অয়লার গুণজ

সংখ্যাতত্ত্বে অয়লার গুণজ হলো ডিরিখলে ধারার এক বিস্তৃতি যা মৌলিক সংখ্যা দ্বারা সূচীকৃত একটি অসীম গুণফল। লেওনার্ড অয়লার দ্বারা প্রমাণিত এই ধারাটি নির্দিষ্ট ঘাতে উত্থিত সমস্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার যোগফলের জন্য দেওয়া হয়েছিল। এই ধারা এবং সমগ্র জটিল সমতলে এর ধারাবাহিকতা পরবর্তীতে রিম্যান জেটা ফাংশন নামে পরিচিত হতে পারে।

সংজ্ঞা

সাধারণভাবে, টেমপ্লেট:Mvar যদি একটি আবদ্ধ গুণক ফাংশন হয়, তাহলে ডিরিখলে ধারা

$\sum _n\frac{a(n)}{n^s}$

সমান

$\prod _{p}P(p,s)\text{for }\mathrm{Re}(s)>1.$

যেখানে গুণফলটি মৌলিক সংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar -এর উপর নেওয়া হয় এবং টেমপ্লেট:Math হল সমষ্টি

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a(p^k)}{p^{ks}}=1+\frac{a(p)}{p^s}+\frac{a(p^2)}{p^{2s}}+\frac{a(p^3)}{p^{3s}}+\cdots$

প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা এইগুলিকে আনুষ্ঠানিক উদ্ভূত ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করি, তাহলে এই ধরনের একটি আনুষ্ঠানিক অয়লার গুণজ সম্প্রসারণের/ বিস্তৃতির অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত হলো টেমপ্লেট:Math গুণিত হবে: এটি ঠিক বলে যে টেমপ্লেট:Math হল টেমপ্লেট:Math-এর গুণজ যখন টেমপ্লেট:Mvar গুণনীয়কগুলো স্বতন্ত্র মৌলিক সংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar এর টেমপ্লেট:Math ঘাতগুলির গুণফল হিসাবে থাকে।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিশেষ অবস্থা হলো যেটিতে টেমপ্লেট:Math সম্পূর্ণরূপে গুণক, যাতে টেমপ্লেট:Math একটি গুণোত্তর ধারা। তারপর,

$P(p,s)=\frac{1}{1-\frac{a(p)}{p^s}},$

যেমনটি রিম্যান জেটা ফাংশনের ক্ষেত্রে, যেখানে টেমপ্লেট:Math, এবং আরও সাধারণভাবে ডিরিচলেট প্রতীকের ক্ষেত্রে।

সন্নিবেশ

বাস্তবে সমস্ত গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্রে এমন অসীম ধারা এবং অসীম গুণজের বিস্তার কিছু জায়গায় একেবারে সন্নিবেশিত

$\mathrm{Re}(s)>C,$

অর্থাৎ জটিল সংখ্যায় কিছু ডানদিকে অর্ধেক সমতল । এটি ইতিমধ্যেই কিছু তথ্য দেয়, উদাহরণস্বরূপ অসীম গুণজ, একত্রীকরণ, অ-শূন্য মান প্রদান; তাই অসীম ধারা দ্বারা প্রদত্ত ফাংশন এই ধরনের একটি অর্ধ-সমতলে শূন্য নয়।

মডুলার ফর্মের তত্ত্বে হর-এ দ্বিঘাত বহুপদীসহ অয়লার গুণজ থাকা সাধারণ। সাধারণ ল্যাংল্যান্ডস দর্শনে টেমপ্লেট:Mvar মাত্রার বহুপদীর সংযোগের একটি তুলনামূলক ব্যাখ্যা এবং টেমপ্লেট:Math এর উপস্থাপনা তত্ত্ব রয়েছে।

উদাহরণ

নিম্নলিখিত উদাহরণগুলিতে স্বরলিপি $\mathbb{P}$ দ্বারা সকল মৌলিক সংখ্যার সেট কে বোঝানো হয়েছে, সেগুলো:

$\mathbb{P}=\{p\in \mathbb{N}|p\text{ is prime}\}.$

অয়লার গুণজ রিম্যান জেটা ফাংশনের টেমপ্লেট:Math সাথে সম্পর্কযুক্ত, এছাড়াও গুণোত্তর ধারার যোগফল ব্যবহার করে,

