লেজঁন্দ্রের অনুমান-এর উৎস দেখুন

{{অসমাধিত|গণিতে|পাশাপাশি দুটি বর্গ সংখ্যার মধ্যে কি সর্বদা অন্তত একটি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান?}}

'''লেজঁন্দ্রের অনুমান''' ([[Adrien-Marie Legendre|আদ্রিয়েন-মারি লেজঁন্দ্রে]] প্রস্তাবিত) অনুযায়ী, প্রতিটি ধনাত্মক [[পূর্ণসংখ্যা]] <math>n</math> এর জন্য <math>n^2</math> এবং <math>(n+1)^2</math> এর মধ্যে অন্তত [[এক]]টি [[মৌলিক সংখ্যা]] বিদ্যমান।
<ref>{{বই উদ্ধৃতি |শেষাংশ১= Legendre|প্রথমাংশ১= Adriene Marie|শিরোনাম= Essai sur la Théorie des Nombres|ইউআরএল= https://books.google.com/books?id=oyDmQ8LedIoC |সংস্করণ= 2|তারিখ= 1808|প্রকাশক= Chez Courcier|অবস্থান= Paris|ভাষা= French|oclc= |ডিওআই= |পাতাসমূহ= 405-406}}
</ref>

এই অনুমানটি '''ল্যান্ডাউয়ের সমস্যাসমূহ''' (১৯১২) এর একটি সমস্যা, যা মৌলিক সংখ্যার বিন্যাস সম্পর্কিত বহু অমীমাংসিত সমস্যার মধ্যে অন্যতম।

==আংশিক ফলাফল==
[[Albert Ingham|আলবার্ট ইংহাম]]-এর একটি ফলাফল থেকে জানা যায় যে, যথেষ্ট বড় সকল <math>n</math> এর জন্য, ক্রমিক ঘনসংখ্যা <math>n^3</math> এবং <math>(n+1)^3</math> এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান।<ref>{{OEIS2C|id=A060199}}</ref><ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি | শেষাংশ=Ingham | প্রথমাংশ=A. E. | লেখক-সংযোগ=Albert Ingham | শিরোনাম=On The Difference Between Consecutive Primes | সাময়িকী=The Quarterly Journal of Mathematics | খণ্ড=os-8 | সংখ্যা নং=1 | তারিখ=1937 | issn=0033-5606 | ডিওআই=10.1093/qmath/os-8.1.255 | পাতাসমূহ=255–266}}</ref> [[Dudek|ডুডেক]] প্রমাণ করেন যে এটি সকল <math>n \ge e^{e^{33.3}}</math> এর জন্য প্রযোজ্য।<ref>{{Citation |last=Dudek |first=Adrian |title=An explicit result for primes between cubes |date=December 2016 |journal=Funct. Approx. |volume=55 |issue=2 |pages=177–197 |arxiv=1401.4233 |doi=10.7169/facm/2016.55.2.3 |s2cid=119143089}}</ref>

[[ডুডেক]] আরও প্রমাণ করেন যে <math>m = 4.971\times10^9</math> এবং যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা <math>n</math> এর জন্য, <math>n^m</math> এবং <math>(n+1)^m</math> এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান। [[Mattner|ম্যাটনার]] এই মানটিকে <math>m = 1438989</math> পর্যন্ত কমিয়ে আনেন<ref>{{cite thesis |last=Mattner |first=Caitlin |date=2017 |title=Prime Numbers in Short Intervals |url=https://openresearch-repository.anu.edu.au|degree=BSc |publisher=Australian National University |doi=10.25911/5d9efba535a3e|language=en }}</ref>, যা পরবর্তীতে [[কিউলি-হিউগিল]] কর্তৃক <math>m = 155</math> পর্যন্ত আরও হ্রাস করা হয়।<ref>{{সাময়িকী উদ্ধৃতি |শেষাংশ=Cully-Hugill |প্রথমাংশ=Michaela |তারিখ=2023-06-01 |শিরোনাম=Primes between consecutive powers |ইউআরএল=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022314X23000112 |সাময়িকী=Journal of Number Theory |খণ্ড=247 |পাতাসমূহ=100–117 |ডিওআই=10.1016/j.jnt.2022.12.002 |issn=0022-314X|arxiv=2107.14468 }}</ref>

