ফেইগেনবাউম ধ্রুবকসমূহ

টেমপ্লেট:তথ্যছক অ-পূর্ণ সংখ্যা গণিতে, বিশেষত দ্বিখণ্ডন তত্ত্ব, ফেইগেনবাউম ধ্রুবক টেমপ্লেট:IPAc-en হলো টেমপ্লেট:Mvar এবং টেমপ্লেট:Mvar দুটি গাণিতিক ধ্রুবক, যা উভয়ই একটি অ-রৈখিক মানচিত্রের জন্য একটি দ্বিবিভাজন চিত্রে অনুপাত প্রকাশ করে। পদার্থবিজ্ঞানী মিচেল জে. ফেইগেনবাউমের নামে নামকরণ করা হয়েছে।

ইতিহাস

ফেইগেনবাউম মূলত লজিস্টিক মানচিত্রে পিরিয়ড- দ্বিখণ্ডনের সাথে সম্পর্কিত প্রথম ধ্রুবক। তবে এটিকে একক দ্বিগুণ সর্বোচ্চ এক-মাত্রিক মানচিত্রের জন্যও ধরা যায়। সাধারণ ফলস্বরূপ হলো এই বর্ণনার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ প্রতিটি বিশৃঙ্খল সিস্টেম একই হারে বিভাজিত হয়। ফেইগেনবাউম ১৯৭৫ সালে এটি আবিষ্কার করেন। ১৯৭৮ সালে তিনি আনুষ্ঠানিকভাবে এটি প্রকাশ করেন।

প্রথম ধ্রুবক

প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবক বা সহজভাবে ফেইগেনবাউম ধ্রুবক টেমপ্লেট:Mvar হল প্রতিটি বিভাজন ব্যবধানের সীমিত অনুপাতকে প্রতিটি পিরিয়ড দ্বিগুণ করার মধ্য থেকে পরের একটি এক- প্যারামিটার মানচিত্রকে নির্দেশ করে। যেমন-

$f(x)=a-x^2.$

যেখানে টেমপ্লেট:Math হল একটি ফাংশন, যা বিভাজন পরামিতি টেমপ্লেট:Mvar দ্বারা পরিমাপিত।

এটি একটি সীমা দ্বারা দেওয়া হয়:

$\delta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}}$

যেখানে টেমপ্লেট:Mvar হল টেমপ্লেট:Mvarতম সময়ের দ্বিগুণে টেমপ্লেট:Mvar এর বিচ্ছিন্ন মান।

এর সংখ্যাসূচক মান : টেমপ্লেট:OEIS

$\delta =4.669201609102990671853203820466...,$

• একটি সহজ যুক্তিসঙ্গত অনুমান হল:টেমপ্লেট:ভগ্নাংশ ২ যা ৫টি উল্লেখযোগ্য মানের জন্য সঠিক (যখন তা ঘুরানো হয়)। আরো নির্ভুল ব্যবহারের জন্যটেমপ্লেট:ভগ্নাংশ ২, যা ৭টি উল্লেখযোগ্য মানের জন্য সঠিক।
• টেমপ্লেট:Math প্রায় সমান ০.০০৪৭% এর ত্রুটি।

ব্যাখ্যা

অ-রৈখিক মানচিত্র

এই সংখ্যাটি কীভাবে উত্থিত হয় তা দেখতে, বাস্তব এক-প্যারামিটার মানচিত্রটি বিবেচনা করা দরকার:

$f(x)=ax(1-x)$

এখানে টেমপ্লেট:Mvar হল দ্বিখণ্ডন প্যারামিটার, টেমপ্লেট:Mvar হল ভেরিয়েবল। টেমপ্লেট:Mvar এর মান যার জন্য পিরিয়ড দ্বিগুণ হয় (যেমন পিরিয়ড-২ কক্ষপথবিহীন টেমপ্লেট:Mvar এর সবচেয়ে বড় মান, বা পিরিয়ড-৪, কক্ষপথ ছাড়াই বৃহত্তম টেমপ্লেট:Mvar ), টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math ইত্যাদি। এগুলোকে নীচে সারণীতে দেয়া হলো:

টেমপ্লেট:Mvar	পিরিয়ড	Bifurcation প্যারামিটার (টেমপ্লেট:Mvar)	অনুপাত টেমপ্লেট:Math
১	২	০.৭৫	—
২	৪	১.২৫	—
৩	৮	টেমপ্লেট:Val	৪.২৩৩৭
৪	১৬	টেমপ্লেট:Val	৪.৫৫১৫
৫	৩২	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৪৫৮
৬	৬৪	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৬৩৯
৭	১২৮	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৬৮২
৮	২৫৬	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৬৮৯

শেষ কলামের অনুপাতটি প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবকের সাথে মিলিত হয়। লজিস্টিক মানচিত্রের জন্য একই সংখ্যা দেখা দেয়। যেমন:

$x_{i+1}=f(x_i),$

বাস্তব প্যারামিটার টেমপ্লেট:Mvar এবং পরিবর্তনশীল টেমপ্লেট:Mvar বিভাজন মান একটি টেবিলে দেয়া হলো :

নেতিবাচক টেমপ্লেট:Mvar দিকে প্যান করার সময় একটি বৃত্তাকার বৈশিষ্ট্যে জুম করে দেখানো ম্যান্ডেলব্রট সেটে স্ব-সাম্য । ডিসপ্লে সেন্টার প্যান থেকে (-১, ০) থেকে (−১.৩১, ০) যখন ভিউ ০.৫ থেকে বড় হয়  × ০.৫ থেকে ০.১২ × আনুমানিক ফেইগেনবাউম অনুপাত ০.১২.

জটিল দ্বি-ঘাত বহুপদীর জন্য ম্যান্ডেলব্রট সেটের ক্ষেত্র হলো:

টেমপ্লেট:Mvar	পিরিয়ড	Bifurcation প্যারাটিার (টেমপ্লেট:Mvar)	অনুপাত টেমপ্লেট:Math
১	২	৩	—
২	৪	টেমপ্লেট:Val	—
৩	৮	টেমপ্লেট:Val	৪.৭৫১৪
৪	১৬	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৫৬২
৫	৩২	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৬৮৩
৬	৬৪	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৬৮৬
৭	১২৮	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৬৮০
৮	২৫৬	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৭৬8

$f(z)=z^2+c$

ফেইগেনবাউম ধ্রুবক হল জটিল সমতলে বাস্তব অক্ষের ধারাবাহিক বৃত্তের ব্যাসের মধ্যে সীমাবদ্ধ অনুপাত (ডানদিকে অ্যানিমেশন দেখুন)।

টেমপ্লেট:Mvar	পিরিয়ড = টেমপ্লেট:Math	Bifurcation প্যারামিটার (টেমপ্লেট:Mvar)	অনুপাত $=\frac{c_{n-1}-c_{n-2}}{c_n-c_{n-1}}$
১	২	টেমপ্লেট:Val	—
২	৪	টেমপ্লেট:Val	—
৩	৮	টেমপ্লেট:Val	৪.২৩৩৭
৪	১৬	টেমপ্লেট:Val	৪.৫৫১৫
৫	৩২	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৪৫৯
৬	৬৪	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৬৩৯
৭	১২৮	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৬৬৮
৮	২৫৬	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৭৪০
৯	৫১২	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৫৯৬
১০	১০২৪	টেমপ্লেট:Val	৪.৬৭৫০
...	...	...	...
টেমপ্লেট:Math		টেমপ্লেট:Val...