$\begin{array}{cc}\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\right)& =\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{p^{ks}}\right)\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=\zeta (s).\end{array}$

যখন লিউভিল ফাংশন টেমপ্লেট:Math, এটি হয়:

$\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{1}{1+\frac{1}{p^s}}\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\lambda (n)}{n^s}=\frac{\zeta (2s)}{\zeta (s)}.$

মোবিয়াস ফাংশনের টেমপ্লেট:Math জন্য দুই অয়লার গুণজ হলো:

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1-\frac{1}{p^s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n^s}=\frac{1}{\zeta (s)}$

এবং

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1+\frac{1}{p^s})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{|\mu (n)|}{n^s}=\frac{\zeta (s)}{\zeta (2s)}.$

এই দুটির অনুপাত দাঁড়ায়

$\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{1+\frac{1}{p^s}}{1-\frac{1}{p^s}}\right)=\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{p^s+1}{p^s-1}\right)=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)}.$

যেহেতু টেমপ্লেট:Mvar-এর জোড় মানের জন্য রিম্যান জেটা ফাংশন টেমপ্লেট:Math এর টেমপ্লেট:Math এর একটি মূলদ গুণিতক পরিপ্রেক্ষিতে একটি বিশ্লেষণাত্মক রাশি আছে, তাহলে জোড় সূচকের জন্য, এই অসীম গুণফল একটি মূলদ সংখ্যায় রূপান্তর করে। উদাহরণস্বরূপ, টেমপ্লেট:Math, টেমপ্লেট:Math, এবং টেমপ্লেট:Math, তারপর,

$\begin{array}{cccc}\prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{p^2+1}{p^2-1}\right)& =\frac{5}{3}\cdot \frac{10}{8}\cdot \frac{26}{24}\cdot \frac{50}{48}\cdot \frac{122}{120}\cdots & =\frac{\zeta (2{)}^2}{\zeta (4)}& =\frac{5}{2},\\ \prod _{p\in \mathbb{P}}\left(\frac{p^4+1}{p^4-1}\right)& =\frac{17}{15}\cdot \frac{82}{80}\cdot \frac{626}{624}\cdot \frac{2402}{2400}\cdots & =\frac{\zeta (4{)}^2}{\zeta (8)}& =\frac{7}{6},\end{array}$

এবং আরও, ফলাফল রামানুজনের ফলাফলের সাথে মিল লক্ষ করা যায়। অসীম গুণজের এই পরিবারটির সমতুল্য হলো

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(1+\frac{2}{p^s}+\frac{2}{p^{2s}}+\cdots )=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{2^{\omega (n)}}{n^s}=\frac{\zeta (s{)}^2}{\zeta (2s)},$

যেখানে টেমপ্লেট:Math টেমপ্লেট:Mvar এর স্বতন্ত্র মৌলিক গুণনীয়কের সংখ্যা গণনা করে এবং টেমপ্লেট:Math হল বর্গ-মুক্ত ভাজকের সংখ্যা।

যদি টেমপ্লেট:Math কন্ডাকটর টেমপ্লেট:Mvar-এর একটি ডিরিচলেট প্রতীক হয়, যেখানে টেমপ্লেট:Mvar সম্পূর্ণরূপে গুণিত হয় এবং টেমপ্লেট:Math শুধুমাত্র টেমপ্লেট:Math-এর উপর নির্ভর করে, এবং টেমপ্লেট:Math যদি টেমপ্লেট:Mvar ও টেমপ্লেট:Mvar সহমৌলিক না হয়, তাহলে

$\prod _{p\in \mathbb{P}}\frac{1}{1-\frac{\chi (p)}{p^s}}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\chi (n)}{n^s}.$

এখানে গুণফল থেকে বাদ দেওয়া সুবিধাজনক হলো মৌলিক সংখ্যা টেমপ্লেট:Mvar/কন্ডাকটর টেমপ্লেট:Mvar। রামানুজন জিটা ফাংশনের জন্য অয়লার গুণজকে সর্বায়নকৃত করেছেন এভাবে:

