '''ফেইগেনবাউম''' ধ্রুবকের সাথে মিলিত হয়। লজিস্টিক মানচিত্রের জন্য একই সংখ্যা দেখা দেয়। যেমন:

: <math>x_{i+1} = f(x_i),</math>

বাস্তব প্যারামিটার {{Mvar|a}} এবং পরিবর্তনশীল {{Mvar|x}} বিভাজন মান একটি টেবিলে দেয়া হলো : 
[[চিত্র:Mandelbrot_zoom.gif|ডান|থাম্ব|201x201পিক্সেল| নেতিবাচক {{Mvar|x}} দিকে প্যান করার সময় একটি বৃত্তাকার বৈশিষ্ট্যে জুম করে দেখানো ম্যান্ডেলব্রট সেটে স্ব-সাম্য । ডিসপ্লে সেন্টার প্যান থেকে (-১,&nbsp;০) থেকে (−১.৩১,&nbsp;০) যখন ভিউ ০.৫ থেকে বড় হয় &nbsp;×&nbsp;০.৫ থেকে ০.১২&nbsp;×&nbsp;আনুমানিক '''ফেইগেনবাউম'''  অনুপাত ০.১২.]]
জটিল দ্বি-ঘাত বহুপদীর জন্য ম্যান্ডেলব্রট সেটের ক্ষেত্র হলো:

:{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|n}}
! পিরিয়ড
! Bifurcation প্যারাটিার ({{mvar|a<sub>n</sub>}})
! অনুপাত {{math|{{sfrac|''a''{{sub|''n''−1}} − ''a''{{sub|''n''−2}}|''a''{{sub|''n''}} − ''a''{{sub|''n''−1}}}}}}
|-
| ১
|| ২
|| ৩
|| —
|-
| ২
|| ৪
|| {{val|3.4494897}}
|| —
|-
| ৩
|| ৮
|| {{val|3.5440903}}
|| ৪.৭৫১৪
|-
| ৪
|| ১৬
|| {{val|3.5644073}}
|| ৪.৬৫৬২
|-
| ৫
|| ৩২
|| {{val|3.5687594}}
|| ৪.৬৬৮৩
|-
| ৬
|| ৬৪
|| {{val|3.5696916}}
|| ৪.৬৬৮৬
|-
| ৭
|| ১২৮
|| {{val|3.5698913}}
|| ৪.৬৬৮০
|-
| ৮
|| ২৫৬
|| {{val|3.5699340}}
|| ৪.৬৭৬8
|-
|}

: <math>f(z) = z^2 + c</math>

'''ফেইগেনবাউম'''  ধ্রুবক হল [[জটিল সমতল|জটিল সমতলে]] [[সংখ্যারেখা|বাস্তব অক্ষের]] ধারাবাহিক বৃত্তের ব্যাসের মধ্যে সীমাবদ্ধ অনুপাত (ডানদিকে অ্যানিমেশন দেখুন)।
:{| class="wikitable"
|-
! {{mvar|n}}
! পিরিয়ড = {{math|2<sup>''n''</sup>}}
! Bifurcation প্যারামিটার ({{mvar|c<sub>n</sub>}})
! অনুপাত <math>= \dfrac{c_{n-1} - c_{n-2}}{c_n - c_{n-1}}</math>
|-
| ১
|| ২
|| {{val|-0.75}}
|| —
|-
| ২
|| ৪
|| {{val|-1.25}}
|| —
|-
| ৩
|| ৮
|| {{val|-1.3680989}}
|| ৪.২৩৩৭
|-
| ৪
|| ১৬
|| {{val|-1.3940462}}
|| ৪.৫৫১৫
|-
| ৫
|| ৩২
|| {{val|-1.3996312}}
|| ৪.৬৪৫৯
|-
| ৬
|| ৬৪
|| {{val|-1.4008287}}
|| ৪.৬৬৩৯
|-
| ৭
|| ১২৮
|| {{val|-1.4010853}}
|| ৪.৬৬৬৮
|-
| ৮
|| ২৫৬
|| {{val|-1.4011402}}
|| ৪.৬৭৪০
|-
|৯
||৫১২
||{{val|-1.401151982029}}
||৪.৬৫৯৬
|-
|১০
||১০২৪
||{{val|-1.401154502237}}
||৪.৬৭৫০
|-
|...
||...
||...
||...
|-
|{{math|∞}}
||
|| {{val|-1.4011551890}}... 
||
|}