বিভাজন প্যারামিটার হল সময়কালের একটি মূল বিন্দু- টেমপ্লেট:Math উপাদান। এই সিরিজটি ফেইগেনবাউম পয়েন্ট টেমপ্লেট:Mvar = −১.৪০১১৫৫১ ...... এ একত্রিত হয়। শেষ কলামের অনুপাতটি প্রথম ফেইগেনবাউম ধ্রুবকের সাথে একত্রিত হয়।

জুলিয়া ফেইগেনবাউম পয়েন্টের জন্য সেট

অন্যান্য মানচিত্রও এই অনুপাত পুনরুত্পাদন করে; এই অর্থে দ্বি-খণ্ডন তত্ত্বে ফিজেনবাউম ধ্রুবক জ্যামিতিতে [[পাই|টেমপ্লেট:পাই]] এবং ক্যালকুলাসে টেমপ্লেট:Math সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ।

দ্বিতীয় ধ্রুবক

দ্বিতীয় ফেইগেনবাউম ধ্রুবক বা ফেইগেনবাউম হ্রাস পরামিতি টেমপ্লেট:Mvar দ্বারা দেওয়া হয়: ( টেমপ্লেট:OEIS

$\alpha =2.502907875095892822283902873218...,$

এটি একটি টাইনের প্রস্থ এবং এর দুটি সাবটাইনের একটির প্রস্থের মধ্যে অনুপাত (ভাঁজের সবচেয়ে কাছের টানটি ছাড়া)। একটি নেতিবাচক চিহ্ন টেমপ্লেট:Mvar তে প্রয়োগ করা হয়। যখন নিম্ন সাবটাইন এবং টাইনের প্রস্থের মধ্যে অনুপাত পরিমাপ করা হয়।

এই সংখ্যাগুলি গতিশীল সিস্টেমের একটি বৃহৎ শ্রেণীর জন্য প্রযোজ্য (উদাহরণস্বরূপ, জনসংখ্যা বৃদ্ধির জন্য ড্রিপিং কল)।

একটি সহজ যুক্তিসঙ্গত আনুমানিক হয়। টেমপ্লেট:Sfrac × টেমপ্লেট:Sfrac × টেমপ্লেট:Sfrac = টেমপ্লেট:Sfrac

বৈশিষ্ট্য

উভয় সংখ্যাই অতীন্দ্রিয় বলে মনে করা হয়। যদিও তারা তা প্রমাণিত হয়নি। প্রকৃতপক্ষে, ধ্রুবক অযৌক্তিক যার কোন প্রমাণ নেই।

ফ গেনবাম ধ্রুবকগুলির সর্বজনীনতার প্রথম প্রমাণ অস্কার ল্যানফোর্ড দ্বারা পরিচালিত হয়। কম্পিউটারের সহায়তায় — ১৯৮২ সালে (১৯৮৭ সালে জেনেভা বিশ্ববিদ্যালয়ের জিন-পিয়ের একম্যান এবং পিটার উইটওয়ারের দ্বারা একটি ছোট সংশোধন হয় ) বছরের পর বছর ধরে, প্রমাণের বিভিন্ন অংশের জন্য অ-সংখ্যাসূচক পদ্ধতি আবিষ্কৃত হয়। যা মিখাইল লিউবিচকে প্রথম সম্পূর্ণ অ-সংখ্যাসূচক প্রমাণ তৈরি করতে সহায়তা করে।

অন্যান্য মান

লজিস্টিক মানচিত্রের পিরিয়ড-৩ উইন্ডোতে বিশৃঙ্খলার জন্য একটি পিরিয়ড-ডাবলিং রুট রয়েছে, যেখানে বিশৃঙ্খলা পৌঁছায় $r=3.854077963591\dots$, এবং এর নিজস্ব দুটি ফিইগেনবাম ধ্রুবক রয়েছে: $\delta =55.26,\alpha =9.277$ . টেমপ্লেট:Rp

 

তথ্যসূত্র

• Alligood, Kathleen T., Tim D. Sauer, James A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in mathematical sciences Springer, 1996, টেমপ্লেট:Isbn
• টেমপ্লেট:সাময়িকী উদ্ধৃতি
• টেমপ্লেট:Cite thesis
• টেমপ্লেট:ওয়েব উদ্ধৃতি

• টেমপ্লেট:Mathworld