$\prod _{p\in \mathbb{P}}(x-\frac{1}{p^s})\approx \frac{1}{{\mathrm{Li}}_s(x)}$

টেমপ্লেট:Math এর জন্য যেখানে টেমপ্লেট:Math হলো বহুলগারিদম। টেমপ্লেট:Math জন্য উপরের গুণফল হবে কেবলমাত্র টেমপ্লেট:Math।

উল্লেখযোগ্য ধ্রুবক

অনেক সুপরিচিত ধ্রুবকের অয়লার গুণজ বিস্তৃতি রয়েছে।

টেমপ্লেট:Pi-এর জন্য লিবনিজ প্রদত্ত সূত্র

$\frac{\pi }{4}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$

অনন্য ডিরিখলে প্রতীক modulo 4 ব্যবহার করে ডিরিচলেট ধারা হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে এবং সুপারপার্টিকুলার অনুপাতের একটি অয়লার গুণজে রূপান্তরিত করা যেতে পারে (ভগ্নাংশ যেখানে লব এবং হর 1 দ্বারা পৃথক হয়):

$\frac{\pi }{4}=\left(\prod _{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p-1}\right)\left(\prod _{p\equiv 3(\mathrm{mod}4)}\frac{p}{p+1}\right)=\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{11}{12}\cdot \frac{13}{12}\cdots ,$

যেখানে প্রতিটি লব একটি মৌলিক সংখ্যা এবং প্রতিটি হর হলো 4-এর নিকটতম গুণিতক।

অন্যান্য পরিচিত ধ্রুবকের জন্য অয়লার গুণজ:

• হার্ডি-লিটলউড যুগ্ম মৌলিক সংখ্যা ধ্রুবক:

$\prod _{p>2}(1-\frac{1}{{(p-1)}^2})=0.660161...$

• লান্দাউ-রামানুজন ধ্রুবক:

$\begin{array}{cc}\frac{\pi }{4}\prod _{p\equiv 1(\mathrm{mod}4)}{(1-\frac{1}{p^2})}^{\frac{1}{2}}& =0.764223...\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\prod _{p\equiv 3(\mathrm{mod}4)}{(1-\frac{1}{p^2})}^{-\frac{1}{2}}& =0.764223...\end{array}$

• মুরাতার ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS:

$\prod _p(1+\frac{1}{{(p-1)}^2})=2.826419...$

• স্ট্রংলি কেয়ারফ্রি ধ্রুবক টেমপ্লেট:Math টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{{(p+1)}^2})=0.775883...$

• আর্টিনের ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p(p-1)})=0.373955...$

• লান্দাউ-এর টোটিয়েন্ট ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{1}{p(p-1)})=\frac{315}{2{\pi }^4}\zeta (3)=1.943596...$

• কেয়ারফ্রি ধ্রুবক টেমপ্লেট:Math টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p(p+1)})=0.704442...$

এবং এর রেসিপ্রোকাল টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{1}{p^2+p-1})=1.419562...$

• ফেলার–টর্নিয়ার ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\prod _p(1-\frac{2}{p^2})=0.661317...$

• দ্বিঘাত শ্রেণী সংখ্যা ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{1}{p^2(p+1)})=0.881513...$

• টোটিয়েন্ট সামেটরি ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{1}{p^2(p-1)})=1.339784...$

• সারনাকের ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _{p>2}(1-\frac{p+2}{p^3})=0.723648...$

• কেয়ারফ্রি ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{2p-1}{p^3})=0.428249...$

• স্ট্রংলি কেয়ারফ্রি ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{3p-2}{p^3})=0.286747...$

• স্টিফেনের ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{p}{p^3-1})=0.575959...$

• বার্বেনের ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1+\frac{3p^2-1}{p(p+1)(p^2-1)})=2.596536...$

• তানিগুচির ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p(1-\frac{3}{p^3}+\frac{2}{p^4}+\frac{1}{p^5}-\frac{1}{p^6})=0.678234...$

• হিথ-ব্রাউন এবং মরোজ ধ্রুবক টেমপ্লেট:OEIS2C:

$\prod _p{(1-\frac{1}{p})}^7(1+\frac{7p+1}{p^2})=0.0013176...$

তথ্যসূত্র

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
• টেমপ্লেট:Apostol IANT (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
• G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) টেমপ্লেট:Isbn (Chapter 17 gives further examples.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), টেমপ্লেট:Isbn
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"