বিভাজন প্যারামিটার হল সময়কালের একটি মূল বিন্দু- {{Math|2<sup>''n''</sup>}} উপাদান। এই সিরিজটি '''ফেইগেনবাউম পয়েন্ট''' {{Mvar|c}} = −১.৪০১১৫৫১ ...... এ একত্রিত হয়। শেষ কলামের অনুপাতটি প্রথম '''ফেইগেনবাউম'''  ধ্রুবকের সাথে একত্রিত হয়।
[[চিত্র:Feigenbaum_Julia_set.png|ডান|থাম্ব| জুলিয়া '''ফেইগেনবাউম''' '''পয়েন্টের''' জন্য সেট]]
অন্যান্য মানচিত্রও এই অনুপাত পুনরুত্পাদন করে; এই অর্থে দ্বি-খণ্ডন তত্ত্বে ফিজেনবাউম ধ্রুবক [[জ্যামিতি|জ্যামিতিতে]] [[পাই|{{পাই}}]] এবং [[ক্যালকুলাস|ক্যালকুলাসে]] {{Math|[[e (mathematical constant)|''e'']]}} সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।

== দ্বিতীয় ধ্রুবক ==
'''দ্বিতীয় ফেইগেনবাউম ধ্রুবক''' বা '''ফেইগেনবাউম''' '''হ্রাস পরামিতি''' <ref name=":0"/> {{Mvar|α}} দ্বারা দেওয়া হয়: ( {{OEIS|id=A০০৬৮৯১1}}

: <math>\alpha = 2.502\,907\,875\,095\,892\,822\,283\,902\,873\,218...,</math>

এটি একটি টাইনের প্রস্থ এবং এর দুটি সাবটাইনের একটির প্রস্থের মধ্যে অনুপাত (ভাঁজের সবচেয়ে কাছের টানটি ছাড়া)। একটি নেতিবাচক চিহ্ন {{Mvar|α}} তে প্রয়োগ করা হয়। যখন নিম্ন সাবটাইন এবং টাইনের প্রস্থের মধ্যে অনুপাত পরিমাপ করা হয়। <ref name="NonlinearDynamics">{{বই উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Nonlinear Dynamics and Chaos|শেষাংশ=Strogatz|প্রথমাংশ=Steven H.|বছর=1994|ধারাবাহিক=Studies in Nonlinearity|প্রকাশক=Perseus Books|আইএসবিএন=978-0-7382-0453-6}}</ref>

এই সংখ্যাগুলি গতিশীল সিস্টেমের একটি বৃহৎ শ্রেণীর জন্য প্রযোজ্য (উদাহরণস্বরূপ, জনসংখ্যা বৃদ্ধির জন্য ড্রিপিং কল)। <ref name="NonlinearDynamics"/>

একটি সহজ যুক্তিসঙ্গত আনুমানিক হয়। {{sfrac|13|11}} × {{sfrac|17|11}} × {{sfrac|37|27}} = {{sfrac|8177|3267}}

== বৈশিষ্ট্য ==
উভয় সংখ্যাই [[তুরীয় সংখ্যা|অতীন্দ্রিয়]] বলে মনে করা হয়। যদিও তারা তা [[গাণিতিক প্রমাণ|প্রমাণিত]] হয়নি।  প্রকৃতপক্ষে, ধ্রুবক [[অমূলদ সংখ্যা|অযৌক্তিক]] যার কোন প্রমাণ নেই।

