লেজঁন্দ্রের অনুমান

লেজঁন্দ্রের অনুমান (আদ্রিয়েন-মারি লেজঁন্দ্রে প্রস্তাবিত) অনুযায়ী, প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য $n^2$ এবং $(n+1{)}^2$ এর মধ্যে অন্তত একটি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান।

এই অনুমানটি ল্যান্ডাউয়ের সমস্যাসমূহ (১৯১২) এর একটি সমস্যা, যা মৌলিক সংখ্যার বিন্যাস সম্পর্কিত বহু অমীমাংসিত সমস্যার মধ্যে অন্যতম।

আংশিক ফলাফল

আলবার্ট ইংহাম-এর একটি ফলাফল থেকে জানা যায় যে, যথেষ্ট বড় সকল $n$ এর জন্য, ক্রমিক ঘনসংখ্যা $n^3$ এবং $(n+1{)}^3$ এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান। ডুডেক প্রমাণ করেন যে এটি সকল $n\ge e^{e^{33.3}}$ এর জন্য প্রযোজ্য।

ডুডেক আরও প্রমাণ করেন যে $m=4.971\times 10^9$ এবং যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $n$ এর জন্য, $n^m$ এবং $(n+1{)}^m$ এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান। ম্যাটনার এই মানটিকে $m=1438989$ পর্যন্ত কমিয়ে আনেন, যা পরবর্তীতে কিউলি-হিউগিল কর্তৃক $m=155$ পর্যন্ত আরও হ্রাস করা হয়।

বেকার, হারম্যান, এবং পিন্টজ প্রমাণ করেন যে যথেষ্ট বড় সকল $x$ এর জন্য $[x-x^{21/40},x]$ অন্তরে একটি মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান।

সর্বোচ্চ মৌলিক ব্যবধানের একটি সারণি দেখায় যে এই অনুমানটি অন্তত $n^2=4\cdot 10^{18}$ পর্যন্ত সত্য, যেখানে $n=2\cdot 10^9$।

মৌলিক ব্যবধান

যদি লেজঁন্দ্রের অনুমান সত্য হয়, তবে যেকোনো মৌলিক সংখ্যা p এবং তার পরবর্তী মৌলিক সংখ্যার মধ্যকার সর্বাধিক ব্যবধান হবে $O(\sqrt{p})$, যা বড় O সংকেত দ্বারা প্রকাশ করা হয়।টেমপ্লেট:Efn এটি মৌলিক ব্যবধান সম্পর্কিত ফলাফল ও অনুমানের একটি পরিবারের অন্তর্ভুক্ত, যা মৌলিক সংখ্যাগুলির মধ্যকার দূরত্ব নির্দেশ করে। অন্যান্য উল্লেখযোগ্য অনুমানগুলির মধ্যে রয়েছে বারট্র্যান্ডের স্বীকার্য, যা $n$ এবং $2n$-এর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব নিয়ে, ওপারম্যানের অনুমান যা $n^2$, $n(n+1)$, এবং $(n+1{)}^2$ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব নিয়ে, আন্দ্রিকার অনুমান এবং ব্রোকার্ডের অনুমান যা ক্রমিক মৌলিক সংখ্যার বর্গের মধ্যে মৌলিক সংখ্যার অস্তিত্ব নিয়ে ধারণা দেয় এবং ক্রেমারের অনুমান যা বলে ব্যবধানগুলি সর্বদা অনেক ছোট, $(\log p{)}^2$ ক্রমের হয়। যদি ক্রেমারের অনুমান সত্য হয়, তবে যথেষ্ট বড় সকল n এর জন্য লেজঁন্দ্রের অনুমান সত্য হবে। হ্যারাল্ড ক্রেমার আরও প্রমাণ করেন যে রিম্যান হাইপোথিসিস থেকে বৃহত্তম মৌলিক ব্যবধানের আকারের জন্য একটি দুর্বল সীমা $O(\sqrt{p}\log p)$ পাওয়া যায়।

n² এবং (n + 1)² এর মধ্যকার মৌলিক সংখ্যার মোট সংখ্যা-সম্বন্ধীয় লেখচিত্র টেমপ্লেট:OEIS2C

মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য অনুযায়ী, $n^2$ এবং $(n+1{)}^2$ এর মধ্যে প্রত্যাশিত মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা আনুমানিক $n/\ln n$, এবং আরও জানা যায় যে এই ধরনের প্রায় সকল ব্যবধানে মৌলিক সংখ্যার প্রকৃত সংখ্যা (টেমপ্লেট:OEIS2C) এই প্রত্যাশিত সংখ্যার অসীম সমতুল্য। যেহেতু বড় $n$ এর জন্য এই সংখ্যা বড়, এটি লেজঁন্দ্রের অনুমানকে আরও বিশ্বাসযোগ্য করে তোলে। জানা যায় যে মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য ছোট ব্যবধানের মধ্যে মৌলিক সংখ্যার সঠিক গণনা দেয়, যা হয় শর্তহীনভাবে অথবা রিম্যান হাইপোথিসিস-এর ভিত্তিতে, কিন্তু যে অন্তরালের দৈর্ঘ্যের জন্য এটি প্রমাণিত হয়েছে তা ক্রমিক বর্গসংখ্যার মধ্যকার অন্তরালের চেয়ে বড়, যা লেজঁন্দ্রের অনুমান প্রমাণের জন্য অত্যধিক দীর্ঘ।

বহিঃসংযোগ

• টেমপ্লেট:Mathworld