[[Baker|বেকার]], [[Glyn Harman|হারম্যান]], এবং [[Janos Pintz|পিন্টজ]] প্রমাণ করেন যে যথেষ্ট বড় সকল <math>x</math> এর জন্য <math>[x-x^{21/40},\,x]</math> অন্তরে একটি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান।<ref name="baker">{{citation |last1=Baker |first1=R. C. |first2=G. |last2=Harman |first3=J. |last3=Pintz |year=2001 |title=The difference between consecutive primes, II |journal=Proceedings of the London Mathematical Society |volume=83 |issue=3 |pages=532–562 |doi=10.1112/plms/83.3.532 |s2cid=8964027 |url=http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/BakerHarmanPintz.pdf }}</ref>

সর্বোচ্চ মৌলিক ব্যবধানের একটি সারণি দেখায় যে এই অনুমানটি অন্তত <math>n^2=4\cdot10^{18}</math> পর্যন্ত সত্য, যেখানে <math>n=2\cdot10^9</math>।<ref>{{citation
 | last1 = Oliveira e Silva | first1 = Tomás
 | last2 = Herzog | first2 = Siegfried
 | last3 = Pardi | first3 = Silvio
 | doi = 10.1090/S0025-5718-2013-02787-1
 | issue = 288
 | journal = Mathematics of Computation
 | mr = 3194140
 | pages = 2033–2060
 | title = Empirical verification of the even Goldbach conjecture and computation of prime gaps up to <math>4\cdot10^{18}</math>
 | volume = 83
 | year = 2014| doi-access = free
 | url = https://www.openaccessrepository.it/record/100345/files/fulltext.pdf
 }}.</ref>

==মৌলিক ব্যবধান==
যদি লেজঁন্দ্রের অনুমান সত্য হয়, তবে যেকোনো মৌলিক সংখ্যা ''p'' এবং তার পরবর্তী মৌলিক সংখ্যার মধ্যকার সর্বাধিক [[মৌলিক ব্যবধান|ব্যবধান]] হবে <math>O(\sqrt{p}\,)</math>, যা [[বড় O সংকেত]] দ্বারা প্রকাশ করা হয়।{{efn|এটি একটি ফলাফল যা দুটি ক্রমিক [[বর্গসংখ্যা|বর্গসংখ্যার]] পার্থক্য তাদের বর্গমূলের ক্রমানুসারে হয়।}} এটি মৌলিক ব্যবধান সম্পর্কিত ফলাফল ও অনুমানের একটি পরিবারের অন্তর্ভুক্ত, যা মৌলিক সংখ্যাগুলির মধ্যকার দূরত্ব নির্দেশ করে। অন্যান্য উল্লেখযোগ্য অনুমানগুলির মধ্যে রয়েছে [[বারট্র্যান্ডের স্বীকার্য]], যা <math>n</math> এবং <math>2n</math>-এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব নিয়ে, [[ওপারম্যানের অনুমান]] যা <math>n^2</math>, <math>n(n+1)</math>, এবং <math>(n+1)^2</math> এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব নিয়ে, [[আন্দ্রিকার অনুমান]] এবং [[ব্রোকার্ডের অনুমান]] যা ক্রমিক মৌলিক সংখ্যার বর্গের মধ্যে মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব নিয়ে ধারণা দেয় এবং [[ক্রেমারের অনুমান]] যা বলে ব্যবধানগুলি সর্বদা অনেক ছোট, <math>(\log p)^2</math> ক্রমের হয়। যদি ক্রেমারের অনুমান সত্য হয়, তবে যথেষ্ট বড় সকল ''n'' এর জন্য লেজঁন্দ্রের অনুমান সত্য হবে। [[হ্যারাল্ড ক্রেমার]] আরও প্রমাণ করেন যে [[রিম্যান হাইপোথিসিস]] থেকে বৃহত্তম মৌলিক ব্যবধানের আকারের জন্য একটি দুর্বল সীমা <math>O(\sqrt p\log p)</math> পাওয়া যায়।<ref>{{citation|title=Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems|first=Ian|last=Stewart|authorlink=Ian Stewart (mathematician)|publisher=Basic Books|year=2013|isbn=9780465022403|page=164|url=https://books.google.com/books?id=dzdSy3diraUC&pg=PA164}}.</ref>