ফ গেনবাম ধ্রুবকগুলির সর্বজনীনতার প্রথম প্রমাণ অস্কার ল্যানফোর্ড দ্বারা পরিচালিত হয়। কম্পিউটারের সহায়তায় — ১৯৮২ সালে <ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Lanford III|প্রথমাংশ=Oscar|বছর=1982|শিরোনাম=A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures|পাতাসমূহ=427–434|ডিওআই=10.1090/S0273-0979-1982-15008-X|doi-access=free}}</ref> (১৯৮৭ সালে [[জেনেভা বিশ্ববিদ্যালয়|জেনেভা বিশ্ববিদ্যালয়ের]] জিন-পিয়ের একম্যান এবং পিটার উইটওয়ারের দ্বারা একটি ছোট সংশোধন হয় <ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Eckmann|প্রথমাংশ=J. P.|শেষাংশ২=Wittwer|প্রথমাংশ২=P.|বছর=1987|শিরোনাম=A complete proof of the Feigenbaum conjectures|পাতাসমূহ=455|ডিওআই=10.1007/BF01013368}}
</ref> ) বছরের পর বছর ধরে, প্রমাণের বিভিন্ন অংশের জন্য অ-সংখ্যাসূচক পদ্ধতি আবিষ্কৃত হয়। যা মিখাইল লিউবিচকে প্রথম সম্পূর্ণ অ-সংখ্যাসূচক প্রমাণ তৈরি করতে সহায়তা করে। <ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Lyubich|প্রথমাংশ=Mikhail|বছর=1999|শিরোনাম=Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture|পাতাসমূহ=319–420|arxiv=math/9903201|ডিওআই=10.2307/120968|jstor=120968}}</ref>

== অন্যান্য মান ==
লজিস্টিক মানচিত্রের পিরিয়ড-৩ উইন্ডোতে বিশৃঙ্খলার জন্য একটি পিরিয়ড-ডাবলিং রুট রয়েছে, যেখানে বিশৃঙ্খলা পৌঁছায় <math>r = 3.854 077 963 591\dots</math>, এবং এর নিজস্ব দুটি ফিইগেনবাম ধ্রুবক রয়েছে: <math>\delta = 55.26, \alpha = 9.277</math> .<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি|শেষাংশ=Delbourgo|প্রথমাংশ=R.|শেষাংশ২=Hart|প্রথমাংশ২=W.|তারিখ=1985-01-01|শিরোনাম=Dependence of universal constants upon multiplication period in nonlinear maps|ইউআরএল=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.31.514|পাতাসমূহ=514–516|ভাষা=en|ডিওআই=10.1103/PhysRevA.31.514|issn=0556-2791|pmid=9895509}}</ref><ref>{{বই উদ্ধৃতি|শিরোনাম=Chaos and nonlinear dynamics: an introduction for scientists and engineers|ইউআরএল=https://archive.org/details/chaosnonlineardy0000hilb|শেষাংশ=Hilborn|প্রথমাংশ=Robert C.|তারিখ=2000|প্রকাশক=Oxford University Press|পাতা=[https://archive.org/details/chaosnonlineardy0000hilb/page/n601 578]|আইএসবিএন=0-19-850723-2|oclc=44737300|সংস্করণ=2nd}}</ref> {{Rp|at=Appendix F.2}}

 

== নোট ==
{{সূত্র তালিকা}}

== তথ্যসূত্র ==
* Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, ''Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in mathematical sciences'' Springer, 1996, {{isbn|978-0-38794-677-1}}
* {{সাময়িকী উদ্ধৃতি
|প্রথমাংশ=Keith
|শেষাংশ=Briggs
|ইউআরএল=https://www.ams.org/journals/mcom/1991-57-195/S0025-5718-1991-1079009-6/S0025-5718-1991-1079009-6.pdf
|সাময়িকী=Mathematics of Computation
|তারিখ=July 1991
|পাতাসমূহ=435–439
|খণ্ড=57
|শিরোনাম=A Precise Calculation of the Feigenbaum Constants
|বিবকোড = 1991MaCom..57..435B |ডিওআই = 10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6
|সংখ্যা নং=195 |doi-access=free
}}
* {{Cite thesis
|first=Keith
|last=Briggs
|url=http://keithbriggs.info/documents/Keith_Briggs_PhD.pdf
|publisher=University of Melbourne
|year=1997
|degree=PhD
|title=Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems
}}
* {{ওয়েব উদ্ধৃতি
|প্রথমাংশ১=David
|শেষাংশ১=Broadhurst
|ইউআরএল=http://www.plouffe.fr/simon/constants/feigenbaum.txt
|শিরোনাম= Feigenbaum constants to 1018 decimal places
|তারিখ=22 March 1999
}}

* {{mathworld|urlname=FeigenbaumConstant|title=Feigenbaum Constant}}

[[বিষয়শ্রেণী:বিশৃঙ্খলা তত্ত্ব]]
[[বিষয়শ্রেণী:গাণিতিক ধ্রুবক]]
[[বিষয়শ্রেণী:গতিশীল তন্ত্র]]
[[বিষয়শ্রেণী:অপর্যালোচিত অনুবাদসহ পাতা]]