ফ্যাক্সেন অন্তরকল

গণিতে ফ্যাক্সেন অন্তরকল (ফ্যাক্সেন অপেক্ষক নামেও পরিচিত) হলো নিম্নোক্ত যোগজীকরণ^[১]

Fi (α, β; x) = \int_{0}^{\infty} \exp (- t + x t^{α}) t^{β - 1} d t, (0 \leq Re (α) < 1, Re (β) > 0) .

যোগজীকরণটি সুইডিশ পদার্থবিদ হিল্ডিং ফ্যাক্সেনের নামে নামকরণ করা হয়েছে, যিনি ১৯২১ সালে তার পিএইচডি থিসিসে এটি প্রকাশ করেছিলেন।

n-মাত্রিক ফ্যাক্সেন যোগজীকরণ

আরও সাধারণভাবে একে নিম্নোক্ত $n$ -মাত্রিক ফ্যাক্সেন যোগজীকরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়:^[২]

I_{n} (x) = λ_{n} \int_{0}^{\infty} \dots \int_{0}^{\infty} t_{1}^{β_{1} - 1} \dots t_{n}^{β_{n} - 1} e^{- f (t_{1}, \dots, t_{n}; x)} d t_{1} \dots d t_{n},

সঙ্গে

f (t_{1}, \dots, t_{n}; x) : = \sum_{j = 1}^{n} t_{j}^{μ_{j}} - x t_{1}^{α_{1}} \dots t_{n}^{α_{n}}

এবং

λ_{n} : = \prod_{j = 1}^{n} μ_{j}

জন্য $x \in ℂ$ এবং

(0 < α_{i} < μ_{i}, Re (β_{i}) > 0, i = 1, \dots, n) .

প্যারামিটার $λ_{n}$ শুধুমাত্র গণনার সুবিধার্থে ধরা হয়েছে।

ধরা যাক $Γ$ গামা অপেক্ষককে নির্দেশ করে, তাহলে

$α = β = \frac{1}{3}$ এর জন্য স্কোরার অপেক্ষকের সাথে এর নিম্নোক্ত সম্পর্ক রয়েছে

Fi (\frac{1}{3}, \frac{1}{3}; x) = 3^{2 / 3} π Hi (3^{- 1 / 3} x) .

$x \to \infty$ এর জন্য আমাদের নিম্নোক্ত উপসর্গ রয়েছে^[৩]

$Fi (α, β; - x) \sim \frac{Γ (β / α)}{α y^{β / α}},$
$Fi (α, β; x) \sim {(\frac{2 π}{1 - α})}^{1 / 2} (α x)^{(2 β - 1) / (2 - 2 α)} \exp ((1 - α) (α^{α} y)^{1 / (1 - α)}) .$