[[File:Plot of number of primes between consecutive squares.png|thumbnail|400px|right|''n''<sup>2</sup> এবং (''n'' + 1)<sup>2</sup> এর মধ্যকার মৌলিক সংখ্যার মোট সংখ্যা-সম্বন্ধীয় লেখচিত্র {{OEIS2C|id=A014085}}]]

[[মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য]] অনুযায়ী, <math>n^2</math> এবং <math>(n+1)^2</math> এর মধ্যে প্রত্যাশিত মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা আনুমানিক <math>n/\ln n</math>, এবং আরও জানা যায় যে এই ধরনের [[প্রায় সকল]] [[অন্তর (গণিত)|ব্যবধানে]] মৌলিক সংখ্যার প্রকৃত সংখ্যা ({{OEIS2C|id=A014085}}) এই প্রত্যাশিত সংখ্যার [[অসীম বিশ্লেষণ|অসীম]] সমতুল্য।<ref>{{citation
 | last = Bazzanella | first = Danilo
 | doi = 10.1007/s000130050469
 | issue = 1
 | journal = Archiv der Mathematik
 | mr = 1764888
 | pages = 29–34
 | title = Primes between consecutive squares
 | volume = 75
 | year = 2000| s2cid = 16332859
 | url = http://porto.polito.it/1397858/2/Primes_between_squares.pdf
 }}</ref> যেহেতু বড় <math>n</math> এর জন্য এই সংখ্যা বড়, এটি লেজঁন্দ্রের অনুমানকে আরও বিশ্বাসযোগ্য করে তোলে।<ref>{{citation
 | last = Francis | first = Richard L.
 | date = February 2004
 | doi = 10.35834/2004/1601051
 | issue = 1
 | journal = Missouri Journal of Mathematical Sciences
 | pages = 51–57
 | publisher = University of Central Missouri, Department of Mathematics and Computer Science
 | title = Between consecutive squares
 | volume = 16| doi-access = free
 | url = https://projecteuclid.org/journals/missouri-journal-of-mathematical-sciences/volume-16/issue-1/Between-Consecutive-Squares/10.35834/2004/1601051.pdf
 }}; দেখুন পৃষ্ঠা 52, "এই প্রচুর পরিমাণ মৌলিক সংখ্যা এমনভাবে জড়ো হওয়া সম্ভব নয় যাতে ক্রমিক বর্গসংখ্যার মধ্যে অন্তত একটিও না থাকে।"</ref> জানা যায় যে মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য ছোট ব্যবধানের মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সঠিক গণনা দেয়, যা হয় শর্তহীনভাবে<ref>{{citation
 | last = Heath-Brown | first = D. R.
 | doi = 10.1515/crll.1988.389.22
 | journal = Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
 | mr = 953665
 | pages = 22–63
 | title = The number of primes in a short interval
 | volume = 1988
 | year = 1988| issue = 389
 | s2cid = 118979018
 | url = https://eudml.org/doc/153047
 }}</ref> অথবা [[রিম্যান হাইপোথিসিস]]-এর ভিত্তিতে,<ref>{{citation
 | last = Selberg | first = Atle
 | issue = 6
 | journal = Archiv for Mathematik og Naturvidenskab
 | mr = 12624
 | pages = 87–105
 | title = On the normal density of primes in small intervals, and the difference between consecutive primes
 | volume = 47
 | year = 1943}}</ref> কিন্তু যে অন্তরালের দৈর্ঘ্যের জন্য এটি প্রমাণিত হয়েছে তা ক্রমিক বর্গসংখ্যার মধ্যকার অন্তরালের চেয়ে বড়, যা লেজঁন্দ্রের অনুমান প্রমাণের জন্য অত্যধিক দীর্ঘ।

==টীকা==
{{notelist}}

==তথ্যসূত্র==
{{সূত্র তালিকা}}
==বহিঃসংযোগ==
* {{mathworld |urlname=LegendresConjecture |title=Legendre's conjecture|mode=cs2}}

[[বিষয়শ্রেণী:সংখ্যাতত্ত্বে বর্গসংখ্যা]]